浙大数学分析
浙江大学2000年研究生数学分析试题
一．（共10分）(1)求极限1
(1)lim
x
x e x x
→-+
(2)设21
01,,,2,3,,lim 2
n n n n
n x x x a x b x n x --→∞
-===
= 求
二．（共10分）1．设K a
b a f b f K f b a =--=+
-
→→)
()(lim
,)0(0
试证明‘
2．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得
)(4
)
()2
(
2)()(2
ξf a b b a f a f b f ''-=
+-+
三．（共15分）1．求数项级数∑
∞
=1
2
n n
n 的和S
2．试证明∑
∞
==1
1)(n x
n
x s 在),1(∞上的连续函数
四．（共15分） 1．设方程组??
?=+=+++0
sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数??
?==)
,(),(y x v v y x u u ，试求y
v
x v du ????,
,
2
．设2
)
()d y
x y F y x x
=
，求)1(F '
五．（共30分） 1．计算定积分2
sin cos 1cos x x I dx x
π
=+?
2．求以曲面2
2
y
x e z --=为顶，以平面0=z 为底，以柱面122=+y x 为侧面的曲顶
柱体的体积V
3．设∑+表示半球面)1(12222≤+--=y x y x z 的上侧，求第二类曲面积分
??
∑++-++=
+
dxdy
y z x dzdx z y x dydz z y x J 2
22)2()2()(
六．（共20分）1．将函数x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成Fourier 级数
2．求级数∑
∞
=1
2
1n n
的和 3．计算广义积分?
-1
)
1ln(dx x
x
浙 江 大 学
二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
一、（共30％）
（A ）（10％）用“δε-语言”证明0
3
)
1)(2(lim
1
=---→x x x x ；
（B ）（10％）给出一个一元函数f ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之；
（C ）（10％）设),(y x f 为二元函数，在),(00y x 附近有定义，试讨论“),(y x f 在
),(00y x 处可微”与“),(y x f 在)
,(00y x 附近关于x 、y 的偏导数都存在”之间的
关系，必要时，请给出反例。 二、（共30％） （A ）（5％）设1
2)(++=
x x x f ，数列{}n x 由如下递推公式定义：10=x ，)(1n n x f x =+，
0(=n ，1，2
，) ，求证：2
lim =
∞
→n n x 。
（B ）（5％）求2
1cos
lim x
x x ???
?
?
?∞
→。
（C ）（5％）求)0()
(n f
，0(=n ，1，2，) ，0)0(=f ，2
1)(x
e x
f -=（当0≠x 时）。
（D ）（5％）求不定积分dx x ?+21。
（E ）（5％）证明：∑
∞
==1
1)(n x
n
x ?在),1(∞上连续可微。
三、（共20％）
（A ）（10％）求第一型曲面积分??
=++-++=
2
2
2
2
2
22)
(R
z y x h z y x dS
I ，其中R h ≠。
（B ）（10％）设a 、b 、c 为三个实数，证明：方程c bx ax e x ++=2的根不超过三个。 四、（共20％）
设x x x x f n n cos cos cos )(2+++= ，求证：
（A ）（10％）对任意自然数n ，方程1)(=x f n 在)3/,0[π内有且仅有一个正根； （B ）（10％）设∈n x )3/1,0[是1)(=x f n 的根，则3/lim π=∞
→n n x 。
浙江大学2003年研究生数学分析试题
1．（15分）叙述数列的柯西（Cauchy ）收敛原理，并证明之。
2．（15分）设()f x 在[,]a ∞上一致连续，()x ?在[,]a ∞上连续，且
l i m [()()]x f x x ?
→∞
-=。
证明：()x ?在[,]a ∞上一致连续。
3．（15分）设()f x 在[,]a ∞上有二阶连续导数，且()0,'()0f a f a ><，当x a >时''()0f x ≤。
证明：在[,]a ∞内，方程()0f x =有且只有一个实根。
4．（20分）设()f x 连续，10
()()d x f xt t ?=?
，且0
()lim
x f x A x
→=（常数），求'()x ?，
并讨论'()x ?
在0x =处的连续性。
5．（10分）定义()n P x 为
21d (1)
()2!
d n n
n n
n
x P x n x
-=
，1,2,n =
0()1P x =
证明：1
1
()()d 2
21
m k m k P x P x x m k
m -≠??
=?=?
+??。
6．（10分）给出Riemann 积分()d b
a
f x x ?的定义，并确定实数s 的范围使下列
极限收敛1
1lim ()n s
n i i n
n
-→∞
=∑。
7．（20分）证明：
1）函数项级数12
1
(1)
n n n x
-∞
=-+∑
在(,)-∞∞上一致收敛，但是对任意(,)x ∈-∞∞非绝
对收敛；
2）函数项级数22
1
(1)
n
n x
x ∞
=+∑
对任意(,)x ∈-∞∞都绝对收敛，但在(,)-∞∞上非
一致收敛。
8．（45分）计算
1）（15分）1
001
max ln d s s t t ≤≤-?；
2）（15分）2
3
D
3d d x x y y xy
+??
，其中D 为平面曲线221,3,,3xy xy y x y x ====所围成
的有界闭区域。 3）（15分）1
(,,)d x y z f x y z S ++=??
，
其中222
222
2
2
2
11(,,)01
x y z x y z f x y z x y z ?---++≤=?++>?
