图2
侧视图
俯视图正视图
4x
3
3x
4D
C
B
A
侧视图
正视图立体几何专题(一)
一、
三视图考点透视:
①能想象空间几何体的三视图,并判断(选择题) ②通过三视图计算空间几何体的体积或表面积
③解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题
④旋转体(圆柱、圆锥、圆台或其组合体)的三视图有两个视图一样。 ⑤基本几何体的画法,如:三棱柱(侧视图)、挡住的注意画虚线。 1. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的 体积为85
12π+
,则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 2
2. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图(又称主视图)、 侧视图(又称左视图)如右图所示,则其俯视图为c
3.如图4,已知一个锥体的正视图(也称主视图),
左视图(也称侧视图)和俯视图均为直角三角形, 且面积分别为3,4,6,则该锥体的体积是 4 .
4. 如图1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形, 侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积 为
A .63
B .93
C .123
D .183
5、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2), 其中俯视图为正三角形,其它两个视图是矩形.已知D 是
正视图 左视图
图4
_3 _3 这个几何体的棱11C A 上的中点。 (Ⅰ)求出该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:直线11//BC AB D 平面; (Ⅲ)求证:直线11B D AA D ⊥平面.
二、直观图
掌握直观图的斜二测画法:①平行于两坐标轴的平行关系保持不变;
②平行于y 轴的长度为原来的一半,x 轴不变;
③新坐标轴夹角为45°。
6、如图,梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测),若A 1D 1∥O 1y 1,A 1B 1∥C 1D 1,A 1B 1=2,C 1D 1=3,A 1D 1=1,则梯形ABCD 的面积是( ) A .10 B .5 C .5 2
D .102
三、表面积和体积
不要求记忆,但要会使用公式。审题时分清“表面积”和“侧面积”。 (1)常见旋转体的面积公式: 表面积 侧面积
圆柱 ()2r r l π+
2rl π
圆锥 ()r r l π+
rl π
圆台
()/22/r r r l rl π+++
/r l rl ππ+
(2)体积公式
柱体V Sh = 锥体13V Sh = 台体()
//1
3
V S S S S h = 球体34
3
V R π=
球的表面积24S R π= C
A C 1
A 1
B 1
D
(3)正方体的内切球和外接球 设正方体的棱长为a ,则内切球半径=
2
a ; 外接球直径等于正方体的体对角线?外接球半径为32
a
。 长方体的体对角线长为222++长宽高 (4)扇形的面积公式211
22
S lr r α=
= 弧长公式l r α= 7、一个直角三角形的两条直角边分别是3和4,以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的表面
积为( )A
A .
845
π B .
144
15
π C .36π D .24π
8、若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项,则称此圆锥为“黄金圆锥”。已知某黄金圆锥的侧面积为π,则这个圆锥的高为________1
9、已知圆台的上下底面半径分别是2,6,且侧面积等于两底面面积之和,则该圆台的母线长是______5_____,体积是____ 52π_______。
10、如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),求此几何体的表面积和体积。
11、将圆心角为0
120,面积为π3的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积。
12、若一个球的体积是43π,则它的表面积为_________. 四、空间向量
13.三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等,且1=a ,2=b ,3=c ,则a +b+c 等于( )
A .3
B .6
C .3或6
D .3或6
14、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是 ( )
A .(
31,1,1) B .(-1,-3,2) C .(-21,2
3
,-1) D .(2,-3,-22) 15、如图,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若B A 1=a ,11D A =b ,
A A 1=c .则下列向量中与M
B 1相等的向量是( )
A .c b a ++-21
21 B .
c b a ++21
21 C .c b a +-2
1
21
D .c b a +--2
1
21
16.直三棱柱111ABC A B C -中,若90BAC ∠=?,1AB AC AA ==,则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于( ) A .30° B .45° C .60° D .90°
17、已知三棱锥S ABC -中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA 垂直于底面ABC ,
SA =3,那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )
A .
34 B .54 C .74 D .3
4
五、点、线、面的位置关系
18、,a b 是异面直线,,b c 是异面直线,则,a c 的位置关系是( )A
.A 相交、平行或异面 .B 相交或平行 .C 异面 .D 平行或异面
19、下列四个命题中假命题的个数是( )A
① 两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。 ② 两条直线没有公共点,则这两条直线平行。
③ 两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。 ④
//,,//a b a b αβαβ???。
.4A .3B .2C .1D
20、阅读以下命题:
① 如果b a ,是两条直线,且b a //,那么a 平行于经过b 的所有平面. ② 如果直线a 和平面α满足α//a ,那么a 与α内的任意直线平行. ③ 如果直线b a ,和平面α满足αα//,//b a ,那么b a //. ④ 如果直线b a ,和平面α满足αα?b a b a ,//,//,那么α//b .
图
⑤ 如果平面α⊥平面χ,平面β⊥平面χ,l =βα ,那么l ⊥平面χ. 请将所有正确命题的编号写在横线上 4,5 .
