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2006-2008年考研数学三真题及解析

2006-2008年考研数学三真题及解析
2006-2008年考研数学三真题及解析

2006年考研数学(三)真题

一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.

(1)()11lim ______.n

n n n -→∞

+??

=

???

(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x

f x '=,()21f =,则()2____.f '''=

(3)设函数()f u 可微,且()102

f '=,则()22

4z f x y =-在点(1,2)处的全微分()

1,2d _____.z =

(4)设矩阵2112A ??

=

?-??

,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B .

(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{}{}

max ,1P X Y ≤=_______. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2

x

n f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2

S ,则2____.ES =

二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ?为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则

(A) 0d y y <

(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y

(8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22

lim

1h f h h

→=,则

(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在

(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] (9)若级数

1n

n a

=∑收敛,则级数

(A)

1

n

n a

=∑收敛 . (B )

1(1)

n

n n a ∞

=-∑收敛.

(C)

11

n n n a a ∞

+=∑收敛. (D)

1

1

2n n n a a ∞

+=+∑收敛. [ ] (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解

(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.

(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]

(11)设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数,且(,)0y x y ?'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点,下列选项正确的是

(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.

(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ ] (12)设12,,,s ααα 均为n 维列向量,A 为m n ?矩阵,下列选项正确的是

(A) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.

(D) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ ]

(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记

110010001P ?? ?

= ? ???

,则

(A)1

C P AP -=. (B)1

C PAP -=.

(C)T

C P AP =. (D)T

C PAP =. [ ]

(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布2

22(,)N μσ,且

{}{}1211P X P Y μμ-<>-<

则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>

(C)

12μμ< (D) 12μμ> [ ]

三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)

设()1sin

,,0,01arctan x

y y y

f x y x y xy x

π-=

->>+,求

(Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞

=;

(Ⅱ) ()0

lim x g x +

→. (16)(本题满分7分) 计算二重积分

2d d D

y xy x y -??

,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.

(17)(本题满分10分)

证明:当0a b π<<<时,

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

(18)(本题满分8分)

在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数>0a ).

(Ⅰ) 求L 的方程;

(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为8

3

时,确定a 的值. (19)(本题满分10分)

求幂级数()()

1

21

1121n n n x n n -+∞

=--∑的收敛域及和函数()s x .

(20)(本题满分13分)

设4维向量组()()()T T T 1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+ ()T

44,4,4,4a α=+,问a

为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. (21)(本题满分13分)

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T

T

121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.

(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量;

(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T

Q AQ =Λ;

(Ⅲ)求A 及6

32A E ?

?- ??

?,其中E 为3阶单位矩阵.

(22)(本题满分13分)

设随机变量X 的概率密度为

()1

,1021

,024

0,X x f x x ?-<

 其他,

令()2

,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.

(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ;

(Ⅱ)Cov(,)X Y ;

(Ⅲ)1,42F ??

-

???

. (23)(本题满分13分) 设总体X 的概率密度为

(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<

=-≤

其他,

其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.

(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计

2006年考研数学(三)真题解析

二、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)()11lim 1.n

n n n -→∞

+??

=

???

【分析】将其对数恒等化ln e

N

N =求解.

【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim e

e

n

n

n n n n n n n n n n -→∞-++????

- ? ???

??

→∞

→∞

+??

== ???

而数列{}(1)n -有界,1lim ln 0n n n →∞+??= ???

,所以1lim(1)ln 0n

n n n →∞

+??-= ???

. 故 ()101lim e 1n

n n n -→∞

+??

==

???

.

(2)设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()

e f x f x '=,()21f =,则()322e .f '''=

【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知,()()

e f x f x '=,两边对x 求导得

()()

()2e

()e f x f x f x f x '''==,

两边再对x 求导得 ()

()23()2e

()2e f x f x f x f x ''''==,又()21f =,

故 ()

323(2)2e 2e f f '''==.

(3)设函数()f u 可微,且()102

f '=

,则()22

4z f x y =-在点(1,2)处的全微分()

1,2d 4d 2d .z x y =-

【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一:因为

22(1,2)

(1,2)

(4)84z f x y x

x

?'=-?=?,

()

22(1,2)

(1,2)

(4)22z f x y y y

?'=-?-=-?,

所以 ()()()

1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y x

y

????=+

=-?

?????

. 方法二:对()

22

4z f x y =-微分得

()222222

d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--,

故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-.