浙 江 大 学
二〇〇四年攻读硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
一．（15分）设函数()f x 在区间X 上有定义。试证明：()f x 在X 上一致连续的充要条件是对区间X 上任意的两数列'{}n x 与{'}m x ，当lim ('')0n m n x x →∞
-=时，有
lim ((')('))0n m n f x f x →∞
-=。
二．（15分）设函数()f x 在区间(1,1)-内具有直到三阶的连续导数，且(0)0f =，
'()lim
0x f x x
→=。试证明：2
1
()
n nf n ∞
=∑绝对收敛。
三．（15分）设函数()f x 在区间[,]a b 上可微，且()f x 在a 点的左导数'()0f a +<，在b 点的右导数'()0f b -<，()()f a f b c ==。证明：'()f x 在(,)a b 内至少有两个零点。
四.（15分）设函数()f x 在区间[,]a b 上Riemann 可积，且()d 0b
a f x x
明：存在闭区间[,][,]a b αβ?使得当[,]x αβ∈时，()0f x <。
五.（15分） 证明：若一族开区间{}a I 覆盖了闭区间[0,1]，则必存在一正数
0δ>，使得[0,1]中任何两点',''x x 满足'''x x δ-<时，必属于某个开区间
{}I I βα∈。
六.（15分）用球面坐标sin cos ,sin sin ,cos x r y r z r θ?θ?θ===变换方程
2
2
2
22
2
0u u u x
y
z
???+
+
=???
七.（10分）计算：22
sin d 1cos x x x
x
π+?
。
八.（15分）求2
2
2
u x y z =++在条件
2222
2
2
1x y z a
b
c
+
+
=下的最大最小值，其中
0a b c >>>。
九．（15
分）利用公式
2
d 0xy
e
x x ∞-=
> () 计算积分
2
1
sin()d 2
x x x ∞∞=
?
?的值。
（说明计算过程中每一步的合理性） 十．（20分）（1）设Ω为3R 中光滑区域，?Ω为其边界，,u v 在Ω+?Ω上有连续二阶导数。证明： ()d d d ()d v u u v v u x y z u v S n n
Ω
?Ω
???-?=-???????
其中
n
??为沿边界?Ω外法线方向的导数，d S 为边界上的面积元，
2222
2
2
x y
z
?
?
?
?=
++
???。
（2）3P R ∈的坐标为(,,)ξηζ，函数 222(,,)(()()())r x y z x y z ξηζ=-+-+- 证明：10r
?
=在3
\{}R P 上成立。
（3）设(,)B P δ是以P 为中心δ为半径的球，(,)B P δ?为其边界。
若在(,)B P δ上u 满足0u ?=，则2
(,)
1()d 4B P u P u S δπδ
?=
??
。
浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题
考试科目：数学分析 科目代号：427
注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！
111(20)1...log ,log 23
111lim
...1
2
2n n x n e n
n n n
→∞
=++
++
-+
++
++一、分(1)证明数列收敛其中表示以为底的对数；
(2)计算2
(15)[,],()()2()
lim
0.
()k k k k k
a b r x f x r f x r f x r
f x →∞
++--=二、分函数f(x)在闭区间上连续，存在收敛于零的数列使得对任意的，证明:为线性函数.
(15)()(),()h x f x f x 三、分假设函数为处处不可导的连续函数，以此为基础构造连续函数使仅在两点可导，并说明理由。
222
22
221()sin ,0(20)(,)0,0(1)(,),
(,)
(2)
,(,)x y x y x y f x y x y f f x y x y x y f f
f x y x y
?++≠?+=?
?+=?????????四、分二元函数求是否在原点连续，在原点是否可微，并说明理由。
00
(15)()[,]()1
lim
()()xy
y f x a b f x dx a a
f x dx f x dx
∞
∞
∞
-→+
>=
???
五、分在任意区间黎曼可积，收敛，证明：
2
2
2
2223/2
1
(15),0,0,0.()
x y z xdydz ydzdx zdxdy
a b c ax by cz ++=++>>>++??
六、分计算
2
2
2
(15):1cos().V
V x y z I ax by cz dxdydz ++==
++???七、分计算在单位球上的积分
2
()
1!(20)(),12(0)
n n n f x x x
f
∞
==
--∑
八、分设函数证明级数收敛。
(15)()(0)0,'()(),[0,)()0.
f x f x f x Af x f x =≤∞=九、分设可微，对于任意的有证明在上
2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题
一．（30分）证明：
1.)0(),()1(sin 3→=+-x x O x x x e x .
2.).,0(,
1sin cos 2+∞∈-+>+x x x x x
3.设f 是[-1,1]上的可积函数,则有
???
?
≤++--=1
1
1
2
2
2
2
.)1)(()(z y x du u u f dxdydz z f π
二.(30分)
1.叙述数集的上确界及下确界的定义.
2.设S 是一个有上界的数集,用a S 表示S 的一个平移,即 }.|{S x a x S a ∈+=其中a 是一个实数,试证明 a S S a +=sup sup
3.确定数集 ,.....}3,2,1|213)
1{(2
2
=--n n
n n
的上确界和下确界(必须用定义加以验证) 三.(20分)狄利克雷函数 ??
?=为无理数
为有理数x x x D ,
0,1)(
试分别用(1)极限定义;(2)柯西收敛准则,证明当1→x 时 )(x D 的极限不存在.
四(20分)
1.设函数列)}({x f n 与)}({x g n 在区间 I 上分别一致收敛于)(x f 与)(x g ,且
假定)(x f 与)(x g 都在I 上有界.试证明:
)}()({x g x f n n ?在区间 I 上一致收敛于)()(x g x f ?.
2.如果只给出条件: )}({x f n 与)}({x g n 分别一致收敛于)(x f 与)(x g ,能否
保证必有)}()({x g x f n n ?一致收敛于)()(x g x f ?? 请说明理由.
五(15分)
设)(x f 在[a,b]上可积,并且在b x =处连续.证明: ()
)()()
(1
lim
1
b f dx x f a x a b n b
a
n
n n =--+?+∞
→.
六(15分) 设,.....3,2,1,
431,011=++
=>+n a a a a n
n n
证明:数列}{n a 有极限,并求其值.
