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解析几何第四版吕林根课后习题答案

第三章平面与空间直线

§ 3.1平面的方程

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点

)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；

（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。解：（1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：07234=-+-z y x

（2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。（3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为：

一般方程为：0745910=-++z y x 。

（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面

∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB

均与π'平行，所以π'的参数式方程为：一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：

042:=+-+z y x π.

解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--，所以，它的截距式方程为：

24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-，

∴ 所求平面的参数式方程为：

3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：

0=++CZ BY AX .

证明：不妨设0≠A ，

则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为：故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A

C A B --，

从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：

，}1,0,{},0,1,{A

A B --

共面? ?

0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标.

解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z .

5. 求下列平面的一般方程.

⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;

⑶与平面0325=+-+z y x 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点()()1,2,4,2,1,321--M -M ,求通过1M 且垂直于21,M M 的平面; ⑸原点O 在所求平面上的正射影为()6,9,2-P ;

⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面.

解:平行于x 轴的平面方程为00

011

112

=--+-z y x .即01=-z .

同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z . ⑵设该平面的截距式方程为

132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19

24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x .

⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点,

{}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量,

∴点法式方程为00

215

000

=----z y x ∴一般方程为02=+z y .

同理经过y 轴,z 轴的平面的一般方程分别为05,052=-=+y x z x . ⑷{}2121.3,1,1M M --=M M →

垂直于平面π,

∴该平面的法向量{

}3,1,1--=→

n ,平面?通过点()2,1,31-M , 因此平面π的点位式方程为()()()02313=--+--z y x . 化简得023=+--z y x . (5) {}.6,9,2-=→

∴ .11

cos ,119cos ,112cos -===

?γβ 则该平面的法式方程为:.01111

119112=--+z y x

既 .0121692=--+z y x

（6）平面0138=-+-z y x 的法向量为{}3,8,1-=→

n ，{}1,6,121=M M ，点从()2,1,4

写出平面的点位式方程为01

381

214

=----z y x ，则,261

38-=-=

74282426,141

131,21

113-=++?-===

D C B ，

则一般方程,0=+++D Cz By Ax 即：.037713=---z y x 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。解：.3-=D Θ

∴将已知的一般方程乘上.30

λ得法式方程

.030

330530

230

z y x

()∴-

=∴=.2

1.12λD Θ将已知的一般方程乘上.2

1-=λ得法式方程

.02

12121=-

-y x

()∴-=∴=.1.2.3λD Θ将已知的一般方程乘上.1-=λ得法式方程.02=--x

().9

1.0.4±=∴=λD Θ即9

1=λ或9

1-=λ

将已知的一般方程乘上91=

λ或.91-=λ得法式方程为09

9494=+-z y x 或.09

9494=-+-

z y x 7．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。

解：().71.35.1=-=λD 化为法式方程为057

67372=-++z y x 原点指向平面π的单位

法矢量为,76,73,72?

???=u 它的方向余弦为.7

6cos ,73cos ,72cos ===γβα原点o 到平

面π的距离为.5=-=D P λ

().3

1.21.2-==λD 化为法式方程为-073

1=--+-z y x 原点指向平面π的单位

法矢量为,32,3

2,310?

?????--=n 它的方向余弦为122

cos ,cos ,cos .333

αβγ=-==-原点o

到平面π的距离7.p D λ=-= 第20页

8．已知三角形顶点()()()0,7,0,2,1,1,2,2,2.A B C --求平行于ABC V 所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。

解：设,.AB a AC b ==u u u r r u u u r r 点()0,7,0.A -则{}{}2,6,1,2,9,2a b ==r r 写出平面的点位式方程

726102

x y z += 设一般方程0. 3.2,6,140.Ax By Cz D A B C D +++=∴====-< 则1

. 2.7

p D λλ==-=

相距为2个单位。则当4p =时28.D =-当0p =时0.D =

∴所求平面为326280.x y z -+-=和3260.x y z -+=

9．求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴,ox oy 与oz 上的截距之比为

::1:3:2a b c =-的平面。

解：设,3,2.0.a x b x c x abc =-==≠∴Q 设平面的截距方程为 1.x y z a b c

++= 即.bcx acy abz abc ++= 又Q 原点到此平面的距离 6.

d =

6.=

∴所求方程为7.32

y z

x -+

+= 10．平面1x y z a b c

++=分别与三个坐标轴交于点,,.A B C 求ABC V 的面积。解 (,0,0)A a , (0,,0)B b ,(0,0,)

C c {},,0AB a b =-u u u r ,{},0,AC a c =-u u u r

{},,AB AC bc ca ab ?=u u u r u u u r

;AB AC ?=u u u r u u u r .

