2011我爱数学初中生夏令营数学竞赛
专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(1)
（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联 合竞赛加试试题、参考答案 一 试 一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 已知2a ≥-，且{ }2 A x x a =-≤≤，{}23, B y y x x A ==+∈，{}2 ,C t t x x A ==∈， 若C B ?，则a 的取值范围是 。 2. 在ABC ?中，若2AB = ，3AC = ，4BC = ，O 为ABC ?的内心，且 A O A B B C λμ=+ ，则λμ+= . 3. 已知函数()()()()21,0,1,0, x x f x f x x -?-≤?=?->??若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等 的实数根，则实数a 的取值范围是 。 4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。 5. 已知椭圆22 143 x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ． 6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若 20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是 ． 7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。 8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程3 3 4 2 1 ()(3)0x y t x y t x y -+++ =-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。
2003年全国初中数学竞赛试题参考答案
2003年全国初中数学竞赛试题 一、选择题 1、若4x-3y-6z=0.x+2y-7z=0(xyz ≠0)，则代数式2222 22103225z y x z y x ---+的值等于( )． （A ）-21 （B ）-219 （C ）-15 （D ）-13 2．在本埠投寄平信，每封质量不超过20g 时付邮费0．80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费l ．60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0．80元(信的质量在100g 以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5g ，那么他应付邮费( )． (A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元 3.如图所示， ( )． (A)3600 (B)4500 (C)5400 (D)720 4.四条线段的长分别为9，5，x ，1(其中x 为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段(如图)，则x 可取值的个数为( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)6个 5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能最后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )． (A)1种 (B)2种 (C)4种 (D)O 种 二、填空题 6．已知 那么 . 7．若实数x ，y ，z 满足 则xyz 的值为 . 8．观察下列图形： 根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数应为 。 9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成450 ，则∠A ＝600 ，CD ＝4m,BC=(4 )m 电线杆AB 的长为 m. 10．已知二次函数y=ax 2 +bx+c(其中a 是正整数)的图像经过点A(一1，4)与点B(2，1)，并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为 ． 三，解答题. 11．如图所示，已知AB 是⊙0的直径，BC 是⊙0的切线，0C 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 连接AC ，与DE 交于点P ．问EP 与PD 是否相等?证明你的结论． 12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为80千米／小时，而汽车每行驶l 千米需要的平均费用为1．2元．试指出此人从A 城出发到8城的最短路线(要有推理过程)，并求出所需费用最少为多少元? =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠G F E D C B A ,31+=x =---++2 1 4121,2 x x x ,3 71,11,41 =+=+=+x x z y y x 226-
2011年全国初中数学联赛决赛试卷及其答案[1]
2011年全国初中数学联赛决赛试卷 （4月10日 上午8：45——11：15） 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ） A ．42条 B ．54条 C ．66条 D ．78条 2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE ＝15°，则∠BOE ＝（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 3．设方程()()0x a x b x ---=的两根是c ，d ，则方程()()0x c x d x --+=的分根 是（ ） A ．a ，b B ．－a ，－b C ．c ，d D ．－c ，－d 4．若不等式2133x x a -+-≤有解，则实数a 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 5．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36 6．不定方程2225x y -=的正整数解（x ，y ）的组数是（ ） A ．0组 B ．2组 C ．4组 D ．无穷多组． 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上． 1．二次函数22y x ax =-+的图象关于直线x =1对称，则y 的最小值是__________． 2 ．已知1a ，则20122011201022a a a +-的值为_____________． 3．已知△ABC 中，AB BC ＝6，CA M 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是_______________． 4．一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手参赛，每位选手都与其余10n －1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n 的所有可能值是__________． 三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分） 1．（本题满分20分） 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程22(31)210x a x a +-+-=的两个实数根，使得 1212(3)(3)80x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值． 2．（本题满分25分） 抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0），且经过点A （0，1），其中 O E D C B A
