将军饮马问题 (2)

将军饮马问题

类型一、基本模式

类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）

2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上

的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．

【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河

OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．

3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?

4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小

5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）

A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24

6. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.

7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.

8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______.

练习

1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．

2、 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓

库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？

a

B

A

3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．

4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．

N

M

D

C

B A

5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。

6、如图，直角坐标系中有两点A 、B,在坐标轴上找两点C 、D,使得四边形ABCD 的周长最小。

.A

. B

7、如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？

8、4)9(122+-++=

x x y ,当x 为何值时，

y 的值最小，并求出这个最小值.

最值问题之将军饮马

最值问题之将军饮马学生姓名：年级： 科目： . 任课教师：日期： 时段： .

将军饮马问题 模型1两定一动 例：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点 则DN+MN的最小值为（） A:6 B:8 C:2 D:10 解析：第一步—找：找定点、动点、动点所在的直线 第二步—作：作定点关于动点所在直线的对称点（从对称性入手） 第三步—连：连接对称点与另一个点 第四步—求：求解（一般勾股定理求解） 模型2一定两动 例：如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（） A．10 B．8 C．5 D．6 解析：第一步—找：找定点、动点、动点所在的直线 第二步—作：作定点关于动点所在直线的对称点（从对称性入手） 第三步—连：连接对称点与另一个点 第四步—造：构造垂直 第五步—求：求解（一般等积法或相似求解）

模型3求四边形的周长最小值 例：如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ． 解析：本题要求四边形周长最小值。因为AB、PN是定长，问题转化为求PA+NB的最小值，跟模型1类似，所以我们需要平移确定交点，转换成模型1去讲解 模型4 一定点、两定直线 例：点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小？ 解析：第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2 第二步：联结P1P2，交OM、ON于点A、点B 跟踪练习 1.如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN的周长的最小值为．

2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马 -含答案

【模型解析】 2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马 班级姓名 . 总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定； 方法：作定点关于动点所在直线的对称点。 【例题分析】 例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为( 1 ，0)，点 2 P 为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC 的最小值为． 例 2.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE 上分别找一点M、N． (1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝； (2)求△AMN 的周长最小值． 例3.如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在边BC 上且CE＝1，长为 2 的线段MN 在AC 上运动． (1)求四边形BMNE 周长最小值； (2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC 的值为．

例4.在平面直角坐标系中，已知点A(一 2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标． 例5.如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P 为y 轴上的一个动点，M、N 为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN 的最小值为． 【巩固训练】 1.如图1 所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为． 图1 图2 图3 图4 2.如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P 分别是边AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是． 3.如图3，在边长为2 的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE＋DE 的最小值为． 4.如图 4，钝角三角形ABC 的面积为 9，最长边AB＝6，BD 平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM＋MN 的最小值为． 5.如图5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点D、E 分别为AM、AB 上的动点， ＝6，则BD＋DE的最小值为 (1)若AC＝4，S △ABC (2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE 的最小值为． (3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE 的最小值为．

将军饮马系列---最值问题教案资料

将军饮马系列---最 值问题

1.两点之间，线段最短． 2.点到直线的距离，垂线段最短． 3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边． 4.A B 、分别为同一圆心O 半径不等的两个圆上的一点，R r AB R r -≤≤+ 当且仅当A B O 、、三点共线时能取等号． 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦． 有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题． 下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短． 若A B 、 在河流的异侧，直接连接AB ，AB 与l 的交点即为所求． 若A B 、 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解． “将军饮马”系列最值问题 知识回顾 知识讲解

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质： 把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC ?是轴对称图形． 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 如下图，ABC ?关于直线l对称，l叫做对称轴．A和'A，B和'B，C和'C ?与''' A B C 是对称点．

将军饮马系列---最值问题

实用标准 “将军饮马”系列最值问题 1. 两点之间，线段最短. 2. 点到直线的距离，垂线段最短. 3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边. - 知识讲解 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题: 饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索, 作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题. F 面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题. 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短. 若A 、B 在河流的异侧，直接连接 AB , AB 与I 的交点即为所求. 若A 、B 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解. 4. A B 分别为同一圆心0半径不等的两个圆上的一点， 如图，将军从A 出发到河边