∴S ABC V

11．设从坐标原点到平面的距离为。求证

1.p p =∴= 从而有

2222

1111.p a b c =++ § 3.2 平面与点的相关位置

1.计算下列点和平面间的离差和距离：（1）)3,4,2(-M ， :π 0322=++-z y x ；（2）)3,2,1(-M ， :π 0435=++-z y x . 解：将π的方程法式化，得：

01323132=--+-z y x ，

故离差为：3

1332431)2()32()(-=-?-?+-?-=M δ，

M 到π的距离.3

)(==M d δ

（2）类似（1），可求得

0354353356355)(=-++-

=M δ，

M 到π的距离.0)(==M d δ

2.求下列各点的坐标：

（1）在y 轴上且到平面02222=--+z y 的距离等于4个单位的点；（2）在z 轴上且到点)0,2,1(-M 与到平面09623=-+-z y x 距离相等的点；（3）在x 轴上且到平面01151612=++-z y x 和0122=--+z y x 距离相等的点。

解：（1）设要求的点为)0,,0(0y M 则由题意

∴ 610=-y ?50-=y 或7.

即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。（2）设所求的点为),0,0(0z 则由题意知：由此，20-=z 或-82/13。故，要求的点为)2,0,0(-及)13

,0,0(-

。（3）设所求的点为)0,0,(0x ，由题意知：由此解得：20=x 或11/43。

所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。

3.已知四面体的四个顶点为)4,1,1(),5,11,2(),3,5,3(),4,6,0(---C B A S ，计算从顶点S 向底面ABC 所引的高。解：地面ABC 的方程为：所以，高33

426=+?--=

h 。

4.求中心在)2,5,3(-C 且与平面01132=+--z y x 相切的球面方程。解：球面的半径为C 到平面π：01132=+--z y x 的距离，它为：

14214

2814

6532==+++?=

R ，

所以，要求的球面的方程为：

56)2()5()3(222=++++-z y x .

即：0184106222=-++-++z y x z y x .

5．求通过x 轴其与点()5,4,13M 相距8个单位的平面方程。

解：设通过x 轴的平面为0.By Cz +=它与点()5,4,13M 相距8个单位，从而

228.481041050.B BC C =∴--=因此()()1235430.B C B C -+=

从而得12350B C -=或430.B C +=于是有:35:12B C =或():3:4.B C =-

∴所求平面为35120y z +=或340.y z -=

6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹. ⑴053407263=--=--+y x z y x 和; ⑵062901429=++-=-+-z y x z y x 和. 解: ⑴ ()072637

:1=--+z y x π 令()()5345

1726371--=--+y x z y x

化简整理可得:0105113=+-z y x 与07010943=--+z y x . ⑵对应项系数相同,可求42

14221'-=+-=+=D D D ,从而直接写出所求的方程:0429=-+-z y x .

9 判别点M （2 -1 1）和N （1 2 -3）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？（1）1:3230x y z π-+-=与2:240x y z π--+= （2）1:2510x y z -+-=与2:32610x y z π-+-=

解：（1）将M （2 -1 1），N （1 2 -3）代入1π，得： 61230

32630

++-???---??

则M ，N 在1π的异侧再代入2π，得：221470

143440

+-+=???-++=??

∴MN 在2π的同侧 ∴MN 在相邻二面角内

（2）将M （2 -1 1）N （1 2 -3）代入1π，得：415190

2215180++-=???---=-??

则MN 在1π的异侧。再代入2π，得：6621130

34181200

++-=>??

---=-

则MN 在2π的异侧

∴ MN 在对顶的二面角内

10 试求由平面1π：2230x y z -+-=与2π：32610x y z +--=所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点（1， 2， -3）

解：设p （x y z ）为二面角的角平分面上的点，点p 到12ππ的距离相等

5332190(1)

234240(2)x y z x y z +--=??

---=?