2011年河北省高中数学竞赛试题
河北省高中数学竞赛试题2011年 一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分) 1. 已知数列{}n a 满足：,2011,1,2403121==+≤ ++a a a a a n n n 则5a 的最大值为 . 2. 若y x ,均为正整数，且55y x -的值恰好是由一个2，一个0，两个1组成的四位数，则 满足条件的所有四位数是 . 3. 已知1222=++c b a ,则ac bc ab ++的值域为 . 4. 标号1，2，…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1，且2，3，…，13号卡片各一张，称该盒是“超级盒“。则出现超级盒的概率为 （列出算式即可）. 5. 已知,)2()3(,3,11221n n n a n a n a a a +-+===++当n m ≥时，m a 的值都能被9整除，则n 的最小值为 . 6. 函数2011 201032211)(+++++++++++=x x x x x x x x x f 的图像的对称中心为 . 7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是 . 8. 已知O 为坐标原点，),0,5(),0,4(C B 过C 作x 轴的垂线，M 是这垂线上的动点，以O 为圆心，OB 为半径作圆，21,MT MT 是圆的切线， 则21T MT ?垂心的轨迹方程是 . 二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分，13、14小题各15分，共78分) 9. 解不等式.11122x x x x x <--+
2018全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . 1、设17-=a ，则代数式12612323--+a a a 的值为 （ ） A 、24 B 、25 （63） C 、1074+ （ ） D 、1274+ （ ） 解法一：直接思维：直接代入进行计算。立方计算，很费时间。 原式 =33312 3(81)(86 1)(4411)66a +--=?=-=-=--==+= 解法二：拆分、组合：提取（a+1） 原式=3a 3+3a 2+9a 2 +9a-15a-15+3 =（a+1）(3a 2+9a-15)+3=（a+1）(3a 2+3a+6a-15)+3 =[3a(a+1)2+（a+1）(6a-15)]+3=[21a+（a+1）(6a-15)]+3 =6a 2+12a+6-18=42-18=24 解法三：构造：（a+1）2 原式=3a(a 2+4a-2)-12=3a(a 2+2a+1+2a-3)-12=3a[(a+1)2+2a-3]-12 =3a(4+2a)-12=6a(a+2)-12=36-12=24 解法四：综合、分析：a 2=6-2a 代换 原式=3a(6-2a)+12(6-2a)-6a-12=-6a 2-12a+60=-6(6-2a)-12a+60=24 解法五：联想、猜想：结果应该是三的倍数。24=3×8原式除以3得： a 3+4a 2-2a-4=a 3+a 2+3a 2+3a-5a-4=(a+1)(a 2+3a)-5a-4=(a+1)(6+a)-5a-4 =a 2+2a+2=8 a 3+4a 2-2a-4=a 3+2a 2+a+2a 2-3a-4=a(a+1)2+2a 2-3a-4=7a+2a 2-3a-4=2a 2+4a-4=2a 2+4a+2-6=14-6=8 a 3+4a 2-2a-4=a 3+4a 2-2a-4=a(6-2a)+4(6-2a)-2a-4=-2a 2-4a +20 =-2(6-2a)-4a +20=8 赛点：1、两数和的平方、两数立方和的公式及其拆分、组合、变换 2、平方根式的运算 3、因式分解 4、构造的思想方法 5、猜想的思想方法 2011年全国高中数学联赛试题参考答案 2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上 ． 1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合 =A {-3,0,2,6} ． 2．函数1 1)(2-+= x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+b a ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答） 6．在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ． 7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，?=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ． 1 2 1 )1 (2 )3 2(1 1- + - - + - = + +n n n n n n t a t t a t a ∈ n(N)*． （1）求数列} { n a的通项公式；（2）若0 > t，试比较1+n a与n a的大小． 11．（本小题满分20分）作斜率为 3 1的直线 l与椭圆C：1 4 36 2 2 = + y x交于 B A,两点（如图所示），且)2 ,2 3(P在直线l的左上方． （1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若? = ∠60 APB，求△PAB的面积． y x O P A B 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是 两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）3 5 ． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是 （A ） 251±； （B ）25 1±-； （C ） 251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５． 若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） ８． 在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤2 1 ； 答（ ） （C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题 １．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ． ４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ． 第二试 1 1=S 3S =1 32=S 1978年全国高中数学竞赛题 一试题 1．已知y=log1 2 1 x+3 ，问当x为何值时，(Ⅰ)y>0；(Ⅱ)y<0？ 2．已知tan x=22(180° “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准 一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1 ）设x = (1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1 （C ）﹣1 （D ）2 【答】C ． 解：由已知得2 310x x ++=， 于是 222 2 (1)(2)(3)(3)(32) (31)1 1. x x x x x x x x x x +++=+++=++-=- （2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则 222x y z ++的最小值为( ). （A ）111 （B ）0 （C ）5 （D ） 5411 【答】D ． 