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正项级数敛散性的判别方法

摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用

1引言

数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。

2正项级数敛散性判别法

2.1判别敛散性的简单方法

由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数

n u

∞

=∑收敛

?0,,,

N n N p N ε+?>?∈?

>?∈有12n n n p u u u ε++++++< 。取特殊的1p =，可

得推论：若级数

n u

∞

=∑收敛，则lim 0n n u →∞

=。

2.2比较判别法

定理一（比较判别法的极限形式）：设

n n u ∞=∑和1

n n v ∞

=∑为两个正项级数，且有lim

n n

u l v →∞=，于是

（1）若0l <<+∞，则

n u

∞

=∑与

n v

∞

=∑同时收敛或同时发散。

（2）若0l =，则当

n v

∞

=∑收敛时，可得

n u

∞

=∑收敛。

（3）若l =+∞，则当

n v

∞

=∑发散时，可得

n u

∞

=∑发散。

正项级数敛散性的判别法在高等数学课本中所涉及的主要有：比较判别法、比值判别法和根植判别法。由于比值法与根值法的固定模式，其使用较为方便。但比较判别法在应用时，由于需要对原有级数进行适当的放缩，选择与之比较的对象级数，学生学习时都感到难度较人。

2.2.1当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时，将借助无穷小量(无穷大量)阶的概念来分析比较判别法的使用，进而给出如何选择比较对象的快捷方法。由于lim 0n n u →∞

≠时，级数

n u

∞

=∑必发散。从而，只需考虑lim 0n n u →∞

=时，正项级数

n u

∞

=∑的敛

散性判别。借助“无穷小量阶的比较”，即无穷小量趋丁零速度的比较这一概念，上述的（1）、（2）、（3）可以等价理解为（1）当0l <<+∞，即n u 与n v 是同阶无穷小量（n →∞）时，

n u

∞

=∑与

n v

∞

=∑同敛散。

（2）当0l =且

n v

∞

=∑收敛，即n u 是较n v 的高阶无穷小量（n →∞）时，必有

n u

∞

=∑收敛。

（3）若l =+∞且

n v

∞

=∑发散，即n u 是较n v 的低阶无穷小量（n →∞）时，可得

n u

∞

=∑发

散。

这表明正项级数收敛与否最终取决于其通项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。因此可以通过无穷小量(或者无穷大量)阶的比较，简化

n u

∞

=∑的通项n u 或对n u 进行适当放缩，进

而利用已知级数的敛散性来判别

n u

∞

=∑的敛散。

例1、判别级数21ln n n n ∞

=∑和1

2n n n

n ∞

=-∑的敛散性。

分析：在实际题目中，常见的无穷大量有ln n ，()()0,1a

n n a a a >>等。其发散的速度：

在n →∞时，()()ln 01a

n n n

a a a <<><<>。

从而，（1）()()()2221ln 11

,0,;2,1,2a a n

a a n n n n a n a n n n n n n n n

--<=>→∞<>→∞-- 。结合比较判别法的使用。故（1）中的比较对象

21a

-的a 的取值应保证21a ->，即01a <<。

（2）中的比较对象

1a n -的a 的取值应保证11a ->，即2a >。

解：（1）可取12a =，有23

ln lim 01n n

n n →∞=。又3121n n ∞=∑收敛，则由比较判别法可知21ln n n n ∞=∑也收

敛。

（2）可取3a =，有22lim 01n n n

n n

→∞-=。又211n n ∞=∑收敛，则由比较判别法可知12n

n n n

∞=-∑也收敛。

使用正项级数比较判别法时需要熟记P-级数11p n n ∞

=∑以及等比级数()1

0,0n n aq a q ∞

-=≠≠∑的

敛散性，再结合本文给出的利用阶的概念对级数通项进行放缩的方法．便能较快捷地选定常

用作比较对象的P-级数或等比级数的具体形式，准确判别出正项级数的敛散性。[1]同样，我们可以利用等价无穷小来判断正项级数的敛散性，仍需熟记P-级数

p n n ∞

=∑的敛散性。[2] 2.2.2当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象。例2：判别级数

2sin

n n

n π

∞

=∑的敛散性。

分析：考虑当0x >时，sin x x <，则2s i

n ,2s i

n 233

n n

ππ

π??<<

= ???，而123n

n π∞

=??