把点p 代入到12ππ上，10δ< 20δ> 在（1）上取点（

0 0）代入12ππ，''1200δδ>>。在（2）上取点（0 0 -6）代入12ππ，""1200δδ<>

∴（2）为所求，∴解平面的方程为：34240x y z ---=

3.3 两平面的相关位置

1.判别下列各对直线的相关位置：（1）0142=+-+z y x 与032

=--+z y x ；（2）0522=---z y x 与013=--+z y x ；（3）05426=--+z y x 与02

9639=--+z y x 。

解：（1）Θ )1(:2

:41)4(:2:1-=-， ∴ （1）中的两平面平行（不重合）；（2）Θ )1(:3:1)2(:)1(:2-≠--， ∴ （2）中两平面相交；

（3）Θ )6(:3:9)4(:2:6-=-， ∴ （3）中两平面平行（不重合）。 2.分别在下列条件下确定n m l ,,的值：

（1）使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面；

（2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面；（3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：即：

从而：9

=l ，913=

m ，9

37=n 。（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：所以：4-=l ，3=m 。

（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：所以： 7

1-=l 。

3.求下列两平行平面间的距离：

（1）0218419=++-z y x ，0428419=++-z y x ；（2）07263=--+z y x ，014263=+-+z y x 。解：（1）将所给的方程化为：所以两平面间的距离为：2-1=1。

（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。 4.求下列各组平面所成的角：（1）011=-+y x ，083=+x ；

（2）012632=-+-z y x ，0722=-++z y x 。

解：（1）设1π：011=-+y x ，2π：083=+x

∴ 4

),(21π

ππ=

∠或

3π

。（2）设1π：012632=-+-z y x ，2π：0722=-++z y x

218cos ),(1

21-=∠ππ或21

cos ),(121--=∠πππ。 5. 求下列平面的方程:

(1) 通过点()1,0,01M 和()0,0,32M 且与坐标面xOy 成060角的平面; (2) 过z 轴且与平面0752=--+z y x 成060角的平面. 解 ⑴ 设所求平面的方程为.11

3=++z b y x 又xoy 面的方程为z=0,所以2

11131101

03160cos 22

+??

? ??+??? ??+?+?=

b b ο 解得20

3±

=b ,∴所求平面的方程为126

=+±

z y

x , 即03326=-+±z y x

⑵设所求平面的方程为0=+By Ax ;则2

14260cos 22=+++±+=

B A B

A ο 3

,038322B

A B AB A =

∴=-+或B A 3-= ∴所求平面的方程为03=+y x 或03=-y x .

§ 3.4空间直线的方程

1.求下列各直线的方程：

（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线；（2）通过点),,(0000z y x M 且平行于两相交平面i π：

)2,1(=i 的直线；

（3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成???120,45,60的直线；（4）通过点)2,0,1(-M 且与两直线

11111-+==-z y x 和0

111+=

--=z y x 垂直的直线；（5）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线。解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的直线方程为：即：

01553-=-=+z y x ，亦即0

113-=

-=+z y x 。（2）欲求直线的方向矢量为：所以，直线方程为：

110

1102

110B A B A z z A C A C y y C B C B x x -=-=-。

（3）欲求的直线的方向矢量为：{}?

???-=???21,22,

120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为：

511--=+=-z y x 。（４）欲求直线的方向矢量为：{

}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-?-，所以，直线方程为：

111+=

=-z y x 。（５）欲求的直线的方向矢量为：{}5,3,6--，所以直线方程为：

3362-+=

--=-z y x 。２.求以下各点的坐标：（１）在直线

1821-=-=-z y x 上与原点相距２５个单位的点；（２）关于直线??

?=+-+=+--0

3220

124z y x z y x 与点)1,0,2(-P 对称的点。

解：（１）设所求的点为),,(z y x M ，则：又222225=++z y x

即：222225)38()8()21(=+++++t t t ，解得：4=t 或7

62-

所以要求的点的坐标为：)7

130

,76,7117(),20,12,9(---

。（２）已知直线的方向矢量为：{

}{}{}3,6,62,1,24,1,1-=-?--，或为{}1,2,2-， ∴过P 垂直与已知直线的平面为：0)1(2)2(2=++--z y x ，

即0322=-+-z y x ，

该平面与已知直线的交点为)3,1,1(，所以若令),,(z y x P '为P 的对称点，则：

221x +=

，201y +=，2

13z

+-= ∴

7,2,0===z y x ，

即)7,2,0(P '。

３.求下列各平面的方程：

（１）通过点)1,0,2(-p ，且又通过直线3

121-=

-=+z y x 的平面；（２）通过直线1

5312-+=

-+=-z y x 且与直线平行的平面；（３）通过直线

3221-=

-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面；（４）通过直线??

