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东北师大附中高考模拟试题

东北师大附中数学高考模拟试题

一、选择题(每小题5分,共60分) 1.二项式6)1(x -展开式的第三项是( ).

A .2

20x - B .2

15x - C .2

20x D .2

15x

2.(文科做)直线l 过点A (-2,-3)且在两坐轴上的截距相等,直线l 的方程是( ). A .0=+y x B .05=++y x

C .023=-y x

D .02305=-=++y x y x 或 (理科做)极坐标方程2

1

sin cos =

=θρθρ与的图形是( ).

东北师大附中高考模拟试题

A B C D

3.已知复平面内,复数i 31-,i 31+-分别对应点1Z 、2Z ,则向量21Z Z 对应复数的幅角主值是( ).

A .

3π2 B .6π5 C .3

π- D .3π

5 4.正方体的顶点都在球面上,这个球的球面面积是2

2

πa ,则正方体的全面积是( ).

A .62a

B .4

2a C .2

a D .223a

5.在5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5,然后把它们混合,再任意排与一行,

则得到的数能被5或2整除的概率是( ).

A .0.8

B .0.6

C .0.4

D .0.2 6.函数3

2x x y +-=的单调递减区间是( ).

A .-∞(,)36-

B .36

(,)∞+ C .-∞(,36()36 -

,)∞+ D .36(-,)3

6 7.已知A 、B 、C 三点在曲线x y =上,其横坐标依次为1,

m ,4)41(<

A .3

B .

49 C .25 D .2

3 8.把函数的图象)3

π

4cos(+=x y 沿x 轴平移||?个单位,所得图象关于原点对称,则||?的最小值是( ).

A .6π5

B .6π

C .32π

D .3

9.圆台上、下底面积分别为π、,4π侧面积为,6π这个圆台的体积是( ).

A .

π332 B .π32 C .π637 D .π3

3

7 10.已知直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直,则||ab 的最小值为( ).

A .1

B .2

C .4

D .5

11.双曲线22a

x -22

b y =1的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个

焦点到一条渐近线的距离,则该双曲线的离心率是( ). A .3 B .2 C .3 D .2

12.设二次函数,)0()(2>+-=a a x x x f 若0)(

C .非负数

D .正数、负数和零都有可能

二、填空题(每小题4分,共16分)

13.已知,x

x x f 212)(+=则

=-)31(1f __________. 14.(文科做)设q >1,则1

11lim ++∞→--n n

n q q =__________.

(理科做)无穷等比数列:1,θ2sin 21+,2

)2sin 21(θ+,…,n

)2sin 1(θ+,…的各项和存在,则θ的取值范围是__________.

15.甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值两天班,若甲不值周一、乙不值周六,则可排出不同的值班表数为__________(用数字作答). 16.已知函数)()(x g x f ,的定义域为R ,设不等式)0(|)()(|><+a a x g x f 的解集为M ,不等式a x g x f <++|)(||)(|的解集为N ,则集合M 与N 的关系是M __________N (填??,,≠?,≠

?

中的一种).

三、解答题(第17~21题每题12分,每22题14分,共74分)

17.设两个向量,,21e e 满足2||1=e ,1||2=e ,1e ,2e 的夹角为o

60,若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.

18.已知}{n a ,}{n b 为两个数列,点M (1,2)n n n B a A ,,)2(n n 1(-,)2

n

为直角坐标平面上的点.

(1)对*

N ∈n ,若点M ,n n B A ,在一条直线上,求数列}{n a 的通项公式; (2)若数列}{n b 满足:,

n

n

n n a a a b a b a b a c ++++++=

2122112log 其中}{n c 的第三项为8,公比为4的等比数列.求}{n b 的通项公式.

19.如图,正方体1111D C B A ABCD -,棱长为a ,E 、F 分别为AB 、BC 上的点,且AE =BF =x .

东北师大附中高考模拟试题

(1)当x 为何值时,三棱锥BEF B -1的体积最大?

(2)求三棱椎BEF B -1的体积最大时,二面角B EF B --1的正切值; (3)(理科做)求异面直线E A 1与F B 1所成的角的取值范围.

20.某公司取消福利分房和公费医疗,实行年薪制工资结构改革,该公司从2000年起每人的工资由三个项目并按下表规定实施:

东北师大附中高考模拟试题

如果公司现有5名职工,计划从明年起每年新招5名职工.

(1)若今年(2000年)算第一年,试把第n 年该公司付给职工工资总额y (万元)表示成年限n 的函数;

(2)试判断公司每年发给职工工资总额中,房屋补贴和医疗费的总和能否超过基础工

资总额的20%?

21.已知抛物线)2

1

(22

+

=x y 的焦点为F ,准线为l ,是否存在双曲线C ,同时满足以下两个条件:

(1)双曲线C 的一个焦点为F ,相应于F 的准线为l ;

(2)双曲线C 上有A 、B 两点关于直线0=-y x 对称,且22||=AB . 若存在这样的双曲线,求出该双曲线C 的方程;若不存在,说明理由.

22.已知)(x f 是定义在[-1,1]上的奇函数,且1)1(=f ,若1[-∈n m ,,]1,当

0≠+n m 时,

0)

()(>++n

m n f m f .

(1)用单调性定义证明)(x f 在1[-,]1上是增函数; (2)解不等式:)1

1

(

)21(-<+x f x f ; (3)(理科做)若12)(2+-≤at t x f 对所有1[-∈x ,]1,1[-∈a ,]1恒成立,求实数t 的取值范围.

参考答案

1.D 2.(文)D ,(理)A 3.A 4.C 5.B 6.D 7.B 8.B 9.D 10.B 11.B 12.A 13.-1 14.(文)q

1

,(理))π4ππ()4ππ2ππ(k k k k ,,--- ,Z ∈k

15.42 16.?