(4)设矩阵2112A ??

= ?-??,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则=B 2 .

【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算

即可.

【详解】 由题设,有

()2B A E E -= 于是有 4B A E -=,而11

211

A E -=

=-,所以2B =.

(5)设随机变量X Y 与相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则

{}{}max ,1P X Y ≤=

19

. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知,X Y 与具有相同的概率密度

1

,3

()30,x f x ?≤≤?=??? 0 其他

.

则 {}{}

{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤

{}()

2

12

011

1d 39

P X x ??=≤== ????.

【评注】 本题属几何概型,也可如下计算,如下图:

则 {}{}

{}1max ,11,19

S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. (6)设总体X 的概率密度为()()121,,,,2

x

n f x e x X X X -=-∞<<+∞ 为总体X 的简单随机样本,其样本方差为2

S ,则2

2.ES =

【分析】利用样本方差的性质2

ES DX =即可. 【详解】因为

()d e d 02

x

x EX xf x x x +∞

+∞

--∞

-∞

===?

?

, 22

2

220

00

()d e d e d e 2e d 2

x

x x

x x EX x f x x x x x x x x +∞

+∞+∞+∞

---+∞

--∞

-∞

====-+?

?

??

00

2e 2e d 2e 2x

x x

x x +∞

-+∞--+∞=-+=-=?,

所以 ()2

2202DX EX EX =-=-=,又因2

S 是DX 的无偏估计量,

所以 2

2ES DX ==.

二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ?为自变量x 在点0x 处的增量,d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则

(A) 0d y y <

(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y

[ A ]

【分析】 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.

【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知,函数()f x 单调增加,曲线

()y f x =凹向,作函数()y f x =的图形如右图所示,显然当0x ?>时,

00d ()d ()0y y f x x f x x ''?>==?>,故应选(A).

(8)设函数()f x 在0x =处连续,且()22

lim

1h f h h

→=,则

(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22

lim

1h f h h

→=入手计算(0)f ,利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性. 【详解】由()22

lim

1h f h h

→=知,()20

lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续,则

()2

(0)lim ()lim 0x h f f x f h

→→===.

令2

t h =,则()()22

(0)

1lim

lim (0)h t f h f t f f h t

+

+→→-'===.

所以(0)f +'存在,故本题选(C )

.

9)若级数1n

n a

=∑收敛,则级数

(A)

1

n

n a

=∑收敛 . (B )

1

(1)

n

n n a ∞

=-∑收敛.

(C)

11

n n n a a ∞

+=∑收敛. (D)

1

1

2n n n a a ∞

+=+∑收敛. [ D ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由

1

n n a ∞

=∑收敛知11

n n a ∞

+=∑收敛,所以级数1

1

2n n n a a ∞

+=+∑

收敛,故应选(D). 或利用排除法: 取1

(1)n

n a n

=-,则可排除选项(A),(B); 取1

(1)

n

n a n

=-,则可排除选项(C).故(D)项正确. (10)设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数,则该方程的通解

(A)[]12()()C y x y x -. (B)[]112()()()y x C y x y x +-.

(C)[]12()()C y x y x +. (D)[]112()()()y x C y x y x ++ [ B ] 【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.

【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解,所以它的通解是

[]12()()Y C y x y x =-,故原方程的通解为

[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-,故应选(B).

【评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构:

*y y Y =+.

其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解,Y 是对应齐次微分方程的通解.

(11)设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数,且(,)0y x y ?'≠,已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点,下列选项正确的是

(A) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=.

(D) 若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠. [ D ]

【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+在000(,,)x y λ(0λ是对应00,x y 的参数λ的

值)取到极值的必要条件即可.

【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+,并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ,则

000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ?'=??'=??, 即00000

00000(,)(,)0(,)(,)0

x x y y f x y x y f x y x y λ?λ??''+=??''+=?? .

消去0λ,得

00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ??''''-=, 整理得 000000001

(,)(,)(,)(,)

x y x y f x y f x y x y x y ??'''=

'.(因为(,)0y x y ?'≠),

若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.故选(D).

(12)设12,,,s ααα 均为n 维列向量,A 为m n ?矩阵,下列选项正确的是

(A) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性相关.

(D) 若12,,,s ααα 线性无关,则12,,,s A A A ααα 线性无关. [ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα= ,则12(,,,)s A A A AB ααα= .