???

∑是公比2

q =

<的收敛级数，故原级数收敛。 2.3根值判别法以及两个推广

定理一（根值判别法的极限形式）：有正项级数

n u

∞

=∑

，若n l =，则

（1）当1l <时，级数

n u

∞

=∑收敛。

（2）当1l >时，级数1

n u

∞

=∑发散。

2.3.1一般的情况

例1：判别级数121n

n n n ∞

=?? ?+?

?∑的敛散性。

解：

由于1lim 1212n n n n n →∞===<+，根据柯西判别法的推论，可得级数121n

n n n ∞

=??

?+??

∑收敛。 2.3.2

根值判别法推广，若将判别极限n

n 在一定条件下将比原判别方法更为精细，且应用范围也有所推广。引理一：如果()101,2,n n u u n +≥≥= ，则级数1

n u

∞

=∑收敛当且仅当级数

m n m u

∞

=∑收敛。

[3] 引理二：设

n u

∞

=∑与

n v

∞

=∑为两个正项级数，且存在正整数N ，当n N >时，不等式

()1

0,1,2,,1n n n n

m i m i u v i m

m +++≤=-- 成立，则若级数1n n v ∞=∑收敛必有级数1

n n u ∞

=∑收敛；

若级数

n u

∞

=∑发散必有级数

n v

∞

=∑发散。

定理二：设

n u

∞

=∑为正项级数，m 为大于1的自然数。若级数通项满足

(

)11,2,3,n n n u v n ρ+≤== ，则当1m ρ<

时级数收敛；当1

ρ>级数发散；而当1

ρ=

时，级数的敛散性不能判定。[4] 定理三：设

n u

∞

=∑为正项级数，m 为大于1的自然数。如

果n ρ=其中

10,1,2,,1n n i m m +=-- ，则当1m ρ<

时级数收敛；当1m ρ>级数发散；而当1

ρ=时，级数的敛散性不能判定。[4]

定理二、三给出的判别法较根值判别法更为精细。定理的应用不再详细举例，比如对级数

n e

∞

=∑

及()3

13n

n n ∞

=?-??∑，值或根值判别法不能判别其敛散性，但用本文的定理二

或定理三其敛散性即可判别。

2.4达朗贝尔判别法(比值判别法)及其推广定理三（比值判别法的极限形式）：有正项级数

1n n u ∞

=∑（0n u >）

，且1

lim n n n

u l u +→∞=

1）当1l <时，级数

n u

∞

=∑收敛。

2）当1l >时，级数

n u

∞

=∑发散。

2.4.1一般的情况

例1：判别级数的敛散性。

解：由于()()1

1!11

!111

lim

lim lim lim 11n n n

n n n n n n n n n n n n u n u n ε++++??

→∞→∞→∞→∞+ ?????????????====< ?+????????

，所以根据达朗贝尔判别法的推论知，级数

n n n n ∞

=∑收敛。 2.4.2比值判别法的推广，在借鉴比值判别法的基础上，通过对构成正项级数的解析式进行

分析给出了判断正项级数敛散性的一种方法。定理一：设()y f x =是取值为正且可导的函数。

1）如果存在负数a ，使得当x 足够大时有()

()f x a f x '<，则正项级数()0n f n ∞

=∑收敛；

2）如果存在正数b ，使得当x 足够大时有()

()f x b f x '>，则正项级数()0

n f n ∞=∑发散；

3）如果不存在满足以上条件的实数，则正项级数

()0

n f n ∞

=∑可能收敛，也可能发散。[5]

定理一的应用不再详细举例，比如对级数12n n n ∞

=∑、13ln n n n ∞=∑和()

1ln n

n n

n ∞=∑的敛散性则可用上述的定理。[5]

2.5比式与根式审敛法的推广正项级数的审敛法有很多种，其中以达朗贝尔比值审敛法与柯西根值审敛法是最基础也是使用频率最高的两种方法。一般情况下，这两种审敛法都是分开来使用，事实上将这两种方法结合在一起也可以得到一种新的审敛法。

定理一：设(),0,01,2,n n n n n w u v u v n =?≥≥=

。若1

,lim

n n n v u v v →∞-==。则

1）当1uv <时，级数

n w

∞

=∑收敛；

2）当1uv >时，级数

n w

∞

=∑发散；[6]

例1：判定级数()11

1tan 2

21n

n n n n n π∞-=??

