正态分布,卡方分布,T分布

1。设X1服从以自由度为m的卡方分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，X1与X2独立，则F=（X1/m）/（X2/n）的分布就是自由度为m与n的F分布

2。设随机变量X1，X2独立且X1服从标准正态分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，则t=X1/根号（X2/n）的分布就是自由度为n的t分布、

在实际工作中，抽取足够多的样本容量进行调查意味着人力、物力和财力的增加，尤其对一些具有破坏性的试验来说也不宜抽取太多的样本容量。也就是说，对于大样本进行观察受到某些条件的限制。这里主要讨论t分布、>2分布和F

分布。

一、t-分布

关于t 分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉?西利?戈塞特（WillamSealy Gosset）在1900年进行的。

t分布是小样本分布，小样本分布一般是指n<30。t分布适用于当总体标准差R未知时用样本标准差s代替总体标准差R，由样本平均数推断总体平均数

以及2个小样本之间差异的显著性检验等。

从平均值为L、方差为R2的正态总体中抽取容量为n的一个样本，其样本平均数服从平均值为L，方差为R2/n的正态分布，因此，

。但是总体方差R2总是未知的，从而只能用s2来代替，

（1）如果n很大，那么，s2就是R2的一个较好的估计量，仍然是一个近似的标准正态分布；

（2）如果n较小，s2常常与R2的差异较大，因此，统计量就

不再是一个标准正态分布，而是服从t分布。

（一）t分布的性质

1、t分布是对称分布，且其均值为0。

2、当样本容量n较小时，t分布的方差大于1；当n增大到大于或等于30时，t分布的方差就趋近于1，t分布也就趋近于标准正态分布。

3、t分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都

为0。

4、与标准正态分布相比，t分布的中心部分较低，2个尾部较高。

5、变量t的取值范围在与之间。

t分布与标准正态分布的比较

（二）t分布的自由度

样本中独立观察值的个数（即样本容量）n减去1（由于样本要估计的总体参数的个数为1，即R2）。

如果用一个样本容量为n=20的样本估计总体平均数，那就要用14个自由度，以便选择适当的t分布。

（三）t分布表的使用

在使用t分布表时，必须同时具备置信度和自由度2 个条件。

置信度表示被估计的总体参数落入置信区间的概率。然而，t分布给出的是A 值，即表示所估计的总体参数不落入置信区间的概率，或落入置信区间以外的可能性。 A的数值是由100%减去给定的置信度后得到的。

查表时还要指定自由度。

t分布表使用的一个例子：

在99%的置信度下，对容量为14的样本作出一个估计。

解：从A=0.10那一栏下,找到自由度为13(n-1=14-1=13)那一行相交的数字,这个数字为1.771。数值1.771表明，如果从平均数两侧分别加减1.771个标准差，那么，在这两个界限之内曲线下的面积是99%，而有曲线面积之外是10%。如下图所示：

二、>2分布

>2分布的产生和适用范围简介：>2分布是海尔墨特（Hermert）和卡.皮尔生（K.Pearson)分别于1875年和1890年导出的。

它主要适用于对拟合优度检验和独立性检验，以及对总体方差的估计和检验等。

>2分布介绍：当我们对正态随机变量X随机地重复抽取n个数值，将每一个x 值变换成标准正态变量，并对这n个新的变量分别取平方再求和之后，就得到

一个服从自由度为n的>2分布。 >2分布的变量。即：

（一）分布具有以下几个特点：

1、>2分布是一个以自由度n为参数的分布族，自由度n决定了分布的形状，对于不同的n有不同的>2分布。

2、>2分布是一种非对称分布。一般为正偏分布。

3、>2分布的变量值始终为正。

4、分布的平均值为n，方差为2n。

（二）>2分布表的使用

在表体中给出的是与表的左端列中所列出的各具体自由度数相对应的>2值。该值所切断的>2分布的右端尾部所包括的面积的比例，列在表的上端横行中。

如果n=10，，

也就是说，对于9个自由度，得到的检验统计量>2的值大于或等于18.31的概率为5%.

三、F分布

F分布：F分布是以统计学家R.A.Fisher姓氏的第一个字母命名的.

