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毕业论文数学3

本科毕业论文题目：逼近法的相关研究

学院：数学与计算机科学学院

班级：数学与应用数学2007级5班

姓名：晁燕萍

指导教师：许芝卉职称：副教授

完成日期： 2011 年 5 月 20 日

逼近法的相关研究

摘要：逼近法是在各个学科中应用极广泛的分析论证方法,本文就逼近法中最重要的几种方法加以论述,即二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法,主要结合实例,介绍其分析论证的思想与方法.

逼近法的应用和用法是非常广泛而多样的,最简明直观的是二分逼近法,它和实数连续性的配合运用,是分析论证微积分学中许多重要定理和基础问题的有力工具.逐次逼近法在各学科中也有广泛应用,本文就泛函分析中不动点的有关知识加以说明,此外,介绍了逐步逼近法在微分方程及其初等数论中的重要应用.

关键词：逼近; 二分逼近; 逐次逼近; 逐步逼近

1引言 (1)

2二分逼近法 (1)

1.2二分逼近法的典型证明方式 (1)

2.2二分逼近法在数学分析中的应用 (2)

3逐次逼近法以及在泛函分析中的应用 (3)

4逐步逼近法 (4)

1.4逐步逼近法在微分方程中的应用 (5)

2.4一次同余式组的逐步逼近解法 (8)

1.2.4用剩余定理求解的方法 (9)

2.2.4逐步逼近法 (10)

3.2.4两种解法计算量的比较 (12)

参考文献 (13)

1 引言

逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法,它遵循着这样一个简朴实用的原则,以简御繁,以“已知”去研讨“未知”.作为一个分析论证方法,它是这个原则的具体化、数量化.譬如,任一个无理数,都可用有理数去无限逼近它,使误差可以到任意小.又如,数列{}n a 以A 为极限,其意即为用n a a a ,,,21 去逐步逼近常数A.再如,从几何上看定积分,曲边梯形的面积是通过一系列阶梯形逼近计算而得到的.可见,数学的研讨分析中普遍地渗透着逼近法的思想.不只如此,在泛函分析、微分方程和初等数论中也有非常广泛的应用, .以下主要就二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法在不同学科中的应用加以论述.

2 二分逼近法

1.2 二分逼近法的典型证明方式

二分逼近法在定理或问题分析论证中的思想是：欲找一个具有某一性质p 的实数,则可以从一个具有相应性质*P 的闭区间出发,逐次二等分,得到一个始终保持*P 的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列,将具有性质p 的实数“夹逼”出来,而实数的连续性则确保了此数的存在,使这种逼近不至于“逼”空. 现将二分逼近法典型证明方式说明于下

1）确定一个闭区间使其具有某一性质*P .(*P 由性质p 决定)

2）逐次二等分得到闭区间列[]{}m m B A ,,则所有的闭区间都具有性质*

P ,且

1221B B B A A A m m ≤≤≤≤≤≤≤≤

(亦可写成：[][][][] ?????m m B A B A B A B A ,,,,332211) 从而得到左右夹逼数列{}m A 与{}m B 满足：

()02

l i m l i m =-=-∞→∞→m m m m m m m A B A B 3）由实数的连续性得到实数k ,属于所有的闭区间,使k 满足：

()i 具有性质p .这是由于k 属于所有的闭区间,被{}m A 与{}m B 左右夹逼,不妨形

象的表示为：

m m B k A ←→ ∞→m

因而, k 的任意小的邻域内()εε+-k k ,都包含[]m m B A ,（m 足够大）,于是()

εε+-k k ,

具有*P ,故k 具有性质p .

()ii k 是唯一的.事实上,若k 不唯一,设k k '≠,且满足

m m B k A ←→,m m B k A ←'→,则对任何m , m m A k B k >'<,,得到m m A B k k -≤'-,而

()0lim =-∞

→m m m A B ,故k k '=,即k 唯一.

2.2 二分逼近法在数学分析中的应用

例1 设在[]b a ,上连续的单调递增函数()x f 满足:b b f a a f <>)(,)(,则存在

),(b a c ∈,使()c c f =.