+ ?+??

∑的敛散性。

解：设()1,1tan 212n

n n n n u v n n π-??==+ ?+??

。则1lim 212n n n n →∞==+ ()()

111

1tan

1122lim

lim

2tan

n n n

n n n n n

n n n v v n n π

π++→∞→∞

→∞

-++===? 由于1111224?=<，所以原级数()11

1tan 221n

n n n n n π∞

-=??+ ?+??∑收敛。[6] 上述判别法的出现，极大地拓宽了级数敛散性的判别范围，简化了级数的问题。 2.6积分判别法

定理一(积分判别法)：设f 为[]1,+∞上非负减函数，那么正项级数()f n ∑与反常积分同

时收敛或同时发散。例1：证明调和级数

n n ∞

=∑发散。解：将原级数

11n n

∞

=∑换成积分形式11dx x +∞?，由于111ln |0dx x x +∞+∞

==+∞-=+∞?，即1

1dx x +∞

发散，根据积分判别法可知，调和级数11

n n

∞

=∑发散。 2.7拉贝判别法以及其推广

定理一（拉贝判别法的极限形式）：设1n

n u ∞

=∑为正项级数，且极限1lim 1n n n u n r u +→∞??

-= ??

?存在，则

1）当1r >时，级数

n u

∞

=∑收敛；

2）当1r <时，级数

n u

∞

=∑发散。

2.7.1活用拉贝判别法

例1、判断级数()()2

11321242n n n ∞

=??

???-??????

?∑ 的敛散性。

解：由于()()

()2143211112222n n n n u n n n n u n n +??+??

+??-=-=

<→∞?? ? ?++????????，所以原级数是发散的。 2.7.2拉贝判别法在判别的范围上比比式判别法更广泛，是根据11n n u n u +??

???

及其极限与1的大小关系来鉴别敛散性。但是对有些级数仍无法判别其敛散性，如()()2

21!!2!!n n ??

- ? ???

∑，所以

许多作者对这些已知判别法作了研究与推广。

定理2：设1n n u ∞

=∑为正项级数，满足()()()111

11ln 1n n u f n g n u n n n ο+??=--++ ? ?++?

?，且()()lim ln 1n n n f n r →∞

+=，则有

1）若()1,0r g

n >≤，则1n

n u

∞

=∑收敛；

2）若()1,0r g

n <≥，则1

n u

∞

=∑发散。[7]

文献[4]中判别正项级数

n u

∞

=∑敛散性的一个主要定理如下：

定理3：设

n n u ∞

=∑为正项级数且满足

1211n n u u n n αο+??

=-+ ???

，则有 1）当1α>时，则级数

n u

∞

=∑收敛；

2）当1α≤时，则级数

n u

∞

=∑发散。[8]

显然，定理2是上述的定理的改进。事实上，由定理2知()()

()

1ln 1r f n n n ο+=

+，则

()()()111

11ln 1ln 1n n u r g n u n n n n n ο+??=--++ ? ?+++??

()

()()()()ln 1ln 1111ln 1ln 1n n r n n g n n n n n n ο++-+??+=-+ ? ?++??

。

这里令()()

()()ln 1ln 11

n n w n r n n g n n +=+-++。故

1）若()1,0r g

n >≤，则必有()1w n >；

2）若()1

r g n <≥，则只要再假设()g n 满足()()

1ln 1r g n n n n -≥

++，就有()1w n ≤。例1：判定级数()()221!!12!!

21n n n n ∞

=-+∑ 的敛散性。解

：

由

于

()()()()

()

()()()()()

21211!2!!21

21!!

n n n n n u n n n

u n n n n n n n ++-

++==

++++

()()()()

()()

2223

122232223n n n n n n n n ++--

++++，

由定理2的变形形式可知，()()()653

lim lim 22232

n n n nf n n n n →∞

→∞

+=?

