矩阵论试题

2012矩阵论复习题

2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=

2016矩阵论试题

第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(

矩阵论解题步骤-期末考试题

1. 广义逆（必考类型） 假设s x n 矩阵A 的广义逆为G ，且A 可以满秩分解为A = BC ，A 的秩r(A) = r ，则B 为s x r 矩阵，C 为r x n 矩阵。则G 可表示为： H 1 1 C (CC )(B B)B H H H G --= 例题： 步骤：显然，A 要分解为BC ，必须知道A 的秩，故先对A 进行行化简成最简式 ，r(A)=2，故A 满秩分解为A=（3x2） （2x4）=BC.根据A 的最简式来决定B 和C ，B 由A 最简式中只有1的原列组成，C 由A 的最简式的非零首元行组成。 B = ， C = ，H 11C (CC )(B B)B H H H A --+=，通过计算即可 得到A 的广义逆。（若B 、C 中有单位矩阵，那么A 的广义逆表达式可去掉矩阵） 性质： 2. 证明r(ABC)r(B)r(AB)+r(BC)+>=

比较重要的性质 (1) ABX=0与BX=0同解 r(AB)=r(B) (2) r(A)=r(H A A ) (3) r(A+B)<=r(A)+r(B) (4) r(AB)<=min[r(A),r(B)] (5) r(AB)>=r(A)+r(B)-n ，其中A=s x n ，B=n x t 步骤： 设r(B)=r ，B 的满秩分解为B=HK ，所以ABC=AHKC ， r(ABC)=r(AHKC)>=r(AH)+r(KC)-r （性质（5）） AB=AHK ，故r(AB)<=r(AH)，同理得r(BC)<=r(KC)，（性质（4）） 从而r(ABC)>=r(AB)+r(BC)-r(B)，原式得证 知识点： A ． 秩为r 的s x n 矩阵A 必可分解为A=BC ，其中B=s x r ，C=r x n 。该分解称为A 的 满秩分解。 3. nxn 2n n 2V {X |AX ,X C }n X ==∈，证明：12=V n C V ⊕ 证明包含两部分，1）证明12V V ⊕是直和 等价于 证明1 2V {0}V = 2）证明12V n C V ?⊕，12V n C V ?⊕ 步骤：

2012东南大学考博经验谈

东南大学考博经验谈 我与2012.11.05参加东南大学博士考试，今天已查到初试成绩，227，自己感觉还是满意的，故写些经过，由后面考博的参考。当然个人的方法应该不同。 关于英语，本人英语一直不大好，每次都是刚刚过，一路过来，四级，六级，硕士考试都是踏着线过的，但其实是复习中时间花费最多的，共二个多月的复习时间，我一共做过80篇阅读，一本真题（含51套真题），东大的英语卷子我直从网上搜到05,06年的，已没有多少参考价值，在考试期间，了解到其他人是弄倒了最近几年试卷的，应该还是有帮助的，今年的卷子题型如下：1，单选，15个，15分，都是词汇，没有语法，（当初自己还担心有语法），做完也没什么感觉，从一开始就背词汇，还是有很多记不准。 2.。阅读，40分，5篇，每篇4个选项，从第3篇起，内容就比较长，阅读一直是重点，但还是做的不怎么样，我也没太多经验，只是感觉除了要看“清楚”原文外，题目和选项更要看清楚。两方面都清楚后，错的应该不多了。 3，翻译，英翻中，15分，一段，中翻英，10分，也是一段。翻译感觉和作文想通，反正我没太多准备翻译，只是最后感觉翻译还是比较自然。 4.作文，20分，关于“lifelong education”,最后两个星期背了几篇，很有用，好多人说作文不能背，因为不会被你猜到，我想，作文题目我们确实猜不到，但一定要背，记住范文中的那些“闪光词”，固定搭配，固定句型，这个我感觉我用的还蛮好的，作文也很顺利写好。其实自己在考前，从没写过一篇（自己很是担心），原因是实在写不出，其中一个方法我用的很好（也许有恨多人用过），我将范文重新抄了一篇，其中用红色笔写那些“闪光词，固定搭配”，后面再看的时候这些词一目了然，而且以后也就主要记这些词，在考场上，我想出了很多，这些美好的句型用了很多，看上去也像一篇范文。整个感觉考试时间是够的，我英语是58分，成绩虽不高，自己还是满意的， 关于专业课，我想只要你认真复习，大都没有问题，如果是夸专业，一定要弄清考试范围。 另外，也是特别重要的，我想在整个复习，考试过程中，家人，同事，朋友的支持是分不开的，我想高手都早已直博了，考的大部分是要努力的。所以还是努力吧。 本人今年刚考过东南大学自动化学院，现有资料一份，包括英语、矩阵论和线性系统的资料（包括英语真题和内部辅导班资料，矩阵论真题（可以说目前可以搜集到的所有资料都包含在内），线性系统理论题库和真题），本人由于研究生期间对这两门都没有学过，所以对考试知识点进行了详细的总结，如果有愿意购买的可以联系Q：1024626032总结的资料和其他购买的视频资料（比如矩阵论的内部讲课视频）一并奉送，仅此一份，价格面议！