七(20分)设
∑
∞
=+=1
2
)
1ln(1)(n n
x n n x f
证明：
1. )(x f 在[-1,1]上连续.
2. )(x f 在x=-1处可导.
3. +∞=-
→)('lim 1x f x
4. )(x f 在x=1处不可导
浙江大学98年数学分析
一．（20分）设)(x f 是定义在],[b a 上的单调函数 （1）试证)(x f 在],[b a 上是黎曼可积的
（2）若)(x f 在],[b a 上不连续，则)(x f 在],[b a 上的不定积分不存在 二．（20分）叙述并证明数列的柯西收敛准则
三．（10分）设D 是2R 中具有光滑边界的闭区域，f 是定义在D 上的实函数，若
)),((2
=??
dxdy y x f D
则f 在D 中的连续点上的取值为零 四．（20分）计算?
∞
+0
dx
x
Sinx
五．（20分）设有级数∑
+∞
=1
)(n x
n
nx Sin ，),0[+∞∈x
（1）当x 为何值时，级数条件收敛
（2）当x 为何值时，级数绝对收敛 （3）证明级数在),0(+∞上内闭一致收敛 六．设)(x f 在),0[+∞上连续，广义积分?
+∞0
)(dx
x f 绝对收敛，试证 0
)()(0)(lim
4
=?
+∞→=?
?
+∞
+∞
dx x f p pxdx Sin x f
浙江大学1999年研究生数学分析试题
一．求极限)(ln )1(∞→-n n
n n Lim
n
二．在xy 平面上求一点，使它到三条直线0,0==y x 及0162=-+y x 的距离平
方和最小
三．计算二重积分??D
xydxdy ，其中D 由曲线 y x y x +=+22 所围城的区域
四．设)(x f 在0>x 时连续，3)1(=f ，并且???+=x
y xy dt t f y dt t f x dt t f 1
1
1
)()()(，
)
0,0(>>y x ，试求函数)(x f
五．设函数),()(b a t f 在连续，若有数列)),(,(,b a y x a y a x n n n n ∈→→使
)()()()(∞→=∞→=n B y Limf n A x Limf n n 及，则对A ，B 之间的任意数μ，
可找到数列a x n →，使得μ=)(n z Limf
六．设∑
==
=<≤n
k k
n k a s n k a a 1
,....,2,1,0令，证明不等式n
n n
k k
k
s n ns a a -≥
-∑
=11
七．设函数f 在n
a b v a f f f b a n n vn -=
+=>δδ),(,0],[记上连续，且，试证明：
)}()(ln 1
exp{
∞→-=?n dx x f a
b b
a
并利用上述等式证明下式
r
dx r x r ln 2)cos 21ln(2120
2
=+-?
π
π
)1(>r
八．从调和级数
++
+++n
131211中去掉所有在分母的十进表示中含数码9
的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的
2006年浙江大学427数学分析考研真题【圣才出品】
1 / 3 2006年浙江大学427数学分析考研真题 浙江大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：数学分析（427） 考生注意： 1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟； 2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。 一、（20分) ()i 证明：数列 1111ln (1,2,3,)23n x n n n =++++-=收敛； ()ii 计算：1111lim()1232n n n n n →∞ +++++++. 二、（15分) 设()f x 是闭区间 [],a b 上的连续函数，对任一点(),x a b ∈，存在趋于零的数列，使得 2()()2()lim 0k k k k f x r f x r f x r →∞++--=. 证明：函数()f x 为一线性函数. 三、（15分) 设()h x 是 (),-∞+∞上的无处可导的连续函数，试以此构造连续函数()f x ，在 (),-∞+∞上仅在两点可导，并且说明理由.
2 / 3 四、（15分) 设22222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=?. ()i 求(,)f x y x ??以及(,)f x y y ??； ()ii 问(,),(,)f f x y x y x y ????在原点是否连续?(,)f x y 在原点是否可微?试说明理由. 五、（20分) 设()f x 在()0,+∞的任何闭子区间[],αβ上黎曼可积，且0()f x dx +∞ ?收敛， 证明：对于常数 1a >，成立 000lim ()()xy y a f x dx f x dx ++∞+∞-→=??. 六、（15分) 计算曲面积分 32222()S xdydz ydzdx zdxdy I ax by cz ++=++?? 其中 {}2222(,,)S x y z x y z r =++=，常数0,0,0,0a b c r >>>>. 七、（15分) 设V 为单位球： 2221x y z ++≤，又设,,a b c 为不全为零的常数，计算： cos()V I ax by cz dxdydz =++???. 八、（20分) 设函数21()12f x x x =--，证明级数 ()0!(0)n n n f ∞=∑收敛. 九、（15分) 设()f x 在)0,+∞??上可微，(0)0f =.若有常数0A >，使得对任意 ) 0,x ∈+∞??，有
2001年浙江大学436数学分析考研真题【圣才出品】
2001年浙江大学436数学分析考研真题 浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：数学分析（436） 一、（30分) ()i 用“εδ-语言”证明2211lim 3233n n n n n →∞-+=+-； ()ii 求极限tan 21lim(2)x x x π→-； ()iii 设101(ln )1x f x x x <≤?'=?>?，且(0)0f =，求()f x . 二、（10分) 设()y y x =是可微函数，求(0)y '，其中 2sin 7x y y ye e x x =-+-. 三、（10分) 在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==之下，变换方程2222(,)z z f x y x y ??+=??. 四、（20分) ()i 求由半径为a 的球面与顶点在球心，顶角为2α的圆锥面所围成区域的体积； ()ii 求曲面积分222()()()s I y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-??，其中S 是曲面 222(12)z x y z =--≤≤的上侧.
