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高考第一轮复习数学：14.2 导数的应用

14.2 导数的应用

●知识梳理

1.函数的单调性

（1）设函数y=f（x）在某个区间内可导,若f′（x）＞0,则f（x）为增函数;若f′（x）＜0,则f（x）为减函数.

（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法.

①确定函数f（x）的定义区间.

②求f′（x）,令f′（x）=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.

③把函数f（x）的间断点〔即包括f（x）的无定义点〕的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.

④确定f′（x）在各小开区间内的符号,根据f′（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性.

2.可导函数的极值

（1）极值的概念

设函数f（x）在点x0附近有定义,且若对x0附近所有的点都有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0））,则称f（x0）为函数的一个极大（小）值,称x0为极大（小）值点.

（2）求可导函数f（x）极值的步骤.

①求导数f′（x）.

②求方程f′（x）=0的根.

③检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值.

3.函数的最大值与最小值

（1）设y=f（x）是定义在区间［a,b］上的函数,y=f（x）在（a,b）内有导数,求函数y=f （x）在［a,b］上的最大值与最小值,可分两步进行.

①求y=f（x）在（a,b）内的极值.

②将y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

（2）若函数f（x）在［a,b］上单调增加,则f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值;若函数f（a）在［a,b］上单调递减,则f（a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值.

特别提示

我们把使导函数f′（x）取值为0的点称为函数f（x）的驻点,那么

（1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f′（0）根本不存在,所以点x=0不是f（x）的驻点.

（2）可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0,即点x=0是f（x）=x3的驻点,但从f（x）在（－∞, +∞）上为增函数可知,点x=0不是f（x）的极值点.

●点击双基

1.（2005年海淀区高三第一学期期末模拟）函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数

A.（

2π,2π3） B.（π,2π） C.（2π3, 2

π5） D.（2π,3π）

解析：y ′=（x sin x +cos x ）′=sin x +x cos x －sin x =x cos x , 当x ∈（

2π3,2

5）时,恒有x cos x ＞0. 答案：C

2.函数y =1+3x －x 3有 A.极小值－2,极大值2 B.极小值－2,极大值3 C.极小值－1,极大值1 D.极小值－1,极大值3

解析：y ′=3－3x 2=3（1+x ）（1－x ）.

令y ′=0得x 1=－1,x 2=1.当x ＜－1时,y ′＜0,函数y =1+3x －x 3是减函数;当－1＜x ＜1时, y ′＞0,函数y =1+3x －x 3是增函数;当x ＞1时,y ′＜0,函数y =1+3x －x 3是减函数.

∴当x =－1时,函数y =1+3x －x 3有极小值－1;当x =1时,函数y =1+3x －x 3有极大值3. 答案：D

3.设f （x ）在（a ,b ）内有定义，x 0∈（a ,b ），当x ＜x 0时，f ′（x ）＞0;当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0.则x 0是

A.间断点

B.极小值点

C.极大值点

D.不一定是极值点解析:f （x ）在x 0处不一定连续. 答案:D

4.函数f （x ）=ｅx ＋ｅ－

x 在（０，＋∞）上的单调性是__________.

解析:∵f ′（x ）=e x －e －x =e －

x （e 2x －1）,∴当x ∈（0,+∞）时，f ′（x ）＞0. ∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数. 答案:增函数 5.若函数f （x ）=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是______________ _____________________.

解析:f ′（x ）=3x 2+2x +m .∵f （x ）在R 上是单调递增函数, ∴f ′（x ）＞0在R 上恒成立，即3x 2+2x +m ＞0.

由Δ=4－4×3m ＜0,得m ＞3

1. 答案:m ＞

1 ●典例剖析

【例1】求函数y =342+-+x x 的值域.

剖析:求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求

解，也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解.

解:函数的定义域由?

??≥+≥+030

42x x 求得x ≥－2.

求导得y ′=

21+x －

21+x

4224232+?++-+x x x x .

由y ′＞0得23+x ＞42+x ,

即??

??+>+>+>+,42)3(4030

42x x x x 解得x ＞－2,即函数y =42+x －3+x 在（－2,+∞）上是增函数.

又此函数在x =－2处连续,∴在［－2,+∞）上是增函数，而f （－2）=－1. ∴函数y =42+x －3+x 的值域是［－1,+∞）.

评述:函数y =f （x ）在（a ,b ）上为单调函数，当在［a ,b ］上连续时，y =f （x ）在［a ,b ］上也是单调函数.