所以,若向量组12,,,s ααα 线性相关,则()r B s <,从而()()r AB r B s ≤<,向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关,故应选(A).

(13)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ,记

110010001P ?? ?

= ? ???

,则

(A)1

C P AP -=. (B)1

C PAP -=.

(C)T

C P AP =. (D)T

C PAP =. [ B ]

【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得

1101101

1011

10,010********

10010010

01B A C B A --??????

?

?

? ? ? ?

=== ? ? ? ? ? ? ? ??

????

??

?

, 而 1110010001P --??

?= ? ???

,则有1

C PAP -=.故应选(B).

(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布2

22(,)N μσ,且

{}{}

1211P X P Y μμ-<>-< 则必有 (A) 12σσ< (B) 12σσ>

(C)

12μμ< (D) 12μμ> [ A ]

【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.

【详解】 由题设可得

12112

211X Y P P μμσσσσ?-??-?<>

则 12112121σσ????

Φ->Φ-

? ?

????

,即1211σσ????Φ>Φ ? ?????. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数,则

1

2

1

1

σσ>

,即12σσ<.

故选(A).

三 、解答题:15-23小题,共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)

设()1sin

,,0,01arctan x

y y y

f x y x y xy x

π-=

->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞

=;

(Ⅱ) ()0

lim x g x +

→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解,此问中含

,0∞

?∞∞

型未定式极限;第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果,含∞-∞未定式极限.

【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞?

?- ? ?==-+

? ???

sin 11111lim 1

arctan arctan y x y

x

y x x x x y ππ→∞?

? ? ?-

?

?-=-=-

? ?+ ? ? ??

?

. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x x

ππ+++→→→--+??

=-= ??? (通分) 2

22220001

12arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x x

ππππ+++→→→-+-+-+++====

(16)(本题满分7分) 计算二重积分

2d d D

y xy x y -??

,其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.

【分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数,“先x 后y ”

积分较容易,所以

12

20

d d d d y

D

y xy x y y y xy x -=-??

??

()3

112

22

002122

d d 339

y y xy y y y y

=--=

=?? (17)(本题满分10分)

证明:当0a b π<<<时,

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明.

【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<, 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+,且()0f π'=.

又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<,(0,s i n 0x x x π<<>

时),

故当0a x b π<≤≤<时,()f x '单调减少,即()()0f x f π''>=,

则()f x 单调增加,于是()()0f b f a >=,即

sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.

(18)(本题满分8分)

在xOy 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0M ,其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜

率之差等于ax (常数>0a ).

(Ⅰ) 求L 的方程;

(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为

8

3

时,确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积,确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =,则由题设可得 y y ax x '-

=,这是一阶线性微分方程,其中1

(),()P x Q x ax x

=-=,代入通解公式得 ()11

d d 2

e e

d x x x x

y ax x C x ax C ax Cx -????=+=+=+ ???

?, 又(1)0f =,所以C a =-.

故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.

(Ⅱ) L 与直线y ax =(>0a )所围成平面图形如右图所示. 所以

()2

2

0d D ax ax ax x ??=--?

?? ()22

0482d 33

a x x x a =-==?,

故2a =.

(19)(本题满分10分)

求幂级数()()1

21

1

121n n n x n n -+∞

=--∑的收敛域及和函数()s x .

【分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数

展开式计算和函数.

【详解】记121

(1)()(21)

n n n x u x n n -+-=-,则

23

21121

(1)()(1)(21)

lim lim (1)()(21)

n n n n n n n n

x u x n n x

x u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当2

1,1x x <<即时,所给幂级数收敛;当1x >时,所给幂级数发散;

当1x =±时,所给幂级数为1(1)(1),

(21)(21)

n n

n n n n -----,均收敛, 故所给幂级数的收敛域为[]1,1-

在()1,1-内,()

12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n n

n n x x s x x xs x n n n n -+-∞

==--===--∑∑,

而 121122112

11

(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞

--==-'''==-=-+∑∑, 所以 1112

01

()(0)()d d arctan 1x

x

s x s s t t t x t ''''-===+??

,又1(0)0s '=,

于是 1()arctan s x x '=.同理 1110

()(0)()d arctan d x

x

s x s s t t t t '-=

=

?

?

()20

201arctan d arctan ln 112x

x t t t

t x x x t =-=-++?