21.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是( ) (A )若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ (B )若//,//,//m n αβαβ,则//m n
(C )若,//,//m n αβαβ⊥,则m n ⊥ (D )若//,//,//m n m n αβ,则//αβ
22.已知p :直线a 与平面α内无数条直线垂直,q :直线a 与平面α垂直.则p 是q 的
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
+
立体几何专题复习(二)
—————证明、体积、空间角
一、证明平行与垂直问题 (1)线面平行
传统方法:通过构造平行四边形或中位线来找平行关系。(判定定理?) 或者先证明面面平行?线面平行。 向量方法:证明直线垂直于平面的法向量。l n ⊥
(2)面面平行
传统方法:依据判定定理,一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。 (3个条件不能却少,先证两次线面平行,最后指出相交直线。) 向量方法:证明两平面的法向量平行。12n n
(3)线面垂直 传统方法:判定定理:_________________________________________(3个条件) 向量方法:直线平行于法向量l n
(4)线线垂直
传统方法:先证线面垂直?线线垂直。(线面垂直的定义) 向量方法:数量积为0,即证12120l l l l =?⊥
(5)面面垂直
传统方法:先证线面垂直(判定定理) 向量方法:法向量互相垂直。
二、体积问题
(1)对于三棱锥的体积,常用等积法。 例1 (2011六校12月考)
如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形,PD ⊥平面
ABCD ,2,60PD AD BAD ==∠=,E 、F 分别为BC 、PA
的中点。
(I )求证:ED ⊥平面PAD ; (Ⅱ)求三棱锥P DEF -的体积;
(Ⅲ)求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值。
解答第2问时,要利用第1问的结论,并使用等积法。
等积法的体现,一定要写成 P DEF E PDF V V --= (请你完成前两问)
N
M
B 1
C 1
D 1
A 1
D
C
B
A
(2)对于四棱锥的体积计算则直接采用公式1
3
V Sh =
例2 (2010年广州市高三一模数学文科试题)
如图,正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ,AE ⊥平面CDE ,且3AE =,6AB =. (1)求证:AB ⊥平面ADE ;
(2)求凸多面体ABCDE 的体积.
(3)不规则几何体的体积,则采用割补法转化为常见几何体。
例3 (2010广州二模文)在长方体1111ABCD A B C D -中, 11,2AB BC AA ===, 点M 是BC 的中点,点N 是1AA 的中点. (1) 求证: //MN 平面1A CD ;
(2) 过,,N C D 三点的平面把长方体1111ABCD A B C D -截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.
A
B C D
E
(4)点到平面的距离。其实是体积问题的变式,将所求的点面距离看成某三棱锥的高,利用等体积法求出此高。
例4(2011深圳二模文)如图1,在直角梯形ABCD 中,CD AB //,AD AB ⊥,且
12
1
===CD AD AB .
现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ,然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折,使平面
ADEF 与平面ABCD 垂直,M 为ED 的中点,如图2.
(1)求证:AM ∥平面BEC ; (2)求证:⊥BC 平面BDE ; (3)求点D 到平面BEC 的距离.
有时要利用线面平行,采用迁移法(线段两个端点到平面距离相等)
例5 如图,在边长为a 的菱形ABCD 中,ABCD PC ABC 面⊥=∠,60 ,E,F 是PA 和AB
的中点。
(1)求证: EF//平面PBC ;
(2)求E 到平面PBC 的距离。
利用第1问结论EF//平面PBC ,
可知 点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离。 然后用等积法完成。
A
B
C
D P
E
F
F
E D C
B
A 图1 A
B
C
D
F
E 图2
M
三、空间角
(1)异面直线所成的角(0,]2
π
θ∈
先利用向量求12cos ,l l <>,如果是求角,结果一定要控制在90°以内。如果是求余弦值,结果一定要cos 0θ≥。
例6 (2011汕头二模理)如图,沿等腰直角三角形ABC 的中位线DE ,将平面
ADE 折起(转动一定角度)
,得到四棱锥A BCDE -,设CD 、BE 、AE 、AD 的中点分别为M 、N 、P 、Q ,平面ADE ⊥平面BCDE 。
(1)求证:平面ABC ⊥平面ACD ; (2)求证:M 、N 、P 、Q 四点共面; (3)求异面直线BE 与MQ 所有的角。
(2)二面角[0,]θπ∈
先分别求出两平面的法向量坐标,再求12cos ,n n <>。最后根据图像去判断二面角的范围(锐角还是钝角),或者二面角的三角函数值符号。(特别是余弦值的符号要细心)
A
D
E
B
Q A D
E
B
M
N
P
例7 (2011六校12月考)
如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形,
PD ⊥平面ABCD ,2,60PD AD BAD ==∠=,E 、F 分别为BC 、PA 的中点。 (I )求证:ED ⊥平面PAD ; (Ⅱ)求三棱锥P DEF -的体积;
(Ⅲ)求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大
小的余弦值。
(完成第3问。)
例8 (南海摸底)如图,四棱锥S ABCD -的底面是矩形,SA ⊥底面ABCD ,P
为BC 边的中点,SB 与平面ABCD 所成的角为45°,且2,1AD SA ==. (Ⅰ)求证:PD ⊥平面SAP ;
(Ⅱ)求二面角A SD P --的余弦的大小.