=++，故此级数收敛。

易见此方法较[4]中例1的方法简便。 2.8对数判别法

2.8.1简单的对数判别法

文献[9]给出了判别正项级数敛散性的一种对数判别法的极限形式，就是比较1ln

lim ln n

n u n

→∞与1

的大小来鉴别级数

n u

∞

=∑的敛散性。

2.8.2非正常积分与正项级数的对数判别法

由于级数与反常积分在本质上是相同的，都是“求和”运算，只不过是对两种不同的变量求和，因此，文献[9]将反常积分的对数审敛法推广到级数中去，从而得到正项级数敛散性的对数审敛法。第一对数审敛法是计算ln lim

n u n

→∞-与0的大小，第二对数审敛法是计算

111

lim ln

ln n n n

u u →∞

+-与0的大小来鉴别敛散性。 2.8.3正项级数比值对数判别法

而文献[11]则是巧用麦克劳林级数展开式()()()ln 11n

n n

ααοα+=-+给出了一种比值对

数判别法。

对数判别法和非正常积分与正项级数的对数判别法分别给出了两种不同形式对数判别法的，根据级数的形式选择合适的判别法，与非正常积分与正项级数的对数判别法比较对数判别法主要适用于判别幂指形级数的敛散性。 2.9其他判别法 2.9.1阿贝尔判别法设级数

n n

a b ∑，若{}n

a 为单调有界数列，且级数n

∑收敛，则级数

n n

a b ∑收敛。

2.9.2狄利克雷判别法设级数

n n

a b ∑，若{}n

a 为单调递减，且lim 0n

n a

→∞

=又级数{}n b 的部分和数列有界，则级数

n n

a b ∑收敛。

3正项级数敛散性判别方法比较

3.1当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件即判别敛散性的简单方法进行判断。

3.2当级数表达式型如

,n n

u u 为任意函数、

级数一般项如含有sin ,cos θθ等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P 级数、

调和级数进行比较1

lim

,lim n n n n

u u +→+∞

算出或1

lim

1,lim 1n n n n

u u +→+∞==，等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题

时，应选用比较判别法。比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其他途径判别其敛散性的正项级数。

且具体的当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时，将借助无穷小量(无穷大量)阶的概念来分析比较判别法的使用，如2.2中的例1；当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时，利用不等式选取适当的比较对象如2.2中的例2。

3.3当级数含有n 次幂，形如n

a 或通项1

ln n p u n n

即分母含有含ln x 的函数，分子为1，

或级数含有多个聚点时，可选用根值判别法。且2.3中给出的定理二、三给出的判别法较根值判别法更为精细，且应用范围也有所推广。

3.4当级数含有阶n 次幂，型如!a 或n

a 或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。 3.5凡能由比式判别法鉴别收敛性的级数，它也能由根式判别法来判断，而且可以说，根式判别法较之比式判别法更有效，但是他们有一定的局限性。一般情况下，这两种判别法都是分开来使用，事实上将这两种方法结合在一起也可以得到一种新的判别法：比式与根式审敛法的推广。极大地拓宽了级数敛散性的判别范围，简化了级数的问题。如2.5中的例1，用比式与根式审敛法的推广比较简单的判断出它的敛散性。 3.6当级数表达式型如

1,n n u u 为含有ln n 的表达式或1

u 可以找到原函数，或级数n u 为

[]1,+∞上非负单调递减函数，n u 含有sin ,cos x x 等三角函数的因子可以找到原函数，可以

选用积分判别法。

3.7当级数同时含有阶层与n 次幂，形如n

a 与!a 时，或使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。

虽然拉贝判别法在判别的范围上比比式判别法更广泛，但是对有些级数仍无法判别其敛散性，如2.7中例1。因此，给出了拉贝判别法的推广，它比拉贝判别法的判别范围广泛，对于2.7中例1它可以很容易的就判别出其收敛性。