五、（15分) 设二元函数(,)f x y 在正方形区域 [][]0,10,1?上连续，记[]0,1J =. ()i 试比较inf sup (,)y J y J f x y ∈∈与supinf (,)y J y J f x y ∈∈的大小并证明之； ()ii 给出一个使等式inf sup (,)supinf (,)y J y J y J y J f x y f x y ∈∈∈∈=成立的充分条件并证明之. 六、（15分) 设()f x 是在 []1,1-上可积且在0x =处连续的函数，记 (1)01()10n n nx x x x e x ??-≤≤?=?-≤≤?? . 证明：11lim ()()(0)2n n n f x x dx f ?-→∞=?.
浙江大学数学分析考研试题
浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题 考试科目：数学分析 科目代号：427 注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！ 111(20)1...log ,log 23111lim(...)122n n x n e n n n n →∞=++++-+++++一、分(1)证明数列收敛其中表示以为底的对数；(2)计算2 (15)[,],()()2()lim 0.()k k k k k a b r x f x r f x r f x r f x →∞++--=二、分函数f(x)在闭区间上连续，存在收敛于零的数列使得对任意的， 证明:为线性函数. (15)()(),()h x f x f x 三、分假设函数为处处不可导的连续函数，以此为基础构造连续函数使仅在两点可导，并说明理由。 22222221()sin ,0(20)(,)0,0(1)(,),(,)(2),(,)x y x y x y f x y x y f f x y x y x y f f f x y x y ?++≠?+=??+=? ????????四、分二元函数求 是否在原点连续，在原点是否可微，并说明理由。 0 000 (15)()[,]()1 lim ()()xy y f x a b f x dx a a f x dx f x dx ∞ ∞ ∞-→+>=???五、分在任意区间黎曼可积，收敛，证明： 2222223/21 (15),0,0,0.()x y z xdydz ydzdx zdxdy a b c ax by cz ++=++>>>++??六、分计算 222(15):1cos().V V x y z I ax by cz dxdydz ++==++???七、分计算在单位球上的积分 2()01!(20)(),12(0)n n n f x x x f ∞==--∑八、分设函数证明级数收敛。 (15)()(0)0,'()(),[0,)()0.f x f x f x Af x f x =≤∞=九、分设可微，对于任意的有证明在上注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！ dragonflier 2006-1-16
最新2003年浙江大学数学分析试题答案
2003年浙江大学数学分析试题答案
2003年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ， a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以 ,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连 续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取 },m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案
浙江大学20 10 -20 11 学年 春夏 学期 《 数学分析（Ⅱ）》课程期末考试试卷（A ） 课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场 考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟 诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。 请注意：所有题目必须做在答题本上！ 做在试卷纸上的一律无效！ 请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！ 考生姓名： 学号： 所属院系： _ 一、 计算下列各题： ( 前4题每题5分，最后一题6分，共26分 ) 1. 2 ()(03)sin lim .x y xy x →，，求： 222 2 ()(03)()(03)sin sin lim lim 9.x y x y xy xy y x xy →→=?=，，，， 2. (122) ().f x y z gradf = ，，设，， 23(122) (122) (122) (122) 11 ..27 22 .2727 1 {122}.27 f x x f r x r r r x f f y z gradf ??==-?=-=- ????=- =- ??=- ，，，，，，，，令，则：则： 同样， ，因此，，， 3. 2222320(321)S x y z ++=求曲面：在点，，处的法线方程. 222()2320246. 321(321){686}. 343 x y z F x y z x y z F x F y F z x y z n =++-===---=== 令：，，，则：，，因此，在点，，的法向量，，，故法线为：
最新浙江大学数学分析试题答案-考研试卷汇总
2004年浙江大学数学分析试题答案-考研试 卷
2004年浙江大学数学分析试题答案. 1.)(x f 必要性：在X 上一致收敛：,0,0>?>?δε当δ<-'''x x 时， ε<-)''()'(x f x f ， 由0)(lim ' '=-∞ →m n n x x ，对上述,,0N ?>δ当N n >时，δ<-''m n x x ，有ε<-)'()'(m n x f x f ， 所以0)'()'(lim =-∞ →m n n x f x f ， 充分性：反证：假设)(x f 在X 上不一致收敛；'',',0,00x x ?>?>?δε尽管 δ<-'''x x ，但0)''()'(ε≥-x f x f ，不妨取,',',1m n x x n ?=δ尽管n x x m n 1 ''<-，但 0)'()'(ε≥-m n x f x f 上述},'{},'{m n x x 满足0)(lim ' '=-∞ →m n n x x ，但是0)'()'(ε≥-m n x f x f ，与 0)'()'(lim =-∞ →m n n x f x f 矛盾。 2. 由0) ('lim 0=→x x f x ，得0)0('',0)0('==f f ， )()0('''61)0(''21)0(')0()(332x x f x f x f f x f ο++++=，)1 (161)1(2 2n n n nf ο+=， 级数∑ ∞ =12 1 n n 绝对收敛，所以原级数绝对收敛。 3.由0)('<+a f ，存在c a f x f a x =<>)()(,11，由0)('<-b f ，存在 c b f x f b x =><)()(,22，由连续函数的介值定理：存在201x x x <<，c x f =)(0，在 由罗尔定理，知)('x f 在),(b a 至少存在两个零点。 4.反证：假设对任意的区间],[],[b a ?βα，有0)(≥x f ，把这些区间叠加覆盖区间[a,b]则 ? ≥b a dx x f 0)(，与题设矛盾。 5.由有限覆盖定理：存在N ,,2,1 ，有N I I I ,,21覆盖[0，1]，记这N 个区间的长度的最小者为δ=0 j I ，当δ<-'''x x 时，}{'','αβI I x x ∈∈
