圆的切线证明

C

E

A

B

O

P

圆的切线证明

1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，

垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点

E,(1)求证：PB为⊙O的切线；

2 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC

交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。

3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相

切.

4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于点，

于点．

（1）求证：是的切线；

5已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交

⊙0于另一点D，连结CD．

(1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．

(2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．

6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠

CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的长；(3)求图中阴影部分的面积．

7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，

D

C A B O P ∠DOC =2∠AC

D =90?。

(1) 求证：直线AC 是圆O 的切线；

(2) 如果∠ACB =75?，圆O 的半径为2，求BD 的长。

8、（2011?北京）如图，在△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；

9 已知⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC ＝CD 。

10 （2013年广东省9分）如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA ，AB=12，BC=5，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E.

（1）求证：∠BCA=∠BAD ；（3）求证:BE 是⊙O 的切线。

11（7分）（2013?珠海）如图，⊙O 经过菱形ABCD 的三个顶点A 、C 、D ，且与AB 相切于点A

（1）求证：BC 为⊙O 的切线；

细说如何证明圆的切线

1、证切线---------------90°（垂直）

2、有90°------------------证全等

3、有⊥------------------证∥，错过来

4、利用角+角=90°

关注：等腰（等边）三线合一；中位线；直角三角形

，

的半径，由此想

到连 证明：连结OD 。

∵AD ∥OC ，

∴∠COB ＝∠A 及∠COD ＝∠ODA

∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD

∴∠COB ＝∠COD

∵CO 为公用边，OD ＝OB

∴△COB ≌△COD ，即∠B ＝∠ODC

∵BC 是切线，AB 是直径，

(完整版)证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直? 例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证：EF与O 0相切. 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， ?OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ?EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA 与O O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ?/ AD 是/ BAC 的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. ?/ AE 是O O 的直径, ? AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切. ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, 证明二：延长AD 交O O 于E ,连结 ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ? BE=CE , ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.

证明圆的切线方法

证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒

例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠ BDE, ⌒ ⌒

证明圆的切线的两种类型训练

证明圆的切线的两种类型 类型1 已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直” 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 练习1 (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB 垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 练习2 (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 练习3 (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积. 类型2 未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线

如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点.求证：AC 与⊙D 相切. 练习4 如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M ，与AB 、AD 分别相交于点E 、F. 求证：CD 与⊙O 相切. 练习5 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ， E 为AB 上的一点，DE=DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB=5，EB=3. （1）求证：AC 是⊙D 的切线; （2）求线段AC 的长. 圆的有关计算 类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题 练习1 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m ，半圆的直径为4 m ，则圆心O 所经过的路线长是______m.(结果用π表示) 练习2 如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上， AC=, ∠ACB=90°,∠A=30°,若Rt △ ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示) 3

(完整版)圆的切线的证明复习(教案)

专题复习----圆的切线证明教案 积石山县吹麻滩中学秦明礼 一、温习梳理 1、切线的定义:直线和圆有公共点时，这条直线叫圆的切线。 2、切线的性质:圆的切线于过切点的半径。 3、切线的判定:⑴和圆只有公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。 4、证明直线与圆相切，一般有两种情况： ⑴已知直线与圆有公共点，则连，证明。 ⑵不知直线与圆有公共点，则作，证明垂线段的长等于。

二、课前检测: 1.如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D， ∠BAD=∠B=30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理由。 三、活动于探究: 1．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.

2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ， DE ⊥AC 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线． 3．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切； (2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长． O A E B C D

4．如图，RT ?ABC 中，∠ABC=90O ，以 AB 为直径作⊙O 交边于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ， 求tan ∠ACO 的值． 四、反馈检测: 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线． 五、小结回顾： 1、本节课我们学习了：圆的切线的判定。 2、证明圆的切线的基本思路是：如果切点已知，需连接圆心做半径，证明半径和要证的切线垂直即可。而要证明垂直则需三种方法——平行、互余、全等。 B C E B A O F D

中考九年级证明圆的切线例题方法

切线证明法 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.

