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二○○八山东省青岛市初级中学学业水平考试

二○○八山东省青岛市初级中学学业水平考试

数 学 试 题

(考试时间:120分钟;满分120分)

真情提示:亲爱的同学,欢迎你参加本次考试,祝你答题成功! 1.请务必在指定位置填写座号,并将密封线内的项目填写清楚.

2.本试题共有24道题,其中1—7题为选择题,请将所选答案的标号,写在第7题后面给出表格的相应位置上:8—14题为填空题,请将做出的答案填写在第14题后面给出表格的相应位置上;15—24题请在试题给出的本题位置上做答. 一、选择题(本题满分21分,共有7道小题,每小题3分)

下列每小题都给出标号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中只有一个是正确的.每小题选对得分;不选,选错或选出的标号超过一个的不得分,请将1—7各小题所选答案的标号填写在第7小题后面表格的相应位置上.

1.1

4-

的相反数等于( ) A .14 B .14

- C .4

D .4-

2.下列图形中,轴对称图形的个数是( )

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A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知1O 和2O 的半径分别为3cm 和2cm ,圆心距124O O =cm ,则两圆的位置关系是( ) A .相切 B .内含 C .外离 D .相交

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4.某几何体的三种视图如右图所示,则该几何体可能是(

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A .圆锥体

B .球体

C .长方体

D .圆柱体

5.一个口袋中有3

个黑球和若干个白球,在不允许将球倒出来数的前提下,小明为估计其中的白球数,采用了如下的方法:从口袋中随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色, ,不断重复上述过程.小明共摸了100次,其中20次摸到黑球.根据上述数据,小明可估计口袋中的白球大约有(

) A .18个 B .15个

C .12个

D .10个

6.如果点11()A x y ,和点22()B x y ,是直线y kx b =-上的两点,且当12x x <时,12y y <,那么函数k

y x

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=的图象大致是( )

主视图 左视图 俯视图

x

x

x

x

A .

D .

7.如图,把图①中的ABC △经过一定的变换得到图②中的A B C '''△,如果图①中ABC △上点P 的坐标为()a b ,,那么这个点在图②中的对应点P '的坐标为( ) A .(23)a b --, B .(32)a b --,

C .(32)a b ++,

D .(23)a b ++,

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二、填空题(本题满分21分,共有7道小题,每小题3分)请将8—14各小题的答案填写在第14小题后面表格的相应位置上. 8.计算:0

1

22

-+= .

9.化简:29

3

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x x -=- . 10.如图,在矩形ABCD 中,对角线A C

B D ,相交于点O ,若60AOB ∠= ,4AB =cm ,则A

C 的长为 cm .

11.如图,AB 是O 的直径,弦CD AB ⊥于E ,如果10AB =,8CD =,那么AE 的长为 .

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12.为了帮助四川地震灾区重建家园,某学校号召师生自愿捐款.第一次捐款总额为20000元,第二次捐款总额为56000元,已知第二次捐款人数是第一次的2倍,而且人均捐款额比第一次多20元.求第一次捐款的人数是多少?若设第一次捐款的人数为x ,则根据题意可列方程为 .

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13.某市广播电视局欲招聘播音员一名,对A B ,两名候选人进行了两项素质测试,两人的两项测试成绩如右表所示.根据实际需要,广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3:2的比例计算两人的总成绩,那么 (填A 或B )将被录用.

14.如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径EF 长为10cm .母线()OE OF 长为10cm .在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣,且2FA =cm ,一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆

图① 图② O

锥表面爬行到A 点.则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm .

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请将8—14各小题的答案填写在下表的相应位置上: 三、作图题(本题满分6分)

用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.

15.如图,AB AC ,表示两条相交的公路,现要在BAC ∠的内部建一个物流中心.设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等,且到公路交叉处A 点的距离为1000米.

(1)若要以1:50000的比例尺画设计图,求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离; (2)在图中画出物流中心的位置P .