P
S
C
A
(3)线面角[0,]2
π
θ∈
先求直线和平面法向量的余弦值cos ,l n <>, 如果是求角,就用公式
,2
l n π
-<>或者,2
l n π
<>-
,范围控制在90°以内的正角。
如果是求线面角的三角函数值,就要先求正弦值sin cos ,0l n θ=<>≥。
例9 (桂城六校)如图,在矩形ABCD 中,2AB =,1AD =,E 为CD 的中点.将ADE ?沿AE 折起,使平面ADE ⊥平面ABCE ,得到几何体D ABCE -.
(Ⅰ)求证:BE ⊥平面ADE ;
(Ⅱ)求BD 与平面CDE 所成角的正弦值. (Ⅲ)求几何体C BDE -的体积.
答案
例1 (2011六校12月考)
如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形,PD ⊥平面
ABCD ,2,60PD AD BAD ==∠=,E 、F 分别为BC 、PA
的中点。
(I )求证:ED ⊥平面PAD ; (Ⅱ)求三棱锥P DEF -的体积;
(Ⅲ)求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值。
证明:(I )连结BD ,由已知得BD=2, 在正三角形BCD 中,BE=EC , DE BC ∴⊥,又AD//BC ,
DE AD ∴⊥ ………… 2分 又PD ⊥平面ABCD ,
PD DE ∴⊥, …………3分 AD PD D =,
DE ∴⊥平面PAD 。 …………4分
(Ⅱ)
2111
21222
PDF PDA S S ??=?=??=,
且3DE =, …… 5分
113
13333
P DEF E PDF PDF V V S DE --?∴==??=??=
…… 8分
(Ⅲ)证法一:如图建立空间直角坐标系D AEP -, 则由(I )知平面PAD 的一个法向量为1(0,1,0)n =
(1,3,0),(1,3,0),(0,0,2)B C P -, (2,0,0),(1,3,2)CB PB ∴==-
设平面PBC 的法向量为2(,,)n x y z =,
由2200,302
x n CB z y n PB =???=??
∴??=?=????
取2y =得2(0,2,3)n = …………11分
121212
27
cos ,17
n n n n n n ?∴=
=
=
?? …………13分 ∴平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值为
27
…………14分 证法二:由(I )知DE ⊥平面,PAD DE ?平面PDE ,
∴平面PAD ⊥平面PDE …………9分 又,BC DE BC PD ⊥⊥
BC ∴⊥平面,PDE 又BC ?平面PBC
∴平面PBC ⊥平面PDE …………10分
P
N M
B 1
C
1
D 1
A 1
D
C
B
A
DPE ∴∠就是平面PAD 与平面PBC 所成二面角的平面角 …………12分
∴在Rt PDE ?中,223
2274PE =+?=
27
cos 77
DPE ∴∠=
= …………14分
例2(2010广州市高三一模数学文科试题)
(1)证明:∵AE ⊥平面CDE ,CD ?平面CDE ,
∴AE ⊥CD .
在正方形ABCD 中,CD AD ⊥,
∵AD AE A =,∴CD ⊥平面ADE .
∵AB
CD ,
∴AB ⊥平面ADE .
故所求凸多面体ABCDE 的体积为183. 例3 (2010广州二模文)
(1)证:设点P 为AD 的中点,连接,MP NP .
∵ 点M 是BC 的中点, ∴ //MP CD .
∵ CD ?平面1A CD ,MP ?平面1A CD ,
∴ //MP 平面1A CD . …2分
Q
N
M
B 1
C 1
D 1
A 1
D
C
B A
∵ 点N 是1AA 的中点,∴ 1//NP A D . ∵ 1A D ?平面1A CD ,NP ?平面1A CD ,
∴ //NP 平面1A CD . ∵ MP
NP P =,MP ?平面MNP ,NP ?平面MNP ,
∴ 平面//MNP 平面1A CD . ∵ MN ?平面MNP ∴//MN 平面1A CD . (2) 解: 取1BB 的中点Q , 连接NQ ,CQ , ∵ 点N 是1AA 的中点, ∴ //NQ AB . ∵ //AB CD , ∴ //NQ CD .
∴ 过,,N C D 三点的平面NQCD 把长方体1111ABCD A B C D -截成两部分几何体, 其中一部分几何体为直三棱柱QBC -NAD , 另一部分几何体为直四棱柱
1111B QCC A NDD -. …8分
∴ 11111222
QBC S QB BC ?==??=, ∴
直
三
棱
柱
QBC -NAD
的体积
11
2
QBC V S AB ?==
, …10分 ∵ 长方体1111ABCD A B C D -的体积112V =??2=, ∴
直
四
棱
柱
1111
B QC
C A ND
D -体积
213
2
V V V =-=
. …12分 ∴ 12
V V =1232
=1
3.
∴ 所截成的两部分几何体的体积的比值为1
3
.