?=-+-=+-+0

1420

9385z y x z y x 向三坐标面所引的三个射影平面。

解：（１）因为所求的平面过点)1,0,2(-p 和)2,0,1(-'p ，且它平行于矢量{}3,1,2-，所以要求的平面方程为：即015=-++z y x 。

（２）已知直线的方向矢量为{}{}{}5,3,11,2,11,1,2-=-?-， ∴平面方程为：

即015211=-++z y x

（３）要求平面的法矢量为{}{}{}13,8,11,2,32,3,2-=-?-，

∴平面的方程为：0)2(13)2(8)1(=--+--z y x ，

即09138=+--z y x 。（4）由已知方程?

?=-+-=+-+01420

9385z y x z y x

分别消去x ，y ，z 得到：

0231136=+-z y ，079=+-z x ，06411=+-y x

此即为三个射影平面的方程。

4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦：（1）??

?=---=+-+0323012z y x z y x （2）???=+--=-+0

6420

6z y x z x

（3）?

??==-+20

x z y x

解：（1）直线的方向数为：

)5(:1:)3(1

2:3221:

211

1--=------

∴射影式方程为： ??

?-+

-=--+--=59515253z y z x ，即??

??-

-=+=59515253z y z x ，

标准方程为：z y x =-+=-5

595352，方向余弦为：35353553cos ±=±=α，351

3551

cos μ=-

±=β，

351cos ±

=±

=γ。

（2）已知直线的方向数为：

)4(:3:44

201:2111

1410-=----，

射影式方程为：??

???--+

-=--+-=418434244

4z y z x ，即??

???+-=+-=29

436z y z x 标准方程为：z y x =--

--4

329

6，方向余弦为：414

4411cos μ=-±=α，4134

4143

cos μ=-

±=β， 41

411cos ±

=±

=γ。

（3）已知直线的方向数为：

1:1:0)1(:)1(:00

1:1011:0011=--=--， ∴射影式方程为： ???-==2

z y x ，

标准式方程为：

z y x =+=-1

02，方向余弦为：0cos =α，2

1cos ±=β，2

1cos ±

=γ。

5. 一线与三坐标轴间的角分别为,,αβγ.证明222sin sin sin 2.αβγ++= 证 ∵222cos cos cos 1αβγ++=, ∴2221sin 1sin 1sin 1αβγ-+-+-=,即

222sin sin sin 2.αβγ++=

§ 3.5直线与平面的相关位置

1.判别下列直线与平面的相关位置：

（1）

37423z

y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）7

23z

y x =-=与8723=+-z y x ；

（3）?

??=---=-+-0120

5235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；

（4）??

??-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x 。

解：（1）Θ0)2(3)2()7(4)2(=-?+-?-+?-，而017302)4(234≠=-?--?-?，，所以，直线与平面平行。（2）Θ0717)2(233≠?+-?-? 所以，直线与平面相交，且因为7

2233

=--=

， ∴ 直线与平面垂直。

（3）直线的方向矢量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--?-，

Θ 0179354=?+?-?，

而点)0,5,2(--M 在直线上，又07)5(3)2(4=--?--?，所以，直线在平面上。

（4）直线的方向矢量为{}9,2,1-，

∴直线与平面相交。

2.试验证直线l ：2

1111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 相交，并求出它的交点和交角。

解： Θ 032111)1(2≠-=?-?+-?

∴ 直线与平面相交。

又直线的坐标式参数方程为： ??

??+=+=-=t z t y t x 211

设交点处对应的参数为0t ，

∴10-=t ，

从而交点为（1，0，-1）。

又设直线l 与平面π的交角为θ，则：

111)1(2sin =??-?+-?=

θ， ∴ 6

πθ=

。

3.确定m l ,的值，使：（1）直线

3241z

y x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行；（2）直线??