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质: 把一个图形沿某一条直线折叠， 如果直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形就叫做轴对称图 形.这条直线就是它的对称轴. 这时我们就说这个图形关于这条直线 （或轴）对称.如等腰 ABC 是轴对 称图形. 把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就是说这两个图形关于这条 直线对称，这 条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 如下图， ABC 与 A'B'C'关于直线I 对称，I 叫做对称轴.A 和A , B 和B' , C 和C'是对称点. 轴对称的两个图形有如下性质: ① 关于某条直线对称的两个图形是全等形; ② 对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线; ③ 两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 线段垂直平分线: 垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等; 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. AP-aP^A B

人教版数学八年级上册将军饮马—最短路径最值问题教学设计

将军饮马—最短路径最值问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问 题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题—— “将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历 将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作， 经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间， 数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的 理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与 能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作 用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的 两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对

中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)

中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等） 一、基本图形 最值问题在几何图形中分两大类： ①[定点到定点]：两点之间，线段最短； ②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边； ④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短； ⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）； ⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短； ⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。 举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。 证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。

上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。 类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。 简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。

2020中考将军饮马+变式最值

讲“将军饮马”型最值问题

例 1 （中考题 - 改编）如图，已知点 A（-4 ，8）和点 B（2 ，n ）在抛物线y ax2上. （ 1 ）求 a 的值； （2）在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+BQ 最短，求出点 Q 的坐标； （3 ）平移抛物线，记平移后 A 的对应点为A，点 B 的对应点为B ，当抛物线向左平移到某个位置时，AC CB 最短，求此时抛物线的函数解析式

例 2 如图，抛物线y 3x2 18x 3和 y 轴的交点为 A，M 为OA 的中点，若有一动点 P，自 M 点处出发，55 沿直线运动到 x 轴上的某点（设为点 E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直 例 3 （2017 花都一模 16 题）如图，四边形 ABCD 中，∠ BAD=120 °，∠ B= ∠ D=90 °，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使△ AMN 周长最小时，则∠ AMN+ ∠ANM 的度数为 . 例 4 如图，∠ MON=20 °， A 为射线 OM 上一点， OA=4 ， D 为射线 ON 上一点， OD=8 ， C 为射线 AM 上线运动到点 A ，求使点 P 运动的总路程最短的点 E，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长 .

任意一点， B 是线段 OD 上任意一点，那么折线 ABCD 的长 AB+BC+CD 的最小值是 . 例 5 如图，在平面直角坐标系中， Rt △ OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（ 3 ，3 ），1 点 C的坐标为（，0），点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA＋PC 的最小值为 __________ ． 2

(完整版)将军饮马系列最值问题-教师版

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题 将军饮马”系列最值问题 1. 两点之间，线段最短． 2. 点到直线的距离，垂线段最短． 3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边． 4. A 、B 分别为同一圆心 O 半径不等的两个圆上的一 点， 当且仅当 A 、B 、O 三点共线时能取等号 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦． 有一天， 有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题： 如图，将军从 A 出发到河边 饮马，然后再到 B 地军营视察， 显然有许多走法． 问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索， 便 作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题． 下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短． 若 A 、B 在河流的异侧，直接连接 AB ， AB 与 l 的交点即为所求． 知识回顾 R r AB R

若A 、B 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质： 把一个图形沿某一条直线折叠， 如果直线两旁的部分能够互相重合， 形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线 称图形． 把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 如下图， ABC 与 A' B' C '关于直线 l 对称， l 叫做对称轴． A 和A'，B 和B'，C 和C'是对称点． 轴对称的两个图形有如下性质： ① 关于某条直线对称的两个图形是全等形； ② 对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线； ③ 两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上． 那么这个图形就叫做轴对称图 （或轴）对称．如等腰 ABC 是轴对 那么就是说这两个图形关于这条

中考数学压轴题专题复习：将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练

将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练知识链接 几何中最值问题的解题思路 轴对称最值图形 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动点， 求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l 上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P 为直线l上的一个动点，求 |AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定直 线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后 作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线 l的对称点 折叠最值图形 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 例题精讲 例、如图，直线y=kx+b交x轴于点A（-1，0），交y轴于点B（0，4），过A、B两点的抛物线交x 轴于另一点C． （1）直线的解析式为_______； （2）在该抛物线的对称轴上有一点动P，连接PA、PB，若测得PA+PB的最小值为5，求此抛物线的解析式及点P的坐标； （3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

