四川省泸州市泸县第二中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学(理)试题
四川省泸州市泸县第二中学2020-2021学年高三上学期期末
考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合2{|1}A x x =<，集合2{|log 0}B x x =<，则A
B =（ ） A ．(0,1) B ．(1,0)-
C ．(1,1)-
D ．(,1)-∞ 2．“()2log 231x -<”是“32x >
”的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．小张刚参加工作时月工资为5000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为（ ）
A ．5500
B ．6000
C ．6500
D ．7000 4．ABC ?中所在的平面上的点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）
A ．3144
AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+ C ．2133
AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 5．函数()2+ln f x x x =的图像大致为（ ） A ． B ． C ．
D ．
6．已知平面向量a 、b ，满足1a b ==，若()
20a b b -?=，则向量a 、b 的夹角为（ ）
A ．30
B ．45?
C ．60?
D ．120?
7．已知角α的终边经过点P (－1，则sin2α的值为（ ）
A B
C ．－12 D
8．已知双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为
A ．2
214x y -= B ．221205x y -= C ．221123y x -= D ．2218
x y -= 9．数列{}n a 中，已知12,a =且121n n a a n +=++，则10a =
A ．19
B ．21
C ．99
D ．101
10．将函数()2sin 26f x x π?
?=+ ???的图像向右平移6
π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()g x 1
B ．函数()g x 的最小正周期为π
C ．函数()g x 的图象关于直线3x π=
对称 D ．函数()g x 在区间2,63ππ??????上单调递增
11．已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2x f x =，则20192f ??-= ??
?（ ）
A ．2
B ．
C ．2 D
12．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ?的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若
2MI IE =，则椭圆C 的离心率是（ ）
A ．2
B ．12
C ．2
D ．13
二、填空题
13．若x ，y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤??
≤-≤?，则2z x y =-的最大值为______． 14．在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）
15． “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，1AB =尺，D 为AB 的中点，AB CD ⊥，
1CD =寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．
（注：l 尺=10寸）
16．已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则AB MN
的最小值为____．
三、解答题
17．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）
（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．
参考公式：()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
18．如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于,A B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且2AB =，3AD =
（1）求证：平面EAD ⊥平面EBC ；
（2）若EB 的长度为3
π，求二面角A DE C --的正弦值． 19．设数列{}n a 满足12323...2(n N*)n n a a a na ????=∈．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列122n n a +??+????
的前n 项和n S ． 20．已知椭圆()22
122:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,椭圆的离心率为12
,过椭圆1C 的左焦点1F ,且斜率为1的直线l ,与以右焦点2F 为圆心,
的圆2C 相切.
（1）求椭圆1C 的标准方程;
（2）线段MN 是椭圆1C 过右焦点2F 的弦,且22MF F N λ=,求1MF N ?的面积的最大值以及取最大值时实数λ的值.
21．已知函数2()(0)4
x x a f x e a x ++=?≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)
x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域.
22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα
?=+???=?（t 为参数，0απ<<）
．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ
=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若8AB =，求α值．
23．已知函数()|21||3|f x x x =-++，()|1|||g x a a x =--.
（1）求函数()f x 的值域M ；
（2）若函数()g x 的值域为N ，且M
N ≠?，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果.
【详解】
根据题意：集合{|11}A x x =-<<，集合{|01}B x x =<<，(0,1)A
B ∴= 故选A ．
【点睛】
本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．A
【解析】
log 2（2x ﹣3）＜1，化为0＜2x ﹣3＜2，解得
3522x <<． ∴“log 2（2x ﹣3）＜1”是“32
x >
”的充分不必要条件． 3．A
【分析】
根据条形图求得刚参加工作的月就医费，从而求得目前的月就医费；利用折线图可知目前月就医费占收入的10%，从而可求得月工资.
【详解】
由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：500015%750?=元
则目前的月就医费为：750200550-=元 ∴目前的月工资为：55010%5500÷=元
本题正确选项：A
【点睛】
本题考查利用统计图表求解数据的问题，属于基础题.
4．D
【分析】
已知2BD DC =，由向量的减法可得()2AD AB AC AD -=-，再化简运算即可.
【详解】
解：因为2BD DC =，
所以()2AD AB AC AD -=-， 所以1233
AD AB AC =+， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题.
5．A
【分析】
先判断函数为偶函数排除BC ；再根据当0x →时，()f x →-∞ ，排除D 得到答案.
【详解】
()()()222ln ln ln ()f x x x x f x x x x f x =+-=-+=+=-∴，偶函数，排除BC ； 当0x →时，()f x →-∞ ，排除D
故选A
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案. 6．C
【分析】
根据()20a b b -?=，以及||||1a b ==和cos ,a b a b a b ?=<>，即可求解出,a b <>的值.
【详解】
因为()
20a b b -?=，所以22a b b ?=， 所以22cos ,a b a b b <>=，所以2cos ,1a b <>=，
所以1cos ,2
a b <>=
，所以,60a b <>=?. 故选：C.
【点睛】
本题考查根据向量的模长以及垂直关系求解向量夹角，难度较易.已知向量的模长求解向量的夹角时，可通过数量积计算公式cos ,a b a b a b ?=<>进行化简求解.