??-=--=+=135422t z t y t x 与平面076=-++z my lx 垂直。

解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：即1=l 。

（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：所以：8,4-==m l 。

4.决定直线???=++=++00222

111z C y B x A z C y B x A 和平面0)()()(212121=+++++z C C y B B x A A 的相

互位置。

解：在直线上任取),,(1111z y x M ，有：

这表明1M 在平面上，所以已给的直线处在已给的平面上。

5.设直线与三坐标平面的交角分别为.,,υμλ证明.2cos cos cos 222=++υμλ 证明设直线与X,Y,Z 轴的交角分别为.,,γβα而直线与yoz,zox,xoy 面的交角依次为.,,γμλ那么,υπ

γμπ

βλπ

α-=

.而.1cos cos cos 222=++γβα

∴.12

cos 2

cos 222=??

? ??-+??

? ??-υπ

μπ

λπ

从而有.2cos cos cos 222=++υμλ 6.求下列球面的方程

(1)与平面x+2y+3=0相切于点()3,1,1-M 且半径r=3的球面;

(2) 与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于点()1,1,5--M 的球面.

解: ⑴??

???+-=+=+=t z t y t x 32332

1311为过切点M 且垂直与已知平面的直线,

显见3

2,32,31是这条直线的方向余弦. 取3=t ,则得3,2==y x ; 取3-=t ,则得5,1,0-=-==z y x .

故所求球面有两个:()()()9132222=++-+-z y x ,与()()951222=++++z y x . ⑵t z t y t x 21,31,65--=--=+=为过点M 且垂直于两平面的直线,将其代入第二个平面方程,得2-=t ,反代回参数方程,得3,5,7==-=z y x .设球之中心为

C ,半径为r ,则()()()()49112115,1,2,12

2=--+--++=-r C .故所求球面方程

为()()()49121222=-+-++z y x .

3.7空间直线的相关位置

1.直线方程???=+++=+++00

2222

1111D z C y B x A D z C y B x A 的系数满足什么条件才能使：

（1）直线与x 轴相交；（2）直线与x 轴平行；（3）直线与x 轴重合。解：（1）所给直线与x 轴相交? ? 0x 使

0101=+D x A 且0202=+D x A

11=D A D A 且 1A ，2A 不全为零。

（2）Θx 轴与平面01111=+++D z C y B x A 平行又x 轴与平面02222=+++D z C y B x A 平行，所以即021==A A ，但直线不与x 轴重合，

∴ 21,D D 不全为零。

（3）参照（2）有021==A A ，且021==D D 。 2.确定λ值使下列两直线相交：（1）???=-++=-+-0

1540

623z y x z y x λ与z 轴；

（2）

2111-=

+=-z y x 与z y x ===+11。解：（1）若所给直线相交，则有（类似题1）：从而 5=λ。

（2）若所给二直线相交，则从而：4

=λ。

3.判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。

（1）???=-+=+-0623022y x z y x 与?

??=-+=--+01420

112z x z y x ；

（2）

131833-=--=-z y x 与4

2733-=

+=-+z y x ；（3）??

??--=+==2

12t z t y t

x 与5217441-+=

-=-z y x 。解：（1）将所给的直线方程化为标准式，为：

Θ（-2）：3：4=2：（-3）：（-4） ∴二直线平行。

又点)0,4

3,23(与点（7，2，0）在二直线上，

∴矢量??????=????

--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量

为：

{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=?

????-，

从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即 0919225=++-z y x 。

（2）因为02704

113

37833≠-=---++=?，

∴二直线是异面的。

二直线的距离：{}{}

3032703

1562704,2,31,1,34

231133

1562

==++=

-?----=

d 。

（3）因为05

741210

1=--=?，

但是：1：2：（-1）≠4：7：（-5）

所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-?-，

解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

第五章二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y ， 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . （1） 2222 1x y a b +=；（2） 22 22 1x y a b -=；（3）2 2y px =；（4） 223520; x y x -++= （5）2 226740 x xy y x y -+-+-=.解：（1） 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2） 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-；3 (,)1F x y =-.（3） 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ； 1(,)F x y p =-；2 (,)F x y y =；3 (,)F x y px =-；（4） 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+ ；2 (,)3F x y y =-；3 5(,)22 F x y x =+；（5）

