二○○八山东省青岛市初级中学学业水平考试

数 学 试 题

（考试时间：120分钟；满分120分）

真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 1．请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚．

2．本试题共有24道题，其中1—7题为选择题，请将所选答案的标号，写在第7题后面给出表格的相应位置上：8—14题为填空题，请将做出的答案填写在第14题后面给出表格的相应位置上；15—24题请在试题给出的本题位置上做答． 一、选择题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）

下列每小题都给出标号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选，选错或选出的标号超过一个的不得分，请将1—7各小题所选答案的标号填写在第7小题后面表格的相应位置上．

1．1

4-

的相反数等于（ ） A ．14 B ．14

- C ．4

D ．4-

2．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

3．已知1O 和2O 的半径分别为3cm 和2cm ，圆心距124O O =cm ，则两圆的位置关系是（ ） A ．相切 B ．内含 C ．外离 D ．相交

4．某几何体的三种视图如右图所示，则该几何体可能是（

）

A ．圆锥体

B ．球体

C ．长方体

D ．圆柱体

5．一个口袋中有3

个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色， ，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（

） A ．18个 B ．15个

C ．12个

D ．10个

6．如果点11()A x y ，和点22()B x y ，是直线y kx b =-上的两点，且当12x x <时，12y y <，那么函数k

y x

=的图象大致是（ ）

主视图 左视图 俯视图

x

x

x

x

A ．

D ．

7．如图，把图①中的ABC △经过一定的变换得到图②中的A B C '''△，如果图①中ABC △上点P 的坐标为()a b ，，那么这个点在图②中的对应点P '的坐标为（ ） A ．(23)a b --， B ．(32)a b --，

C ．(32)a b ++，

D ．(23)a b ++，

二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）请将8—14各小题的答案填写在第14小题后面表格的相应位置上． 8．计算：0

1

22

-+= ．

9．化简：29

3

x x -=- ． 10．如图，在矩形ABCD 中，对角线A C

B D ，相交于点O ，若60AOB ∠= ，4AB =cm ，则A

C 的长为 cm ．

11．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，如果10AB =，8CD =，那么AE 的长为 ．

12．为了帮助四川地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为20000元，第二次捐款总额为56000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数是多少？若设第一次捐款的人数为x ，则根据题意可列方程为 ．

13．某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A B ，两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如右表所示．根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3:2的比例计算两人的总成绩，那么 （填A 或B ）将被录用．

14．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm ．母线()OE OF 长为10cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且2FA =cm ，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆

图① 图② Ｏ

锥表面爬行到A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm ．

请将8—14各小题的答案填写在下表的相应位置上： 三、作图题（本题满分6分）

用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

15．如图，AB AC ，表示两条相交的公路，现要在BAC ∠的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A 点的距离为1000米．

（1）若要以1:50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离； （2）在图中画出物流中心的位置P ．

解：（1）

四、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 16．（本小题满分6分） 用配方法解一元二次方程：2

220x x --=．

17．（本小题满分6分）

某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，并将所得数据处理后，制成折线统计图和扇形统计图如下：

A C

B （2） 1cm

被抽取学生视力在4.9以下 的人数变化情况统计图

A 40%

B 30%

C 20%

D

A ：4.9以下

B ：4.9－5.1

C ：5.1－5.2

D ：5.2以上 被抽取学生2008年的视 力分布情况统计图

解答下列问题：

（1）该市共抽取了多少名九年级学生？

（2）若该市共有8万名九年级学生，请你估计该市九年级视力不良（4.9以下）的学生大约有多少人？

（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想（不超过30字）． 18．（本小题满分6分）

小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色．此时小刚得1分，否则小明得1分．

这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？

19．（本小题满分6分） 在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且2AB =米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6

