专题11 一元二次方程及其应用
1.一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b 是一次项系数;c是常数项。
3.一元二次方程的根:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
4.一元二次方程的解法
(1)直接开方法:适用形式:x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法:套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2,配方法解一元二次方程的一般步骤是:
①将已知方程化为一般形式;
②化二次项系数为1;
③常数项移到右边;
④方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2=q的形式,如果q ≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根.
(3)公式法:
当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0的实数根可写为:
a ac
b
b
x
2
4 2-
±
-
=的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
其中:b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,通常用字母Δ表示,即Δ=b2-4ac。
①Δ=b 2
-4ac >0时,方程有两个不相等的实数根。
a ac
b b x 2421-+-=,a
ac b b x 2422---=
②Δ=b 2
-4ac =0时,方程有两个相等的实数根。
a
b x x 221-
== ③Δ=b 2
-4ac <0时,方程无实数根。
定义:b 2
-4ac 叫做一元二次方程ax 2
+bx +c =0的根的判别式,通常用字母Δ表示,即Δ=b 2
-4ac 。
(4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 5.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第1步:审题。认真读题,分析题中各个量之间的关系; 第2步:设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数; 第3步:列方程。根据题中各个量的关系列出方程; 第4步:解方程。根据方程的类型采用相应的解法; 第5步:检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步:答。
【例题1】(2020?临沂)一元二次方程x 2
﹣4x ﹣8=0的解是( ) A .x 1=﹣2+2
,x 2=﹣2﹣2
B .x 1=2+2,x 2=2﹣2
C .x 1=2+2,x 2=2﹣2
D .x 1=2√3
,x 2=﹣2
【对点练习】(2019?浙江金华)用配方法解方程x2-6x-8=0时,配方结果正确的是()
A. (x-3)2=17
B. (x-3)2=14
C. (x-6)2=44
D. (x-3)2=1
【对点练习】(2019年山东省威海市)一元二次方程3x2=4﹣2x的解是.
【例题2】(2020?菏泽)等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k=0的两个根,则k的值为()
A.3 B.4 C.3或4 D.7
【对点练习】(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根,则m的值是()
A. 34
B.30
C.30或34
D.30或36
【例题3】(2020贵州黔西南)已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是()
A. m<2
B. m≤2
C. m<2且m≠1
D. m≤2且m≠1
【对点练习】(2019湖北咸宁)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根,则实数m的取值范围是()
A.m<1 B.m≤1 C.m>1 D.m≥1
【例题4】(2020?衡阳)如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600平方米,则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为()
A.35×20﹣35x﹣20x+2x2=600
B.35×20﹣35x﹣2×20x=600
C.(35﹣2x)(20﹣x)=600
D.(35﹣x)(20﹣2x)=600
【对点练习】(2019哈尔滨)某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为()
A.20% B.40% C.18% D.36%
一、选择题
1.(2020?凉山州)一元二次方程x2=2x的根为()
A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=0或x=﹣2 2.(2020?怀化)已知一元二次方程x2﹣kx+4=0有两个相等的实数根,则k的值为()
A.k=4 B.k=﹣4 C.k=±4 D.k=±2
3.(2020?黑龙江)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2,则实数k的取值范围是()
A.k<1/4 B.k≤1/4 C.k>4 D.k≤1/4且k≠0
≤1/44.(2020?泰安)将一元二次方程x2﹣8x﹣5=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式,则a,b的值分别是()
A.﹣4,21 B.﹣4,11 C.4,21 D.﹣8,69
5.(2020?黑龙江)已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个实数根,则实数m的值是()A.0 B.1 C.﹣3 D.﹣1
6.(2020?滨州)对于任意实数k,关于x的方程x2/2-(k+5)x+k2+2k+25=0的根的情况为()A.有两个相等的实数根B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根D.无法判定
7. (2019?湖南衡阳)国家实施”精准扶贫“政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得()
A.9(1﹣2x)=1 B.9(1﹣x)2=1 C.9(1+2x)=1 D.9(1+x)2=1
二、填空题
8.(2020?辽阳)若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0无实数根,则k的取值范围是.9.(2020?烟台)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是.
10.(2020?扬州)方程(x+1)2=9的根是.
11.(2020?上海)如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根,那么m的值是.12.(2020?天水)一个三角形的两边长分别为2和5,第三边长是方程x2﹣8x+12=0的根,则该三角形的周长为.
13.(2019年江苏省扬州市)一元二次方程x(x﹣2)=x﹣2的根是.
14.(2019湖北十堰)对于实数a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2﹣(a﹣b)2.若(m+2)◎(m ﹣3)=24,则m=.
15. (2019吉林长春)一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为________.
16.(2019年甘肃省天水市)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年人均年收入20000元,到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为.(用百分数表示)
17.(2019年江苏省连云港市)已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c=0有两个相等的实数根,则+c 的值等于.
三、解答题
18.(2020?河北)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,
且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和﹣16,如图.
如,第一次按键后,A,B两区分别显示:
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果;
(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗?说明理由.
k2﹣2=0.
19.(2020?孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+1
2
(1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根x1,x2满足x1﹣x2=3,求k的值.