3.8对于通项中含有!n

n e 因子及讨通项中含有()1!p n n --的正项级数敛散性时，拉贝判别法

不易施行。就这类情况，我们应用2.8给出的比值对数判别法，该方法避开了求极限等繁琐过程，应用更为方便。

3.9当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有sin ,cos x x 等三角函数等，或形如

()sin ,n n

u u

∑任意函数，

则可以选用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。阿贝尔判别法也可以看成狄利克雷判别法的特殊形式。例：设1

n b

∞

=∑

收敛，则级数

111

131

,1,ln 12n

n n n n n n n n n b b b n n n ∞

∞∞∞====+??+ ?+??∑∑∑等都收敛。

4正项级数敛散性判别方法的总结

判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若不为0则发散，若为0则判

断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散。若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法。当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、根式判别法、比式与根式审敛法的推广或拉贝判别法。当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法、对数判别法。当无法使用根式判别法时，通常可以选用比值判别法，当比值判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断。由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种。

正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断。正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径。

参考文献：

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[11]张运波，周华军，李顺龙. 正项级数比值对数判别法[J].中国科技纵横. 2010(15)

正项级数敛散性地判别方法

正项级数敛散性的判别方法摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法定理一（比较判别法的极限形式）：设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是（1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。（2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。

正项数收敛判别方法

数学与统计学院应用数学系综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法

摘要：各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。关键字：正项级数收敛比较原则比式判别法根式判别法积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1）称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质：若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足

数项级数敛散性判别法。(总结)

华北水利水电学院数项级数敛散性判别法。（总结）课程名称：高等数学（下）专业班级：成员组成联系方式： 2012年5月18日

摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。

数项级数敛散性的判别法毕业论文

关于数项级数敛散性的判别法摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法 1 引言设数项级数 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 的n 项部分和为: 12n S a a =++ +1 n n i i a a ==∑ 若n 项部分和数列{} n S 收敛,即存在一个实数S,使 lim n n S S →∞ =. 则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞ 是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则, 可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:

数项级数1 n n a ∞ =∑收敛0,N N ε+ ??>?∈,对,n N p N + ?>?∈有 12n n n p a a a ε ++++++<. 2 正项级数敛散性判别法设数项级数1n n a ∞ =∑为正项级数(n a ≥0).则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递增,由数列的单调有界公理,有定理2.1[1] 正项级数1n n u ∞ =∑收敛?它的部分和数列{}n S 有上界. 由定理2.1可推得定理2.2 [2] ：设两个正项级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑,存在常数c 0 >及正整数N ，当n ＞N 时有 n u ≤c n v ,则（i ）若级数1 n n u ∞=∑收敛，则级数1 n n v ∞ =∑也收敛；（ii ）若级数1 n n u ∞=∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散. 一般常及其极限形式: 定理2.2’（比较判别法的极限形式） [2] ：设1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数且有 lim n n n u v →∞=λ，（i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散；（ii ）若 λ＝0，级数1 n n v ∞ =∑收敛，则级数1 n n u ∞ =∑也收敛；（iii ）若 λ＝＋∞，级数1 n n v ∞=∑发散，则级数1 n n u ∞ =∑也发散. 由比较判别法可推得:

关于数项级数敛散性的判定(可编辑修改word版)

n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前 n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ （ 1）若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛，则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛，且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的，若级数∑(cu n + dv n ) 收敛，则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注：特殊的，对于级数 ∑u n 与 ∑v n ，当两个级数都收敛时， ∑(u n ± v n ) 必收敛；当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛，另一个发散时， ∑(u n ± v n ) 一定发散；当两个都发散时， ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解：因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛，故级数 ∑( n n =1 ∞

常数项级数敛散性判别法总结

常数项级数敛散性判别法总结摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。例2：判别级数的敛散性。解：因为由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法

关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质（1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.