初中数学：圆的切线的证明

中国最大的教育门户网站 E 度网https://www.wendangku.net/doc/e210875959.html, 圆的切线的证明 一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直 例1．A B 是O 的直径，AB AC ⊥，B C 交⊙O 于P Q ，是A C 的中点．求证：QP 是⊙O 的切线． 分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接O P ，证明OP PQ ⊥即可． 证明：连接O P ，P A ， A B 是⊙O 的直径，90APB ∠=?∴． 在R t A P C △中，Q 是A C 的中点， PQ AQ =∴，QAP QPA ∠=∠∴． 又O P O A =，OAP QPA ∠=∠∴，OAQ QPO ∠=∠∴． A B A C ⊥ ，OP PQ ⊥∴．QP ∴是⊙O 的切线． 二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径 例2．直角梯形A B C D 中，以腰C D 为直径的⊙1O 恰与另一腰A B 相切，求证：以腰A B 为直径的⊙2O 也与腰C D 相切． 分析：要证明以腰A B 为直径的⊙2O 与腰C D 相切，因为⊙2O 的半径是A B 的一半， 由切线的定义可知，C D 如果与⊙2O 相切，则2O 到C D 的距离应等于半径 12 A B ，所以过2 O 作2O E C D ⊥，证明212 O E A B = 即可． 证明：过1O 作12O O AB ⊥，则22O A O B =， 作21DF O O ⊥于F ，作2O E C D ⊥于E ， A B 与⊙1O 相切，121O O O D =∴． 211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ∠=∠ ，∴△≌△， 2O E DF =∴． A B C Q P O A B C D E F 1O 2O

圆切线证明的方法

切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝ OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝21 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接 OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 图1 图2

思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明 CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o即可． 证明：连接OD ． ∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ． ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o．∴∠ODC ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直 图3

证明圆的切线的两种常用方法教案

证明圆的切线的两种常用方法 一、教学目的要求： 1.知识目的： （1）掌握切线的判定定理. （2）应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法. ２.能力目的： （1）培养学生动手操作能力. （2）培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力. 3.情感目的： 通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性。 二、教学重点、难点 1.重点：切线的判定定理. 2.难点：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法. 三、教学过程： （一）复习引入 回答下列问题：（口述） 1.直线和圆有哪三种位置关系？这三种位置关系是如何定义？如何判定的？ 2.什么叫做圆的切线？根据这个定义我们可以怎样来判定一条直

线是不是一个圆的切线？ ①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. ②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. ③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （要求学生举手回答，教师用教具演示） （二）新课讲解 证明直线与圆相切是一类常见题目，解决这类问题常用的方法有两种。 方法一、连接半径，证明垂直 若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连结过此点的半径，再证其与直线垂直。 例1 如图（1）所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆交于BC于D，作DE⊥AC于E。求证：DE为⊙O的切线。 证明：连结OD ∵OB=OD ∴∠B=∠ODB ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴∠ODB=∠C ∵DE⊥AC ∴∠C+∠CDE=90° ∴∠ODB+∠CDE=90°

∴∠ODE=90°，即DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线。 例2 如图（2）所示，AB是⊙O的直径，过A点作⊙O的切线，在切线上任取一点C，连结OC交⊙O于D，连结BD并延长交AC 于E，求证：CD是△ADE外接圆的切线。 证明：取AE的中点F，连结FD。 ∵AB为直径， ∴AD⊥BD ∵FD=FE(=FA) ∴∠FED=∠FDE ∵∠CDE=∠BDO=∠B ∠FEB+∠B=90° ∴∠FDE+∠CDE=90° 即FD⊥CD ∴CD是△ADE的外接圆的切线。 方法二、作垂线，证明半径 若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径。 例3 如图（3）所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD ⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。 证明：过O作OE⊥L于E。 ∵AC⊥L，BD⊥L，

圆证明切线的练习题

圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长.

证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．

圆的切线证明专题

1 1.如图，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 2.如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2 =OD ·OP. 求证：PC 是⊙O 的切线. 3.如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300 ，BP=OB ，点P 在AB 的延长线上. 求证：PC 是⊙O 的切线. O A B C D 2 3 4 1

24.AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F. 求证：DE 是⊙O 的切线. 5.△ABC 中，AB=AE ，以AB 为直径，作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ，DC 的延长线与AB 的延长线交于点P. 求证：PD 是⊙O 的切线. 6.在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交AB 的延长线于点D. 求证：FD 是⊙O 的切线. F E D C B A O F B D E O C

3 7.如图，AB 为半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，过点O 作BC 的平行线交AC 于点E ，交过点A 的直线于点D ， 且BAC D ∠=∠.求证：AD 是半圆O 的切线. 8.如图，已知△ABC 内接于⊙O,AC 是直径，D 是弧AB 的中点，过点D 作直线BC 的垂线，分别交CB 、CA 的延长线于 E 、 F ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线. （2）若EF ＝8，EC ＝6，求⊙O 的半径. O B A C E D