解：由 25325x y z x y z +-=??--=-? ， ， 可得 312.x z y z =-??=+?， 于是 2 2221125x y z z z ++=-+． 因此，当111z = 时，222 x y z ++的最小值为5411 ． （3）若1x >，0y >，且满足3y y x xy x x y ==， ，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2 （C ） 92 （D ） 112 【答】C ． 解：由题设可知1y y x -=，于是 341 y y x yx x - ==，所以411y -=． 故1 2 y = ，从而4=x ．于是92x y +=． （4）设3 333 111 1 123 2011 S = ++++ ，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答】A ． 解：当2 3 2011k =，，，，因为()( )()32 111112111k k k k k k k ?? <=-??-+-??， 所以33 311 11115 11123201122201120124 S ??<=+ +++ <+-< ????． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4． （5）点D E ，分别在△ABC 的边A B A C ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ???====四边形，，，， 则13S S 与24S S 的大小关系为( ). （A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 【答】C ． 解：如图，连接DE ，设1 DEF S S ?'=， 则 14 23 S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） （6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 . 【答】31． 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． ． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不 同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35 ． 答（ ） ． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ． 方程0 12=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）25 1±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-± ． 答（ ） ． 已知：)19911991(21 1 1n n x --=（n 是自然数）．那么 n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）1 1991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）1 1991)1(--n ． 答（ ） ． 若M n 1210099321=????? ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和 1 3=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） 1 1=S 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c22 ||()|| a a b c a b c -++-+可以化简为（）． （A）2c a -（B）22 a b -（C）a -（D）a 1（乙）．如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B2（C）2 （D）2 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y = x b （b ≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121 a a b a b ++++ ，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． （A）1 （B） 21 4 a- （C） 1 2 （D） 1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．30 ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（）． （A）2 3（B）4 （C）5 2（D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）． 2001年全国初中数学联赛 一、选择题（每小题7分，共42分） 1、a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a +999b +1001c 的值是（ ） （A ） 1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定 2、若1≠ab ，且有5a 2+2001a +9=0及05200192=++b b ，则b a 的值是（ ） （A ）5 9（B ）9 5（C ）5 2001-（D ）9 2001- 3、已知在△ABC 中，∠ACB =900，∠ABC =150，BC =1，则AC 的长为（ ） （A ）32+（B ）32-（C ）30?（D ）23- 4、如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的一点，下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是（ ） （A ）BD AB BC AD ?=? （B ）AC AD AB ?=2 （C ）∠ABD =∠ACB （D ）BD AC BC AB ?=? 5、①在实数范围内，一元二次方程02 =++c bx ax 的根为a ac b b x 242-±-=； ②在△ABC 中，若222AB BC AC >+，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和111C B A ?中，a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，111,,c b a 分别为111C B A ?的三边，若 111,,c c b b a a >>>，则△ABC 的面积S 大于111C B A ?的面积1S 。以上三个命题中， 假命题的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3 6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ） （A ）522.8元（B ）510.4元（C ）560.4元（D ）472.8 二、填空题（每小题7分，共28分） 1、已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，∠QPO =1500，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 。 2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ） （A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（ba 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。 （A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。 