2016考研数学：无穷级数的敛散性判断方法

2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法无穷级数是高等数学的重要章节，是考研数学一和数学三的必考内容，其主要考点包括两个方面，一个是关于无穷级数的收敛或发散的判断，另一个是无穷级数的求和。关于级数的敛散性(即收敛或发散)判断，由于其方法较多，很多同学在学习和复习中感到有些困惑，为了帮助大家掌握好这些方法，文都网校的蔡老师对其做些分析总结，供各位参考，下面首先对用无穷级数的部分和来判断级数的敛散性方法做些分析。一、通过部分和来判断级数的敛散性

通过无穷级数的部分和来判断级数的敛散性，是判断敛散性的最基本方法之一，因为按照级数收敛性的定义，收敛就是指其部分和的极限存在;对于正项级数而言，由于其部分

和是单调增加的数列，所以只要其部分和是有界的，则部分和数列就是收敛的，因此级数就是收敛的. 无穷级数中有一类常见的级数，就是正负项相间的级数，即交错级数，交错级数的敛散性判断有多种方法，包括：莱布尼茨判别法、绝对值判别法以及部分和判别法，下面我们对这些方面及其典型题型做些分析总结，供各位同学参考。一、交错级数的敛散性判别法对于交错级数的敛散性判别，使用得较多的是莱布尼茨判别法。

从上面的例题我们看到，并非所有的交错级数都是收敛的，即使级数的通项趋于零也不一定收敛，但如果通项趋于零且通项是单调的，则级数是收敛的;有些级数表面上看不是交错级数，但经过恒等变形后却是交错级数，这时就可以利用上面方法进行判断;

如果一个交错级数不满足莱布尼茨条件，但每项取绝对值后的级数是收敛的，即绝对收敛，则原交错级数是收敛的。正项级数是无穷级数的一种基本类型，其敛散性的判断方法有多种，包括：比较判别法、比值判别法、根值判别法(数一要求)等，在不同的条件下，需要根据具体情况使用不同的判别法，下面我们来分析一下比较判别法及其典型题型，供广大考生参考。一、正项级数的比较判别法正项级数的比较判别法是一种基本的、常用的判别法，其基本用法如下：

正项级数收敛及其应用公式版

公式为正常公式,不是图片版正项级数收敛性判别法的比较及其应用一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n SN都有 n n v u≤，那么（1）若级数∑∞ =1 n n v收敛，则级数∑∞ =1 n n u也收敛；（2）若级数∑∞ =1 n n u发散，则级数∑∞ =1 n n v也发散；即∑∞ =1 n n u和∑∞ =1 n n v同时收敛或同时发散。比较判别法的极限形式：设∑∞ =1 n n u和∑∞ =1 n n v是两个正项级数。若l v u n n n = +∞ → lim，则（1）当时，∑∞ =1 n n u与∑∞ =1 n n v同时收敛或同时发散；

（2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛；（3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 ，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。比值判别法的极限形式：若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则（1）当1lim ，成立不等式1，成立不等式1≥n n u ，则级数∑∞ =1 i n u 收敛根式判别法的极限形式：设∑∞ =1 n n u 是正项级数，且l u n n n =+∞ →lim ，则（1）当1l 时，级数∑∞ =1 n n u 发散；（3）当1=l 时，级数的敛散性进一步判断。

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数；收敛；判别；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。

数项级数敛散性判别方法

华北水利水电大学课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结）专业班级:水利港航39班成员组成:丁哲祥 201203901 联系方式: 2012.05.23

数项级数敛散性判别法（总结）摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。以便我们更好的掌握它。关键词：数项级数敛散性判别方法总结 Several series gathered of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod. Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数；收敛；判别；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性

定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。二正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则（i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛；（ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n +

关于正项级数敛散性的判别法

关于正项级数敛散性的判别法作者: 学号：单位：指导老师摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化. 关键词：正项级数；敛散性；判别法 1引言设数项级数 121...++... n n n a a a a ∞ +==+∑的n 项部分和为： 121 ......n n n i i S a a a a ==++++= ∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数 S ，使lim n x S S →∞ =.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞ 是否存在，从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数 1 n n a ∞ =∑收敛? 0,, , N N n N p N ε+ + ?>?∈ ?>?∈对，有 +1+2+ +...+