, 又 1(0)0s =,所以 ()2

11()arctan ln 12

s x x x x =-+.

故 ()

22

()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.

由于所给幂级数在1x =±处都收敛,且()

22

()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续,所以

()s x 在1x =±成立,即

()

22

()2arctan ln 1s x x x x x =-+,[]1,1x ∈-.

(20)(本题满分13分)

设4维向量组()()()T T T 1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+ ()T

44,4,4,4a α=+,问a

为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ;用初等变换求极大线性无关组. 【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ,则

312341234

(10)12341234a a A a a a a

++==+++.

于是当0,010A a a ===-即或时,1234,,,αααα线性相关.

当0a =时,显然1α是一个极大线性无关组,且2131412,3,4αααααα===; 当10a =-时,

1α 2α 3α 4α

9234183412741236A -?? ?- ?= ?- ?-??

, 由于此时A 有三阶非零行列式9

23

1

8340001

27

--=-≠-,所以123,,ααα为极大线性无关组,且

123441230αααααααα+++==---,即.

(21)(本题满分13分)

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T

T

121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.

(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量;

(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ;

(Ⅲ)求A 及6

32A E ?

?- ??

?,其中E 为3阶单位矩阵.

【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量;由齐

次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值,其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关

的特征向量正交化可得正交矩阵Q ;由T

Q AQ =Λ可得到A 和6

32A E ??- ??

?.

【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3,所以

1311331131A ??????

? ? ?

== ? ? ? ? ? ???????

则由特征值和特征向量的定义知,3λ=是矩阵A 的特征值,T

(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应

3λ=的全部特征向量为k α,其中k 为不为零的常数.

又由题设知 120,0A A αα==,即11220,0A A αααα=?=?,而且12,αα线性无关,所以0λ=是矩阵A 的二重特征值,12,αα是其对应的特征向量,对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+,其中12,k k 为不全为零的常数.

(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵,所以α与12,αα正交,所以只需将12,αα正交. 取 11βα=,

()()21221111012,3120,61112αββαβββ??-

?

-???? ?- ? ?=-=--= ? ? ? ? ? ?

-???? ?

??

.

再将12,,αββ单位化,得

121231211136212,,036111236ββαηηηαββ?

???

-?? ? ?

- ? ?

? ? ?

?====== ?

? ? ?

? ?

? ? ? ??? ? ?

????

, 令 []123,,Q ηηη=,则1T Q Q -=,由A 是实对称矩阵必可相似对角化,得

T

300Q AQ ??

??==Λ??

????. (Ⅲ)由(Ⅱ)知 T

300Q AQ ??

??==Λ??

????

,所以 T 11111

136********

1212100111366660111111110

36222A Q Q ?

???-

-

? ?

? ?????

? ? ? ?=Λ=-

-=

? ? ? ? ? ?

? ????

? ? ?-- ? ?

?

?

?

?. 6

6

6

T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ????????-=-=- ? ? ??????

????? 66

6

6633

22

3

3

3302

2203322E ???????? ? ??? ??? ?

???? ? ?

???? ??? ? ?=-== ? ? ??? ? ???

?? ??? ? ????? ??? ? ??? ????

?

????

?

, 则6

6

6

T 333222A E Q EQ E ??????

-== ? ? ???????

.

(22)(本题满分13分)

设随机变量X 的概率密度为

()1

,1021

,024

0,X x f x x ?-<

 其他,

令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ; (Ⅱ) Cov(,)X Y ;

(Ⅲ) 1,42F ??

-

???

. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度或利用公式计算. 【详解】 (I ) 设Y 的分布函数为()Y F y ,即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤,则 1) 当0y <时,()0Y F y =;

2) 当01y ≤<时, (

)

2

()()Y F y P X y P y X y =<=-<<

0113

d d 244

y y x x y -

=

+=?

?. 3) 当14y ≤<时,(

)

2

()()1Y F y P X y P X y =<=-<<

101111d d 2442

y x x y -=+=+??. 4) 当4y ≥,()1Y F y =. 所以

3

,0181()(

),1480,Y Y y y f y F y y y

?<

其他. (II ) 22232

Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-,

而 0

2101d d 244x x EX x x -=+=??,22

022

105d d 246

x x EX x x -=+=??, 33

23

107d d 248

x x EX x x -=+=??, 所以 7152

Cov(,)8463

X Y =

-?=.

(Ⅲ) 1,42F ??-

???211,4,422P X Y P X X ????