F分布的用途：用于方差分析、协方差分析和回归分析等。

（一）F分布定义为:设X、Y为两个独立的随机变量，X服从自由度为k1的>2分布，Y服从自由度为k

2

的>2分布，这2个独立的>2分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布。即：

上式F服从第一自由度为k1，第二自由度为k2的F分布

（二）F分布的性质

1、它是一种非对称分布；

2、它有两个自由度，即n

1-1和n

2

-1，相应的分布记为F（ n

1

–1， n

2

-1）， n

1

–1

通常称为分子自由度，n

2

-1通常称为分母自由度；

3、F分布是一个以自由度n1–1和n2-1为参数的分布族，不同的自由度决定了F 分布的形状

χ2分布临界值表

2χ分布临界值表 ()(){}2P n n αχχα=2 1-> n 0.995 0.99 0.975 0.95 0.90 0.75 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 38 40 41 42 43 44 45 __ 0.010 0.072 0.207 0.412 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.601 5.142 5.697 6.265 6.844 7.434 8.034 8.643 9.260 9.886 10.520 11.160 11.808 12.461 13.121 13.787 14.458 15.134 15.815 16.501 17.192 17.887 18.586 19.289 19.996 20.707 21.421 22.138 22.859 23.584 24.311 __ 0.020 0.115 0.297 0.554 0.872 1.239 1.646 2.088 2.558 3.053 3.571 4.107 4.660 5.229 5.812 6.408 7.015 7.633 8.260 8.897 9.542 10.196 10.856 11.524 12.198 12.879 13.565 14.257 14.954 15.655 16.362 17.074 17.789 18.509 19.233 19.960 20.691 21.426 22.164 22.906 23.650 24.398 25.148 25.901 0.001 0.051 0.216 0.484 0.831 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.907 9.591 10.283 10.982 11.689 12.401 13.120 13.844 14.573 15.308 16.047 16.791 17.539 18.291 19.047 19.806 20.569 21.336 22.106 22.878 23.654 24.433 25.215 25.999 26.785 27.575 28.366 0.004 0.103 0.352 0.711 1.145 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 7.962 8.672 9.390 10.117 10.851 11.591 12.338 13.091 13.848 14.611 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493 19.281 20.072 20.867 21.664 22.465 23.269 24.075 24.884 25.695 26.509 27.326 28.144 28.965 29.987 30.612 0.016 0.211 0.584 1.064 1.610 2.204 2.833 3.490 4.168 4.865 5.578 6.304 7.042 7.790 8.547 9.312 10.085 10.865 11.651 12.443 13.240 14.042 14.848 15.659 16.473 17.292 18.114 18.939 19.768 20.599 21.434 22.271 23..100 23.952 24.797 25.643 26.492 27.343 28.196 29.051 29.907 30.765 31.625 32.487 33.350 0.102 0.575 1.213 1.923 2.675 3.455 4.255 5.071 5.899 6.737 7.584 8.438 9.299 10.165 11.037 11.912 12.792 13.675 14.562 15.452 16.344 17.240 18.137 19.037 19.939 20.843 21.749 22.657 23.567 24.478 25.390 26.304 27.219 28.136 29.054 29.973 30.893 31.815 32.737 33.660 34.585 35.510 36.436 37.363 38.291 1.323 2.773 4.108 5.385 6.626 7.841 9.037 10.219 11.389 12.549 1 3.701 1 4.845 1 5.984 17.117 18.245 19.369 20.489 21.605 22.718 23.828 24.935 2 6.039 2 7.141 2 8.241 2 9.339 30.435 31.528 32.620 33.711 34.800 35.887 36.973 38.058 39.141 40.223 41.304 42.383 43.462 44.539 45.616 46.692 47.766 48.840 49.913 50.985 2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.645 12.017 1 3.362 1 4.684 1 5.987 17275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412 29.615 30.813 32.007 33.196 34.382 35.563 3 6.741 3 7.916 39.087 40.256 41.422 42.585 43.745 44.903 46.059 47.212 4 8.363 4 9.513 50.660 51.805 52.949 54.090 55.230 56.369 57.505 3.841 5.991 7.815 9.488 11.071 12.592 1 4.067 1 5.507 1 6.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.966 26.296 2 7.587 2 8.869 30.144 31.410 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 44.985 46.194 47.400 48.602 4 9.802 50.998 52.192 53.384 54.572 55.758 56.942 58.124 59.304 60.481 61.656 5.024 7.378 9.348 11.143 12.833 14.449 1 6.013 1 7.535 19.023 20.483 21.920 23.337 24.736 16.119 27.488 2 8.845 30.191 31.526 32.852 34.170 35.479 36.781 38.076 3 9.364 40.646 41.923 43.194 44.461 45.722 46.979 48.232 49.480 50.725 51.966 53.203 54.437 55.668 56.896 58.120 59.342 60.561 61.777 62.990 64.201 65.410 6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 2 7.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 3 8.932 40.289 41.638 42.980 44.314 45.642 46.963 48.278 4 9.588 50.892 52.191 53.486 54.776 56.061 57.342 58.619 59.892 61.162 62.428 63.691 64.950 66.206 67.459 68.710 69.957 7.879 10.597 12.838 14.860 16.750 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.299 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 41.401 42.796 44.181 45.559 46.928 48.290 49.645 50.993 52.336 53.672 55.003 56.328 57.648 58.964 60.275 61.581 62.883 64.181 65.476 66.766 68.053 69.336 70.616 71.893 73.166