7．B
【分析】
先由任意角的三角函数的定义求出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式求出sin2α的值.
【详解】
因为角α的终边经过点P (－1)，
所以由任意角三角函数的定义知，sin αcos α＝－12，
所以sin2α＝2sin αcos α＝－
2
. 故答案：B
【点睛】 此题考查任意角三角函数的定义和正弦的二倍角公式，属于基础题.
8．C
【分析】
根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.
【详解】
，所以c a =①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b
-=②； 因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，故选C.
【点睛】
本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.
9．D
【分析】
利用累加法及等差数列的求和公式可求10a .
【详解】
因为121n n a a n +=++，所以213a a =+，325a a =+，437a a =+10919a a =+.
上面各式相加可得1013193519291012
a a +=+++
+=+?=，故选D. 【点睛】 本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化. 10．D
【分析】
根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.
【详解】
函数()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 22sin 2666x x πππ??????-+=- ? ????
????? 横坐标伸长到原来的2倍得：()2sin 6g x x π?
?=- ???
()g x 最大值为2，可知A 错误；
()g x 最小正周期为2π，可知B 错误；
3x π
=时，66x π
π
-=，则3x π
=不是()g x 的对称轴，可知C 错误； 当2,63x ππ??∈????时，0,62x ππ??-∈????
，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 本题正确选项：D
【点睛】
本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.
11．B
【分析】
由()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，可推导出周期为4，而20192f ??-= ???20192f ??= ???
(4252 1.5)(1.5)f f ?+=，即可计算.
因为(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，即()(4)f x f x =-，又()f x 为偶函数，所以()()(4)f x f x f x =-=+，所以函数周期4T
=， 所以20192f ??-
= ???20192f ??= ??
?
(4252 1.5)(1.5)f f ?+==，故选B. 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.
12．B
【分析】
连接1IF 和2IF ，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
解：12MF F ?的内心为I ，连接1IF 和2IF ，
可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有
11MF MI F E IE =， 2
2MF MI F E IE =， 可得1
2122MF MF MI F E
F E IE ===， 即有1
2
12222MF MF a F E EF c
===， 即有12
e =，
【点睛】
本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．
13．10
【分析】
作出不等式组02636
x y x y ≤+≤??
≤-≤?表示的平面区域，利用线性规划知识求解． 【详解】 作出不等式组02636x y x y ≤+≤??≤-≤?
表示的平面区域如下：
作出直线:l 20x y -=，当直线l 往下平移时，2z x y =-变大，
当直线l 经过点()2,4A -时，()max 22410z =-?-=
【点睛】
本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题． 14．40
【解析】
利用通项公式，5152r r r r T C x -+=?，令3r =，得出3x 的系数为325240C ?=
考点：本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.
15．26
【分析】
由勾股定理222OA OD AD =+，代入数据即可求得．
【详解】
解：∵AB CD ⊥，AD BD =，
∵ 10AB =寸，
∴ 5AD =寸，
在Rt AOD ?中，∵222OA OD AD =+，
∴ ()2
2215OA OA =-+， ∴ 13OA =寸，
∴ 圆柱底面的直径长是226AO =寸．
故答案为26．
【点睛】
考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
16
【解析】
【分析】
由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.
【详解】
如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ l ⊥于点Q ，BP l ⊥于点P ，
由抛物线的定义可设：,AF AQ a BF BP b ====，
由勾股定理可知：AB ==， 由梯形中位线的性质可得：2a b MN +=
，
则：
22
AB a b MN
=≥=+. 当且仅当a b =时等号成立.
即AB MN
. 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①
4960；②数学期望为6，方差为2.4. 【分析】
（1）完成列联表，由列联表，得2258.333 6.6353
K =≈>，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关． （2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100?
=人，偶尔或不用网购的有30103100
?=人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率． ② 由22?列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200
=，由题意100.6X B （，），由此能求出随机变量X 的数学期望()
E X 和方差()D X ．
【详解】
解：（1）完成列联表（单位：人）：
由列联表，得：
()
2220050305070258.333 6.635120*********
K ??-?==≈>???， ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．
（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100?
=人， 偶尔或不用网购的有30103100
?=人， ∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：
2137373104960
c c c P c +==． ② 由22?列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：
1200.6200
=， 将频率视为概率， ∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，
由题意()100.6X B ，，
∴随机变量X 的数学期望()100.66E X =?=，
方差D （X ）=()100.60.4 2.4D X =??=．
【点睛】
本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（1）见解析；（2
【分析】 （1）推导出BC ⊥平面EAB ，BC EA ⊥，BE EA ⊥，从而EA ⊥平面EBC ，由此能够证得结论；（2）连结OE ，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A DE C --的正弦值．
【详解】
（1）证明：平面ABCD ⊥平面EAB ，两平面交线为AB ，BC ?平面ABCD ，BC AB ⊥ BC ∴⊥平面EAB
EA ?平面EAB BC EA ∴⊥
AEB ∠是直角 BE EA ∴⊥ EA ∴⊥平面EBC
EA ?平面EAD ∴平面EAD ⊥平面EBC
（2）如图，连结OE ，以点O 为坐标原点，在平面ABE 中，过O 作AB 的垂线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，在平面ABCD 中，过O 作AB 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系
EB 的长度为3π 3
BOE π∴∠= 则：()0,0,0O
，1,02E ?????