例4(2011深圳二模文) (1)证明:取EC 中点N ,连结BN MN ,. 在△EDC 中,,M N 分别为,EC ED 的中点,
所以MN ∥CD ,且12MN CD =
. 由已知AB ∥CD ,1
2
AB CD =, 所以MN ∥AB ,且MN AB =.……3分
所以四边形ABNM 为平行四边形. 所以BN ∥AM . …………………………4分
又因为?BN 平面BEC ,且?AM 平面BEC ,
所以AM ∥平面BEC . ………………………5分 (2)证明:在正方形ADEF 中,ED AD ⊥. 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,且平面ADEF 平面ABCD AD =,
所以⊥ED 平面ABCD .
所以ED BC ⊥. ………………………7分 在直角梯形ABCD 中,1==AD AB ,2=CD ,可得2=BC .
在△BCD 中,2,2===CD BC BD ,
所以2
2
2
CD BC BD =+.
所以BC BD ⊥. …………………………8分 所以BC ⊥平面BDE . …………………………10分 (3)解法一:由(2)知,BC ⊥平面BDE
又因为BC ?平面BCE , 所以平面BDE ⊥平面BEC . ……………………11分 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ,则⊥DG 平面BEC
所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度 ………………………12分
在直角三角形BDE 中,DG BE DE BD S BDE ?=?=?2
1
21 所以3
63
2=
=?=
BE
DE
BD DG 所以点D 到平面BEC 的距离等于
3
6
. ………………………14分 解法二:由(2)知,BD BC BE BC ⊥⊥, 所以,1222
1
21=??=?=?BC BD S BCD .2
6322121=??=?=
?BC BE S BCE ………………………12分 又BCE D BCD E V V --=,设点D 到平面BEC 的距离为.h 则
?=??3
1
31DE S BCD h S BCE ??
所以 36
2
6
1=
=?=
??BCE BCD S DE S h 所以点D 到平面BEC 的距离等于
3
6
. 例5 (1)证明:
PB
EF BF AF PE AE //,
,∴==
又 ,,PBC PB PBC EF 平面平面?? 故 PBC EF 平面//……………………6分 (2)解:在面ABCD 内作过F 作H BC FH 于⊥
PBC PC ABCD PC 面面?⊥,
ABCD PBC 面面⊥∴………………………………………8分 又 BC ABCD PBC =面面 ,BC FH ⊥,ABCD FH 面? ABCD FH 面⊥∴
又PBC EF 平面//,故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离FH 。 在直角三角形FBH 中,2
,60a FB FBC =
=∠
, a a a FBC FB FH 4
323260sin 2sin 0=?=?=
∠= 故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离,等于
a 4
3
。……………14分 例6 (2011汕头二模理)
(1)证明:由等腰直角三角形ABC 有AD DE ⊥,CD ⊥DE ,D E ∥BC -------- 1分 又D CD AD =?,⊥∴DE 面ACD , ----------2分
又D E ∥BC
∴BC ⊥平面ACD ,BC ?平面ABC , ----------3分 ∴平面ABC ⊥平面ACD 。 ----------4分
(2)由条件有PQ 为ADE ?的中位线,MN 为梯形BCDE 的中位线 ----------1分 ∴P Q ∥DE ,MN ∥DE ----------2分 ∴PQ ∥MN ----------3分 ∴ M 、N 、P 、Q 四点共面. ----------4分
Q M
D
R
C
E B
A
(3) 解法一: 平面ADE ⊥平面BCDE ,交线为DE, AD ⊥DE ∴AD ⊥面BCDE ----------1分 ∴AD 、DC 、DE 两两互相垂直
可以以D 为原点建立如图空间直角坐标系, ----------2分 设AD=2(长度单位),则DC=2,BC=4,
则C (2,0,0),A (0,0,2),E (0,2,0),
B (2,4,0) ----------3分
)2,0,2(),0,2,2(-=--=∴AC BE ----------4分
设异面直线BE 与MQ 所成的角为θ,∵MQ ∥BC,
∴|,cos |cos ><=AC BE θ
21
||||||=?=AC BE ----------5分 2
0π
θ<
< ,3
π
θ=
∴
∴异面直线BE 与MQ 所成的角大小为
3
π
.----------6分 解法二:设AD=1(长度单位),则DC=1,BC=2, 延长ED 到R ,使DR =ED ,连结RC ---1分 则ER =BC ,ER ∥BC ,故BCRE 为平行四边形 --2分 ∴RC ∥EB ,又AC ∥QM
∴ACR ∠为异面直线BE 与QM 所成的角θ(或θ的补角)
------3分
DA=DC=DR ,且三线两两互相垂直,
∴由勾股定理得2 ---------4分 ?∴ACR 为正三角形,∴ACR ∠=3
π
------5分
∴异面直线BE 与QM 所成的角大小为
3
π
------6分 例8 (南海摸底)解:(Ⅰ)证明:因为⊥SA 底面ABCD ,
所以,∠SBA 是SB 与平面ABCD 所成的角 …………………1分