17.cos 1221??=?e e 60°=1,42

1=e ,12

2=e ,所以2

121212)()72(te te e e te =++?

71527)72(222212++=+++t t te e e t 又因为向量2172e te +与向量21te e +的夹角为纯角,则+2

2t 0715<+t ,解到;2

1

7-<<-t 当向量2172e te +与21te e +反向时,令

,)(722121te e e te +=+λ)0(<λ

,,,

,1421472722

-=-=?=???

?==λλλt t t t 即2

14

-

=t 时,向量2172e te +与向量21te e +的夹角为π;t 的取值范围是)2

1214()2147(---

-,,

18.(1)因为n n B A M ,,三点共线,所以n a n

n n a n n 2112

21

22=---=--,.)(*N ∈n (2)

)1(2)22(21+=+=+++?n n n

n a a a n ,由已知323248--==?n n n c ,因为

n

n

n n a a a b a b a b a c ++++++=

2122112log ,所以++2211b a b a )32)(1(-+=+n n n b a n n ,

)52)(1(112211--=+++--n n n b a b a b a n n ,)86(-=n n b a n n ,43-=n b n

19.(1)

x x a a a x x a V BEF B )(6)(21311-=-=???-24

)2(63

2a x x a a =+-≤,当2a x =时,三棱锥BEF B -1的体积最大. (2)取EF 中点O ,由EF O B EF BO ⊥⊥1,,所以OB B 1∠就是二面角B EF B --1的平面角.在Rt △BEF 中,

a a EF BO 2

2

222121===

? 22tan 1

1==

BO

BB OB B . (3)在AD 上取点H 使AH =BF =AE ,则11////B A CD HF , 11B A CD HF ==,F B H A 11//,所以E HA 1∠(或补角)是异面直线E A 1与F B 1所成的

角;在Rt △AH A 1中,221x a H A +=

,在Rt △AE A 1中,=E A 122x a +,在Rt △HAE

中,x x x HE 22

2

=+=,

在△E HA 1中,E

A H A EH E A H A E HA 112212112cos ?-+=,222

x a a +=因为a x ≤<0,所以2

2

2

2

2a a x a ≤+<,1212

22

<+≤a x a ,1cos 211<≤E HA ,3

π

01≤

n )10

11(5+

(万元),医疗费总额为16.05?n 万元,房屋补贴为5×0.04+5×0.04×2+5×0.04×3+…+5×0.04×n =0.1×n (n +1)(万元),则=++?++

=n n n n y n

8.0)1(1.0)1011(51.0)10

11(5[++n n ]8.0)1(++?n (万元). (2)=-+?-?+

8.0)1(1.0%20)1011(5n n n )10

1

1(+ n n )1011(10[101)9(101+=+-)]9(+-n ,因为=+n )1011(102110

11(10n n C C ++?

)1001 +?

910)10

1(10+>+=+>n n n

,故房屋补贴和医疗费总和不会超过基础工资总额的20%

21.假设满足题意的双曲线C 存在,并设其离心率为e ,AB 的中点坐标为)(00x x ,,点A 的坐标为)(11y x ,,则点B 的坐标为102(x x -,)210y x -.因为直线AB 的斜率

1-=AB

k ,且22||=AB ,所以??

???=--+---=----,

22])2[(])2[(1)2()2(211021101

101

10y y x x x x x x x y y x 由此解到???+=-=,,110101x y x x 或???-=+=,,

1101

01x y x x 不失一般性,取)11()11(0000-++-x x B x x A ,,,,由

于F (0,0)和l :x 1-=是对应的焦点和准线,所以|

|)1()1(02020x x x ++-=

e x x x =++++|

2|)1()1(02

020,解到a =-1,e =2.故满足题意的双曲线C 存在,其方程为

2|

1|2

2=++x y x ,即048322=+-+y x x 另解:由题意得:焦点F (0,0),准线l :x 1-=.设

双曲线离心率为

e ,则由

,e x y x =++|

1|2

2可得双曲线方程为:

x e x e 2222)1(+- 022=+-e y ①;

设直线AB 方程为: m x y +-=②,则由①②得 0)(2)2(22222=+-++-e m x m e x e ③,设

AB

中点为,,)(00y x 则有

2

221022e

m e x x x -+=+=,,222002e m

me e m x y -+--=+-=由=0x ,0y 可解得,2-=m 则③式化为;04)2(2)2(2222=+--+-e x e x e 又由22||=AB 可得e =2,代入①即得

048322=+-+y x x

22.(1)任取,1121≤<≤-x x 则+=-)()()(121x f x f x f 2

1212)

()()(x x x f x f x f --+=

-

)(21x x -,因为1121≤<≤-x x ,所以0)(21≠-+x x ,由已知有

0)

()(2

121>--+x x x f x f ,

又021<-x x ,则0)()(21<-x f x f ,即)(x f 在[-1,1]上为增函数. (2)因为)(x f 在

[-1,1]上为增函数,所以???

?

?

?

???

-<+≤-≤-≤+≤-,,,112111111211x x x x 解集为:123|{-<≤-x x ,}R ∈x .(3)由(1)可知)(x f 在[-1,1]上为增函数,且1)1(=f ,故对1[-∈x ,]1,恒有1)(≤x f ,所以要

12)(2+-≤at t x f 对所有1[-∈x ,]1,1[-∈a ,]1恒成立,即要1122≥+-at t 成立,

故022

≥-at t ,记at t a g 2)(2-=,对1[-∈a ,]1,使0)(≥a g ,只需?

?

?≥≥-,,

0)1(0)1(g g 解到

2-≤t 或0=t 或2≥t .所以t 的取值范围是:{2|-≤t t 或0=t 或2≥t }