，最大夹角β为64.5

．

请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字）

（参考数据：sin18.60.32=

，tan18.60.34=

，sin 64.50.90=

，tan 64.5 2.1=

）

20．（本小题满分8分）

2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A 种船票600元/张，B 种船票120元/

张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，

在购票费不超过5000元的情况下，购买A ，B 两种船票共15张，要求A 种船票的数量不少于B 种船票数量的一半．若设购买A 种船票x 张，请你解答下列问题： （1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程； （2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？

21．（本小题满分8分）

已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使C

E C G =，连接BG

并延长交DE 于F ．

（1）求证：BCG DCE △≌△；

（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90

得到DAE '△， 判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．

22．（本小题满分10分）

某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．

（1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润（总利润=总销售额-总成本）为P 元，求P 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？

23．（本小题满分10分）

实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？ 建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型： 在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？ 为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：

（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，

其中最不利的情况就是它

y (件)

A

B C

D

E

F E '

G

们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：134+=（如图①）；

（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？

我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1327+?=（如图②）

（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？

我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：13310+?=（如图③）：

（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？

我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：13(101)28+?-=（如图⑩） 模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：

（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ； （2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是 ； （3）若要确保摸出的小球至少有n 个同色（20n <），则最少需摸出小球的个数是 ． 模型拓展二：在不透明口袋中装有m 种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：

（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ． （2）若要确保摸出的小球至少有n 个同色（20n <），则最少需摸出小球的个数是 ． 问题解决：（1）请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型； （2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生．

24．（本小题满分12分）

已知：如图①，在Rt ACB △中，90C ∠=

，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ BC ∥？

（2）设AQP △的面积为y （2

cm ），求y 与t 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，

红

黄 红 红或黄或白 图② 黄

白

白 红 黄 白

红或黄或白 图①

红

红 红或黄或白 图③ 红

白

白

白 黄 黄

黄

红 红

红或黄或白

图⑩ 红

白

白 白 黄 黄

黄

白

…

红

黄

9个 9个

9个

．．．

求出此时t 的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC ，并把PQC △沿QC 翻折，得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

二○○八年山东省青岛市初级中学学业水平考试

图①

P '

数学试题参考答案及评分标准

说明：

1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则．

2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．

3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．

4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

三、作图题（本题满分6分）

15．解：（1）1000米=100000厘米，

100000÷50000=2（厘米）；·················································································· 2′

（2） 略． ················································································································· 6′

四、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 16．（本小题满分6分）

解： 222=-x x ， 12122+=+-x x ，

3)1(2=-x ， ·

·········································································· 3′ 31±=-x ，

∴311+=x ， 312-=x . ······························································································6′

17．（本小题满分6分）

解：（1）800÷40% = 2000（人）； ·············································································2′ （2）80000×40% = 32000（人）； ···················································································4′ （3）合理即可． ··········································································································· 6′ 18．（本小题满分6分）

解：

·······················································································································2′

∴P （配成紫色）=9

2，P （配不成紫色）=97

．

∴小刚得分：92

192=?，

小明得分：9

7

197=?，

∵ 97

92≠ ， ∴ 游戏对双方不公平． ·····················································4′

修改规则的方法不惟一．

（如改为：若配成紫色时小刚得7分，否则小明得2分．） ············································6′ 19．（本小题满分6分）

解：设CD 为x ，

在Rt △BCD 中， 6.18==∠αBDC ，

∵CD

BC

BDC =

∠tan ， ∴x BDC CD BC 34.0tan =∠?=． ···············································2′ 在Rt △ACD 中， 5.64==∠βADC ，

∵CD AC

ADC =∠tan ，

∴x ADC CD AC 1.2tan =∠?=． ···············································4′ ∵BC AC AB -=，

∴x x 34.01.22-=． ·················································5′ 1.14x ≈．

答：CD 长约为1.14米． ·················································6′ 20．（本小题满分8分）

解：（1）设A 种票x 张，则B 种票)15(x -张，

根据题意得：152

600120(15)5000

x x x x -?

?