由已知∠SBA =45°,所以AB =SA =1易求得,AP =PD =2,…………………3分 又因为AD =2,所以AD 2=AP 2+PD 2,所以PD AP ⊥. …………………4分
因为SA ⊥底面ABCD,?PD 平面ABCD ,
所以SA ⊥PD , …………………………………………………………5分 由于SA ∩AP =A 所以⊥PD 平面SAP . …………………6分
(Ⅱ)设Q 为AD 的中点,连结PQ , …………………7分 由于SA ⊥底面ABCD ,且SA ?平面SAD ,
则平面SAD ⊥平面PAD …………………8分 PQ AD ⊥,∴
PQ ⊥平面SAD ,SD ?平面SAD , ∴ PQ SD ⊥. P
N
M
E
B
C
D
z y
x
P
S C
A
R
Q
过Q 作QR SD ⊥,垂足为R ,连接PR ,则SD PR ⊥面Q . 又PR PR ?面Q ,SD PR ∴⊥,∴ ∠PRQ 是二面角A -SD -P 的平面
角.…………10分 容易证明△DRQ ∽△DAS ,则
QR DQ
SA SD
=
. 因为11DQ SA ==,
,SD =
所以DQ QR SA SD =?= …………………12分 在Rt △PRQ 中,因为PQ =AB =1,5
30
22=
+=PQ QR PR , 所以6
6
==
∠PR RQ PRQ COS . …………………13分 所以二面角A -SD -P 的余弦为6
6
. …………………14分
解法二:因为⊥SA 底面ABCD ,
所以,∠SBA 是SB 与平面ABCD 所成的角. ……1分 由已知∠SBA =45°,所以AB =SA =1 建立空间直角坐标系(如图) 由已知,P 为BC 中点.
于是A (0,0,0)、B (1,0,0) 、P (1,1,0)、D (0,2,0)、S (0,0,1)……………3分
(Ⅰ)易求得AP =(1,1,0),
)0,1,1(-=PD ,)1,1,1(--=PS . …………………4分
因为()110110AP PD ?=?-=,,(,,0),()1101110PD PS ?=-?--=,,(,,). 所以PD AP ⊥,PD PS ⊥.
由于AP SP P ?=,所以⊥PD 平面SAP . …………………6分
(Ⅱ)设平面SPD 的法向量为)1,,(y x =.
由?????=?=?00PD n PS n ,得???=+-=-+001y x y x 解得
21==y x , 所以11
(,,1)22
n =. …………………9分
又因为AB ⊥平面SAD ,所以是平面SAD 的法向量,
易得()1,0,0AB =. …………………9分
所以1
,61AB n COS AB n AB n
?<>===?. …………………13分
所以所求二面角B SA C --的余弦值为6
6
.…………………
14分
例9 (桂城六校)
解:(Ⅰ)在图1中,可得2AE BE ==
,从而222AE BE AB +=,故AE BE ⊥,
取AE 中点O 连结DO ,则DO AE ⊥, 又面ADE ⊥面ABCE ,面ADE
面ABCE AE =,DO ?面AED ,
从而DO ⊥平面ABCE , ∴DO BE ⊥,又AE BE ⊥,AE DO O =,
∴BC ⊥平面ADE .
(Ⅱ)建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,----------------------------5分
则2(0,0,
)D ,2(,2,0)B -,2(,0,0)E -,2
(2,,0)C -, ∴
22
(
,2,)BD =-,
22
(,0,)DE =-
-,
22
(2,
,)22
DC =-----------------------7分 设向量(,,)n x y z =为平面CDE 的一个法向量,则
00
n DE n DC ??=??
?=??,即22
0222220x z x y z ?--=????-+-=??, 令1z =,得1x =-,1y =-,即(1,1,1)n =--, ------9分
∴22
2222cos ,33
n BD -
++<>=
=?, ---------11分
∵直线BD 和平面CDE 所成的角θ是向量n 和BD 夹角的余角, ∴BD 与平面CDE 所成角的正弦值为
2
3
. (Ⅲ)由(Ⅰ)知DO ⊥平面ABCE ,所以DO 为三棱锥D BCE -的高, ∵11
1122
BCE S ?=
??=,22DO =, ∴11122
332C BDE D BCE BCD V V S DO --?==
??=??=.
D
C
B
A
P
作业
【揭阳二模文】如图,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形,且PA=AD=1,AB=2,
120PAB ∠=,90PBC ∠=.
(1)求证:平面PAD ⊥平面PAB ; (2)求三棱锥D -PAC 的体积.
6
一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示: 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。方法二:用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。方法二:用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三.垂直关系: l
1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 方法二:计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????