222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4） 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的（1） 22230 x xy y x y ++++=；（2） 22342250 x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=. 解：（1）由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的；（2）由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的；（3）由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）2 2224630 x xy y x y -+--+=；（2）2 2442210 x xy y x y -++--=；（3）2 281230 y x y ++-=；（4）2 296620 x xy y x y -+-+=.解：（1）因为2 1110 12I -= =≠-，所以它为中心曲线；（2）因为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--，所以它为无心曲线；（3）因为2 00002I = =且004 026 =≠，所以它为无心曲线；（4）因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线；

解析几何第四版习题答案第四章

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。

解析几何专题含答案

椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 1 D ．m b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1， 2），P 4（1，2 ）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2 212 x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r 。

解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

第五章二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=

解析几何第四版吕林根期末复习课后习题(重点)详解

第一章矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线．证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．图1-5

解析几何练习题及答案

解析几何一、选择题 1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A.3 B ．－3 C.33 D ．－33 解析：斜率k ＝－1－33－－3 ＝－33 ，故选D. 答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0， x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2 a ，则a ＋2a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D. 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313 C. 51326 D ．71020 解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝|1－－6|62＋22＝71020. 故选D. 答案：D 4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －5＝0 D ．x ＋2y －5＝0 解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所

以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C. 答案：C 5．若直线l ：y ＝kx － 3 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.??????π6，π3 B ．? ????π6，π2 C.? ?? ??π3，π2 D ．???? ??π3，π2 解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为? ?? ?? π6，π2.故选B. 答案：B 6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0 解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2， ∴所求直线的斜率为k ′＝1 2 ， ∴方程为y －3＝1 2(x －2)，即x －2y ＋4＝0. 答案：A 二、填空题 7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为x a ＋y b ＝1，

解析几何课后答案按

第1章矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点 §1.3 数量乘矢量 1.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？（1-=+ （2+=+ （3-=+ （4+=-

（5 = [解]：（1）, -=+；（2）, +=+ （3 ≥且, -=+ （4）, +=- （5）, ≥ -=- 2. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , 可以构成一个三角形. [证明]： )(21 AC AB AL += )(21 BM += 0= 3. 设L 、 [证明] 4. [证明] 但 OB OD OC OA OB OC OA OD +=+-=-∴=-=-= 由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而AC 不平行于BD ， ∴0=+=+OB OD OC OA ，从而OA=OC ，OB=OD 。

5. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB ++＝4. [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), ＝2 1 (OB +), 所以 2＝2 1 (OA +OB ++OD ) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM . 6. [所以所以显然所以 1. [所以从而 OP ＝λ+1. 2. 在△ABC 中，设＝1e ，AC ＝2e ，AT 是角A 的平分线（它与BC 交于T 点），试将分解为1e ,2e 的线性组合. 图1-5

解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

第三章平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。解：（1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。（3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为：一般方程为：0745910=-++z y x 。（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为：一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：

042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--，所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明：不妨设0≠A ，则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为：故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --，从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;

高考数学解析几何专题练习及答案解析版

高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上（Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上（Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上（Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9．圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )

空间解析几何(练习题参考答案)

1. 过点Ｍo （１,1-，１)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 3９．02=+-z y 3．在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等. 7.)5 1,1,57(. ５.已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ）Ａ.4 B ．1 C. 2 1 D ．2 ７.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ）Ａ．平行于x 轴 B.平行于y 轴Ｃ．平行于z 轴Ｄ.过z 轴. 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D.重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) Ａ.平行Ｂ.垂直 C ．斜交 D.直线在平面内 1０．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ) Ａ.5 B ． 6 1 C. 51 D.8 1 5.Ｄ 7．D ８.B 9．A 10．A. 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ．设 ++=2, 22+-=, 243+-=，则 )(prj c += . 4．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 1０．曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线___＿____绕____＿_______＿旋转而成的.