东南大学考博矩阵论复习题

2011矩阵论复习题 1.设+ =R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为y x y x ?=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =?问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ) ,(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2)1(,(2121x k k kx kx x k ?+ =?问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3 R 的子空间，并求S 的 一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)} ()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈=′=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5.设T 是2 R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)(j i j T ?=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e ?=1j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.敬告：本资源来自网络，如有侵权，请发邮件至liwdedy@https://www.wendangku.net/doc/e26577212.html, ，收到后立即删除，谢谢!

6.设T 是3 R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T ?=++)(i k j T =+)(k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数. 7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x ,(II):321,,y y y ,由基(I)到基(II)的过度矩阵为 ???? ????????=101010101C ,3R 上的线性变换T 满足 2 1321)32(y y x x x T +=++12323 (24)T x x x y y ++=+3 1321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中 321)(x x x a x f +++=3221)(x x ax x f +++=3 2321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性. 9.在22R ×中求由基(I)12101A ??=????20122A ??=????32112A ???=????41312A ??=????到基(II)11210B ??=?????21111B ???=????31211B ???=????41101B ????=???? 的过渡矩阵. 10.已知1(1,2,1,0)α=2(2,1,0,1)α=?1(1,1,1,1)β=?2(1,1,3,7) β=?设1212(,)(,)V L L ααββ=∩,求线性空间V 的维数和基.

矩阵理论2017-2018学年期末考试试题

矩阵理论2017-2018学年期末考试试题 ?、选择题 (每题5分，共25分) 1.下列命题错误的是(A)(B)若，且，则(C)设且，令，则的谱半径为1 (D)设为空间的任意?空间，则2.下列命题错误的是(A)若，则(B)若,则(C)若，则(D)设的奇异值分别为，，如果，则3.下列说法正确的是(A)若，则(B)若为收敛矩阵，则?定可逆 (C)矩阵函数对任何矩阵均有定义，?论A 为实矩阵还是复矩阵 (D)对任意?阵，均有4.下列选项中正确的是(A)且，则为收敛矩阵； (B)为正规矩阵，则(C)，则(D)为的所有正奇异值，5.下列结论错误的是(A)若和分别是列满秩和?满秩矩阵，则(B)若矩阵为?满秩矩阵，则是正定矩阵(C)设为严格对?占优矩阵，，则的谱半径(D)任何可相似对?化的矩阵，皆可分解为幂等矩阵的加权和，即?、判断题(15分)(正确的打√，错误的打×) 1.若，且，，则 2.若且，则为到的值域上的正交投影 3.设都是可逆矩阵，且齐次线性?程组有?零解，为算?范数，则 4.，定义，则是上的范数 5.设矩阵的最?秩分解为，则当且仅当 ( ) (A ?B =?)H A H B H A ∈C n ×n =A A 2rank (A )=tr (A )μ∈C n μ=1μH H =E ?2μμH H ,V 1V 2V dim (+)=dim ()+dim () V 1V 2V 1V 2( ) =A ,=A A H A 2=A A +A =A A H A H (=(A m )+A +)m x ∈C n ∥x ≤∥x ≤∥x ∥∞∥2∥1 A , B ∈ C n ×n ≥≥?≥>0σ1σ2σn ≥≥?≥>0σ′1σ′2σ′ n >(i =1,2,?,n )σi σ′i ∥>∥A +∥2B +∥2 ( )A =????π000π001π????sinA =????0000000sin 10?? ??A E ?A e A A A ,B =e A e B e A +B ( )A ∈C n ×n ∥A <1∥m A A ∈C n ×n r (A )=∥A ∥2A ∈(r >0)C m ×n r ∥A =A +∥F r √≥≥?≥σ1σ2σr A ∥=A +∥21σ1 ( ) A B (AB =)+ B +A + A A A H Hermite A =()∈(n >1)a ij C n ×n D =diag (,,?,)a 11a 22a nn E ?A D ?1r (E ?A )≥1 D ?1(i =1,2,?,n )A i A =∑n i =1λi A i A ∈C m ×n A ≠0(A =A A ?)H A ?∥A =n A ?∥2 ( ) A ∈，G ∈C m ×n C n ×m AGA =A y =AGx ,?x ∈C m C m A ( ) A , B ∈ C n ×n (A +B )x =0∥?∥∥A ∥≥1B ?1 ( )?(x ,y )∈R 2f (x ,y )=2+3?4xy x 2y 2￣ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣√f (x ,y )R 2 ( )A A =BD Ax =0Dx =0 ( )