浙江大学数学分析试题答案
2003年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
最新浙江大学数学分析试题及解答汇总
2005年浙江大学数学分析试题及解答
浙江大学2005年数学分析解答 一 （10分）计算定积分20 sin x e xdx π ? 解：2 sin x e xdx π ? =()011cos 22x e x dx π??-????? ()01x e dx e ππ=-? 由分部积分法0cos 2x e xdx π =?()1e π -+20sin 2x e xdx π =?()1e π -0 4cos 2x e xdx π -? 所以0 cos 2x e xdx π = ?()115e π-，所以20sin x e xdx π?=()215 e π- 解毕 二 （10分）设() f x 在[0,1]上Riemann 可积，且1 ()2f x dx =? ，计算 1 1lim 4ln[1()]n n i i f n n →∞=+∑ 解：因为()f x 在[0,1]上Riemann 可积，所以0,()M f x M ?>≤，所以 1()0i f n n → 因为0ln(1) lim 1x x x →+=，所以114ln[1()]n i i f n n =+∑与1 14()n i i f n n =∑等价且极限值相等 由Riemann 积分的定义： 1 1lim 4ln[1()]n n i i f n n →∞=+∑ =410()f x dx =?解毕 三 （15分）设,,a b c 为实数，且1,0b c >-≠试确定,,a b c 的值，使得30sin lim ln(1)x x b ax x c t dt t →-=+? 解：若0b ≠，显然30sin lim 0ln(1)x x b ax x t dt t →-=+?，这与0c ≠矛盾，所以0b = 计算300sin lim ln(1)x x ax x t dt t →-+?，利用洛必达法则： 33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--=++?，易有30ln(1)lim 0x x x →+=，若1a ≠， 33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--==∞++?，矛盾，所以1 a =.计算301cos lim ln(1)x x x x →-+，继续利用洛必达法则：
浙江大学数学分析试题答案-考研试卷
2004年浙江大学数学分析试题答案. 1.)(x f 必要性：在X 上一致收敛：,0,0>?>?δε当δ<-'''x x 时，ε<-)''()'(x f x f ， 由0)(lim ' '=-∞ →m n n x x ，对上述,,0N ?>δ当N n >时，δ<-''m n x x ，有ε<-)'()'(m n x f x f ， 所以0)'()'(lim =-∞ →m n n x f x f ， 充分性：反证：假设)(x f 在X 上不一致收敛；'',',0,00x x ?>?>?δε尽管δ<-'''x x ，但 0)''()'(ε≥-x f x f ，不妨取,',',1m n x x n ?=δ尽管n x x m n 1 ''<-，但0)'()'(ε≥-m n x f x f 上述},'{},'{m n x x 满足0)(lim ' '=-∞ →m n n x x ，但是 0)'()'(ε≥-m n x f x f ，与 0)'()'(lim =-∞ →m n n x f x f 矛盾。 2. 由0) ('lim 0=→x x f x ，得0)0('',0)0('==f f ， )()0('''61)0(''21)0(')0()(332x x f x f x f f x f ο++++=，)1 (161)1(2 2n n n nf ο+=， 级数∑ ∞ =12 1 n n 绝对收敛，所以原级数绝对收敛。 3.由0)('<+a f ，存在c a f x f a x =<>)()(,11，由0)('<-b f ，存在c b f x f b x =><)()(,22，由连续函数的介值定理：存在201x x x <<，c x f =)(0，在由罗尔定理，知)('x f 在),(b a 至少存在两个零点。 4.反证：假设对任意的区间],[],[b a ?βα，有0)(≥x f ，把这些区间叠加覆盖区间[a,b]则 ? ≥b a dx x f 0)(，与题设矛盾。 5.由有限覆盖定理：存在N ,,2,1 ，有N I I I ,,21覆盖[0，1]，记这N 个区间的长度的最小者为δ=0j I ，当δ<-'''x x 时，}{'','αβI I x x ∈∈ 6.参考数学物理方程的有关教材的推导
浙江大学数学分析试题及其解答
浙江大学2003年研究生数学分析试题 1．（15分）叙述数列的柯西（Cauchy ）收敛原理，并证明之。 2．（15分）设()f x 在[,]a ∞上一致连续，()x ?在[,]a ∞上连续，且lim[()()]0x f x x ?→∞ -=。 证明：()x ?在[,]a ∞上一致连续。 3．（15分）设()f x 在[,]a ∞上有二阶连续导数，且()0,'()0f a f a ><，当x a >时''()0f x ≤。 证明：在[,]a ∞内，方程()0f x =有且只有一个实根。 4．（20分）设()f x 连续，1 ()()d x f xt t ?=?，且0 () lim x f x A x →=（常数），求'()x ?，并讨论'()x ? 在0x =处的连续性。 5．（10分）定义()n P x 为 21d (1)()2!d n n n n n x P x n x -=，1,2,n = 0()1P x = 证明：1 10()()d 221 m k m k P x P x x m k m -≠?? =?=?+??。 6．（10分）给出Riemann 积分()d b a f x x ?的定义，并确定实数s 的范围使下列极限收敛 1 1 lim () n s n i i n n -→∞=∑。 7．（20分）证明： 1）函数项级数1 2 1(1)n n n x -∞ =-+∑在(,)-∞∞上一致收敛，但是对任意(,)x ∈-∞∞非绝对收敛； 2）函数项级数2 21(1) n n x x ∞ =+∑对任意(,)x ∈-∞∞都绝对收敛，但在(,)-∞∞上非一致收敛。 8．（45分）计算 1）（15分）1 001 max ln d s s t t ≤≤-?； 2）（15分）23 D 3d d x x y y xy +?? ，其中D 为平面曲线22 1,3,,3xy xy y x y x ====所围成的有界闭区域。 3）（15分）1(,,)d x y z f x y z S ++=??，其中222 2222 2 2 11(,,)01 x y z x y z f x y z x y z ?---++≤=? ++>?