圆的切线的证明

圆的切线的两种证明方法 方法归纳：连半径，证垂直或作垂直证半径 类型1：有切点，连半径，证垂直 A.利用角度转换证垂直 1.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 2.如图，点C在⊙O上AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C 在⊙O上，∠CAB=30°求证：DC是⊙O的切线. 3.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 4.如图,三角形ABC内接于圆O,角B=60度,CD是圆O的直线,点P是圆O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.求证：PA是圆O的切线 B.利用全等证垂直 5.如图，已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC,过A作AD∥OC交⊙O 于点D，连接CD．求证：CD是⊙O的切线 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为

切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切. C.利用勾股定理逆定理证垂直 7.如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC=8，PB=4，AB=12，求证：PC是⊙O的切线． D.利用垂径定理的推论证垂直 类型2：无切点，作垂直,证半径 9.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切。 10.如图,四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB为⊙O的直径，求证：⊙O与CD相切． 11.如图，△ABC中AB=AC，D是BC边的中点，以点D为圆心的圆与AB相切于点E．求证：AC与⊙D相切．

证明圆的切线的七种常用方法

证明圆的切线的七种常用方法 类型1、有公共点：连半径，证垂直 方法1、勾股定理逆定理法证垂直 1.如图，⊙O的直径AB =12，点P 是AB 延长线上一点，且PB =4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线. 方法2、特殊角计算法证垂直 2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B =60°，CD是⊙O 的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC. （1）求证：P A是⊙O的切线； （2）若PD=5，求⊙O的直径. 方法3、等角代换法证垂直 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E. 求证：DE是⊙O的切线. 方法4、平行线性质法证垂直 4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°， 点B是︵ AC的中点. (1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由； (2)求证：CF=OC； (3)若⊙O的半径是6，求DC的长. A B P O C A C B P D O A E B D O C A O F E C D B

方法5、全等三角形法证垂直 5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF . 求证：BF 是⊙O 的切线. 类型2、无公共点：作垂直，证半径 方法6、角平分线性质法证半径 6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线； (2)求线段AC 的长. 方法7、全等三角形法证半径 7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切. A O B C D F A B C D E A O B C D

圆的切线有关证明

圆的切线有关证明练习 1．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 2．（2015?广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB 于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 3．（2015?泰州）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）试说明DF是⊙O的切线； （2）若AC=3AE，求tanC． 4．（2015?盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC 于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA． （1）求∠DOA的度数； （2）求证：直线ED与⊙O相切． 5．（2015?黔西南州）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． （1）求证：直线PB与⊙O相切； （2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

6．（2015?宁德）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O的切线； （2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）． 7．（2015?毕节市）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC． （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长． 8．（2015?衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由． 9．（2015?常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO 并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长． 10．（2015?宁夏）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．11．（2015?昆明）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD 上。（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

如何证明圆的切线

如何证明圆的切线 证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法： 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝2 1AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o． 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线． 图1 图2

圆的切线证明题

细说如何证明圆的切线 1（2011中考）.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O 的切线； 2 已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点作⊙O 的切线，连结CO ，若AD ∥OC 交⊙O 于D ，求证：CD 是⊙O 的切线。 3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切. 4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点． （1）求证：是的切线； 5 已知：如图⊙O 是△ABC 的外接圆，P 为圆外一点，PA ∥BC ，且A 为劣弧的中点，割线PBD 过圆心，交⊙0于另一点D ，连结CD ． (1)试判断直线PA 与⊙0的位置关系，并证明你的结论． (2)当AB=13，BC=24时，求⊙O 的半径及CD 的长．

6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的长；(3)求图中阴影部分的面积． 7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。 (1) 求证：直线AC是圆O的切线； (2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。 8、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线； 9 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。 10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交DC的延长线于点E. （1）求证：∠BCA=∠BAD；（3）求证:BE是⊙O的切线。 11（7分）（2013?珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数．

初中数学-证明圆的切线经典例题

初中数学-证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C

证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题 ： 有 证明圆的切线常用的方法 O A，证明OA⊥l 就行了，简称 “连 一、若直线l 过⊙O 上某一点A，证明l 是⊙O 的切线，只需连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D，交AC 于E，B 为切点的切线交OD 延长线于 F. 求证： E F 与⊙O 相切. 连结 O E，AD. 证明： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF= ∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=90 0. ∴EF 与⊙O 相切. 此题是通过证明三角形全等证明垂直的 说明：

P A=PD. B C 延长线上一点，且 例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P为 P A 与⊙O 相切. 求证： 结EC. 作直径AE，连 证明一： ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB= ∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+ ∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=90 0 . ∴∠1+∠EAC=90 0. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 结OA ，OE. 证明二： 延长AD 交⊙O 于E，连 ∵AD 是∠BAC 的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=90 0. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA= ∠BDE, ∴∠1+∠PAD=90 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切 合运 用. 综 说明： 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识 的