矩阵论武汉理工大学研究生考试试题科学硕士

武汉理工大学研究生考试试题(2010） 课程 矩阵论 （共６题,答题时不必抄题,标明题目序号） 一，填空题（１５分） 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-，则其最小多项式为 ２、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--，21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ； 二，（20）设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明：V 是22?R 的线性子空间; ２、求V 的维数与一组基； 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈，定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、（15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈，定义:

南航矩阵论期中考试参考答案.doc

1) 一组基为q = .维数为3. 3) 南京航空航天大学双语矩阵论期中考试参考答案(有些答案可能有问题) Q1 1解矩阵A 的特征多项式为 A-2 3 -4 4I-A| =-4 2+6 -8 =A 2(/l-4) -6 7 A-8 所以矩阵A 的特征值为4 =0(二重)和/^=4. 人?2 3 由于(4-2,3)=1,所以D| (人)二1.又 彳 人+6=“2+4人=?(人) 4-2 3 、=7人+4=代(人)故(们3),代3))=1 ?其余的二阶子式(还有7个)都包含因子4, -6 7 所以 D? 3)=1 .最后 det (A (/L))=42(人.4),所以 D 3(A)=/l 2 (2-4). 因此矩阵A 的不变因子为d, (2) = d 2(2) = l, d 3 (2) = r (2-4). 矩阵A 的初等因子为人2, 2-4. 2解矩阵B 与矩阵C 是相似的.矩阵B 和矩阵C 的行列式因子相同且分别为9 3)=1 , D 2(/i)=A 2-/l-2 .根据定理：两矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的行列式因子. 所以矩阵B 与矩阵c 相似. Q2 2)设k 是数域p 中任意数，a, 0, /是v 中任意元素.明显满足下而四项. (") = (",a) ； (a+月,/) = (",/) + (”,刃；(ka,/3) = k(a,/3) ； (a,a)>0, 当且仅当Q = 0时(a,a) = ().所以(。,/?)是线性空间V 上的内积. 利 用Gram-Schmidt 正交化方法，可以依次求出 ,p 2 =%-(％'5)与= 层=%-(％,弟与一(％,弓)役=