浙江大学1数学分析考研试题解答
浙江大学 数学分析考研试题解答 一、（1）证明 l i m c o s c o s c o s 222 n n t t t →∞ ? ?? (cos cos cos )sin 2222lim sin 2 n n n n t t t t t →∞???= sin lim 2sin 2n n n t t →∞ =sin sin lim sin 22n n n t t t t t t -→∞-== ； （2）利用1cos 4 2π = ，及111cos cos 2222 n n ππ+=+， 2 3 1 2 lim cos cos cos 22 2n n π π π π +→∞ =???， 即得 2 111111111 222222222 π = +++ 。 二、解 1 01()()()x g x f xt dt f u du x = = ? ?，（0x ≠）；显然10(0)(0)0g f dt ==? 10 2000()1lim ()lim x x x f u du f xt dt x x →→=?? 0 0()1()(0)15 lim lim (0)22022 x x f x f x f f x x →→-'====- 。 三、解 令sin .n a nx =， 11 1 (1),2 n b n n = +++ 由于1n n b b +-= 11111 1 (1)(1)2 12 1 n n n n +++-+++++ 111111 1 (1)(1)(1)1212 1 n n n n n = ++++-+++ +++
111111 1 (1)(1)012(1)12 1 n n n n n n > ++++-+++ >++++， 所以{}n b 单调递减. 又因为1lim 0,n n →∞=所以111 lim lim (1)0.2 n n n b n n →∞→∞=+++= 而 1 1 21 |||sin |,|sin | n n k x k k a kx ===≤ ∑∑ (2)x k π≠ 即 1 k k a ∞ =∑的部分和有界， 于是,由Dirichlet 判别法可知级数收敛； 当 2x k π=时，显然级数收敛。 四、设()f x 是区间I 上的有界函数，证明()f x 在区间I 上一致连续的充分必要条件是对任给的0ε>，总存在正数M ，使得当,x y I ∈，x y ≠，且 ()() f y f x M y x ->-时，就有 ()()f y f x ε-<. 证明 充分性 用反证法. 假若()f x 在区间I 上不一致连续，则存在00ε>，存在{}{},n n x y I ∈， 使得1 n n x y n -<，但()()0n n f x f y ε->， 即有 ()() 0n n n n f x f y n x y ε->-， 由假设条件，对 02 ε>，只需要n 充分大， 就有()()0 2 n n f x f y ε-<， 矛盾 所以()f x 在区间I 上一致连续； 必要性 设()f x 在区间I 上一致连续， 用反证法若结论不成立，
浙江大学2009年数学分析
浙江大学2009年数学分析试题 一、计算（每小题10分，共40分） （1）22221(0)cos sin dx ab a x b x ≠+?， （2）2 2 220cos lim (1)(1cos )arctan t x x x e tdt x e x x →---?， （3） 2 ln 1x dx x +∞ +? ， （4）()sgn()D x y x y dxdy +-??，其中[0,1][0,1]D =? 二、（15分）如果()f x 在0x 的某邻域内可导，且0 0()1 lim 2 x x f x x x →'=-。证明()f x 在点0x 处取极小值。 三、（15分）设(,,)f x y z 表示从原点(0,0,0)O 到椭球面∑：2222221x y z a b c ++=(0a >， 0b >，0c >)上点(,,)p x y z 处的切平面的距离。求第一类曲面积分(,,) ds f x y z ∑ ?? 。 四、（20分）设()f x 在[,]a b 上连续，且[,] min ()1x a b f x ∈=。证明：1 lim( )1(()) b n n a n dx f x →∞=? 。 五、（20分）设对任意0a >，()f x 在[0,]a 上黎曼可积，且lim ()x f x C →∞ = 。证明： lim ()tx t t e f x dx C + +∞ -→=?。 六、（20分）证明|sin | ()x f x x = 在(0,1)与(1,0)-上均一致连续，但在(1,0)(0,1)-?中不一致连续。（注：称()y f x =在集合()D D R ?上一致连续是指：对0ε?>，存在0δ>，使得对,x x D '''?∈，当||x x δ'''-<时，有|()()|f x f x ε'''-<）。 七、（20分）设()f x 在[,]a b 上可导，导函数()f x '在[,]a b 上单调下降，且()0f b '>。 证明：2 | cos ()|() b a f x dx f b ≤ '? 。 （注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
数学分析-浙江大学数学系
数学分析（甲）简介 课程号：06110010，06110020，06110030 课程名称：数学分析英文名称：Calculus 周学时：4-1，4-1，4-0学分：4.5，总学分：13 预修要求：无 内容简介：数学分析是数学系各专业的重要基础课。本课程的教学目的是向学生介绍最基本的概念、定律、理论与方法，同时通过本课程的学习，提高学生的数学推理论证能力和抽象思维能力，为后续课程的学习打下坚实的基础 选用教材或参考书：（含教材名，主编，出版社，出版年） 教材：《微积分与数学分析引论》，科学出版社R.柯朗，F. 约翰，2002年 参考教材：《数学分析》（第二版），华东师范大学数学系编 《数学分析》（第二版），复旦大学数学系陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中