解析几何大题带答案

三、解答题 26.(江苏18)如图，在平面直角坐标系中，M N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k (1)当直线PA平分线段MN求k的值； (2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0，求证：PA! PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解：(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点,所以 (2)直线PA的方程解得于是直线AC的斜率为 ( 3)解法一：将直线PA的方程代入则故直线AB的斜率为其方程为解得. 于是直线PB的斜率因此解法二：设. 设直线PB, AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而因此 28. (北京理19) 已知椭圆?过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A, B两点. (I )求椭圆G的焦点坐标和离心率； (II )将表示为m的函数，并求的最大值? (19)(共14 分) 解：(I)由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为离心率为 (n)由题意知，? 当时,切线l 的方程,点A、 B 的坐标分别为此时当m=－ 1 时，同理可得当时，设切线l 的方程为由设A、B 两点的坐标分别为，则

又由l 与圆所以由于当时，所以. 因为且当时，|AB|=2 ，所以|AB| 的最大值为 2. 32. (湖南理21) 如图7椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。 (I)求C1, C2的方程； (H)设C2与y轴的焦点为M过坐标原点o的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1 相交与 D,E． (i )证明：MDL ME; (ii )记厶MAB,A MDE勺面积分别是.问：是否存在直线I,使得？请说明理由。解：(I)由题意知故C1, C2的方程分别为 (H) (i )由题意知，直线I的斜率存在，设为k,则直线I的方程为. 由得设是上述方程的两个实根,于是又点M的坐标为(0,—1),所以故MAL MB 即MDL ME. (ii )设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A的坐标为. 又直线MB的斜率为，同理可得点 B 的坐标为于是由得解得则点D的坐标为又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是. 因此由题意知，又由点A、 B 的坐标可知，故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为 34. (全国大纲理21) 已知0为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B 两点，点P 满足 (I)证明：点P在C上； (n)设点P关于点O的对称点为Q证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

高等代数与解析几何第七章习题7答案

习题习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化；（2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。（2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ?? ? ? ?=n B λλλO 2 1 ，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而 E a a a a B nn 112211 =???? ?? ? ? ?=O ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明：（1）s V V V +++Λ21是直和；

（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有 021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。现用1 2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。写成矩阵形式为 )0,,0,0(11 1 ),,,(11221 1 121ΛΛ M M M Λ ΛΛ=???? ?? ? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵???? ?? ? ? ?=---11221 1111 1 s s s s s B λλλλλλΛ M M M Λ Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++Λ21是直和。（2）)(?因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21，所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ，

解析几何第四版吕林根课后习题答案

解析几何第四版吕林根课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

第三章平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。解：（1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。（3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为：一般方程为：0745910=-++z y x 。（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为：一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：

空间解析几何习题答案解析(20210120005111)

WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0．计算 a b b c c a ．解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|．解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2）（1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2）共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标．解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2）又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得

WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5

6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程．解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7．向量 a , b , c 具有相同的模 , 且两两所成的角相等 , 若 a , b 的坐标分别为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标．解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)

解析几何吕林根课后习题解答一到五.docx

第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心，在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解 ]：图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明 ]： . 4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量： (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解：图1—3

§ 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？（1）a b a b;（2）a b a b ; （3）a b a b ;（4）a b a b ; （5）a b a b . 解： § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题． ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ． ⑵已知 a e1 2 e2e3， b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ． ⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y a ，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中点分别为 E 、 F ，求EF．解： 3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解：

空间解析几何(练习题(答案))

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3．在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ．设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．33 2212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴

解析几何第四版吕林根课后习题答案

第三章平面与空间直线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M CD 的（3）（ⅰ）设平面通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=AB ，}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为：一般方程为：0745910=-++z y x 。

（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=? 均与π'平行，所以π'的参数式方程为：一般方程为：0232=--+z y x . 0=. 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B -- ，从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面?

? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： }5,2,3{z AB +-= ⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面. 解:平行于x 轴的平面方程为 00 1 011112 =--+-z y x .即01=-z . 同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z .

⑵设该平面的截距式方程为 132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19 24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x . ⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点, {}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量, ∴ .11 6 cos ,119cos ,112cos -=== ?γβ 则该平面的法式方程为: .01111 6 119112=--+z y x 既 .0121692=--+z y x

解析几何初步试题及答案

《解析几何初步》检测试题命题人周宗让一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（） A 、12 B 、12- C 、13 D 、13 - 3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为（） A ．2 1 B ．2 1- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是（） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．210x y ++= D ．210x y +-= 6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( ) A ．()0,4 B ．()0,2 C ．()2,4- D ．()4,2- 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距

为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242 x y -++=的切线，则此切线段的长度为( ) A ． 2 B ．32 C ．12 D ． 2 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 12．直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是（） A. 304?? -??? ?， B. []304??-∞-+∞????U ，， C. ???? D. 203?? -????，二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的

解析几何第四版吕林根课后习题答案

解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章

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