卡方分布表

WORD格式 x 2 分布临界值表（卡方分布） P n＇ 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.75 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 1 ????0.0 2 0.1 0.45 1.32 2.71 3.84 5.02 6.6 3 7.88 2 0.01 0.02 0.02 0.1 0.21 0.58 1.39 2.77 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6 3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 1.21 2.37 4.11 6.25 7.81 9.35 11.3 4 12.84 4 0.21 0.3 0.48 0.71 1.06 1.92 3.36 5.39 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 6 0.68 0.8 7 1.24 1.64 2.2 3.45 5.35 7.84 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 4.25 6.35 9.04 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.4 5.07 7.34 10.22 13.36 15.51 17.53 20.09 21.96 9 1.73 2.09 2.7 3.33 4.17 5.9 8.34 11.39 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 9.34 12.55 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 11 2.6 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 10.34 13.7 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 12 3.07 3.57 4.4 5.23 6.3 8.44 11.34 14.85 18.55 21.03 23.34 26.22 28.3 13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 9.3 12.34 15.98 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 10.17 13.34 17.12 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 15 4.6 5.23 6.27 7.26 8.55 11.04 14.34 18.25 22.31 25 27.49 30.58 32.8 16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.91 15.34 19.37 23.54 26.3 28.85 32 34.27 17 5.7 6.41 7.56 8.67 10.09 12.79 16.34 20.49 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 13.68 17.34 21.6 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 14.56 18.34 22.72 27.2 30.14 32.85 36.19 38.58 20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 15.45 19.34 23.83 28.41 31.41 34.17 37.57 40 21 8.03 8.9 10.28 11.59 13.24 16.34 20.34 24.93 29.62 32.67 35.48 38.93 41.4 22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 17.24 21.34 26.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.8 23 9.26 10.2 11.69 13.09 14.85 18.14 22.34 27.14 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18 24 9.89 10.86 12.4 13.85 15.66 19.04 23.34 28.24 33.2 36.42 39.36 42.98 45.56 25 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 19.94 24.34 29.34 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93 26 11.16 12.2 13.84 15.38 17.29 20.84 25.34 30.43 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29 27 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 21.75 26.34 31.53 36.74 40.11 43.19 46.96 49.64 28 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 22.66 27.34 32.62 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99 29 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 23.57 28.34 33.71 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34 30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.6 24.48 29.34 34.8 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67 40 20.71 22.16 24.43 26.51 29.05 33.66 39.34 45.62 51.8 55.76 59.34 63.69 66.77 50 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69 42.94 49.33 56.33 63.17 67.5 71.42 76.15 79.49 60 35.53 37.48 40.48 43.19 46.46 52.29 59.33 66.98 74.4 79.08 83.3 88.38 91.95 70 43.28 45.44 48.76 51.74 55.33 61.7 69.33 77.58 85.53 90.53 95.02 100.42 104.22 80 51.17 53.54 57.15 60.39 64.28 71.14 79.33 88.13 96.58 101.88 106.63 112.33 116.32 90 59.2 61.75 65.65 69.13 73.29 80.62 89.33 98.64 107.56 113.14 118.14 124.12 128.3 100 67.33 70.06 74.22 77.93 82.36 90.13 99.33 109.14 118.5 124.34 129.56 135.81 140.17 专业资料