《数学分析》教学大纲 一、课程的教学目的和基本要求 数学分析是数学系各专业的重要基础课。本课程的教学目的是向学生介绍最基本的概念、定律、理论与方法，同时通过本课程的学习，提高学生的数学推理论证能力和抽象思维能力，为后续课程的学习打下坚实的基础 二、相关教学环节安排 第一学期主要内容：实数连续统、函数的概念、序列的极限概念、函数的极限概念、连续函数的概念和相关定理、积分的概念、积分的基本法则、不定积分的基本 概念、导数的概念、积分、原函数和微积分基本定理、连续函数的定积 分的存在性 第二学期主要内容：微分法则及其应用、反函数的导数、复合函数的微分法、指数函数的某些应用、最大值和最小值问题、函数的量阶、初等积分法、有理函数的 积分法、几类特殊函数的积分法、反常积分概念及其判别法、三角函数 的微分方程、幂级数、泰勒定理、余项的表示式及其估计、插值问题、 拉格朗日插值公式 第三学期主要内容：积分的数值计算、方程的数值解法、斯特林公式、无穷和与无穷乘积收敛与发散的概念、绝对收敛和发散的判别法、函数与曲线序列的极限过 程、复数项幂级数、级数的乘法和除法、无穷级数与反常积分、无穷乘 积、含有伯努利数的级数、傅里叶级数、三角多项式和有理多项式的近 似法、傅里叶积分定理、非连续点上的吉布斯现象、傅里叶级数的积分、 伯努利多项式及其应用 第四学期主要内容：平面和空间的点和点集、多元函数连续性、函数的偏导数、函数的全微分及其几何意义、多元复合函数、多元函数的中值定理与泰勒定理、依 赖于参量的函数的积分、微分与线积分、线性微分型的可积性的基本定 理、多维空间的聚点原理及其应用、连续函数的基本性质、点集论的基 本概念 第五学期主要内容：隐函数、函数组、变换与映射、曲线族，曲面族，以及它们的包络、交错微分型、求最大与最小值、平面上的面积、二重积分、三维及高维区 域上的积分、空间微分、质量与密度、化重积分为累次单积分、重积分 的变换、广义多重积分、在曲线坐标中的重积分、任意维数的体积和曲 面面积、作为参数的函数的广义单积分 第六学期主要内容：傅里叶积分、欧拉积分（伽玛函数）、多元函数的积分、面积与积分的变换、高斯，斯托克斯和格林的积分定理、散度定理的向量形式，斯托
2012年浙江大学819数学分析考研真题【圣才出品】
2012年浙江大学819数学分析考研真题 浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：数学分析（A ）（819） 考生注意： 1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟； 2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。 一、（15分) 设n 为正整数，121()(1)cos ,n n f x t xtdt x R -=-∈?. 证明： 212()2(21)()4(1)(),2n n n x f x n n f x n n f x n --=---≥. 二、（15分) 设f 在 []0,1上连续，且对任意[],0,1x y ∈有： ()()()22x y f x f y f ++≤. 证明： 101()()2f x dx f ≥?. 三、（20分) 设实数 ,1λλ<，求0()ln(1cos )f x dx πλλ=+?. 四、（20分) 设函数:,(0)i f R R a i +→≥为实数，且对充分大的x ，有 10()n n a a f x a x x =++++
证明：1 ()n f n ∞=∑收敛的充要条件是 010a a ==. 五、（20分) 如果任意0ε>，存在N ，当,n m N >时，有m n x x ε-<，则称数列{}n x 为 cauchy 数列.证明：函数f 在有界区间A 上一致连续的充要条件是对A 中任意cauchy 数列{}n x ，数列{}()n f x 为cauchy 数列. 六、（30分) 设()f x 在0x =的邻域内有连续的一阶导数，且 (0)0,(0)1f f '''==. 求()30()ln(1)lim x f x f x x →-+. 七、（30分) 设实数4λ>-，数列{}n x 满足2111,,122n n x x x x n λ +==+≥. 试讨论数列 {}n x 的收敛性.
浙江大学数学分析期末考前练习题
理学院数学分析模拟考试 I. 求值 a) 3 0sin sin lim x x x x ?→ b) x x x x x x sin sin lim 20??++→ c) x x x x ?+?∞→21lim d) 若0)1 1(lim 2=??+++∞→b ax x x x , 求 a, b=? e) n n n n )3 322(lim +∞→ f) 若)cos arctan()(2x x x y =, ?)('=x y g) 若x y arctan =, ?)0()(=n y h) ∫+??dx x x x 22)22(12 i) 若0>x , )(21 1x x x x η+=?+, ?)(lim 0 =→x x η II. 若∫+=dx x A n n n )12(122, 求证1121132)12)(1(2?????++?=n n n n A n n x n x A . III. 证明若)(x f 在),[+∞a 连续, 且)(lim x f x +∞→. )(x f 在 ),[+∞a 上一致连续. IV. )(x f 在],[b a 连续, 在),(b a 二阶可导. 证明： )?=++?(∈?∈?ξξ(4 )()()2(2)(. .),,),,(,)2(2f y x y f y x f x f t s b a b a y x V. 设],[b a 在),0[+∞内可导，且0)0();()('0=≤≤f x f x f . 证明：在),0[+∞内 0)(≡x f . VI. 关于单调有界定理 a) 叙述并证明单调有界定理. b) 设1>=+++++=θθθθθ,...;2,1,1...4131211n n a n . 证明}{n a 收敛.