矩阵论试题

222211A=011.(){}2.3.()C A B P AB BA P C A C A ???? ? ?? =∈=一.（15分）设证明：是的子空间；求（）的一般表达式；求的维数与一组基； 22222212212211111.10010000,00001001P a b a b a b P c d c d c d P E E E ???????????=∈ ? ??? ? -???????? ???????? ==== ? ? ? ?????????11二.（15分）在中定义， T ；证明：T是上的线性变换； 2.求T在基下E 的矩阵； 三.（20分） 1.已知某种材料在生产过程中的废品率y 与某种化学成分x 有关，下表记录了某厂生产中y 与相应x 的数值。 y （%） 1.00 0.9 0.9 0.81 0.60 0.56 0.35 x （%） 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 用最小二乘法求y 对x 的一个一次近似公式（y=ax+b ） 2. 求方程组 12121 20 2120 x x x x x x +=?? +=??+=? 的最优最小二乘解 四.（15分） 3 321.0 1086 5A --?? ? - ? ?? ? 求矩阵＝的Jordan标准形； 42 22f 23m 23ordan A J λλλλλλ----2.已知A的特征多项式，最小多项式分别为： （）＝（）（）；（）＝（）（）； 求的标准形 8542102.10 011010g 34A A A A A A E ?? ? =- ? ??? -++-五（分）设试计算（）＝2 A At 1e e 0 2?? ??? 六.（15分）设A＝，求和； 12n n e e e V V 七.（10分）设V是实数域R上的维线性空间，，，，是的一组基； 对中任二向量：

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为

2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；

研究生矩阵论课后习题答案全习题三

习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10.

若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，

矩阵论试题

2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一．判断题（每小题3分，共15分） 1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零， 即ker A =0。（ ） 2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。（ ） 3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)(

4． 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 ， 。 5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足： ，并 写出常用的三类正规矩阵 。 三．计算题（每小题12分，共48分） 1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。 。

2016矩阵论试题A20170109 (1)

第 1 页 共 4 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则______||||1=A 。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为_______=A 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 _______ 3332345=-++-A A A A A . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 1)(2A 的Smith 标准形为 _________ 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(

矩阵论考博题选

设矩阵()n n ij A a C ?=∈满足 1(1,2,,)n ii ij j j i a a i n =≠>=∑ 则称A 为严格对角占优矩阵。证明 （i ）A 是非奇异矩阵。 （ii ）11diag(,,)nn D a a = ，1 B I D A -=-，证明()1B ρ< 证明 （i ）反证。假设A 是奇异矩阵（即0A =），则0Ax =有非零解：12(,,,)T n x x x x = 。 设1max 0k i i n x x ≤≤=≠，由 1 0n kj j j a x ==∑，得1 n kk k kj j j j k a x a x =≠=-∑，两边取绝对值又得 111n n n k kk kj j k kj kk kj j j j j k j k j k x a a x x a a a ===≠≠≠≤≤?≤∑∑∑ 这与A 是严格对角占优矩阵矛盾。故A 是非奇异矩阵。证毕。 （ii ）11()B I D A D D A --=-=-，B 的特征多项式为 11det()det(())det()det(())I B D D A D D D A D λλλ---=+-=+- （1） 如果B 的某个特征值 10≥λ，则显然0()D A D λ+-也是严格对角占优矩阵。由结论（i ），0d e t (())0D A D λ+-≠ 。把式（1）中λ换成0λ，左边等于零，右边不等于零，矛盾。从 而B 的任一特征值1λ<，即()1B ρ<。 A 是非奇异的充要条件是存在常数项不为零的多项式()g λ使得()g A O =。 证明 设A 的特征多项式为 11100()((1))n n n n f I A a a a a A λλλλλ--=-=++++=- 由Hamilton-Cayley 定理，()f A O =。 必要性：如果A 是非奇异的，则00a ≠，取()()g f λλ=，即得证。 充分性：设11100()(0)m m m g a a a a λλλλ--=++++≠ ，且 1110()m m m g A A a A a A a I O --=++++=

2014年矩阵论试题A

长 春 理 工 大 学 研 究 生 期 末 考 试 试 题 科目名称： 矩 阵 论 命题人：姜志侠 适用专业： 理 工 科 审核人： 开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期 □开卷 √闭卷 一、(10分)F 为数域，对于线性空间22?F 中任意矩阵??? ? ??=d c b a A ，规则σ，τ分别为??? ? ??=???? ??=c a A c b a A )(,0)(τσ，问σ，τ是否为22?F 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基???? ??=000111E ，???? ??=001012E ，???? ??=010021E ，??? ? ??=100022E 下的矩阵． 二、(10分) 已知正规矩阵??? ? ??-=1111A ，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角形矩阵。三、(10分) 用Schmidt 正交化方法求矩阵???? ? ??=101011110A 的QR 分解. 四、(10分) 设矩阵?????? ? ? ?-=2000120010201012A ,求A 的行列式因子,不变因子,初等因子组， Jordan 标准形。 五、(10分) 求可对角化矩阵460350361A ?? ?=-- ? ?--?? 的谱分解式. 六、(10分) 在线性空间n m C ?中，对任意矩阵n m ij a A ?=)(，定义函数ij j i a mn A ,max ?=，证明此函数是矩阵范数。