证明令11,B b A a ==,将[]11,B A 二等分,分点为

1B A +, 若221

111B A B A f +=

? ??+,则命题结论成立. 若221111B A B A f +>

??? ??+,则取[]22111,,2B A B B A =???

???+, 若221111B A B A f +

???+. 逐次二等分区间,一般的对于区间[]m m B A ,,

若22m m m m B A B A f +=

??? ??+,则命题结论成立; 否则,若22m m m

B A B A f +>??? ?

?+,则取[]11,,2++=??

???+m m m m m B A B B A , 若22m m m m B A B A f +

+m m m m m B A B A A . 从而得到两个夹逼数列{}m A 与{}m B 满足：

()i

1221B B B A A A m m ≤≤≤≤≤≤≤≤

且 ()0l i m

=-∞

→m m m A B ()ii ()()m m m m B B f A A f <>,

于是可知存在实数c ,使()∞→←→m B c A m m ,

由于()x f 单增,所以()()()m m B f c f A f ≤≤,即:()()()m m m m B B f c f A f A <≤≤< 令()c c f m =∞→,

上述证明中,所求的数c 具有的性质p :()c c f =,而构造的闭区间[]{}m m B A ,具有性质*P ,则确定为

()()m m m m B B f A A f <>,,

从而得到夹逼数列{},m A {}m B 将c “逼出”.

在不同问题的论证中性质p 与相应的*P 是具体的,在不同的情况下,必须紧扣实际加以明确,这是正确应用二分逼近法成功论证的关键.

二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具,是逼近法的最简明的形式之一,然而,逼近法的应用却更为广泛,在泛函分析,微分方程等数学分支中也都是一种有效的论证方法.下面通过介绍另一种逼近法来进一步体会这种方法的思想.

3 逐次逼近法以及在泛函分析中的应用

逐次逼近法,是从一个粗糙的近似解出发,使用某个固定公式逐次加工,使之逐步精确化以得到满足精度要求的近似解.

例2 在完备度量空间中,压缩映射必有唯一不动点.

证明设()d X X ,=是完备的度量空间,T ：X →X 是压缩映射, 即对于任意X y x ∈,,不等式

()()y x d Ty Tx d ,,θ≤

成立,其中θ是满足不等式10<≤θ的常数.

先证映射T 有不动点.构造X 中的序列{}n x .任取X x ∈0,并令

()010201201,,,x T Tx x x T Tx T Tx x Tx x n n n =======- () 2,1=n , 我们证明{}n x 是X 中的基本点列,事实上,

()()()()00101021,,,,Tx x d x x d Tx Tx d x x d θθ=≤=

()()()()0022112132,,,,Tx x d x x d Tx Tx d x x d θθ≤≤=

……… 一般地,可以证明

()()001,,Tx x d x x d n n n θ≤+ () ,3,2,1=n

于是,对自然数n 与k n +,由广义三角不等式得

()()()()n n k n k n k n k n n k n x x d x x d x x d x x d ,,,,1211+-+-+-++++++≤

()

()0021,Tx x d n k n k n θθθ+++≤-+-+

()00,1Tx x d k

n n θθθ--=

+ ()00,1Tx x d n

θθ-≤

对任何给定的0>ε,只有n 充分大,则

()εθ

θ<-01,1x x d n

因而{}n x 是柯西序列.

又因X 是完备的,柯西序列{}n x 是收敛的, 即存在X x ∈,使x x n n =∞

→lim ,

再由于T 是压缩映射,必为连续映射, 于是.在n n Tx x =+1中,令∞→n ,得到

x x T =

即x 是不动点.

再证唯一性.若x 不唯一,设不动点x x ≠',则x x T '=', 于是存在10<≤θ使

()()()x x d x T x T d x x d '='=',,,θ

则必有()0,='x x d ,故x x '=,则T 有唯一的不动点.

上述证明中,为找出不动点,我们利用压缩映射在完备空间中构造了一个柯西序列去逼近极限点,并证明极限点即为不动点,从而完成了将不动点“逼出”的过程.