卡方分布概念及表和查表方法

若n个相互独立的随机变量ξ?，ξ?，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。 目录 1简介 2定义 3性质 4概率表 简介 分布在数理统计中具有重要意义。分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。 定义 若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution）， 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。

对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。 性质 1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。 2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。 3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。 4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为 。 5) 分布的均数为自由度，记为 E( ) = 。 6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为 D( ) = 。 概率表 分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在 分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的自由度来表示， 查分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的值。如上图所示的单侧概率(7)=的查表方法就是，在第一列找到自由度7这一行，在第一行中找到概率这一列，行列的交叉处即是。 表中所给值直接只能查单侧概率值，可以变化一下来查双侧概率值。例如，要在自由度为7的卡方分布中，得到双侧概率为所对应的上下端点可以这样来考虑：双侧概率指的是在

卡方分布概念及表和查表方法

卡方分布概念及表和查表方法 若n个相互独立的随机变量ξ?，ξ?，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。 中文名卡方分布外文名chi-square distribution 别称西格玛分布提出者Friedrich Robert Helmert 提出时间1863应用学科统计学 目录 1 简介 2 定义 3 性质 4 概率表 简介 分布在数理统计中具有重要意义。分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。 定义 若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和

构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution）， 卡方分布 其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。记 为或者（其中，为限制条件数）。 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由 度很大时，分布近似为正态分布。 对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。 性质 1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。 2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。 3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。 4) 若互相独立，则：服 从分布，自由度为 。 5) 分布的均数为自由度，记为 E( ) = 。

卡方分布及其它分布

卡方分布 一、 卡方分布的定义： 若n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution ），其中参数 n 称为自由度。 二、 卡方分布的性质：: 2 代入（1），第一条结论可得证。直接计算可得 . 36,1,,1,3244 n i EX n i EX 于是 ,1,,1, 213)()(2 24 2 n i EX EX X Var i i i .42)()(2 242 n n n EX EX X Var

代 入 （ 2 ） 便 证 明 了 第 二 条 结 论 。 三、 卡方分布的概率密度函数： 当0,1 212x e x x n n 11 11212cos sin 2cos sin sin cos n n n n n n r x r x r x 与这变换相应的函数行列式为：

1 -n 111,,,,,r r r r r r r r x x n n 其中括号和 都表示1,,1 n 的函数。因此。当z>0时， C P z z 0dr r -1-n 2 n 22 r 21 z n n 0 12 22 z n n d n 0 212 12 22 1 即，2 的密度函数为

，其他当00,221 21222z e z n x f z n n z 称这个密度函数所定的分布为自由度为n 的2 分布，记作2 ）（n 。它的图像 如下： 图（一）2 分布密度函数图 四、卡方分布的累积分布函数为： dx x f x F x k 2 dx e x n x n n 2 122 221 22,2k x k x F k ， 其中γ(k,z)为不完全Gamma 函数。其图像如下：

f分布t分布与卡方分布

P(z)= 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30 时，t § 1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布 卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分 布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，ZH X ：的 i 分布称为自由度等于 n 的2分布，记作Z ?2(n),它的分 旳=石。?/ 2 分布是非对称分布'具有可加性'即当Y 与Z 相互独立，且 Y ? 2(n), Z ? 2(m)，贝U Y+Z ? 2 (n+m)。 证明：先令X i 、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1),再根据 2分布的定义以及上述随机变量 的相互独立性，令 Y =X 2+X 2+…+X 2, z=x n 1 +X n 2+…+X n m ， 即可得到 Y+Z ? 2(n+m) 2. t 分布若X 与Y 相互独立，且 X ?N(0,1) , Y ?2 (n)，贝U Z = X 丫的分布称为自由度 等于n 的t 分布，记作Z ?t (n)，它的分布密度 布密度 式中的.=0 称为Gamma?数，且 ■ 1 =1, Y+Z= X +X ■+1 2 n P ( z 0 其他, n .n -(n )

