第五章 线形系统的频域分析法
5-5．()(),0s G s
K
s G v =试证v K 1
1=ω。
1ω为近似对数幅频曲线最左端直线（或其延长线）与零分贝交点频率。
()()
()ωωων
j G j K
j G 0=
()()()ωω
ωωj G K
j G L v
0lg 20lg
20lg 20+== （1）1ωω< (
)v
K
h ω
lg
20≈
()dB L 01=ω dB K
v
0lg
201
=ω
11
=v
K
ω v
K 11=ω
（2）若考虑延长线与零分贝线交点频率，则有：
dB K
v
0lg
201
=ω
11
=v
K
ω v
K 11=ω
5-6．（1） ()()()
18125
++=
s s s G
()()()()
(
)[]
(
)
2
2
222210016110161516414518125ωωωωωωωωωωφ+---=++=++=j e j j j G j
()ωωωφ8211----=tg tg
() 050∠=j G () 1800-∠=∞j G
()()
()
2
2
22
1001611615ω
ωωω+--=
P ()()
2
2
210016150ω
ωω
ω+--=
Q
()0=y P ω 01612
=-y ω 1612
=
y ω 4
1=y ω ()()216
1
10016116150
2
-=?
+?--=
y Q ω Bode 图：
()164lg 2014lg 205lg 2022+-+-=ωωωL
()ωωω?8211----=tg tg
dB 1497.135lg 20≈=
(2) ()()2110s s s G +=
()()()2
2110)(110ωωωωωj j j j G +-=+= ()2
21
10ω
ωω+=j G
()ωω?1180-+-=tg
()2
10
ωω-=
P ()ω
ω10
-
=Q
() 1800-∞∠=+j G ()-∞=+0P ()
-∞=+0Q () 900-∠=∞j G ()0→∞P ()0→∞Q
()
()0
11001.0101010--∞---∞-∞+ωωω
Q P Bode 图：
()ωωωωωlg 401lg 2020lg 401lg 2010lg 2022-++=-++=L
()ωω?1180-+-=tg ()()
9613518004.023
101
0---∞→ω?ωωω
L 5-9. (4)()()()1615022+++=
s s s s s G ()()
()
16150
2
2+++--=ωωωωωj j j G ()()
136lg 201lg 20lg 4050lg 20222
2
+-+---=ωωωωωL
()ωω
ωω?611801
2
1
------=tg tg 二阶振荡环节
1=n ω 12=n ζω 5.021==ζ
一阶惯性环节 交接频率
()s r a d 167.06/11==ω
dB 3450lg 20=
6/11=<ωω ()ωωlg 4050lg 20-≈L
n ωωω<<1 ()ωωω6lg 20lg 4050lg 20--≈L
1==n ωω ()()dB L 4.181≈
ωω 估算过零分贝的交点频率c ω ()dB h c c c c 0650 lg 202 2=??=ωωωω 16/505 =c ω ()()s rad c /53.16/505 1==ω (5)()()()()()()()()()() 1 151********.0/125.04012.05.040222++++=++++?=++++= s s s s s s s s s s s s s s s s G ()() () 2 2 2 222 2 2 221lg 20125lg 20lg 2014lg 20401lg 20125lg 20lg 2014lg 20100lg 20ωωωωωωωωωωω+--+--++=+--+--++=L 一阶微分环节 交接频率 ()s rad 5.02=ω 一阶惯性环节 交接频率 ()s r a d 2.01=ω 二阶振荡频率 ()s rad n 13==ωω c ω估算 ()()s rad dB L c c c c c c /4.340052100lg 203 1 2 ==?=???=ωωωωωω 5-10．（a ）()()() 1121++= ωωωωωj j K j G 10040lg 20=?=K dB K ()()() 11100 11++= ωωs s s G (b) ()() 1/122 1++= ωωωωωωj j j K j G ()dB h c 0=ω 由c ω的估算 dB K c c 0lg 202 =ωωω 12 =c c K ωωω c K ωω=1 1ωωc K =∴ ()()() 112211++= ωωωωs s s s G c （c ）()()()() 1132++= ωωωωωωj j j K j G 当2ωω<时，()ωL 在c ωω=处近似为零分贝。则有 ()()() 11/1/110lg 20321111++=?=?=?=ωωωωωωs s s s G K K dB K 5-11．（1）()ωωωω?10390111----+--=tg tg tg ()20=A ()()()()110113+++= ωωωωωj j j j K j G ()()()() 110113+++=s s s s K s G （2） ()()()10311180121211ωωωωωωω?