4 逐步逼近法

逐步逼近法也是逼近法中较为重要的一种论证方法,在各学科中都有广泛的应用.诸如在论证常微分方程解的存在唯一性定理、二项分布的一种新的计算方法、以及在

初等数论中关于一次同余式组的解法都起到非常重要的作用.此外,逐步逼近法在破解技术难题------袁隆平科技创新方面起到了举足轻重的作用.

1.4 逐步逼近法在微分方程中的应用

在微分方程研究中,对于一阶或高阶的,显或隐的方程组的等各类方程,能求得精确解得并不多,因而方程的近似解又十分重要的实际意义的,而解的存在和唯一则是求近似解的前提和理论基础,且论证方法还提供了如何求近似解的途径.我们不妨以一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明再次体会逼近法的思想.由于定理证明过程较长,我们以突出逼近法思想为重点来简叙其过程.

1）现在先简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想. 首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程

()dx y x f y y x

x ?+=0

的连续解,再证明积分方程的解的存在唯一性.

任取一个连续函数()x 0?代入上面积分方程右端的y ,就得到函数

()()()dx x x f y x x

x ?+=0

001,??

显然()x 1?也是连续函数,如果()x 1?=()x 0?,那么()x 0?就是积分方程的解,否则,我们又把()x 1?代入积分方程右端的y ,得到

()()()dx x x f y x x

x ?+=0

102,??

如果()x 2?=()x 1?,那么()x 1?就是积分方程的解,否则,我们继续这个步骤,一般地,作函数

()()()dx x x f y x x

x n n ?-+=0

10,?? ()1

这样就得到连续函数序列

()()() ,,,,10x x x n ???

如果()()x x n n ??=+1,那么()x n ?就是积分方程的解.如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数()x ?,即

()()x x n n ??=∞

→lim

存在,因而对()1式取极限时,就得到

()()()dx x x f y x x

x n n n n ?-∞→∞

→+=010,lim lim ??

()()dx x x f y x

x n n ?-∞→+=010,lim ?

()()dx x x f y x

x ?+=0

,0?,

即

()()()dx x x f y x x

x ?+=0

,0??,

这就是说,()x ?是积分方程的解.这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法.

2）一阶微分方程解的存在唯一性定理：

设()b a f ,在R 上连续且满足利普希茨条件,则方程

()y x f dx

,= ()1 存在唯一解()x y ?=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件

()00y x =? ()2

这里()()y a f M M b a h R

y x ,max ,,min ,∈=??

??=

证明在区间h x x ≤-0上构造一个连续的函数序列(){}x n ? 以()x 0?代入方程()1得 ()()x x f dx

0,?= ()3 则

()()()dx x x f y x x

x ?+=0001,??

是()3的且满足条件()2的解再以()x 1?代入方程()1得 ()()x x f dx

1,?= ()4 则

()()()dx x x f y x x

x ?+=0102,??

是()4的且满足条件()2的解

一般地,继续这一步骤得到

()()()dx x x f y x x

x n n ?-+=010,??

是方程

()()x x f dx

n 1,-=? 的且满足条件()2的解,从而得到函数序列(){}x n ?,可以证明该序列存在极限函数()x ?,从而有：

()()()dx x x f y x x

x ?+=0,0??

是()1的且满足条件()2的解.

虽然我们对定理证明只给给予一个简单的叙述,但还是可以体会出逼近法思想在证明中所发挥的关键作用,然而逼近法的作用不仅仅是证明,它还提供了求近似解的途径.以下通过几个实例来体会逼近法在近似计算中的应用.

例3 用皮卡逼近法求微分方程1=dx

过点()1,1的解. 解这里()1,1,1,00===y x y x f

()()()??+=+=-x

x x n n d d f y x 1

1011,0

?????? ()1

(),10=x ?代入()1 可得()x x =1?

()()x x 01??≠,把()x 1?代入()1可得 ()x x =2?,故()()x x 12??=,由逐步逼近法 ()x x =1?是微分方程

1=dx

,过点()1,1的解. 例4 用皮卡逼近法求微分方程y dx

=过点()1,0的解解这里()1,0,,00===y x y y x f

()()()()??--+=+=x

n x x n n d d f y x 0

1101,0

???????? ()1

(),10=x ?代入()1 可得()x d x x

+=+=?110

1??