解:(1)

四、解答题(本题满分72分,共有9道小题) 16.(本小题满分6分) 用配方法解一元二次方程:2

220x x --=.

17.(本小题满分6分)

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某市为调查学生的视力变化情况,从全市九年级学生中抽取了部分学生,统计了每个人连续三年视力检查的结果,并将所得数据处理后,制成折线统计图和扇形统计图如下:

A C

B (2) 1cm

被抽取学生视力在4.9以下 的人数变化情况统计图

A 40%

B 30%

C 20%

D

A :4.9以下

B :4.9-5.1

C :5.1-5.2

D :5.2以上 被抽取学生2008年的视 力分布情况统计图

解答下列问题:

(1)该市共抽取了多少名九年级学生?

(2)若该市共有8万名九年级学生,请你估计该市九年级视力不良(4.9以下)的学生大约有多少人?

(3)根据统计图提供的信息,谈谈自己的感想(不超过30字). 18.(本小题满分6分)

小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏,游戏规则是:分别旋转两个转盘,若其中一个转盘转出了红色,另一个转出了蓝色,则可以配成紫色.此时小刚得1分,否则小明得1分.

这个游戏对双方公平吗?请说明理由.若你认为不公平,如何修改规则才能使游戏对双方公平?

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19.(本小题满分6分) 在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如图所示,其中,AB 表示窗户,且2AB =米,BCD 表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6

,最大夹角β为64.5

请你根据以上数据,帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米?(结果保留两个有效数字)

(参考数据:sin18.60.32=

,tan18.60.34=

,sin 64.50.90=

,tan 64.5 2.1=

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20.(本小题满分8分)

2008年8月,北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A 种船票600元/张,B 种船票120元/

张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,

在购票费不超过5000元的情况下,购买A ,B 两种船票共15张,要求A 种船票的数量不少于B 种船票数量的一半.若设购买A 种船票x 张,请你解答下列问题: (1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程; (2)根据计算判断:哪种购票方案更省钱?

21.(本小题满分8分)

已知:如图,在正方形ABCD 中,G 是CD 上一点,延长BC 到E ,使C

E C G =,连接BG

并延长交DE 于F .

(1)求证:BCG DCE △≌△;

(2)将DCE △绕点D 顺时针旋转90

得到DAE '△, 判断四边形E BGD '是什么特殊四边形?并说明理由.

22.(本小题满分10分)

某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,试销中销售量y (件)与销售单价x (元)的关系可以近似的看作一次函数(如图).

(1)求y 与x 之间的函数关系式;

(2)设公司获得的总利润(总利润=总销售额-总成本)为P 元,求P 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;根据题意判断:当x 取何值时,P 的值最大?最大值是多少?

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23.(本小题满分10分)

实际问题:某学校共有18个教学班,每班的学生数都是40人.为了解学生课余时间上网情况,学校打算做一次抽样调查,如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级,那么全校最少需抽取多少名学生? 建立模型:为解决上面的“实际问题”,我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型: 在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的,则最少需摸出多少个小球? 为了找到解决问题的办法,我们可把上述问题简单化:

(1)我们首先考虑最简单的情况:即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的,则最少需摸出多少个小球?

假若从袋中随机摸出3个小球,它们的颜色可能会出现多种情况,

其中最不利的情况就是它

y (件)

A

B C

D

E

F E '

G

们的颜色各不相同,那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:134+=(如图①);

(2)若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢?

我们只需在(1)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有3个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:1327+?=(如图②)

(3)若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢?

我们只需在(2)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有4个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:13310+?=(如图③):

(10)若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢?