浙江大学2002年研究生数学分析试题
浙 江 大 学 二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题 考试科目：数学分析 一、（共30％） （A ）（10％）用“δε-语言”证明03 )1)(2(lim 1=---→x x x x ； （B ）（10％）给出一个一元函数f ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之； （C ）（10％）设),(y x f 为二元函数，在),(00y x 附近有定义，试讨论“),(y x f 在),(00y x 处可微”与“),(y x f 在),(00y x 附近关于x 、y 的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。 二、（共30％） （A ）（5％）设1 2)(++=x x x f ，数列{}n x 由如下递推公式定义：10=x ，)(1n n x f x =+，0(=n ，1，2，) ，求证：2lim =∞→n n x 。 （B ）（5％）求21cos lim x x x ???? ? ? ∞→。 （C ）（5％）求)0()(n f ，0(=n ，1，2，) ，0)0(=f ，21 )(x e x f -=（当0≠x 时）。 （D ）（5％）求不定积分dx x ?+21。 （E ）（5％）证明：∑∞== 11)(n x n x ?在),1(∞上连续可微。 三、（共20％） （A ）（10％）求第一型曲面积分??=++-++= 2222222) (R z y x h z y x dS I ，其中R h ≠。 （B ）（10％）设a 、b 、c 为三个实数，证明：方程c bx ax e x ++=2的根不超过三个。 四、（共20％） 设x x x x f n n cos cos cos )(2+++= ，求证： （A ）（10％）对任意自然数n ，方程1)(=x f n 在)3/,0[π内有且仅有一个正根； （B ）（10％）设∈n x )3/1,0[是1)(=x f n 的根，则3/lim π=∞ →n n x 。
浙大数学分析
浙江大学2000年研究生数学分析试题 一．（共10分）(1)求极限1 (1)lim x x e x x →-+ (2)设21 01,,,2,3,,lim 2 n n n n n x x x a x b x n x --→∞ -=== = 求 二．（共10分）1．设K a b a f b f K f b a =--=+ - →→) ()(lim ,)0(0 试证明‘ 2．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，试证明存在(,)a b ξ∈，使得 )(4 ) ()2 ( 2)()(2 ξf a b b a f a f b f ''-= +-+ 三．（共15分）1．求数项级数∑ ∞ =1 2 n n n 的和S 2．试证明∑ ∞ ==1 1)(n x n x s 在),1(∞上的连续函数 四．（共15分） 1．设方程组?? ?=+=+++0 sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数?? ?==) ,(),(y x v v y x u u ，试求y v x v du ????, , 2 ．设2 ) ()d y x y F y x x = ，求)1(F ' 五．（共30分） 1．计算定积分2 sin cos 1cos x x I dx x π =+? 2．求以曲面2 2 y x e z --=为顶，以平面0=z 为底，以柱面122=+y x 为侧面的曲顶 柱体的体积V 3．设∑+表示半球面)1(12222≤+--=y x y x z 的上侧，求第二类曲面积分 ?? ∑++-++= + dxdy y z x dzdx z y x dydz z y x J 2 22)2()2()( 六．（共20分）1．将函数x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成Fourier 级数 2．求级数∑ ∞ =1 2 1n n 的和 3．计算广义积分? -1 ) 1ln(dx x x
浙江大学2011-2012数学分析(1)-试卷及答案(baidu)
浙江大学20 11 -20 12 学年 秋冬 学期 《 数学分析（Ⅰ）》课程期末考试试卷（A ） 课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷，允许带___笔____入场 考试日期： 2012 年 1 月 11 日，考试时间： 120 分钟. 考生姓名： 学号： 所属院系： _ 一、6分） 0002()()00013214()().lim () . . 0min{1}00251251 322.lim 3. 111 x x x f x U x A x x x x x x x x f x A f x x x x A f x x x A εδδεδεεδε→→?>?><-<<<<+?=> <-<----=<-<=+++-<= 设在内有定义，如果存在常数 ，对，，当时，不妨令 ，则：对，，，当，有 ；则称在处有极限，记作：：因此 二、 （每题6分，共18分） 1. () 2 1 2 11cos 1 2 cos 10 1lim cos lim 1(cos 1).x u x u u u x u u e x = -- ? -→∞→? ?=+-= ?? ?令 2. 22230 3 3 3 00 0332 2200lim lim lim arcsin [()]()6 6 2arctan 26lim 6lim 4.33x x x x x x x x x x x x x x x o x x o x x x x x x + + + ++ →→→→→==? -++-+===?? ?
3. tan 0.x x n x e e x n αα→-设当时，与为等价无穷小量，求：常数、的值 tan tan 3330000(1)tan 1lim lim lim lim 131 3. 3 x x x x x n n n n x x x x e e e e x x x x x x x x x n ααααα-→→→→---==?====，因此，， 三、 导数及应用：（每题7分，共21分） 1. 212 1 1(1)1111 1.. 242x y x x x y x y x π='= =-+ -'===+-则：故，在处的切线方程为 2. 342242 444cos 42(1)2.(2).2cos 2cos cos dy dy dy t t d y t dt dt t dx dx dx t t dx t t t dt dt ' ====== 3. (2012)2(2012)12(2011)2 2(2010) 2012201220122201120102(2012) (2)()(2)()(2)()(1)(2)(1)2012(22)(1)20122011(2)2012(22)20122011.=20122x x x x x x x x x x y x x e C x x e C x x e x x e x e e x x e x e e y ---------='''=-+-+-=--+--+-?=---+??因此，013=4050156. 四、 计算下列积分：（每题7分，共28分） 1. ln(1)x x dx +? 22 2222111ln(1)ln(1)ln(1)2221111ln(1)1221111 ln(1)(1)ln(1).242 x x x dx x dx x x dx x x x x dx x x x x x C +=+=+-+?? =+--+ ?+??=+---++????
- 最新浙江大学数学分析试题答案-考研试卷汇总
- 最新2003年浙江大学数学分析试题答案汇总
- 浙江大学1数学分析考研试题解答
- 2006年浙江大学427数学分析考研真题【圣才出品】
- 浙江大学2002年研究生数学分析试题
- 最新2003年浙江大学数学分析试题答案
- 2015浙江大学数学分析考研题
- 2015年浙江大学数学分析试题及解答
- 数学分析-浙江大学数学系
- 2001年浙江大学436数学分析考研真题【圣才出品】
- 浙江大学2011-2012数学分析(1)-试卷及答案(baidu)
- 浙江大学2010-2011数学分析(2)-试卷及答案
- 浙江大学数学专业历年考研试题数学分析1995;1999-2018年
- 浙江大学数学分析试题及其解答
- 浙江大学-数学分析(1)-试卷及答案(baidu),推荐文档
- 浙江大学数学分析期末考前练习题
- 《数学分析》考研浙江大学数学分析考研真题
- 浙江大学2009数学分析
- 浙江大学2017年《数学分析》考研数学真题试卷
- 浙江大学 2019 年数学分析考研试题