七、(10分) 已知函数矩阵 ???? ??????=32010cos sin )(x x e x x x x A x ， 其中0≠x ，试求)(lim 0x A x →，dx x dA )(，2 2)(dx x A d ，dx x dA )(. 八、(10分)已知矩阵?? ????--=1244916A ，写出矩阵函数)(A f 的Lagrange-Sylvester 内插多项式表示，并计算A πcos . .

矩阵论华中科技大学课后习题答案

习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?

2016北京邮电大学《矩阵分析与应用》期末试题

北京邮电大学 《矩阵分析与应用》期末考试试题（A 卷） 2015／2016学年第一学期（2016年1月17日） 注意：每题十分，按中间过程给分，只有最终结果无过程的不给分。 一、 已知22 R ?的两组基： 111000E ??=? ??? ，120100E ??=????，210010E ??=????，220001E ??=????； 11100 0F ??=? ???，121100F ??=????，211110F ??=????，221111F ??=????。 求由基1112212,,,E E E E 到11122122,,,F F F F 的过渡矩阵，并求矩阵 3542A -?? =?? ?? 在基11122122,,,F F F F 下的坐标。 二、 假定123x x x ，，是3 R 的一组基，试求由112323y x x x =-+， 2123232y x x x =++，312413y x x =+；生成的子空间()123,,L y y y 的基。 三、 求下列矩阵的Jordan 标准型 （1）1 0002 10013202 31 1A ???? ? ?=??????（2）310 0-4-1007121-7-6-10B ?? ????=?????? 四、 设()()123123,,,,,x y ξξξηηη==是3 R 的任意两个向量, 矩阵 210=120001A ?? ???????? ，定义(),T x y xAy = (1) 证明在该定义下n R 构成欧氏空间; (2) 求3 R 中由基向量()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1x x x ===的度量矩阵; 五、 设y 是欧氏空间V 中的单位向量，x V ∈，定义变换 2(,)Tx x y x y =- 证明：T 是正交变换。

研究生矩阵论试题与答案

中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师

一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。

二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。

三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。

四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。

六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。

矩阵论2015年试题

2015年矩阵论 一、判断题（2 X 6=12分） （1） 线性空间R 3中的正交投影是正交变换。 （2） 如果g (λ)=(λ?2)(λ?5)2是矩阵A 的化零多项式，即g(A)=0，则2和5是矩阵A 的特征值。 （3） 设A 为n 阶方阵，矩阵函数f(A)有意义，如果A 相似于对角矩阵，则f(A)也相似于 对角矩阵。 （4） 如果矩阵运算A ?B =0，则矩阵A=0或者B=0。 （5） 如果矩阵A 既有左逆又有右逆，则矩阵A 一定是方阵，且为可逆矩阵。 （6） 对于矩阵A 和矩阵A +的秩，有rank(A) = rank(A +) 二、填空题（每个空3分，共27分） （1） 设矩阵A =[11+2i 3 23?i ?21?22?3i ]，其中 i =√?1，则‖A ‖∞=___________________ （2） 线性空间W =*A ∈R 4x4| A T =A +的维，dimW=____________________________ （3） 设A =[130?2 ]，矩阵B 的特征值为2,3,4，则矩阵A ?B 的特征值为 （4） 设线性空间R 3中的线性变换T 被定义为绕向量e 2=,010-T ，逆时针旋转一个θ 角的旋转变换，则变换T 的一个二维不变子空间是 （5） 设矩阵A 的UV 分解为A =[50 033064?1][1270250 02]，则矩阵A 的LDV 分解为 （6） 设函数矩阵A(t)=[10t 3t ]，则d(A ?1(t))dt = _____________________________ 三、 （12分）设P 为R 3中的正交投影，P 将空间R 3中的向量投影到平面π上， π=*(x y z )T |x +y ?z =0+，求P 在线性空间R 3的自然基*e 1 e 2 e 3+下的变换矩阵A 。 四、 （15分）设矩阵A =[3 1?112?1210 ]， （1） 求可逆矩阵P 和矩阵A 的Jordan 矩阵J A ，使得P -1AP = J A （2） 设参数t ≠0，求矩阵函数e At 和矩阵e At 的Jordan 矩阵J e At 五、 （15分）设矩阵A =[1 1111 ?1]，（1）求矩阵A 的奇异值分解 （2）求A + 六、 （15分）设矩阵A =[?120t ]，B =[1?2?10]，D =[132?3 ]，矩阵方程为AX+XB=D ， （1） 讨论t 为何值，矩阵方程有唯一解 （2） 在矩阵方程有唯一解时，求解其中的未知矩阵X 七、证明题（6分+7分=13分） （1） 如果矩阵A 是正规矩阵，且矩阵函数f(A)有意义，证明f(A)也是正规矩阵。（6分） （2）（7分）假设A ∈C n×n 是可逆的，证明： ‖A ‖2‖A ?1‖2=σmax σmin 其中σmax ，σmin 分别为A 的最大和最小的奇异值