??+-?≥，≤ ····················································3′

解得： 5≤x ≤

3

20． ∴满足条件的x 为5或6． ∴共有两种购买方案：

方案一：A 种票5张， B 种票10张，

方案二：A 种票6张， B 种票9张． ·················································6′ （2）方案一购票费用： 600×5＋120×10=4200（元），

方案二购票费用： 600×6＋120×9=4680（元）， ∵4200＜4680，

∴ 方案一更省钱. ···················································8′

21．（本小题满分8分) 证明：（1） ∵四边形ABCD 是正方形，

∴BC=CD ，∠BCD=90°． ∵∠BCD +∠DCE=180°， ∴∠BCD=∠DCE=90°． 又∵CG=CE ，

∴△BCG ≌△DCE ． ··················································4′ （2）∵△DCE 绕D 顺时针旋转90?得到△DAE ′，

∴CE=AE ′． ∵CE=CG ， ∴CG=AE ′．

∵四边形ABCD 是正方形， ∴BE ′∥DG ，AB=CD ． ∴AB －AE ′ =CD －CG ， 即BE ′ =DG ．

∴四边形DE ′ BG 是平行四边形． ·········································8′

22．（本小题满分10分） 解：（1）设b kx y x y +=的函数关系式为：与，

∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）， ∴???+=+=b

k b

k 7030060400， 解得???=-=100010b k ．

∴100010+-=x y ． ················································4′

（2）)1000

10)(50(+--=x x P 500001500102-+-=x x P ················································6′

自变量取值范围：50≤x ≤70． ·············································7′ ∵7520

1500

2=--=-

a b ，10-=a ＜0． ∴函数500001500102-+-=x x P 图象开口向下，对称轴是直线x=75． ∵50≤x ≤70，此时y 随x 的增大而增大，

∴当70=x 时，6000=最大值P ． ········································· 10′ 23．（本小题满分10分）

模型拓展一：（1）1+5=6 ··········································· 1′

（2）1+5×9=46 ·············································2′ （3）1+5（n －1） ············································3′

模型拓展二：（1）1＋m ···········································4′

（2）1+m (n －1) ···········································5′

问题解决：（1）在不透明口袋中放入18种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各

40个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？ ····················································································································································· 8′

（2）1+18×(10－1) =163 ··························································································· 10′ 24．（本小题满分12分）

解：（1）在Rt △ABC 中，522=+=AC BC AB ，

由题意知：AP = 5－t ，AQ = 2t ， 若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ， ∴=AC AQ AB AP ， ∴

5

542t t -=， ∴7

10

=t ． ····························································3′ （2）过点P 作PH ⊥AC 于H ．

∵△APH ∽△ABC ，

∴=BC

PH

AB AP ， ∴

=3

PH 55t -，

∴t PH 5

3

3-=，

∴t t t t PH AQ y 35

3

)533(221212+-=-??=??=． ···············································6′

图①

B

H

（3）若PQ 把△ABC 周长平分， 则AP+AQ=BP+BC+CQ ． ∴)24(32)5(t t t t -++=+-， 解得：1=t ．

若PQ 把△ABC 面积平分，

则ABC APQ S S ??=2

1

， 即－25

3t ＋3t =3． ∵ t =1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分． ···················9′ （4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，

若四边形PQP ′ C 是菱形，那么PQ ＝PC ． ∵PM ⊥AC 于M ， ∴QM=CM ．

∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ． ∴

AB

BP

AC PN =， ∴54t PN =， ∴54t

PN =，

∴5

4t CM QM =

=， ∴425

4

54=++t t t ， 解得：9

10

=t ． ∴当9

10

=

t 时，四边形PQP ′ C 是菱形． 此时375

33=

-=t PM ， 9

854==t CM ， 在Rt △PMC 中，9

50581649492

2=+=

+=CM PM PC ， ∴菱形PQP ′ C 边长为

9

505

． 12′ P ′

B

N