题型强化 1、在平面直角坐标系中，已知 2 12 y x bx c （b 、c 为常数）的顶点为 P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的 坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过 A 、 B 两点，求抛物线的解析式． （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上并沿AC 方向滑动距离为 2时，试证明：平移后的抛物线与 直线AC 交于x 轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为 Q ，取BC 的中点N ，试探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

(精品)将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题 问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 基本模型 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱

将军饮马系列---最值问题

1.两点之间，线段最短． 2.点到直线的距离，垂线段最短． 3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边． 4.A B 、分别为同一圆心O 半径不等的两个圆上的一点，R r AB R r -≤≤+ 当且仅当A B O 、、三点共线时能取等号． 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦． 有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题． 下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短． 若A B 、 在河流的异侧，直接连接AB ，AB 与l 的交点即为所求． 若A B 、 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解． “将军饮马”系列最值问题 知识回顾 知识讲解

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质： 把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC ?是轴对称图形． 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 如下图，ABC ?与'''A B C ?关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是对称点． 轴对称的两个图形有如下性质： ①关于某条直线对称的两个图形是全等形； ②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)

专题64 将军饮马模型与最值问题 【模型引入】 什么是将军饮马？ “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【模型描述】 如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 【模型抽象】 如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？ 这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB 当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短） A B 将军军营 河

【模型展示】 【模型】一、两定一动之点点 在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小． 此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小． 【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________． 【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ． 当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8． B B P O B A M N P'' A

-将军饮马系列---最值问题

1.两点之间，线段最短． 2.点到直线的距离，垂线段最短． 3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边． 4.A B 、分别为同一圆心O 半径不等的两个圆上的一点，R r AB R r -≤≤+ 当且仅当A B O 、、三点共线时能取等号． 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦． 有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题． 下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短． 若A B 、 在河流的异侧，直接连接AB ，AB 与l 的交点即为所求． 若A B 、 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解． “将军饮马”系列最值问题 知识回顾 知识讲解

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质： 把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC ?是轴对称图形． 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 如下图，ABC ?与'''A B C ?关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是对称点． 轴对称的两个图形有如下性质： ①关于某条直线对称的两个图形是全等形； ②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

最短路径(将军饮马)问题

最短路径（将军饮马）问题与拓展 相关定理或公理：①线段公理：两点之间，线段最短。由此可以推出两边之和大于第三边； ②垂线段性质：垂线段最短。 问题提出： 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。 如图，将军在观望烽火后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后 再走到B 点的营地。怎样走才能使总的路程最短？ 模型【1】一定直线，异侧两定点 已知：直线l 和它异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小 模型【2】一定直线，同侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小 模型【3】两定直线，两定点 已知：∠MON 内部有两点P 、Q ，在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使四边形PQBA 周长最小 A l A

模型【4】两定直线，一定点 已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使△PAB 周长最小 模型【5】两定直线，一定点 已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使AB ＋PB 最小 注意：模型4与模型5的联系与区别 变式：线段之差最大问题 模型【6】一定直线，同侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使︱PA －PB ︱最大 模型【7】一定直线，异侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使︱PA －PB ︱最大 O N l A

造桥选址问题 利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。 原题再现 如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）。（人教版八年级上册第86页） 变式拓展 模型【8】一定直线及直线上一长度不变的线段，同侧两定点 已知：直线l和它同侧两点A、B，在直线求作一条线段CD（长度不变），使AC＋CD＋DB最小 巩固练习 1、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝110°，在BC上存在一点M，在CD上存在点N，使△AMN的周长最短，则∠MAN的度数为； l B