2011年全国初中数学竞赛试题 考试时间：2011年3月20日9：30——11：30满分：150分答题时注意： 1、用圆珠笔或钢笔作答； 2、解答书写时不要超过装订线； 3、草稿纸不上交。 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、设x =(1)(2)(3)x x x x +++的值为（） A 、0 B 、1 C 、﹣1D、2 2、对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对（a,b）与(c,d)之间的运算“△”为：（a,b）△（c,d）＝（ac+bd,ad+bc）。如果对于任意实数u,v,都有（u,v）△（x,y）＝（u,v）,那么（x,y）为（ ） A、（0,1） B、（1,0） C、（﹣1，0） D、（0,﹣1） 3、已知A，B 是两个锐角，且满足225 sin cos 4 A B t +=，2223 cos sin 4 A B t +=，则实数t 所有可能值的和为（）A、8 3 ? B、53 ? C、1 D、 113 4、如图，点D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 上，BE、CD 相交于点F，设1EADF S S 四边形＝，2BDF S S ?＝，3BCF S S ?＝，4CEF S S ?＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（ ） A、13S S ﹤24S S B、13S S ＝24S S C、13S S ﹥24S S D、不能确定 5、设3333 1111 ++++1232011 S ?＝，则4S 的整数部分等于（） A、4 B、5 C、6 D、7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、两条直角边长分别是整数a,b（其中b<2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 . 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为5的概率是 . 8、如图，双曲线2 y x = （0x >）与矩 形OABC 的边BC，BA 分别交于点E，F，且AF＝BF，连结EF，则△OEF 的面积为 . 9、⊙O 的三个不同的内接正三角形将⊙O 分成的区域的个数为 . F B C E D A 第4 题图 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2020年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分） 1．方程组12,6 x y x y ?+=??+=??的解的个数为（ ）． （A ）1 （B ） 2（C ） 3 （D ）4 答：（A ）． 解：若x ≥0，则12,6,x y x y +=???+=??于是6y y -=-，显然不可能． 若0x <，则 12,6,x y x y -+=???+=?? 于是18y y +=，解得9y =，进而求得3x =-． 所以，原方程组的解为???=-=, 9,3y x 只有1个解． 故选（A ）． 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）． （A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20 答：（B ）． 解：用枚举法： 红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）． 3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.把答案填在横线上. 1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2010?S 1=1，则S 2011=. 2.已知复数z 的模为1，若z =z 1和z =z 2时|z +1+i |分别取得最大值和最 小值，则z 1?z 2= . 3.若正实数a,b 满足1a +1b ?2√2,(a ?b )2=4(ab )3，则log a b =.4.把扑克牌中的A,2,···,J,Q,K 分别看作数字1,2,···,11,12,13.现将一幅扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为.5.若△ABC 的角A,C 满足5(cos A +cos C )+4(cos A cos C +1)=0，则 tan A 2·tan C 2=.6.已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为6，M,N 分别是BB 1,B 1C 1上的点，B 1M =B 1N =2，S,P 分别是线段AD,MN 的中点，则异面直线SP 与AC 1的距离为. 7.在△ABC 中，E,F 分别是AC,AB 的中点，AB =23AC .若BE CF 全国初中数学竞赛试 题及答案 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 1997年全国初中数学联赛试题 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)2a 的平方根是a ±; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知354 234 -<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( ) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为 (A)4 (B)2 14 (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于 11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于 （A ）12； （B ）13； （C ）14； （D ）15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 . 2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知2=+b a ， 4)1()1(2 2-=-+-a b b a ，则a b 的值为 （ ） A ．1. B ．1-. C ．2 1 -. D ．21. 【答】B. 由 4)1()1(2 2-=-+-a b b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-， 即04)(2)(3 322=++++-+ab b a b a b a ， 即2 2 2 2 22()2()40a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1-=ab ． 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条 高线长的最大值为 （ ） A ．5. B ．6. C ．7. D ．8. 【答】B. 设△ABC 的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为h S S S 2, 202,52．显然 20 252S S > ，于是由三边关系，得 ?????>+>+, 25 2202,522202h S S S S h S S 解得320 4< １ 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则 ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++ =，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。2011全国初中数学竞赛试题解答
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