我们只需在(9)的基础上,再从袋中摸出3个小球,就可确保至少有10个小球同色,即最少需摸出小球的个数是:13(101)28+?-=(如图⑩) 模型拓展一:在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分(除颜色外完全相同),现从袋中随机摸球:

(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色,则最少需摸出小球的个数是 ; (2)若要确保摸出的小球至少有10个同色,则最少需摸出小球的个数是 ; (3)若要确保摸出的小球至少有n 个同色(20n <),则最少需摸出小球的个数是 . 模型拓展二:在不透明口袋中装有m 种颜色的小球各20个(除颜色外完全相同),现从袋中随机摸球:

(1)若要确保摸出的小球至少有2个同色,则最少需摸出小球的个数是 . (2)若要确保摸出的小球至少有n 个同色(20n <),则最少需摸出小球的个数是 . 问题解决:(1)请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型; (2)根据(1)中建立的数学模型,求出全校最少需抽取多少名学生.

24.(本小题满分12分)

已知:如图①,在Rt ACB △中,90C ∠=

,4cm AC =,3cm BC =,点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,速度为1cm/s ;点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,速度为2cm/s ;连接PQ .若设运动的时间为(s)t (02t <<),解答下列问题: (1)当t 为何值时,PQ BC ∥?

(2)设AQP △的面积为y (2

cm ),求y 与t 之间的函数关系式;

(3)是否存在某一时刻t ,使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分?若存在,

黄 红 红或黄或白 图② 黄

白 红 黄 白

红或黄或白 图①

红 红或黄或白 图③ 红

白 黄 黄

红 红

红或黄或白

图⑩ 红

白 白 黄 黄

9个 9个

9个

...

求出此时t 的值;若不存在,说明理由;

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(4)如图②,连接PC ,并把PQC △沿QC 翻折,得到四边形PQP C ',那么是否存在某一时刻t ,使四边形PQP C '为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.

二○○八年山东省青岛市初级中学学业水平考试

图①

P '

数学试题参考答案及评分标准

说明:

1.如果考生的解法与本解法不同,可参照本评分标准制定相应评分细则.

2.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度,可视影响程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.

3.为阅卷方便,本解答中的推算步骤写得较为详细,但允许考生在解答过程中,合理省略非关键性的推算步骤.

4.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

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三、作图题(本题满分6分)

15.解:(1)1000米=100000厘米,

100000÷50000=2(厘米);·················································································· 2′

(2) 略. ················································································································· 6′

四、解答题(本题满分72分,共有9道小题) 16.(本小题满分6分)

解: 222=-x x , 12122+=+-x x ,

3)1(2=-x , ·

·········································································· 3′ 31±=-x ,

∴311+=x , 312-=x . ······························································································6′

17.(本小题满分6分)

解:(1)800÷40% = 2000(人); ·············································································2′ (2)80000×40% = 32000(人); ···················································································4′ (3)合理即可. ··········································································································· 6′ 18.(本小题满分6分)

解:

·······················································································································2′

∴P (配成紫色)=9

2,P (配不成紫色)=97

∴小刚得分:92

192=?,

小明得分:9

7

197=?,

∵ 97

92≠ , ∴ 游戏对双方不公平. ·····················································4′

修改规则的方法不惟一.

(如改为:若配成紫色时小刚得7分,否则小明得2分.) ············································6′ 19.(本小题满分6分)

解:设CD 为x ,

在Rt △BCD 中, 6.18==∠αBDC ,

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∵CD

BC

BDC =

∠tan , ∴x BDC CD BC 34.0tan =∠?=. ···············································2′ 在Rt △ACD 中, 5.64==∠βADC ,

∵CD AC

ADC =∠tan ,

∴x ADC CD AC 1.2tan =∠?=. ···············································4′ ∵BC AC AB -=,

∴x x 34.01.22-=. ·················································5′ 1.14x ≈.

答:CD 长约为1.14米. ·················································6′ 20.(本小题满分8分)

解:(1)设A 种票x 张,则B 种票)15(x -张,

根据题意得:152

600120(15)5000

x x x x -?

?