()1!21)1(12

02++=

++=?x x d x x

???

()1!

!31)1!21(123203+++=+++=?x x x d x x ????

……

由数学归纳法可得：()().1!

11!11!11+++-+=

-x x n x n x n n n ?

显然()()x x n n ??≠+1 () ,3,2,1=n

∑∞

=0!n n n x 的n 项部分和函数为()x n

?,可得幂级数∑∞

=0!n n n x 的和函数是x

e 在()+∞∞-,上 ()x

n n e x =∴∞

→?lim ()+∞<<∞-x

由逐步逼近法有x e y = 是微分方程

y dx

=,过点()1,0的解. 例5 对于无法用初等积分法求通解的黎卡提方程22y x dx

+=,我们可用逼近法求出满足初始条件()000=?的近似解.

解 ()00=x ?

()()()3

21x dx x dx x x x x

==+=?

???

()()633)9()(7

22x x dx x x dx x x x x

=+=+=?

??? ()()dx

x x x x dx x x x x

?+++=+=0

1062

23)396918929()(??

5953520792633151173x x x x +

++=

随着求解次数的增加,近似解()x n ?与真正解将越来越接近,因此在允许误差范围内可求出令人满意的解.

上面我们结合不同数学分支中的实例,来体会逼近法的思想,尽管构造逼近序列的元素与方法各不相同,但其指导思想却是共同的,那就是用“已知的”、“简”的序列去逼近“未知的”“繁”的,从而达到我们的认识目的.正确领会逼近的思想,提高以逼近思想为指导的分析论证能力,将有助于我们深化对数学知识的认识,也将有助于我们提高数学分析运用能力和解决问题的能力.

2.4 一次同余式组的逐步逼近解法

用剩余定理求解一次同余式组是一种传统的方法,其缺点是兼容性差,计算量大.笔者将工程实践中的逐步逼近法引入传统的代数理论中,从而使一次同余式组的求解

过程的兼容性大大增强,即一次同余式组增加几个条件时只需增加少量计算,而不必像对待一个新问题那样从头算起.

设k m m m ,,,21 为两两互质的正整数,k b b b ,,,21 为整数.即求一次同余式组

1b x ≡ ()1m o d m 2b x ≡ ()2m o d m ()1

k b x ≡ ()k m

m o d

的通解.它的最小正整数解,定义为一次同余式组()1的解.

1.2.4 用剩余定理求解的方法

令()k j m M M m M j j k

i j ,2,1,1

===∏=

由于k m m m ,,,21 两两互质,故j M 与j m 也互质,故存在2个正整数j n 和

()k j N j ,,2,1 =,满足1=+j j j j N M n m ()2 故

j j j j j j j n m b b N M b -=

从而有

()∑∑∑+=-==+

-+=k

j i i

j j j j

j i i

k i i

M b n m b b

N M b N M b 1

于是

j k

i i

b N

M b ≡∑=1

()j m m o d

对于任意整数l 有

∏∑==+=k

i i k

i i i i m l N M b x 1

()3

此为式()1的通解.若∑==k

i i i i N M b x 1

()M m o d 为通解中的最小正整数解

则为式()1的解,若同余式组()1增加了第1+k 个式子,则上述计算过程都需要重复计算,计算量较大.

2.2.4 逐步逼近法

)1 逐步逼近解法的构思

设想一次同余式组

i b x ≡ )(m o d i m

k i ,,2,1 = 为k 个条件,称i b x ≡ ()i m m o d 为第i 个条件. 显然,对于任意整数1l ,

111m l b x += ()4 满足第1个条件

1b x ≡ )(m o d 1m

逐步逼近法的构思是,选择适当的整数1l ,使式()4在满足第1个条件的同时满足第2个条件.如果存在一个整数1l 使式()4同时满足第1,第2个条件,则进一步假设

211111m m l m l b x ++= ()5 对于任意整数2l ,显然式()5同时满足第1,第2个条件,只要适当选择整数2l ,使之再满足第3个条件,……,如此一步一步逼近,直至选择适当121,,,-k l l l ,使

∏-=-++++=1

1212111k i i k m l m m l m l b x ()6

满足所有k 个条件,则通解为

∏∏=-=-+++++=k

i i

k i i k m l m l m m l m l b x 1

1212111

式中l 为任意整数.是()6如果为最小整数解,则为解.