高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 E'D' F' C'侧面 A'B' l 1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的 底面侧棱 关系: 斜棱柱 ED FC ① 底面是正多形 棱柱正棱柱 棱垂直于底面 直棱柱 其他棱柱 AB ②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形 长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体 1.3棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 D1 C1 平方和;【如图】 2222 ACABADAA 11 A1 D B1 ②(了解)长方体的一条对角线 AC 与过顶点A 的三条 1 C AB 棱所成的角分别是,,,那么
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222 coscoscos1, 222 sinsinsin2; ③(了解)长方体的一条对角线A C与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是,,, 1 则 222 coscoscos2, 222 sinsinsin1. 2.侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻 边的矩形. 3.面积、体积公式:S ch 直棱柱侧 直棱柱全底,V棱柱底 Sch2SSh (其中c为底面周长,h 为棱柱的高)1.5圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其 余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 母线A' B' O' C' 轴 轴截面 2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 2.3侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和AOC 侧面B 母线长为邻边的矩形. 底面2.4面积、体积公式: S圆柱侧=2rh;S 圆柱全= 2 2rh2r,V 圆柱=S底h= 2 rh(其中r为底面半径,h为圆柱高) 1.6棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形,其余各 S 顶点侧面面是有一个公共顶点的三角形,由这些高 面所围成的几何体叫做棱锥。 侧棱正棱锥——如果有一个棱锥的底面 是正多边形,并且顶点在底面的射影是 底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质:底面 斜高DC ①平行于底面的截面是与底面相似的正 O AB H 多边形,相似比等于顶点到截面的距 离与顶点到底面的距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。)(如上图:SOB,SOH,SBH,OBH为直角三角形) 3.3侧面展开图:正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。
高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )
立 体几何试题 一.选择题(每题4分,共40分) 1.已知AB 0300300150空间,下列命题正确的个数为( ) (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是( ) A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作( ) A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二.填空题(每题4分,共16分) 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ,设直线AB 与平面α交于点O ,则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.(用两种方法证明) 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图,E ,F ,G ,H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1,C 1D 1,AA 1的中点。 求证:(1)EG ∥平面BB 1D 1D ; (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .
4、如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC =l. (1)求证:l ∥BC ; (2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论。 5、如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD ,SA=SB ,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC ,且交SC 于点N 。 (1)求证:SB ∥平面ACM ; (2)求证:平面SAC ⊥平面AMN ; (3)求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.
高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形
1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H
高中数学必修二立体几何入门试题精选 内容:空间几何体与异面直线 时间:90分钟 分值:100分 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分?在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 下列说法不正确的是 ( ) A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C. 平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面 D .直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 2. 下列四个几何体中,每个几何体的三视图 有且仅有两个视图相同的是( ) 3. 如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正三角形,俯视图是一个圆,那么几何体的侧面积为 ( B. ①正方体 A .①② B .①③ C .①④ D .②④ C. _2 D. 4 A i B i C i D i 中,既与 AB 共面也与CC i 共面的棱的条数为( 4.平面六面体ABCD
5. 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图中厶 ABC 是 边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的 9. 在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1 : 2,则它们的面积比为 1 : 4,类似地,在空 间内,若两个正四面体的棱长的比为 1 : 2,则它们的体积比为 _」 10. 过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面, 它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为 11.直三棱柱ABC A1B 1C 1的各顶点都在同一球面上, 若AB AC AAA 2 , BAC 120,则此球的表面积等于 _______________________ 侧视图的面积为( )? A. 12 B . 2 3 C . 3 2 D . 6 6 ?—个骰子由1~6六个数字组成 ,请你根据图中三种状态所显 示的数字,推出 “? ”处的数字是( : ) A. 6 B 3 C 1 D 7. 如右图所示的直观 图, 其平面图形的面积为( ) 3”2 A. 3 B . 2 C . 6 D . . 3 2 则该几何体的表面积为() ?(不考虑接触 点) A. 6+ .3 B. 18+ .3 4 C. 32 D. 18+ 2.3 亠「3 丿 、填空题(本大题共5小题,每小题 4分,满分20分?把答案填在题中横线上 正迄要 8.如右图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示, 俯视 侧视
专题一浅析中心投影与平行投影 中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础,弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图,平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.下表简单归纳了中心投影与平行投影,结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影. 例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等? 解析:方法一:可在同一方向上画出与原长相等的影长,分别连结它们影子顶点与树的顶点,此时为平行投影. 方法二:可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子,连结影子顶点与树的顶点相交于P,此时为中心投影,P为光源位置. 点评:这是一道平行投影和中心投影相结合的题目,答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点,如果得到的是平行线,即为平行投影;如果得到的是相交线,则为中心投影,这是判断平行投影与中心投影的方法,也是确定中心投影光源位置的基本作法,还应注意,若中心投影光源在两树同侧时,图中的两棵树的影子不可能与原长相等. 例2 如图所示,点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号).
解析:在下底面ABCD上的投影为③,在右侧面B′BCC′上的投影为②,在后侧面D′DCC′上的投影为①. 答案:①②③ 点评:画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等,方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影. 专题二不规则几何体体积的求法 当所给几何体形状不规则时,无法直接利用体积公式求解,可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积,下面逐一介绍,供同学们参考. 一、等积转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量(底面积或高)不易求出时, 可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解,该方法尤其适用于求三棱锥的体积. 例1在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N,P 分别是棱A1B1,A1D1,A1A上的点,且满足A1M = 1 2A1B1, A1N=2ND1,A1P= 3 4A1A(如图1),试求三棱锥A1—MNP的体 积. 分析:若用公式V= 1 3Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积, 则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高,这两者显然都不易求出, 但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下,变为求三棱锥P—A1MN的体积,便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积,从而代入公式求解. 解:V A 1-MNP =V A1—MNP = 1 3·S△A1MN ·h = 1 3× 1 2·A1M1·A1N·A1P= 1 3× 1 2× 1 2a· 2 3a· 3 4a= 1 24a 3.