分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这 时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得 到。 3. F 分布若X 与Y 相互独立，且X ?2(n)，丫?2 (m), 则Z= X 丫的分布称为第一自由度等于 n 、第二自由度等于 n m m 的F 分布，记作 Z ?F (n, m),它的分布密度 n-i z2 - ,z 0 n m 2 2 0, 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度 的次序有关，当 Z ?F (n, m)时，—?F (m ,n) Z 4. t 分布与F 分布的关系 12； Y=X 2 的分布函数 F Y (y ) =P{YV y }=P{X 2 0 时，F y (y ) =P{- y

f分布t分布与卡方分布

布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 2 当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的 i 2 (n)，它的分 分布称为自由度等于 布密度 p(z )= n 的 1 A n X 22- n 2 0, n -1 .+处 2 -u , 0u 2e du , 2分布，记作Z z _2 e 其他, 称为Gamma 函数，且】1 =1， 式中的『-=I 2分布是非对称分布，具有可加性，即当 丫与Z _I - = n 。 2 相互独立，且丫 2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z ?2(n+m )。 Y+Z= X + §1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布 卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分 证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2 分布的定义以及上述随机变 量的相互独立性，令 丫=X 2 +X 2+…+X -, z=x 备+X 2+2+… +X n+m ， 即可得到丫+Z ?2(n +m )。 2. t 分布若X 与丫相互独立，且 X ?N(0,1) , 丫?2(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度

等于n的t分布，记作Z?t (n),它的分布密度 ；z2 V .n丿n 1 ~Y。 ”心L P(z)=―；= 时(殳)I 请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。 3. F分布若X与丫相互独立，且X?2(n)，丫?2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于 n m m的F分布，记作Z?F (n, m)，它的分布密度 2

卡方分布标准表格.doc

文地址 x2分布界表（卡方分布） P n＇ 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.75 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 1 ????0.0 2 0.1 0.45 1.32 2.71 3.84 5.02 6.6 3 7.88 2 0.01 0.02 0.02 0.1 0.21 0.58 1.39 2.77 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6 3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 1.21 2.37 4.11 6.25 7.81 9.35 11.3 4 12.84 4 0.21 0.3 0.48 0.71 1.06 1.92 3.36 5.39 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 6 0.68 0.8 7 1.24 1.64 2.2 3.45 5.35 7.84 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 4.25 6.35 9.04 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.4 5.07 7.34 10.22 13.36 15.51 17.53 20.09 21.96

9 1.73 2.09 2.7 3.33 4.17 5.9 8.34 11.39 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 9.34 12.55 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 11 2.6 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 10.34 13.7 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 12 3.07 3.57 4.4 5.23 6.3 8.44 11.34 14.85 18.55 21.03 23.34 26.22 28.3 13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 9.3 12.34 15.98 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 10.17 13.34 17.12 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 15 4.6 5.23 6.27 7.26 8.55 11.04 14.34 18.25 22.31 25 27.49 30.58 32.8 16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.91 15.34 19.37 23.54 26.3 28.85 32 34.27 17 5.7 6.41 7.56 8.67 10.09 12.79 16.34 20.49 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 13.68 17.34 21.6 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 14.56 18.34 22.72 27.2 30.14 32.85 36.19 38.58

f分布t分布和卡方分布

§1、4 常用得分布及其分位数 1、 卡平方分布 卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。 当X 1、X 2、…、 Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑i i X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度 p(z )=???????>??? ??Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得??? ??Γ2n =u d e u u n ?∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1， ?? ? ??Γ21=π。2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、 X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令 Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， 即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。 2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且 X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X 得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n n n ΓΓ+2121+-???? ??+n n z 。

请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。 3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X 得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=???? ?????>++-??? ??Γ??? ??Γ??? ??+Γ?。其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m m n n 请注意：F 分布也就是非对称分布，它得分布密度与自由度得次序有关，当Z ～F (n , m )时， Z 1～F (m ,n )。 4、 t 分布与F 分布得关系 若X ～t(n )，则Y=X 2～F(1,n )。 证：X ～t(n )，X 得分布密度p(x )=??? ??Γ?? ? ??+Γ221n n n π2121+-???? ??+n n x 。 Y=X 2得分布函数F Y (y ) =P{Y0时，F Y (y ) =P{-y

(完整word版)卡方分布概念及表和查表方法

卡方分布概念及表和查表方法 目录 1简介 2定义 3性质 4概率表 简介 分布在数理统计中具有重要意义。分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。 定义 若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和 构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution）， 卡方分布