，()0,1,3D -，()0,1,3C ，()0,1,0B
()0,2,0DC ∴=，31,32CE ??=-- ? ???，31,02BE ??=- ? ???
设平面DCE 的一个法向量为(),,m x y z = 则：20313022m DC y m CE x y z ??==???=--=??，令2
x =，解得：0y =，33
z
2,0,3m ?∴= ??
平面EAD 的一个法向量：31,022n BE ??==- ? ???
3cos ,13m n m n m n ?∴<>===?
213sin ,m n ∴<>=∴二面角A DE C --【点睛】
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（1）2n a n =
；（2）()()111222n n n n ++-?++. 【分析】
（1）在()12323...2N*n n a a a na n ????=∈中，将1n -代n 得：
()()1123123...122n n a a a n a n --????-=≥，由两式作商得：2n a n =
，问题得解． （2）利用（1）中结果求得2a n b n n =+?，分组求和，再利用等差数列前n 项和公式及乘
公比错位相减法分别求和即可得解．
【详解】
（1）由n ＝1得1a =2，
因为()12323...2N*n n a a a na n ????=∈，
当n ≥2时，()()1123123 (12)
2n n a a a n a n --????-=≥， 由两式作商得：2n a n
=（n ＞1且n ∈N *）， 又因为1a =2符合上式，
所以2n a n
=（n ∈N *）．
（2）设1
22n n n
b a ++=， 则b n ＝n ＋n ·
2n ， 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋2＋…＋n )＋23122232(1)22n n n n -??+?+?+
+-+??? 设T n ＝2＋2·
22＋3·23＋…+（n －1）·2n －1＋n ·2n ，① 所以2T n ＝22＋2·23＋…（n －2）·2n －1＋（n －1）·2n ＋n·2n ＋1，②
①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·
2n ＋1， 所以T n ＝（n －1）·
2n ＋1＋2． 所以()12
n n n n S T +=+， 即()()111222n n n n S n ++=-?+
+． 【点睛】
本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题．
20．（1）22
143
x y +=（2）最大值3,1λ=. 【分析】
（1）设()1,0F c -,()()2,00F c c >,可得:直线l 的方程为:y x c =+,即0x y c -+=,直线l
与圆2C 相切,圆心2F 到直线l 的距离为d =
=解得1c =,结合已知,即可求得答案.
（2）将直线MN 的方程与椭圆方程联立,求得1121212
MF N S F F y y ?=
??-,结合导数知识,即可求得答案.
【详解】
（1）设()1,0F c -,()()2,00F c c >,
直线l 斜率为1,且过椭圆1C 的左焦点1F . ∴直线l 的方程为:y x c =+,即0x y c -+=.
直线l 与圆2C 相切,
∴圆心2F 到直线l
的距离为d =
=解得1c =.
椭圆1C 的离心率为
12,即112
e e a a ===, 解得:2a =,
根据:222413b a c =-=-= ∴椭圆1C 的方程为22143
x y +=. （2）由（1）得()11,0F -,()21
,0F
, 22MF F N λ=
∴直线MN 的斜率不为0,
∴设直线MN 的方程为:()1x ty t R =+∈,
将直线MN 的方程与椭圆方程联立可得:221143x ty x y =+???+=??
消掉y 可得:()2243690t y ty ++-=,
()223636430t t ?=++>恒成立,
设()11,M x y ,()22,N x y ,
则1y ,2y 是上述方程的两个不等根,
根据韦达定理可得:
122643t y y t -∴+=+,122943y y t
-=+. 1MF N ∴?的面积:1121212
MF N S F F y y ?=??- 1212122
y y y y =??-=-
=
==
m =,则m 1≥,221t m =-,
∴223431t m +=+
可得:121231
MF N m S m =?+. 令()()2131
m f m m m =≥+ ∴()()2
2213031m f m m -'=<+恒成立,
∴函数()f m 在[)1,+∞上为减函数,故()f m 的最大值为:()114f =
, ∴1MF N ?的面积的最大值为11234
?=, 当且仅当1m =,即0t =时取最大值,
此时直线MN 的方程为1x =,即直线MN 垂直于x 轴,
此时22MF F N =,即1λ=.
综上所述,1MF N ?的面积的最大值3,1λ=时1MF N ?的面积的最大.
【点睛】
本题主要考查了求椭圆方程和椭圆中的三角形最值问题,解题关键是掌握在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立关系式,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 21．(1)见解析；(2) 21(),24e h b ??∈ ???
【分析】
（1）先求出()'f x ，分04a ≤≤和4a >两种情形，利用导数的符号判断函数的单调性即可.
（2）求出'()g x 并将其化简为23
(4)4'()(2)x x x e b x g x x +??+?+ ?+??=+，构建新函数