)2 逐步逼近解法的理论证明

定理对于同余式组()1,一定存在k-1个整数121,,,-k l l l ,使

∏-=-++++=1

1212111k i i

k m l m m l m l b x

能同时满足k 个条件

i b x ≡ ()i m m o d k i ,2,1= 证用数学归纳法证明. 对于任意整数1l ,

111m l b x += ()7

显然能满足第1个条件.现在来证明只要适当选择1l ,式()7就能满足第()2个条件.由于

21,m m 互质,则存在2个整数21,n n ,使12211=+n m n m ,于是 2212121112)()(n m b b b b n m b b ---=- 取 ()1121n b b l -=

（因为 ()()221212111211n m b b b b m n b b m l ---=-= ,所以可以选()1121n b b l -=）.显然

1l 为整数,则

22122111)(n m b b b m l b x --=+= 能同时满足第1,第2个条件. 先假设已存在k-2个221,,,-k l l l ,使

∏-=-++++=2

2222111k i i

k m l n m l m l b x

同时满足第1,2,…,k-1个条件.

因为∏-=1

1k i i m 与k m 互质,则存在2个整数1-k n 和k n ,满足111

1=+∏-=-k k k i i k m n m n

故 ∏∏-=--=-----1

121

2111)(k i i k k i i k k m n m l m l b b

i i k i i k k k i i k k m n m l m l b b m l m l b b ???

??---------=∏∏-=--=-1121112

12111

只要选择121

21111)(--=--∏----=k k i i k k k n m l m l b b l ,显然1-k l 为整数,则

∏∏-=--=-++++=1

2111k i i k k i i k m l m l m l b x

k k k i i k k k m n m l m l b b b )(2

2111∏-=------= ()8

显然式()8满足第k 个条件,故存在一个整数1-k l 使式()8在满足第1,2,…k-1,个条件的同时,满足第k 个条件,从而定理得证.

由上证明,存在着k-1个整数121,,,-k l l l ,使∏-=-+++=1

11111k i i k m l m l b x ,满足同余式组

()1,即∏∏=-=-++++=k

i i k i i k m l m l m l b x 1

1111

是同余式组（1）的通解,式中l 为任意实数;若

∏-=-+++=1

1111k i i k m l m l b x ()M m o d

是()1的最小正整数解,则为解.

3.2.4 两种解法计算量的比较

()1 用剩余定理求解的计算量

1）计算????

??=∏=k i i m M 1有k 次乘法运算,计算i M 又有k 次运算;

2）需用辗转相除法确定k 个i N ;

3）计算∑=k

i i i i N M b 1

的计算量比较大,然后再求出∑=≡k

i i i i N M b x 1

()M m o d

方能得到解.

()2 用逐步逼近法求解的计算量

1）计算()1,,3,21-=∏=k j m j

i i 有k-2次乘法运算;

2）需用辗转相除法确定k-1个()1,,2,1-=k i l i ;

3）∏-=-+++=1

11111k i i k m l m l b x 的计算量不大,往往此时x 即为所求的解.

参考文献：

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Approximation method of related research

Abstract: Approximation method is extensively applied in all disciplines. The thesis discusses three most important methods of the approximation methods ,that is, half approximation method、successive approximation and gradual approximation. This paper based on examples, introduces relative methods of analytic demonstration.

The application of approximation method is very broad and diverse. The half approximation method is the most concise and intuitive. Used together with real continuity, half approximation method can become a powerful tool of analyzing many important theorems and basic problems in calculus. This paper describes uniqueness theorems of analytic functions of fixed point in functional analysis, and embodies the thought of gradual application of gradual approximation in differential equation and elementary theory.

Keywords:approximation; half approximation; successive approximation; gradual approximation