A P B C F E D 立体几何专题训练 1.在四棱锥P -ABCD 中,PA =PB .底面ABCD 是菱形, 且∠ ABC =60°.E 在棱PD 上,满足DE =2PE ,M 是AB 的中点. (1)求证:平面PAB ⊥平面PMC ; (2)求证:直线PB ∥平面EMC . 2.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等, D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点,点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点,求证:BB 1∥平面EFM ; (2)求证:EF ⊥BC 。 3.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,,E P 分别是 11,BC A D 的中点,M 、N 分别是1,AE CD 的中点,1,2AD AA a AB a === (1)求证://MN 面11ADD A (2)求三棱锥P DEN -的体积 4如图1,等腰梯形ABCD 中,AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a (1)求证:平面PCF ⊥平面PDE ; (2)求四面体PCEF 的体积. 6如图,等腰梯形ABEF 中,//AB EF ,AB =2, 1AD AF ==,AF BF ⊥,O 为AB 的中点,矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面CBF ; (Ⅱ)设FC 的中点为M ,求证://OM 平面DAF ; (Ⅲ)求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中,,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. (Ⅰ)求证:直线EF ∥平面ABD ;(Ⅱ)求证:平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2,G 为 AF 的中点。 (1)求证:1F G ∥平面11BB E E ; (2)求证:平面1F AE ⊥平面11DEE D ; D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b. (2)两直线垂直的判定
立体几何大题专练 1、如图,已知PA⊥矩形ABCD 所在平面,M、N 分别为AB、PC 的中点; (1)求证:MN// 平面PAD (2)若∠ PDA=45 °,求证:MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12 分) 如图,在三棱锥P ABC中,E,F 分别为AC,BC 的中点. 1)求证:EF // 平面PAB ; 2)若平面PAC 平面ABC,且PA PC ,求 证:平面PEF 平面PBC . ABC 90 , A P C F B
(1)证明:连结EF , Q E、F 分别为AC 、BC的中点, EF // AB. ???????? 2 分又EF 平面PAB ,AB 平面PAB ,EF∥平面PAB. ????????5 分 (2)Q PA PC,E为AC的中点, PE AC ???????? 6 分 又Q 平面PAC 平面ABC PE 面ABC ????????8 分 PE BC ????????9 分 又因为F 为BC 的中点, EF // AB Q ABC 900, BC EF ????????10 分 Q EF I PE E BC 面PEF ????????11 分 又Q BC 面PBC 面PBC 面PEF ????????12 分 3. 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点。 1)求证:BC1// 平面CA1D; 2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B。 4.已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F 分 别是AB、PC的中点. (1) 求证:EF∥平面PAD; (2) 求证:EF⊥ CD; (3) 若∠ PDA=45°,求EF与平面ABCD 所成的角的大小.
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 % 棱柱的分类 棱柱的性质 , ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成 ` 的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + co s2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 图1-1 棱柱 图1-2 长方体 图1-1 棱柱
棱柱的侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长,h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底 【 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 - 2-4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径,h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2 V 圆柱 = S 底h = πr 2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; ⑵ 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ⑶ 正棱锥中的六个元素,即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH),构成四个直角三角形(三角形SOB 、SOH 、SBH 、OBH 均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图:正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 图1-3 圆柱 )
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 (一)立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有: ①利用定义采用反证法; ②平行判定定理; ③利用面面平行,证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法:中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证:PC∥面BDQ. 证明:如图,连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形, ∴A O=O C.连结O Q,则O Q在平面BDQ内, 且O Q是△APC的中位线, ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外, ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证: (1)E、F、B、D四点共面; (2)面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ,如图, 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点, ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. (2)连结A 1C 1交MN 于P 点,交EF 于点Q ,连结AC 交BD 于点O ,分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点, ∴MN ∥EF ,EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD , ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ,PA 、MN ?面AMN , ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图(1),在直角梯形P 1DCB 中,P 1D//BC ,CD ⊥P 1D ,且P 1D=8,BC=4,DC=4 6, A 是P 1D 的中点,沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置(如图(2)),使二面角P —CD —B 成45°,设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证:AF//平面PE C ; 证明:如图,设PC 中点为G ,连结FG ,
高中数学立体几何知识点总结 一、空间几何体 (一)空间几何体的类型 1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二)几种空间几何体的结构特征 1、棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 「斜機柱 ①校*L曲査十底雨>直棱 柱]一IF 皱ft 他械柱… 底面是四边形底面是平行四边形 棱柱四棱柱平行六面体侧棱垂直于底面底面是矩形 直平行六面体'长方体 底面是正方形棱长都相等 正四棱柱正方体 性质: I、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; n、两底面是全等多边形且互相平行; 川、平行于底面的截面和底面全等;