华中科大2201高等工程数学专业考博大纲及试题样题

2013年华中科技大学考博考试《高等工程数学》考试大纲 1. 考试对象：工科类博士研究生入学考试者 2. 考试科目：矩阵论，数值分析，数理统计 3. 评价目标： ·考查学生对上述科目基础知识的掌握状况 ·考查学生对学科数学基础理论和方法的逻辑分析与应用能力 4. 答卷方式：闭卷、笔试 5. 题型比例： 概念题：30%；计算、证明题：70% 6. 答题时间：180分钟 7. 考试科目的内容分布: 满分100分，每科目各占1/3 8. 考试内容与考试要求： (1)了解线性空间的基本概念，掌握线性变换及其变换矩阵的性质与计算, 掌握线性空间R3上的基本正交变换。 (2)了解Jordan标准形的基本理论与方法,掌握方阵和线性变换的Jordan 矩阵计算方法,能应用Jordan化方法分析、解决相关问题。 (3)了解矩阵分解的基本思想,了解方阵的三角分解、Schur分解, 掌握满 秩分解和奇异值分解及其分解计算方法,掌握正规矩阵的分解性质。 (4)了解向量范数与矩阵范数，掌握向量与矩阵P范数的计算, 了解矩阵 函数的定义和矩阵分析的基本内容,掌握常用的矩阵函数的计算方法 及其应用。 (5)了解矩阵广义逆的概念, 掌握矩阵的M-P广义逆的定义、性质及其基 本应用。 (6)掌握插值多项式的各种构造方法及其截断误差的表示，了解三次样条 插值。 (7)掌握函数的最佳平方逼近与曲线拟合的最小二乘法，了解正交多项式。 (8)理解代数精度的概念；掌握牛顿—柯特斯求积公式、Gauss型求积公 式的构造；了解复化求积公式及Romberg算法。

(9)理解常微分方程初值问题的数值解法，会求局部截断误差与阶；能讨 论单步法的绝对稳定性区域。 (10)掌握非线性方程求根的迭代公式的构造法并能判断其收敛性及收敛 阶。 (11)掌握求解线性方程组的高斯主元消去法及Jocabi、Gauss-Seidel迭 代法并会判别迭代的收敛性。 (12)了解抽样分布及有关内容。 (13)掌握参数估计的点估计、区间估计方法及其估计量的评价标准。 (14)掌握参数的假设检验，分布的非参数假设检验有关方法。 (15)掌握方差分析。 (16)掌握正交设计有关内容。 (17)掌握线性回归有关内容。 9. 参考书目： [1]杨明，刘先忠，《矩阵论》（第二版），华中科技大学出版社，2005. [2]李红，《数值分析》，华中科技大学出版社，2003. [3]于寅，《高等工程数学》（第三版），华中理工大学出版社，1995.