其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。记为或者（其中，为限制条件数）。 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。 对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。 性质 1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。 2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。 3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。 4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为 。 5) 分布的均数为自由度，记为E( ) = 。 6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为D( ) = 。 概率表 分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在 分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的自由度来表示， 卡方分布临界值表 在分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同P 值一样，列出概率值，只不过这里的概率值是值以上分布曲线以下的概率。由于分布概率表中要列出很多分布的概率值，所以分布中所给出的P 值就不象标准正态分布中那样给出了400个不同的P 值，而只给出了有代表性的13个值，因此分布概率表的精度就更差，不过给出了常用的几个值，足够在实际中使用了。

f分布t分布和卡方分布.docx

即可得到丫+Z ?2(n +m ) 2. t 分布若X 与Y 相互独立，且 X ?N(0,1), Y ?2(n ),贝U Z = X Y 等于n 的t 分布，记作Z ?t (n )，它的分布密 度 § 1.4常用的分布及其分位数 1.卡平方分布 卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分 布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 2 当X 1、X 2、...、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=V X i 的 i 2 (n),它的分 分布称为自由度等于 n 的 ? n 1 2 ------------- -- X 12丿 ? 0, ■：： n ^1 -U , U e du , 布密度 P(Z )= 式中的：n = 0 一 l , 、2 .丿 相互独立，且Y 证明：先令X 1、 X 2、 (2) 分布，记作Z Z ^2 其他I 称为Gamma 函数，且】1 =1 , 2 分布是非对称分布，具有可加性，即当 Y 与Z 2 (m ),则 Y+Z 2 (n+m )o 2 (n ), Z ?、X n 、X n +1、X n+2、…、X n+m 相 互独 2 分布的定义以及上述随机变量 立且都服从N(0,1),再根据 的相互独立性，令 Y=X 2+X 2 + ... +X n , Z=X 21+x n 2 + ??? +X n m , Y+Z= X + 22 X + +χ2+χn 1+χ2 2+- +χn m , n 1 2 的分布称为自由度

2 Y=X 的分布密度p γ(y )= (2 八2 丿(n+y) 2 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30时，t 分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。 这时， t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。 3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且 X ?2(n ), Y ?2(m ), 则Z= X Y 的分布称为第一自由度等于 n 、第二自由度等于 n / m m 的F 分布，记作Z ?F (n , m ),它的分布密度 -1 z2 _____ n + m , 4. t 分布与F 分布的关系 2 若 X ?t(n )，则 Y=X ?F(1,n )o Y=X 2的分布函数 F γ(y ) =P{Y< y }=P{x 20 时，F γ(y ) =P{- y

利用Excel的CHIINV函数编制卡方分布表

利用Excel的CHIINV函数编制卡方分布表 董大钧 卡方分布(Chi-square Distribution)是常用的一种概率分布。若n个独立的随机变量均服从标准正态分布,则这n个随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为服从自由度为ν的χ2分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。 χ2分布具有可加性：若有K个服从χ2分布且相互独立的随机变量，则它们之和仍是χ2分布，新的χ2分布的自由度为原来K个χ2分布自由度之和。 卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。 卡方分布的概率密度曲线如图1所示： 图1 卡方分布的概率密度曲线 在对实验数据进行卡方分析时，需要查找卡方分布表，在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布的概率值表。然而查表很不方便，使用Excel的CHIINV函数可以获得卡方分布的概率值。 函数格式： CHIINV（概率，自由度） 在Excel中，可以利用CHIINV函数生成卡方分布表。在下面的Excel表格中，第3行为显著性水平α，如B3、C3、D3、E3分别为0.1、0.05、0.025、0.01；A列为自由度，A4为1，A5为2，选定A4、A5，向下拉动填充柄，得到连续的整数。B4单元格中公式为 = CHIINV(B$3, $A4 ) 这里，B4单元格公式中地址引用使用了混合地址，B$3锚定了第3行，以保证不管公式复制到那一行的单元格，都使用该列第3行的值；$A4锚定了A列相应的行（自由度）。回车后显示为2.705544。 选中B3单元格，向右拖动填充柄，复制公式至E列，再向下拖动填充柄，到需要的行。 选中B4:E18整块区域，设定小数位为6位小数。以保证所有的函数值都为6位小数，结果如图2所示。这样就可得到卡方分布表。 实际应用中，可根据α与ν，使用CHIINV(α,ν)得到需要的卡方值，不必再查表，方便了数据处理分析。