【例2】已知f （x ）=ax 3+bx 2+cx （a ≠0）在x =±1时取得极值，且f （1）=－1, （1）试求常数a 、b 、c 的值；

（2）试判断x =±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由.

剖析:考查函数f （x ）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f ′（x ）=0的根建立起由极值点x =±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a 、b 、c 的值.

（1）解法一:f ′（x ）=3ax 2+2bx +c ,∵x =±1是函数的极值点, ∴x =±1是方程3ax 2+2bx +c =0的两根. 由根与系数的关系知??????

?-==-②

①

13,032a

c a b 又f （1）=－1,∴a +b +c =－1.

③ 由①②③解得a =

21,b =0,c =－2

3. 解法二:由f ′（1）=f ′（－1）=0,

得3a +2b +c =0,

①

3a －2b +c =0.

②

又f （1）=－1,∴a +b +c =－1. ③

由①②③解得a =

21,b =0,c =－23

. （2）解:f （x ）=21x 3－23x ,∴f ′（x ）=23 x 2－23=2

（x －1）（x +1）.

当x ＜－1或x ＞1时,f ′（x ）＞0;当－1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0.

∴x =－1时，f （x ）有极大值；x =1时,f （x ）有极小值.

【例3】已知函数f （x ）=2ax －21

,x ∈（0,1］.

（1）若f （x ）在x ∈（0,1］上是增函数，求a 的取值范围；（2）求f （x ）在区间（0,1］上的最大值.

剖析:（1）要使f （x ）在（0,1］上为增函数，需f ′（x ）＞0,x ∈（0,1）. （2）利用函数的单调性求最大值.

解:（1）由已知可得f ′（x ）=2a +32

,∵f （x ）在（0,1）上是增函数，∴f ′（x ）＞0,

即a ＞－31

, x ∈（0,1］.∴a ＞－1.

当a =－1时，f ′（x ）=－2+32

对x ∈（0,1）也有f ′（x ）＞0，满足f （x ）在（0,1］

上为增函数，

∴a ≥－1.

（2）由（1）知,当a ≥－1时,f （x ）在（0,1］上为增函数, ∴［f （x ）］max =f （1）=2a －1.

当a ＜－1时，令f ′（x ）=0得x =

∵0＜

-＜1,∴0＜x ＜

-时,f ′（x ）＞0;

-＜x ≤1时，f ′（x ）＜0.∴f （x ）

在（0,

-）上是增函数，在（

-,1]减函数.

∴［f （x ）］max =f （

-）=－332a .

评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.

深化拓展

（1）也可用函数单调性的定义求解.

思考讨论

函数f （x ）在区间D 上的极值与最值有什么联系？ ●闯关训练夯实基础

1.下列各式正确的是

A.x －6

x ＞sin x （x ＞0）

B.sin x ＜x （x ＞0）

π2x ＞sin x （0＜x ＜2

π） D.以上各式都不对

解析：令F （x ）=x －sin x ,则F ′（x ）=1－cos x ＞0（当x ＞0,x ≠2n π,n =1,2,…）. 故F （x ）在x ＞0时单调递增.因此当x ＞0时,有F （x ）＞F （0）=0. 答案：B

2.函数f （x ）=sin （3x －

6π）在点（6π

3）处的切线方程是 A.3x +2y +3－

2π=0 B.3x －2y +3－2π

C.3x －2y －3－2π

D.3x +2y －3－2

解析:因为f ′（x ）=3cos （3x －6π）,所以所求切线的斜率为f ′（6

）=23,切线方程为

y －23=23 （x －6π）,即3x －2y +3－2

π=0.

答案:B

3.函数y =x －2x （x ≥0）的最大值为_____________. 解析:y ′=

21－2,

当0＜x ＜161时，y ′＞0,∴y =x －2x 在（0,161

）上为增函数. 当x ＞161时，y ′＜0,∴y =x －2x 在（16

,+∞）上是减函数.∴y =x －2x 在（0,+∞）

上的最大值为

161－162=8

. 答案:

1 4.（2005年北京东城区模拟题）如果函数y =f （x ）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:

①函数y =f （x ）在区间（－3,－2

）内单调递增; ②函数y =f （x ）在区间（－

,3）内单调递减; ③函数y =f （x ）在区间（4,5）内单调递增; ④当x =2时,函数y =f （x ）有极小值; ⑤当x =－

时,函数y =f （x ）有极大值. 则上述判断中正确的是_____________ 解析:当x ∈（4,5）时,恒有f ′（x ）＞0. 答案:③

5.已知f （x ）=2ax －

x b +ln x 在x =－1,x =2

处取得极值. （1）求a 、b 的值；

（2）若对x ∈［

,4］时，f （x ）＞c 恒成立，求c 的取值范围. 解:（1）∵f （x ）=2ax －x

+ln x ,

∴f ′（x ）=2a +2x b +x

∵f （x ）在x =－1与x =21

处取得极值，

∴f ′（－1）=0,f ′（2

）=0,

即???=++=-+.0242,012b a b a 解得?