证明圆的切线

小专题?证明圆的切线的两种类型 类型1?已知直线与圆的交点 【例１】如图，AB＝AC，AＢ是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AＣ于M. 求证：DＭ与⊙O相切． 【方法总结】直线过圆上某一点,证明直线是圆的切线时,只需“连半径,证垂直,得切线”.“证垂直”时通常利用圆中的关系得到９０°的角，如直径所对的圆周角等于90°等. 变式练习1?（湖州中考改编)如图,已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点Ｃ，OC=CP＝2，弦AB垂直平分ＯC. (1)求ＢC的长； (２)求证:ＰB是⊙O的切线．

变式练习2 (德州中考)如图，已知⊙Ｏ的半径为1,DＥ是⊙O的直径，过D作⊙O 的切线,Ｃ是AD的中点，ＡＥ交⊙O于B点，四边形BCＯＥ是平行四边形. (1)求AD的长； (２）ＢC是⊙O的切线吗？若是，给出证明,若不是,说明理由． 变式练习３?(临沂中考)如图,已知等腰三角形ABＣ的底角为30°，以BC为直径的⊙Ｏ与底边AＢ交于点Ｄ,过Ｄ作DE⊥AC，垂足为E. （１)证明:DE为⊙Ｏ的切线; （2)连接ＯE,若BC=4，求△OEC的面积. 类型２未知直线与圆的交点 【例2】如图,ＡＢ=AＣ，D为ＢC中点,⊙D与AB切于E点.求证:AC与⊙Ｄ相切．

【方法总结】直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直,证半径,得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等． 变式练习4?如图,O为正方形ＡBＣD对角线ＡC上一点，以O为圆心,OA长为半径的⊙O与ＢＣ相切于点Ｍ,与AB、ＡD分别相交于点E、Ｆ. 求证:CＤ与⊙O相切. 变式练习5?如图,在Ｒt△AＢＣ中，∠B=90°，∠BＡC的平分线交BC于点D,E为ＡB上的一点,DE=ＤC，以D为圆心，ＤB长为半径作⊙D，ＡB=5，EB=３． （1)求证：AＣ是⊙D的切线; (2）求线段AC的长.

圆的切线证明(终审稿)

圆的切线证明 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

C E A B O P 圆的切线证明 1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作 OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交 于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O的切 线； 2 已知⊙O 中，AB是直径，过B 点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于 D，求证：CD是⊙O的切线。 3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相 切. 4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于 点，于点． D

（1）求证：是的切线； 5已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD． (1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论． (2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长． 6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的 长；(3)求图中阴影部分的面积． 7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一 点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。 (1) 求证：直线AC是圆O的切线； (2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。

8、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点 D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线； 9 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。 10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦 BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E. （1）求证：∠BCA=∠BAD；（3）求证:BE是⊙O的切线。

圆的切线的证明方法

圆的切线的证明方法 天津四中杨建成 平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法： ⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； ⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系； ⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。⑵和⑶都是由⑴推演出来的。 在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。 例1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD， 求证CD是⊙O的切线。 ［分析］：因直线CD与⊙O有公共点D，故应采用“连半径，证垂直”的方法。 ［证明］：连结OD ∵OC∥AD ∴∠COB=∠DAO，∠COD=∠ADO ∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO ∴∠COB=∠COD 在△DOC和△BOC中 ∵OD=OB，∠COD=∠COB

OC=OC ∴△DOC≌△BOC ∴∠CDO=∠CBO ∵AB是⊙O的直径，BC是切线 ∴∠CBO=90° ∴∠CDO=90° ∵OD是⊙O的半径 ∴CD是⊙O的切线 例2.如图，已知两个同心圆O中， 大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆 相切于点E，求证：CD是小圆的切线。 ［分析］：因直线CD与⊙O无公共 点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。 ［证明］：连结OE，过O点作 OF⊥CD于F ∵AB与小圆相切于点E ∴OE⊥AB ∴AE=BE，CF=DF ∵AB=CD ∴AE=CF 在Rt△AEO和Rt△CFO中 ∵OA=OC，AE=CF ∴Rt△AEO≌Rt△CFO ∴OE=OF ∴CD是小圆的切线 例3.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。 ［分析］：因直线AB与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。 ［证明］：过O点作OH⊥AB于H ∵E、F分别为AC、BC的中点 ∴EF∥AB，且EF=1/2AB ∴G点为CD的中点，OH=GD=1/2CD