2 1.3棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧ch ( c 是底周长,h 是咼) S 直棱柱表面=c ? h+ 2S 底 V 棱柱=S 底? h 2、棱锥的结构特征 2.1棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共 顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2) 正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形, 并且顶 点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2正棱锥的结构特征 I 、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形, 相似比 等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积 的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比; 截得的棱 锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱 锥的高的立方 比; n >正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 S 正棱椎 (c 为底周长,h'为斜高) 2 1 体积:V 棱椎-Sh ( S 为底面积,h 为高) 3 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 2 -a 的正方体问题。 P O H C
点、直线、平面之间的关系 ㈠平面的基本性质 公理一:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 公理二:不共线的三点确定一个平面。 推论一:直线与直线外一点确定一个平面。 推论二:两条相交直线确定一个平面。 推论三:两条平行直线确定一个平面。 公理三:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理:平行于同一直线的两条直线相互平行。 即:a∥b,b∥c a∥c 1.2 异面直线 定义:不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围:(0°,90°]. ⑵作异面直线成角的方法:平移法。 注意:找异面直线所成角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等),形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义:平面外的直线与平面无公共点,则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理: 1.3 性质定理:
2 线面角: 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜 交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围:θ∈[0°,90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义:空间两个平面没有公共点,则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理: ⑴ 判定定理1:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面相互平行。 即: 推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面的两条线段,那么这两个平面平行。即: ⑵ 判定定理2:垂直于同一条直线的两平面互相平 行。即: 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理: 图2-3 线面角 图2-5 判定1推论 图2-6 判定2
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在应用中:低一级位置关系判定高一级位置关系;高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化: αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化: a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质,推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ,且二面角成直二面角
面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定,由已知想性质。” 5. 唯一性结论: 1. 三类角的定义: (1)异面直线所成的角θ:0°<θ≤90 ° (2)直线与平面所成的角:0°≤θ≤90° (3)二面角:二面角的平面角θ,0°<θ≤180° 2. 三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算” 即:(1)找出或作出有关的角;(2)证明其符合定义; (3)指出所求作的角; (4)计算大小。
【最新整理,下载后即可编辑】 【模拟试题】 一. 选择题(每小题5分,共60分) 1. 给出四个命题: ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体; ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱; ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题: ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥; ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥; ③棱锥的所有面可能都是直角三角形; ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1:2:3,它的表面积为88,则它的对角线长为() A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球,湖结冰后将球取出,冰面上留下一个面直径为24cm,深为8cm的空穴,则该球的半径是() A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积为侧面积的比是() A. 12 2 +π π B. 14 4 +π π C. 12 +π π D. 14 2 +π π 6. 已知直线l m ⊥? 平面,直线平面 αβ,有下面四个命题: ①αβ//?⊥l m;②αβ⊥?l m //;③l m //?⊥ αβ;④l m⊥?αβ//。 其中正确的两个命题是() A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③
7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6cm ,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( ) A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123 8. 设正方体的全面积为242cm ,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是( ) A. 63πcm B. 32 3 3 πcm C. 8 3 3 πcm D. 4 3 3 πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是( ) A. m n m n ⊥,,////αβ B. m n m n ⊥=?,,αβα C. m n n m //,,⊥?βα D. m n m n //,,⊥⊥αβ 10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足: l l m m =?⊥βγααγ ,,,//,那么必有( ) A. αγ⊥⊥和l m B. αγβ////,和m C. m l m //β,且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中,有四个点恰好为正四面体的顶点,则该正四面体的体积与正方体的体积之比为( ) A. 13: B. 12: C. 2:3 D. 1:3 12. 向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( ) 二. 填空题(每小题4分,共16分) 13. 正方体的全面积是a 2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是__________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8,体积为143cm ,则棱台的高为____________。 15. 正三棱柱的底面边长为a ,过它的一条侧棱上相距为b 的
高中课程复习专题 ——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。 围成多面体的各个 多边形叫做多面体的面, 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭 几何体。 其中, 这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义:有两个面互相平行, 其余各面都是四边 形,并且每相邻 两个四边形的公共边都互相平行,由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2棱柱的分类 瓦他棱柱… ②四检杆 底血为甲行四边遊 T-trAfij 休 侧检旺亢丁底向 A-'K'tf'AlkJtt 囱向为和序 ------------------ ? ------------- - ----------------- ■ ------------------ A 长方体I 屁血为止方册.1』四棱相 傭棱打底血边怅*||簞 止方体 1.3棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 1.4长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12 ⑵长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的三条棱所成 的角分别是a 伙Y 那么: 2 2 2 cos a + cos 3 + COS 丫= 1 sin 2 a + sin 3 + siny =2 ⑶ 长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为 a 3 Y 则: .咬llLI 昭|1.呂出 *正棱柱 够一 ;I ;从 图1-2长方体 2 COs a 2 2 + cos 3 + COSY = 2 sin 2 a 2 2 + sin 3 + sinY =1 E' A 图图1棱柱棱柱