20.(2020?重庆)为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召,确保粮食安全,优选品种,提高产量,某农业科技小组对A,B两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年A、B两个品种各种植了10亩.收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg,且B品种的平均亩产量比A品种高100千克,A、B两个品种全部售出后总收入为21600元.
(1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克?
(2)今年,科技小组优化了玉米的种植方法,在保持去年种植面积不变的情况下,预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎,预计每千克售价将在去年的基础
a%.求a的值.
上上涨a%,而A品种的售价保持不变,A、B两个品种全部售出后总收入将增加20
9
21.(2019北京市)关于x的方程22210
-+-=有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.
x x m
22.(2019?湖南衡阳)关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0与方程x2﹣3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.
23. (2019?湖南长沙)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.
(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;
(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?
第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是( ) A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=,问: (1)m 取何值时,它是一元二次方程并写出这个方程; (2)m 取何值时,它是一元一次方程? 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0,求m 的值. 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项,则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a (a≠0),则a-b 值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中,a -b+c=0,则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 -2013x+1=0的解,求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点: 1.只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次),等号两边都是整式的方程,叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解,又叫一元二次方程的根. 温馨提示: 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧: 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种,需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想,需要同学们认真领
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根. ()1求k 的取值范围; ()2设方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足221223x x +=,求k 的值. 【答案】(1)134k ≤ ;(2)2k =-. 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥,解之可得. ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值,根据条件可得到关于k 的方程,可求得k 的值,注意利用根的判别式进行取舍. 【详解】 解:()1关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根, 0∴≥,即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥, 解得134 k ≤. ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-,2123x x k =-, () 222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+, 221223x x +=, 224723k k ∴-+=,解得4k =,或2k =-, 134 k ≤, 4k ∴=舍去, 2k ∴=-. 【点睛】 本题考查了一元二次方程2 ax bx c 0(a 0,++=≠a ,b ,c 为常数)根的判别式.当0>,方程有两个不相等的实数根;当0=,方程有两个相等的实数根;当0<,方程没有实数根.以及根与系数的关系. 2.已知:关于的方程 有两个不相等实数根. (1) 用含的式子表示方程的两实数根; (2)设方程的两实数根分别是,(其中),且,求的值.
一元二次方程 A级基础题 1.一元二次方程x2-3x=0的根是( ) A.x1=0,x2=-3 B.x1=1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=0,x2=3 2.(2017浙江舟山)用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方结果正确的是( ) A.(x+2)2=2 B.(x+1)2=2 C.(x+2)2=3 D.(x+1)2=3 3.(2017年江苏南京改编)解方程(x-5)2=19,用以下哪种方法最恰当( ) A.配方法 B.直接开平方法 C.因式分解法 D.公式法 4.(2018年湖南娄底)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是( ) A.有两不相等实数根 B.有两相等实数根 C.无实数根 D.不能确定 5.(2018年湖南湘潭)若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是( ) A.m≥1 B.m≤1 C.m>1 D.m<1 6.如图2-1-4,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2 m,另一边减少了3 m,剩余一块面积为20 m2的矩形空地,则原正方形空地的边长是( ) 图2-1-4 A.7 m B.8 m C.9 m D.10 m 7.(2018年吉林)若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根,则m的值为________. 8.一元二次方程x2-2x=0的解是____________. 9.已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为____________. 10.已知关于x的方程x2+2x+a-2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围; (2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.
一元二次方程专题复习 一、选择题 1、设方程x2-4x-1=0的两个根为x1与x2,则x1x2的值是( ). A.-4 B.-1 C. 1 D. 0 2、设方程x2-4x-1=0的两个根为x1与x2,则x1x2的值是( ). A.-4 B.-1 C. 1 D. 0 3、方程组的解是() A.B. … C.D. 4、若关于的一元二次方程的两根中有且仅有一根在0和1之间(不含0和l),则a 的取值范围是() A. B. C. D. 5、若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值等于() A.1 B.2 C.1或2 D.0 6、方程的根是( ) A.B.C. D. 7、已知代数式的值为9,则的值为()
A.18 B.12 C.9 D.7 8、关于x的一元二次方程的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根D.无法确定 9、若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值等于 A.1 B.2 C.1或2 D.0 10、已知是关于的一元二次方程的两实数根,则式子的值是() A. B. C.D. ' 11、一元二次方程x一2x=0的解是( ) A.0 B.2 C.0,一2 D.0,2 12、设一元二次方程的两个实数根为和,则下列结论正确的是() A.B. C.D. 13、三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程的一个根,则这个三角形的周长是() 或13 14、关于的一元二次方程的解为( ).
A.=1,=-1 B.==1 C. ==-1 D.无解 15、将方程x2+4x+1=0配方后,原方程变形为 ( ) A.(x+2)2=3 B.(x+4)2=3 C.(x+2)2=-3 D. (x+2)2=-5 16、若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为 ( ) A.-1或 B.-1 C. D.不存在 17、关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是() A.1 B.12 C.13 D.25 & 二、填空题 18、设一元二次方程的两个实数根分别为和,则 , . 19、已知x1、x2是方程x2-3x-2=0的两个实根,则(x1-2) (x2-2)= . 20、已知一元二次方程的一个根为,则. 21、方程的较大根为,方程的较小根为,则 。