设数项级数 1 n n a ∞ =∑为正项级数( ) 0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递增，由数列的单调有界定理，有定理2.1：正项级数n 1u n ∞ =∑收敛?它部分和数列{}n S 有上界. 证明：由于,...), 2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得定理2.2（比较判别法）：设两个正项级数n 1 u n ∞ =∑和n 1 n v ∞ =∑，且 , n ,N N N ≥?∈?+ 有n n cv u ≤，c 是正常数，则 1）若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，则级数n 1 u n ∞ =∑也收敛; 2）若级数n 1 u n ∞ =∑发散，则级数n 1 n v ∞ =∑也发散. 证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1 u n ∞ =∑的有限项，，则不改变级数n 1 u n ∞ =∑的敛散性.因此，不妨设 , + ∈?N n 有 n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1 n v ∞=∑与n 1 u n ∞ =∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有， n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n . 1)若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届，再根据定理1，级数n 1 u n ∞ =∑收敛; 2)若级数n 1 u n ∞ =∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届，

数项级数的敛散性判别法

第六讲数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理：比较原理I ：设 1 n n u ∞=∑，1 n n v ∞ =∑都是正项级数，存在0c >，使 (1,2,3,...)n n u cv n ≤= （i ）若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑也收敛；（ii ）若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑也发散．比较原理II （极限形式）设 1 n n u ∞ =∑，1 n n v ∞ =∑均为正项级数，若 lim (0,)n n n u l v →∞=∈+∞ 则 1 n n u ∞=∑、1 n n v ∞ =∑同敛散．根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法．定理1（柯西判别法1）设 1 n n u ∞ =∑为正项级数，（i ）若从某一项起（即存在N ，当n N > 1q ≤<（q 为常数），则 1 n n u ∞ =∑收敛；（ii 1≥，则1 n n u ∞ =∑发散．证（i ）若当n N > 1q ≤<，即n n u q ≤，而级数 1 n n q ∞ =∑收敛，根据比较原理I 知级数 1 n n u ∞ =∑也收敛．（ii ） 1≥，则1n u ≥，故l i m 0n n u →∞ ≠，由级数收敛的必要条件知 1 n n u ∞ =∑

发散．定理证毕．定理2（柯西判别法2）设 1 n n u ∞ =∑ 为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1 n n u ∞ =∑收敛；（ii ）当1r >（或r =+∞）时，1 n n u ∞ =∑发散；（iii ）当1r =时，法则失效．例1 判别下列正项级数的敛散性 23123(1)()()()357 21 n n n +++ +++；n n n e ∞ -∑n=1 (2) n n x α∞ ∑n=1 (3) （α为任何实数，0x >）．解 (1) 因为11 2 n r ==<，所以原级数收敛． (2) 因为lim n n n r e →∞===∞，所以原级数发散． (3) 对任意α，n r x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时，此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1 α- ≤时，即1α ≥-时发散．例2 判别级数11[(1)]3 n n n n ∞ =+-∑的敛散性．解由于 (1)lim 3 n n n n →∞-== 不存在，故应用定理2 无法判别级数的敛散性．又因为 (1)1133 n q -==≤=< 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n n n a ∞ =-∑发散，试问级数111n n n a ∞ =?? ?+?? ∑是否收敛？并说明理由．

正项级数敛散性判别

正项级数敛散性判别 Prepared on 22 November 2020

级数收敛的必要条件如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。二．正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。比较审敛法如果正项级数∑∞ =1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则 ∑∞ =1 n n u 收敛；如果正项级数∑∞=1 n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1 n n u 发散；比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞ =1 n n v 是解题的关键。几何级数∑∞ =-11 n n aq 和p-级数∑∞ =11 n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞ =1 n n v 。例１证明级数∑∞ =+122 1 n n 是收敛的。证由于2 22n n >+，所以22121n n <+，而级数∑∞ =121n n 为p=2 的p-级数且收敛，故由比较审敛法，级数∑∞ =+1221 n n 是收敛的。例2 判别下列级数∑∞ =+122 2n n n 的敛散性。分析这是一个典型的例题，通项2 22+n n 是关于n 的一个有理分式。应注意分母和分子中n 的最高幂次之差，通项为关于n 的一个有理分式的级数和相应的p-级数有相同的敛散性。本题中这一差数为１，故应和p=1的p-级数∑∞ =11 n n 做比较。解 n n n n n n n 1 322222222?=++≥+，而级数∑∞=?1)132(n n 与∑∞ =1 1n n 有相同的敛散性，即同时发散，故由比较审敛法，级数∑∞ =+1 222n n n 是收敛的。在例２中，由于级数的通项比较复杂，使得敛散性的判别过程较为复杂，为使比较审敛法的应用更为方便，给出其极限形式。