------+--+-=tg tg tg tg ()10=A 5-12．（1）()()01 1 2121>>++= T T s T s T s G 221111T T =<=ωω ()1lg 201lg 202 2 22 2 1+-+=ωωωT T L ()ωωω?2111T tg T tg ---= (2) ()()01 1 2121>>++= T T s T s T s G 221111T T =<=ωω ()1lg 201lg 202 2 22 2 1+-+=ωωωT T L ()ωωωωω?21112111180)1/(T tg T tg T tg T tg ------=--= (3) ()()01 1 2121>>++-= T T s T s T s G 221111T T =<=ωω ()1lg 201lg 202 2 22 2 1+-+=ωωωT T L ()ωωωωω?21112111)1/(T tg T tg T tg T tg ------=--= 5-16．（1）()()()() 111321+++= s T s T s T K s G ∞→=0ω 顺时针包围()0,1j -点。0,1=-=P N ()212=-?-=P Z 闭环不稳定，右半s 平面的根的个数Z=2 （2）()()() 1121++= s T s T K s G 0,0,0===Z N P 闭环系统稳定 （3）()() 12 += Ts s K s G 2=v 顺时针包围()0,1,0,1=-=-P N j ()212=-?-=P Z 闭环不稳定 （4）()()() ().0,0,01121221===>++= Z N P T T s T s s T K s G 闭环稳定 （5）()()212,1,0,3=-?-=-===Z N P s K s G ,闭环不稳定 (6) ()()(),0,0,0,213 21===++= Z N P s s T s T K s G 闭环稳定 (7) ()()() ()()()() ,0,0,111111432165==++++++= N P T T s T s T s s T s T K s G 闭环稳定 (8) ()().0,,1,1,11 1=-===>+= Z Z P R R P K s T K s G 闭环稳定 (9) ()()1,0,1,11 1====>+= P Z R P K s T K s G , 闭环不稳定 (10) ()() ()211,1,1,1=--=-=-==-= R P Z R P Ts s K s G 闭环不稳定,在右半s 平面有2个根。 5-17．内环信息：()()()() ()()() 2 322 111111/11+?+++=+=s s s s s s s H s G s G s ? ()()()()()[] 2 42 3 322211111s s s s s s s s s s +++=+++++= ()01474123424=++++=++s s s s s s 由Routh 判据判定右根 1 6/20160 4417101 234s s s s s 故在右半s 平面无根 ()()()()()() ,0,1 474110011002 342 =+++++=+?=∴P s s s s s s s H s G s G s G k 121-=-=-=-+N N N ， ()2122=-?-=-=∴N p z 闭环不稳定 5-18．()()()()() 5.0212.050 3+++=s s s s G ()()()()() () ( )[]( ) ()()()() ω?ωωωωωωωωωωωωωωωωj e j j j j j j G 1 215.012.050 2.07.2)5.11(2.07.25.11502.07.2)5.11(50 1215.012.05.02/502222 2 2222222+++= -+----= -+-= +++?= ()ωωωω?25.02.0111------=tg tg tg () 0500∠=j G () 2700-∠=∞j G ()2 22222)2.07.2()5.11() 5.11(50ωωωωω-+--=P ()2 22222)2.07.2()5.11() 2.07.2(50ωωωωωω-+---= Q 0)(=y P ω 816.0)5.11 (21 ==y ω 84.23392 .472 .104)(-=-=y Q ω 67.32 .07 .22.07 .202.07.20)(22 ====-=x x x x Q ωωωω 6.2) 08.368(2 .960)(-=+-=x P ω 221=-=-=N p z N 系统不稳定 （4）()()125.018.0100)(++= s s s s G ()() 125.018.0100 )(++=jw jw jw jw G ()()125.0lg 2018.0lg 20lg 20100lg 20)(22+-+--=ωωωωL 425.121==ωω c ω估计： 94.72 .0100 115.08.0100025.08.0100 lg 203 3 == =?