??+-?≥,≤ ····················································3′

解得: 5≤x ≤

3

20. ∴满足条件的x 为5或6. ∴共有两种购买方案:

方案一:A 种票5张, B 种票10张,

方案二:A 种票6张, B 种票9张. ·················································6′ (2)方案一购票费用: 600×5+120×10=4200(元),

方案二购票费用: 600×6+120×9=4680(元), ∵4200<4680,

∴ 方案一更省钱. ···················································8′

21.(本小题满分8分) 证明:(1) ∵四边形ABCD 是正方形,

∴BC=CD ,∠BCD=90°. ∵∠BCD +∠DCE=180°, ∴∠BCD=∠DCE=90°. 又∵CG=CE ,

∴△BCG ≌△DCE . ··················································4′ (2)∵△DCE 绕D 顺时针旋转90?得到△DAE ′,

∴CE=AE ′. ∵CE=CG , ∴CG=AE ′.

∵四边形ABCD 是正方形, ∴BE ′∥DG ,AB=CD . ∴AB -AE ′ =CD -CG , 即BE ′ =DG .

∴四边形DE ′ BG 是平行四边形. ·········································8′

22.(本小题满分10分) 解:(1)设b kx y x y +=的函数关系式为:与,

∵函数图象经过点(60,400)和(70,300), ∴???+=+=b

k b

k 7030060400, 解得???=-=100010b k .

∴100010+-=x y . ················································4′

(2))1000

10)(50(+--=x x P 500001500102-+-=x x P ················································6′

自变量取值范围:50≤x ≤70. ·············································7′ ∵7520

1500

2=--=-

a b ,10-=a <0. ∴函数500001500102-+-=x x P 图象开口向下,对称轴是直线x=75. ∵50≤x ≤70,此时y 随x 的增大而增大,

∴当70=x 时,6000=最大值P . ········································· 10′ 23.(本小题满分10分)

模型拓展一:(1)1+5=6 ··········································· 1′

(2)1+5×9=46 ·············································2′ (3)1+5(n -1) ············································3′

模型拓展二:(1)1+m ···········································4′

(2)1+m (n -1) ···········································5′

问题解决:(1)在不透明口袋中放入18种颜色的小球(小球除颜色外完全相同)各

40个,现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的,则最少需摸出多少个小球? ····················································································································································· 8′

(2)1+18×(10-1) =163 ··························································································· 10′ 24.(本小题满分12分)

解:(1)在Rt △ABC 中,522=+=AC BC AB ,

由题意知:AP = 5-t ,AQ = 2t , 若PQ ∥BC ,则△APQ ∽△ABC , ∴=AC AQ AB AP , ∴

5

542t t -=, ∴7

10

=t . ····························································3′ (2)过点P 作PH ⊥AC 于H .

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∵△APH ∽△ABC ,

∴=BC

PH

AB AP , ∴

=3

PH 55t -,

∴t PH 5

3

3-=,

∴t t t t PH AQ y 35

3

)533(221212+-=-??=??=. ···············································6′

图①

B

H

(3)若PQ 把△ABC 周长平分, 则AP+AQ=BP+BC+CQ . ∴)24(32)5(t t t t -++=+-, 解得:1=t .

若PQ 把△ABC 面积平分,

则ABC APQ S S ??=2

1

, 即-25

3t +3t =3. ∵ t =1代入上面方程不成立,

∴不存在这一时刻t ,使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分. ···················9′ (4)过点P 作PM ⊥AC 于M,PN ⊥BC 于N ,

若四边形PQP ′ C 是菱形,那么PQ =PC . ∵PM ⊥AC 于M , ∴QM=CM .

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∵PN ⊥BC 于N ,易知△PBN ∽△ABC . ∴

AB

BP

AC PN =, ∴54t PN =, ∴54t

PN =,

∴5

4t CM QM =

=, ∴425

4

54=++t t t , 解得:9

10

=t . ∴当9

10

=

t 时,四边形PQP ′ C 是菱形. 此时375

33=

-=t PM , 9

854==t CM , 在Rt △PMC 中,9

50581649492

2=+=

+=CM PM PC , ∴菱形PQP ′ C 边长为

9

505

. 12′ P ′

B

N