卡方分布使用表.docx

x2分布临界值表（卡方分布） P n＇ 0.995 0.990.975 0.950.90.750.50.250.10.050.0250.010.005 1????0.020.10.45 1.32 2.71 3.84 5.02 6.637.88 20.010.020.020.10.210.58 1.39 2.77 4.61 5.997.389.2110.6 30.070.110.220.350.58 1.21 2.37 4.11 6.257.819.3511.3412.84 40.210.30.480.71 1.06 1.92 3.36 5.397.789.4911.1413.2814.86 50.410.550.83 1.15 1.61 2.67 4.35 6.639.2411.0712.8315.0916.75 60.680.87 1.24 1.64 2.2 3.45 5.357.8410.6412.5914.4516.8118.55 70.99 1.24 1.69 2.17 2.83 4.25 6.359.0412.0214.0716.0118.4820.28 8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.4 5.077.3410.2213.3615.5117.5320.0921.96 9 1.73 2.09 2.7 3.33 4.17 5.98.3411.3914.6816.9219.0221.6723.59 10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.749.3412.5515.9918.3120.4823.2125.19 11 2.6 3.05 3.82 4.57 5.587.5810.34 13.717.2819.6821.9224.7226.76 12 3.07 3.57 4.4 5.23 6.38.4411.34 14.8518.5521.0323.3426.2228.3 13 3.57 4.11 5.01 5.897.049.312.34 15.9819.8122.3624.7427.6929.82 14 4.07 4.66 5.63 6.577.7910.17 13.34 17.1221.0623.6826.1229.1431.32 15 4.6 5.23 6.277.268.5511.04 14.34 18.2522.312527.4930.5832.8 16 5.14 5.81 6.917.969.3111.91 15.34 19.3723.5426.328.853234.27 17 5.7 6.417.568.6710.09 12.79 16.34 20.4924.7727.5930.1933.4135.72 18 6.267.018.239.3910.86 13.68 17.34 21.625.9928.8731.5334.8137.16 19 6.847.638.9110.12 11.65 14.56 18.34 22.7227.230.1432.8536.1938.58 207.438.269.5910.85 12.44 15.45 19.34 23.8328.4131.4134.1737.5740 218.038.910.28 11.59 13.24 16.34 20.34 24.9329.6232.6735.4838.9341.4 228.649.5410.98 12.34 14.04 17.24 21.34 26.0430.8133.9236.7840.2942.8 239.2610.211.69 13.09 14.85 18.14 22.34 27.1432.0135.1738.0841.6444.18 249.8910.86 12.413.85 15.66 19.04 23.34 28.2433.236.4239.3642.9845.56 2510.5211.52 13.12 14.6116.4719.94 24.3429.3434.3837.6540.6544.3146.93 2611.1612.213.84 15.38 17.29 20.84 25.34 30.4335.5638.8941.9245.6448.29 2711.8112.88 14.57 16.1518.1121.75 26.3431.5336.7440.1143.1946.9649.64 2812.4613.56 15.31 16.9318.9422.66 27.3432.6237.9241.3444.4648.2850.99 2913.1214.26 16.05 17.7119.7723.57 28.3433.7139.0942.5645.7249.5952.34 3013.7914.95 16.79 18.4920.624.48 29.34 34.840.2643.7746.9850.8953.67 4020.7122.16 24.43 26.5129.0533.66 39.3445.6251.855.7659.3463.6966.77 5027.9929.71 32.36 34.7637.6942.94 49.3356.3363.1767.571.4276.1579.49 6035.5337.48 40.48 43.1946.4652.29 59.3366.9874.479.0883.388.3891.95 7043.2845.44 48.76 51.7455.3361.769.33 77.5885.5390.5395.02100.42 104.22 8051.1753.54 57.15 60.3964.2871.14 79.3388.1396.58101.88 106.63 112.33 116.32 9059.261.75 65.65 69.1373.2980.62 89.3398.64107.56 113.14 118.14 124.12 128.3 10067.3370.06 74.22 77.9382.3690.13 99.33109.14 118.5124.34 129.56 135.81 140.17