=≤-≤=≤-≤ ? ?????

11,22222P X X P X ???

?=≤--≤≤=-≤≤- ? ?????

1

2111d 24

x -

-==?

. (23)(本题满分13分)

设总体X 的概率密度为

(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<

=-≤

其他,

其中θ是未知参数()01θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.

(Ⅰ)求θ的矩估计; (Ⅱ)求θ的最大似然估计

【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.

【详解】(Ⅰ)因为()12

1

3

(;)d d 1d 2

EX xf x x x x x x θθθθ+∞

-∞

==+-=

-?

??, 令

3

2X θ-=,可得θ的矩估计为 32

X θ=- . (Ⅱ)记似然函数为()L θ,则

()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=???-?-??-=- 个

. 两边取对数得

ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--,

d ln ()0d 1L N n N

θθθθ

-=-=-,解得N n θ= 为θ的最大似然估计.

2007年研究生入学考试数学三试题

一、选择题:1~10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1)当0x +

→时,与x 等价的无穷小量是 (A )1e

x - (B )1ln

1x

x

+- (C )11x +- (D )1cos x - [ ]

(2)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是:

(A )若0()lim

x f x x →存在,则(0)0f = (B )若0()()

lim x f x f x x

→+-存在,则(0)0f = .

(B )若0()lim x f x x →存在,则(0)0f '= (D )若0()()

lim x f x f x x

→--存在,则(0)0f '=.

[ ]

(3)如图,连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间

[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设0

()()d x

F x f t t =?,则下列结论正确的是:

(A )3(3)(2)4F F =-

- (B) 5

(3)(2)4F F = (C )3(3)(2)4F F = (D )5

(3)(2)4

F F =-- [ ]

(4)设函数(,)f x y 连续,则二次积分1

sin 2

d (,)d x

x f x y y π

π

??

等于

(A )10

arcsin d (,)d y

y f x y x π

π

+?? (B )1

0arcsin d (,)d y

y f x y x π

π-??

(C )

1arcsin 0

2

d (,)d y

y f x y x ππ

+?? (D )1arcsin 0

2

d (,)d y

y f x y x ππ

-??

(5)设某商品的需求函数为1602Q P =-,其中,Q P 分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是

(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] (6)曲线()1

ln 1e x y x

=

++的渐近线的条数为 (A )0. (B )1. (C )2. (D )3. [ ] (7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线性相关的是

线性相关,则 (A) 122331,,αααααα---

(B)

122331,,αααααα+++

(C)

1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]

(8)设矩阵211100121,010112000A B --???? ? ?

=--= ? ? ? ?--????

,则A 与B

(A) 合同且相似(B )合同,但不相似.(C) 不合同,但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] (9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为(01)p p <<,则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为

(A )23(1)p p -. (B )26(1)p p -.

(C )223(1)p p -. (D )226(1)p p - [ ]

(10)设随机变量(),X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为 (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)

()

()

X Y f x f y . [ ] 二、填空题:11~16小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.

(11) 323

1

lim

(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________. (12)设函数123

y x =

+,则()

(0)n y =________.

(13) 设(,)f u v 是二元可微函数,,y x z f x y ??=

???

,则z z

x y x y ??-=?? __________.

(14)微分方程3

d 1d 2y y y x x x ??

=- ???满足1

1x y

==的特解为y =________.

(15)设矩阵01000

01000010

00

0A ?? ?

?= ? ???

,则3

A 的秩为 . (16)在区间()0,1中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于

1

2

的概率为 . 三、解答题:17~24小题,共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本题满分10分)

设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定,试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性. (18) (本题满分11分)

设二元函数222,||||11(,),1||||2

x x y f x y x y x y ?+≤?

=?<+≤?+?,计算二重积分

D

(,)d f x y σ

??,其中

(){},||||2D x y x y =+≤.

(19) (本题满分11分)

设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,

()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得()()f g ξξ''''=.

(20) (本题满分10分)

将函数2

1

()34

f x x x =

--展开成1x -的幂级数,并指出其收敛区间. (21) (本题满分11分)

设线性方程组1231232

12302040

x x x x x ax x x a x ?++=?

++=??++=?与方程12321x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.

(22) (本题满分11分)

设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-,T 1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记5

3

4B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.

(I )验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量; (II )求矩阵B . (23) (本题满分11分)

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

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