??-==.1,1b a

∴所求a 、b 的值分别为1、－1.

（2）由（1）得f ′（x ）=2－21x +x 1=21x （2x 2+x －1）=21

x （2x －1）（x +1）.

∴当x ∈［41,21］时，f ′（x ）＜0;当x ∈［21,4］时，f ′（x ）＞0.∴f （2

）是f （x ）在［

,4］上的极小值.又∵只有一个极小值， ∴f （x ）min =f （2

）=3－ln2.

∵f （x ）＞c 恒成立，∴c ＜f （x ）min =3－ln2. ∴c 的取值范围为c ＜3－ln2.

6.（2004年全国Ⅰ,理19）已知a ∈R ，求函数f （x ）=x 2e ax 的单调区间.

解:f ′（x ）=2x e ax +ax 2e ax =（2x +ax 2）e ax .

①当a =0时，若x ＜0，则f ′（x ）＜0，若x ＞0,则f ′（x ）＞0.

所以当a =0时，函数f （x ）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

②当a ＞0时，由2x +ax 2＞0，解得x ＜－a 2或x ＞0;由2x +ax 2＜0,得－a

＜x ＜0. 所以当a ＞0时，函数f （x ）在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a

,0）内

为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

③当a ＜0时，由2x +ax 2＞0，得0＜x ＜－a

2. 由2x +ax 2＜0，得x ＜0或x ＞－

2. 所以当a ＜0时，函数f （x ）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，－a

）内为增函数，在区间（－

,+∞）内为减函数. 培养能力

7.已知x ∈R ,求证：e x ≥x +1.

证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x －1. ∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0.

当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数.∴f （x ）＞f （0）=0. 当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0. ∴对x ∈R 都有f （x ）≥0.∴e x ≥x +1. 8.（2004年全国Ⅱ，文21）若函数f （x ）=

31x 3－2

1ax 2

+（a －1）x +1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.

解:函数f （x ）的导数f ′（x ）=x 2－ax +a －1. 令f ′（x ）=0,解得x =1或x =a －1.

当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1,+∞）上为增函数，不合题意.

当a －1＞1,即a ＞2时，函数f （x ）在（－∞,1）上为增函数，在（1,a －1）内为减函数，在（a －1,+∞）上为增函数.

依题意应有

当x ∈（1,4）时，f ′（x ）＜0, 当x ∈（6,+∞）时，f ′（x ）＞0. 所以4≤a －1≤6,解得5≤a ≤7. 所以a 的取值范围是［5,7］. 探究创新

9.已知函数f （x ）的图象与函数h （x ）=x +x

+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求f （x ）的解析式；（2）若g （x ）=f （x ）+x

,且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.

解:（1）设f （x ）图象上任一点坐标为（x ,y ），点（x ,y ）关于点A （0，1）的对称点（－x ,2－y ）在h （x ）图象上.

∴2－y =－x +x

-1

+2. ∴y =x +

x 1,即f （x ）=x +x

1. （2）g （x ）=x + x a 1

∵g ′（x ）=1－21

a +,g （x ）在（0，2］上递减，

∴1－21

a +≤0在x ∈（0,2］时恒成立,

即a ≥x 2－1在x ∈（0,2）时恒成立. ∵x ∈（0,2]时，（x 2－1） max =3,∴a ≥3. ●思悟小结

1.函数单调性的充分条件，若f ′（x ）＞0（或＜0），则f （x ）为增函数（或减函数）.

2.函数单调性的必要条件，设f （x ）在（a ,b ）内可导，若f （x ）在（a ,b ）上单调递增（或递减），则f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）且f ′（x ）在（a ,b ）的任意子区间上都不恒为零.

3.可以用单调性求函数的极值、最值. ●教师下载中心教学点睛

利用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型，也是高考考查的重点，复习时应引起足够的重视.解单调性的题目时要注意判断端点能否取到，用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡.