中考数学最值问题总复习：将军饮马问题----两线段和最小值题型专题训练

将军饮马问题----两线段和最小值题型专题训练 【学习目标】 1.利用对称变换、平移变换解决有关最值问题； 2.体会“转化”、“数形结合”的数学思想在解决综合题中的作用. 【学习重、难点】利用对称变换、平移变换解决有关最值问题. 一、问题引入： 【题型一】(“将军饮马”问题) 在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦．有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？ 跟踪练习：如图3，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上 的一动点，DN+MN的最小值为． 【题型二】(“过桥问题”——北师大版数学教材八年级下册第90页第18题改编) 如图4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁A处与B处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）． 跟踪练习：如图5，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点． 若E、F为边OA上的两个动点（E在F左侧），且EF=2，当四边形CDEF的 周长最小时，点E、F的坐标分别为、． 二、问题解决： 如图6，已知抛物线的解析式为y=-x2-2x+8，对称轴 为x=-1，点E(1，5)在抛物线上，抛物线与x轴的交点坐标为：A(2，0)；B(-4，0)． *（1）作点E关于对称轴的对称点F，则点F(填“在”或“不在”) 抛物线上，其坐标为； **（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使M E+MC的和最小，求出点此 时M的坐标； ***（3）在AB上存在两个动点P、Q(点P在Q的左侧)，且PQ=2，连接 QC、FP，当四边形PQCF周长最小时，求点P的坐标； ****（4）若点D是抛物线上的一个动点，连接AD、OD，将△AOD绕OD 折叠，使得点A落在A’处，连接CA’求CA’的最大值和最小值. 图6 l1 图4l2 图2 图1 图3 备用图

2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马及答案

【模型解析】 2020 中考数学专题 8——最值问题之将军饮马 班级姓名 . 总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定； 方法：作定点关于动点所在直线的对称点。 【例题分析】 例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为( 1 ，0)，点 2 P 为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC 的最小值为． 例 2.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE 上分别找一点M、N． (1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝； (2)求△AMN 的周长最小值． 例3.如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在边BC 上且CE＝1，长为 2 的线段MN 在AC 上运动． (1)求四边形BMNE 周长最小值； (2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC 的值为．

例4.在平面直角坐标系中，已知点A(一 2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标． 例5.如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P 为y 轴上的一个动点，M、N 为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN 的最小值为． 【巩固训练】 1.如图1 所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为． 图1 图2 图3 图4 2.如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P 分别是边AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是． 3.如图3，在边长为2 的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE＋DE 的最小值为． 4.如图 4，钝角三角形ABC 的面积为 9，最长边AB＝6，BD 平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM＋MN 的最小值为． 5.如图5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点D、E 分别为AM、AB 上的动点， ＝6，则BD＋DE的最小值为 (1)若AC＝4，S △ABC (2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE 的最小值为． (3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE 的最小值为．

中考数学复习专题最值问题1-将军饮马(20页)word版

最值系列之——将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ A B 将军 军营 河 【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？ 【问题分析】 这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB

当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【思路概述】 作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．

二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． B B 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． P O B A M N 【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N +MN+P’’M． P'' A 当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8． A

中考数学复习：“将军饮马”类题型大全

“将军饮马”类题型大全 一．求线段和最值 1（一）两定一动型 例1： 如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P是EF 上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m． 分析： 这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答： 作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m． 变式： 如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________．

分析： 考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度． 解答： 连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3. 2 （二）一定两动型 例2： 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E 为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．

专题一 将军饮马中两定一动模型与最值问题 2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题(解析版)

2020年中考数冲刺难点突破将军饮马与最值问题 专题一将军饮马中两定一动模型与最值问题 【专题说明】 这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。 1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】 在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.

【答案】10 【详解】 解：如图： 连接DE 交AC 于点P ，此时PD ＝PB ， PB +PE ＝PD +PE ＝DE 为其最小值， ∵四边形ABCD 为正方形，且BE ＝2，AB ＝8， ∵∵DAB ＝90°，AD ＝AB ＝8，AE ＝AB -BE ＝6， 在Rt∵ADE 中，根据勾股定理，得 DE ＝22AD AE + ＝2286+ ＝10． ∵PB +PE 的最小值为10． 故答案为10． 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD x ⊥轴，反比例函数(0)k y x x =>的图象经过点A ，点D 的坐标为(3,0)，AB BD =． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P 为y 轴上一动点，当PA PB +的值最小时，求出点P 的坐标．

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（2）过点B 作BE AD ⊥垂足为E ， ∵90B =o ∠，AB BD =，BE AD ⊥ ∵1322 AE ED AD ===， ∵39322OD BE +=+ =， ∵93(,)22B ， 则点B 关于y 轴的对称点193(,)22 B -，直线1AB 与y 轴的交点就是所求点P ，此时PA PB +最小， 设直线AB 1的关系式为y kx b =+，将 (3,3)A ,193(,)22B - ，代入得， 33932 2k b k +=???-+=?? 解得：15k =，125b =， ∵直线1AB 的关系式为11255 y x =+， 当0x =时，125 y =， ∵点12(0,)5 P 答：点P 的坐标为12(0, )5． 点C ，点D 是该抛物线的顶点．