正项级数的根式判别法和比式判别法

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨目录摘要 ............................................................................................................................................................... I Abstract: ..................................................................................................................................................... I I 1 引言 . (3) 2正项级数相关概念 (3) 2.1 定义 (3) 2.2 正项级数敛散性判别的充要条件 (3) 2.3 三个重要比较级数 (4) 2.3.1 几何级数 (4) 2.3.2 调和级数 (5) 2.3.3 P-级数 (5) 3 正项级数敛散性判别法 (6) 3.1 判别发散的简单方法 (6) 3.2 比较判别法 (7) 3.2.1 定理及其推论 (7) 3.2.2 活用比较判别法 (9) 3.2.3 归纳总结 (11) 3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法 (12) 3.3.1 柯西判别法 (12) 3.3.2 达朗贝尔判别法 (13) 3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 (15) 3.4 拉贝判别法 (17)

3.5 积分判别法 (19) 3.6 两种新方法 (20) 3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 (23) 4 在判别级数敛散性中的作用 (23) 4.1 证明负项级数的敛散性 (23) 4.2 证明变号级数绝对收敛 (24) 4.3 证明函数级数收敛 (25) 5 结束语 (26) 致谢 (27) 参考文献: (27)

正项级数敛散性判别

正项级数敛散性的判别刘兵军无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。一．常数项级数的概念所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。对于数列 ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1 n n u ，即 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211， (1) 其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。级数(1)的前n 项的和构成的数列 n n u u u s +++= 21， ,3,2,1=n (2) 称为级数(1)的部分和数列。根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。定义如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞ →n n s lim s ，则称级数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。级数收敛的必要条件如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。二．正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。比较审敛法如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1( =≤n v u n n ，则∑∞ =1n n u 收敛；如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1( =≥n v u n n ，则∑∞ =1n n u 发散；比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。几何级数∑∞=-11n n aq 和p-级数∑∞ =11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。

数项级数的敛散性开题报告记录

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怀化学院本科毕业论文(设计)任务书论文题目数项级数的敛散性学生姓名系别数学系专业数学与应用数学指导老师姓名职称题目来源1.科学技术□ 2.生产实践□ 3.社会经济□4.自拟■ 5.其他□ 毕业论文（设计）内容要求： 1选题内容符合专业培养目标要求. 2主题突出，层次清晰，结构合理，无科学性错误，并能做一些适当的创新. 3文字简练、通顺，格式符合规范要求. 主要参考资料: [1]华东师范大学数学系.数学分析(下册)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2001. [2]同济大学应用数学系.高等数学(下册)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2002. [3]同济大学,天津大学,重庆大学等.高等数学(第四版)[M].北京:教育出版社,2003. [4]彭砚,陈铿羽.级数敛散性的根值判别法的推广[J].高等数学研究.2008,11(3):35～37. [5]汪晓勤.19世纪上半叶的无穷级数敛散性判别法[J].高等数学研究.2004:127～134. [6]李世金,赵洁.数学分析解题方法600例[M].上海:华东师范大学出版社.1992. 毕业论文（设计）工作计划： 1、2012.11.15 接受毕业论文任务； 2、2012.11.16-11.30 查阅文献资料,收集素材,完成开题报告书； 3、2012.12.1-2013.2.30 查阅论文所需的资料和文献,并进行论文的撰写工作，完成论文初稿； 4、2013.3.1-4.30 在指导老师的指导下修改、完善论文,论文定稿； 5、2013.5.1-5.10 深入专研论文，为论文答辩做好准备。接收任务日期 2012 年 11 月 15 日要求完成任务日期 2013 年 4 月 30 日学生（签名）年月日指导教师（签名）年月日系主任（签名）年月日说明：本表为学生毕业论文（设计）指导性文件，由指导教师填写，一式两份，一份交系（部）存档备查，一份发给学生。