拓展题例

【例题】设函数y =f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 图象与y 轴的交点为P ,且曲线在P 点处的切线方程为24x +y －12=0,若函数在x =2处取得极值－16,试求函数解析式,并确定函数的单调递减区间.

错因点评：有的同学不知道P 点处的斜率为y ′|p x ,即y ′|x =0为已知切线方程的斜率－24.又当x =2时有极值,且极值为－16,找不到与a 、b 、c 、d 的关系,从而无法求出a 、b 、c 、d ,导致错解.

正确思路：由y ′=3ax 2+2bx +c ?f ′（0）=c , ∵切线24x +y －12=0的斜率k =－24,

∴c =－24,把x =0代入24x +y －12=0得y =12.

得P 点的坐标为（0,12）,由此得d =12,f （x ）即可写成f （x ）=ax 3+bx 2－24x +12. 由函数f （x ）在x =2处取得极值－16,则得

?-+=-+=-,244120,364816b a b a 解得?

??==.3,

1b a ∴f （x ）=x 3+3x 2－24x +12,f ′（x ）=3x 2+6x －24.令f ′（x ）＜0,得－4＜x ＜2. ∴递减区间为（－4,2）.

高三数学专题复习：导数及其应用

【考情解读】导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查：一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题；三是应用导数解决实际问题．【知识梳理】 1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是．注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性．注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．

3．函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的． 4．几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝； (2)(cos x )′＝； (3)(e x )′＝； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝； (6)(log e x )′＝； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ．

k52006年高考第一轮复习数学：14.1 导数的概念与运算

知识就是力量
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※第十四章
●网络体系总览
导概数念的导数
导数
的性导求函单数法数调的的导应函极数用数值的函最数大的值小与值最
●考点目标位定位要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. （2）熟记基本求导公式〔C，xm（m 为有理数），sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数〕，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. （3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值. ●复习方略指南深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键. 1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础. 2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.
14.1
●知识梳理
导数的概念与运算
1.导数的概念：（1）如果当Δ x→0 时，
?y 有极限，我们就说函数 y=f（x）在点 x0 处可 ?x
导，并把这个极限叫做 f （ x ）在点 x0 处的导数，记作 f ′ （ x0 ）即 f ′ （ x0 ） = ，
?x ?0
lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x ?x?0 ?x
（2）如果函数 f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说 f（x）在开区间（a,b）内可导.这时对于开区间（a,b）内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′（x0）,这样就在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做 f（x）在开区间（a,b）内的导函数，记作 f′（x）,即 f′（x）= lim
?x ?0
f ( x ? ?x) ? f ( x) ，导函数也简称导数. ?x
2.导数的几何意义：函数 y=f（x）在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x）在点 P（x0,f（x0））处的切线的斜率. 3.几种常见的导数：－ C′=0（C 为常数）;（xn）′=nxn 1;（sinx）′=cosx;（cosx）′=－sinx;（ex）′=ex;

高三数学(理科)测试题(函数、导数、三角函数、解三角形)

高三数学《函数与导数、三角函数与解三角形》测试题（理科）一、选择题 1．设2 :f x x →是集合A 到集合B 的映射，若{}1,2B =，则A B 为 ( ) A ．? B ．{1} C ．?或{2} D ．?或{1} 2．函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为( ) A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 3．若函数2 ()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2 a -∞上为减函数，则a 的取值范围是 ( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．(1，23) D ．(0，1)∪(1，23) 4.若0()ln 0 x e x g x x x ?≤=? >?，则1 (())2g g = ( ) A ．1 2 B ．1 C ．1 2e D ．ln 2- — 5．已知3 2 ()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则有 ( ) A ．0b < B ．01b << C ．12b << D ．2b > ] 6. 已知函数()f x 定义域为R ，则下列命题： ①若()y f x =为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称. ②若(2)y f x =+为偶函数，则()y f x =关于直线2x =对称. ③若函数(21)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的图象关于直线1 2 x 对称. ④若(2)(2)f x f x -=-，则则()y f x =关于直线2x =对称. ⑤函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于2x =对称. 其中正确的命题序号是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.②③⑤ D.②③④ ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 ` C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 x

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R，（1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在0处的导数等于0；（）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习第1讲变化率与导数、导数的计算知识梳理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有：考点一导数的计算【例1】求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3；解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2，所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ，所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