=??c c c c c dB ωωωωω () 3.54)3.234(180)3.638190(18025.08.090180)(11-=-+=---+=---+=--c c c tg tg ωωωγ 由于系统是最小相位：()03.54<-= c ωγ系统闭环不稳定 若由对数频率判据：11-=-==-+-N N N N 2)1(2=--=∴p z 闭环系统不稳定 （6） ()()() () ()()()2 )2 1 (21211 2 1211800270)0(20270) 20180(901 20901 4005 ) 1400(5 1400100 400100)(400205)20(205205)120(5) 120(5 )201(210)(111 22224224222222=-?-=-==-=-=∴=-∠=∞-∞∠=+-=---=---=+= ++-= +-=++-= +-+-=--=-=-= -- =-+-+---N z p N N N N j G j G tg tg tg j G Q P j j j j j j G s s s s s G ω ωω ω?ωωωωωωωωωωωωωω ωωωωωωωωωω 闭环系统不稳定 （8）()()()112.010 -+= s s s s G ()()() 112.010 -+= ωωωωj j j j G ()()1 12.010 2 2 ++= ωωωωj G ()ω ωωωω ωω?11111 12.0270)180(2.0901 2.090------+--=-----=----=tg tg tg tg tg tg () () 27002700-∠=∞-∞∠=+j G j G ()() ( ) ( ) 2222222222.01)2.1(] 2.012.1[102.012.110ω ωωωωωωωωω++++-=+--=j j j G ()( ) ()( ) ( ) 2 2 2222 2 2 2222 2.01)2.1(2.01102.01)2.1(12ωωωω ωωωωωωω+++= ++-=Q P 2 )2 1 (2121 2 12 1=--=-==- =-== -+-N p z p N N N N 闭环不稳定 5-19 ()2 1s as s G += 确定的 45=r 值 ()()()()() 2 2 1 2 1 1801 ωωωωω?ωωω+= +-=-+= -a j G a tg j ja j G ()() 45 1801 ==+=-c c c a tg ωω?ωγ 则有： c c a a ωω1 1= = 由 ()()11 1 2 2==+= c c c c a a j G ωωωω () () 2 12 12 12 2 22 )2 2( 2212 = == ==∴ c c c ωωω () 84.02 21 2 1== = c a ω 5-20 ()() ()s K s H s s s G h +=-= 1110 确定闭环系统临界稳定时的h K ()()()() ()()()()()()() ()( )[]() () ()()() ()1 11011101 1 10) 1(11101101101110111022 2222 222 2 2 422++-=++-=++=+-++-= ++-+= --+=-+=-+= ωωωωωωωωωωω ωωωωω ωωωωωωωωωωω?h h j h h h h h h h K K P e K K j K j jK j jK j j j K j H j G s s s K s H s G ()( )() ( ) () 1 11011102 2 222+-=+-=ωωωωωωωωh h K K Q ()() ()()()() h h h x h x x h h h h K K K P K K Q j G j G tg K tg tg K tg tg K tg 101 /1110)(10109002700270180901 902 11111 1-=++-= = =-→=-∠=-∞∠=++-=---=---=∞+------ωωωωωω ωωωω ωω? 1 .0101 2)2 1 2(12212 1 ,0110,10102 1 21221211110,10 1 ===?--=-=-=-===->-<=?-=-==-=-=-<-> -+-+-+h h h h h K N p z N N N N N K K N p z N N N K K 界稳定的③所以，使闭环系统临闭环稳定 则有②闭环稳定 则有① 5-22 ()的临界值 不能使系统稳定的K s Ke s G s 1 8.0+= - ()() 1808.03.571 1 12 -=-?-==+= -x x x x x tg j K j G ωωω?ωω x ω=45.2 65.2=x K 5 –24. ()()())120 (8 .41 811021+= ++= s s s G s s s G 估计 s t ,%σ ⑴ c r ω和 ⑵ c r M ω和 ()() ()() ()s t r M t r r s rad dB h s s s s s G c s r s c c c 13.18 .6%20%1.1sin 1 13.1%,21%7.06565180/60) 120 )(18(148===== =====+===+++= ωσσ?ω?ωω⑵⑴