高三数学一轮复习导数导学案

课题：导数、导数的计算及其应用 2课时一、考点梳理： 1.导数、导数的计算（1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数：记为f ′(x )或y ′. （3）．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． ! （4）．基本初等函数的导数公式（5）．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)??? ?f x g x ′ ＝__________(g (x )≠0)．（6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值（1）导数和函数单调性的关系： (1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________． (2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0?f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，?f (x )在(a ，b )上为____函数． [ （2）函数的极值与导数 (1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： ①____________ ；②________________ ;③_________________________. （3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________； (2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． ` 二、基础自测： 1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) ； f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________ f (x )＝e x > f ′(x )＝________ f (x )＝lo g a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln x f ′(x )＝________

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。二、经典例题剖析考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案：学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

2020届高考数学导数的11个专题

目录导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227)

导数专题一、单调性问题【知识结构】【知识点】一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤：第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f '(x)，f (x)随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间；第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系； 4.根与定义域端点讨论等。五、求解函数单调性问题的思路：（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立；（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法（1）参变分离；（2）导函数的根与区间端点直接比较；

高考数学第一轮复习导数概念和几何意义

第1讲变化率与导数、导数的运算【2014年高考会这样考】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导．【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx ＝ li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx . (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1；若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ；

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围． 2019年：已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-．（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值．

2019：一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P (0， 2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-．（Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值，设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ，讨论()h x 零点的个数．

高三数学一轮复习导数的综合应用

导数的综合应用一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0e x-e x=0, 所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对２.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒３.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 ４.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ ５.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-７.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练班级姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明；（III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间；（2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

导数专题复习（基础精心整理）学生版【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则：（1）（2）（3） 4.导数的应用：（1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数；（2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。（3）利用导数求最值：比较端点值和极值【基本题型】一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（） A ．－１Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f

届高三数学第一轮复习导数

导数第3章导数及其运用 §3.1导数概念及其几何意义重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义．经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数．当堂练习： 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ?满足（） 2 3 ） 4 5A C 6A ．7A ．f ′(x0)>0 B ．f ′(x0)<0 C ．f ′(x0)=0 D ．f ′(x0)不存在 8．已知命题p ：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q ：函数y=f(x)是一次函数，则命题p 是命题q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则0 lim →h h h x f h x ) ()(00--+等于 A ．f ′(x0) B ．0 C ．2f ′(x0) D ．－2f ′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f ′(0)等于

A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___． 12．两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________． 13．设f(x)在点x 处可导，a 、b 为常数，则0 lim →?x x x b x f x a x f ??--?+) ()(=_____． 14．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度________． 15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t=2，Δt=0.01时，求t s ??．法则3 2()()v x v x ???? 经典例题：求曲线y=2 1x x +在原点处切线的倾斜角. 当堂练习： 1.函数f （x ）=a4+5a2x2－x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2－x6 B.4a3+10a2x －6x5 C.10a2x －6x5 D.以上都不对 2.函数y=3x （x2+2）的导数是( ) A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6 D.6x2+6

高三数学《导数与函数的零点问题》测试题含答案

《导数与函数的零点问题》测试题含答案一.选择题：本大题共12小题，第1到11小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，第12题为多选题，全部选对为正确. 1. 函数()326x f x x =+-的零点所在的区间是( ) A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,3 2. 已知函数()328f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程3 280x x +-=的近似解可取为（精确度为0.01）（） A ．1.50 B ．1.66 C ．1.70 D ．1.75 3. 函数12 ()()2 x f x x =+ 的零点个数为（） A.3 B.2 C.1 D.0 4. 已知函数()ln(1)2f x x x =++-，在下列区间中，函数()f x 一定有零点的是（） A ．[]0,1 B ．[]1,2 C ．[]2,3 D ．[]3,4 5. 已知函数()x e f x a x =-.若()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是（） A ．[0,)e B ．(0,1) C ．(0,)e D ．(0,1) 6. 若方程lg ||sin ||0x x -=则其解的个数为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．5 7. 设函数()2 2,0log ,0x x f x x x ?+≤? =? >??，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且 1234x x x x <<<，则()312234 1 x x x x x ++ ?的取值范围是（） A ．()3,-+∞ B ．(]3,3- C ．[)3,3- D ．(),3-∞ 8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当[0,1)x ∈时，21 ()21 x x f x -=+，则当函数 1 ()()3 g x f x kx =--在[0,7]上有三个零点时，实数k 的取值范围是（）

高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

高中数学一轮复习第1讲导数的概念及其运算

第1讲导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.