基础物理学第五章(静电场)课后习题答案
第五章 静电场 思考题
5-1 根据点电荷的场强公式2
41r
q E ?
=πε
，当所考察的点与点电荷的距离0→r 时，则
场强∞→E ，这是没有物理意义的。对这个问题该如何解释？ 答:当时,对于所考察点来说,q 已经不是点电荷了,点电荷的场强公式不再适用.
5-2 0F E q = 与0
2014q E r r
πε=? 两公式有什么区别和联系？
答：前式为电场（静电场、运动电荷电场）电场强度的定义式，后式是静电点电荷产生的电
场分布。静电场中前式是后一式的矢量叠加，即空间一点的场强是所有点电荷在此产生的场强之和。
5-3 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，是否能肯定面S 上每一点的场强都等于零？
答：不能。通过闭合面S 的电通量e Φ为零，即0=??S
S d E
，只是说明穿入、穿出闭合面S
的电力线条数一样多，不能讲闭合面各处没有电力线的穿入、穿出。只要穿入、穿出，面上的场强就不为零，所以不能肯定面S 上每一点的场强都等于零。
5-4 如果在闭合面S 上，E
处处为零，能否肯定此闭合面一定没有包围净电荷？
答：能肯定。由高斯定理∑?=?内q S d E S 01ε ，E 处处为零，能说明面内整个空间的电荷代数和0=∑内q ，即此封闭面一定没有包围净电荷。但不能保证面内各局部空间无净电荷。例如，导体内有一带电体，平衡时导体壳内的闭合高斯面上E 处处为零0=∑内q ，此封闭面包围的净电荷为零，而面内的带电体上有净电荷，导体内表面也有净电荷，只不过它们两者之和为零。
5-5 电场强度的环流l
E dl ?? 表示什么物理意义？0l
E dl ?=? 表示静电场具有怎样的性
质？
答：电场强度的环流l
E dl ??
说明静电力是保守力，静电场是保守力场。0l
E dl ?=? 表示
静电场的电场线不能闭合。如果其电场线是闭合曲线，我们就可以将其电场线作为积分回路，
由于回路上各点
沿环路切向，得?≠?L
l d E 0
，这与静电场环路定理矛盾，说明静电场的
电场线不可能闭合。
5-6 在高斯定理中，对高斯面的形状有无特殊要求？ 在应用高斯定理求场强时，对高斯面的形状有无特殊要求？如何选取合适的高斯面？高斯定理表示静电场具有怎么的性质？ 答：在高斯定理中，对高斯面的形状没有特殊要求；在应用高斯定理求场强时，对高斯面的形状有特殊要求，由于场强的分布具有某种对称性，如球对称、面对称、轴对称等，所以要选取合适的高斯面，使得在计算通过此高斯面的电通量时，cos E θ可以从积分号中提出来，而只需对简单的几何曲面进行积分就可以了；高斯定理表示静电场是有源场。
5-7 下列说法是否正确？请举例说明。 （1）场强相等的区域，电势也处处相等； （2）场强为零处，电势一定为零；
（3）电势为零处，场强一定为零； （4）场强大处，电势一定高。 答：（1）不一定。场强相等的区域为均匀电场区，电力线为平行线，则电力线的方向，是电势降低的方向，而垂直电力线的方向，电势相等。例如无限大均匀带电平行板两侧为垂直板的均匀场，但离带电板不同距离的点的电势不相等。
（2）不正确。U E -?=
，E=0，电势U 是常数，但不一定是零。例如均匀带电球面内部场强为零，若取无穷远为电势零点，其球内电势040≠=
=R
q
U U πε表面。
（3）不一定。U E -?=
，U=0，但U 的变化率不一定为零，即场强不一定是零。
（4）不一定。U E -?=
，场强大处，电势不一定高。例如负电荷产生的电场，离电荷越
近的点场强的值越大，但电势越低（取无穷远处为电势零点）。
5-8 设一带电导体表面上某点附近面电荷密度为σ ，则紧靠该处表面外侧的场强0
εσ=
E ，
若将另一带电体移近，该处场强是否改变？这场强与该处导体表面的面电荷密度的关系是否仍具有0
εσ=
E
的形式？
答：该处场强将会改变；但场强与该处导体表面的面电荷密度的关系仍具有0
εσ=
E
的形式，
只不过σ大小变了。
5-9 为什么带电的胶木棒能把中性的纸屑吸引过来？
答：带电的胶木棒使中性的纸屑发生极化，表面出现极化电荷，而纸屑质量很小，所以能够把纸屑吸引过来。
5-10 电势与场强的关系式有积分形式和微分形式，在怎样的情况用积分形式计算较方便？又在怎样的情况用微分形式计算较方便？
5-11 试把这一章的内容小结一下。本章是如何研究场的？ 习 题
§5-1库仑定律 ＋§5-2 静电场 电场强度
5-1 两个电量都是+q 的点电荷，相距2a ，连线的中点为O 。今在它们连线的垂直平分线上放另一点电荷q '，q '与O 点相距r 。
（1）求q '所受的力；（2）q '放在哪一点时，所受的力最大？
解：（1）()
θπε
sin 4'2
2
2
a
r
qq F +=
2
2
sin a
r r +=
θ
()
2
3
2
2
2'a
r
r
qq F +=
πε
（2）
()
()
()
3
5
22
2
2
2
2
5
2
2
2
2
2
'3()[2]
22
'[2]
2qq F r a r
r a r
r qq a
r
a r πεπε---'=+-
+?=+-
+q
令()0'=r F ，解得：a r r
a 2
222
2=
=
故q '放在离o 点
a
22处时，所受的力最大。
5-2 若电量q 均匀地分布在长为L 的细棒上，求证： （1）在棒的延长线上，离棒中心为a 处P 点的场强为2
20
41
L
a q
E -=πε
（2）在棒的垂直平分线上，离棒为a 处Q
点的场强为1q
E =
若棒为无限长时（即∞→L ），将结果与无限长带电直线的场强相比较。 证明：（1）以棒中心为坐标原点，建立如图所示坐标系。
222000/22/2
2
2
2
0002
44()4()1
1
4()
4()
4L
L L L q dx
dq q dx L dE r a x L a x q dx
q q
E L a x L a x a L
πεπεπεπεπεπε--===--=
=
=
---?
（2）以棒中心为坐标原点，建立如图所示坐标系。
由于Q 点位于棒的垂直平分线上，由对称性可知，棒在Q 点水平方向上场强为零。现只须求其竖直方向上场强分量。
****（要用到的不定积分公式
222221222123()2(1)()2(1)()n n n dx x n dx
x a n a x a n a x a ---=++-+-+??）
****************
2
22
22
3/2
0002
22
2
3/2
002
244()
4()
4()
4L L
L L q
dx dq aq
dx
L dE r
x a L x a aq
dx
aq
E L x a L πεπεπεπεπε--=
=?=++=
=
=
+?
若棒为无限长时，则上式变为
:
2lim lim L L E a λ
πε→∞→∞===
结果与无限长带电直线的场强相同
5-3 一半径为R 的半细圆环，均匀地分布+Q 电荷。求环心的电场强度大小和方向。
解：在圆周上任取电荷元dl R Q dq .π=，它的场强大小为204R
dq dE πε= 由于电荷相对于y 轴对称，知合场强应沿y 方向，故
???-=
-==
=dl R
Q
E d dE
E E y
y θεπ
θcos 4)cos (3
02
因为θRd dl =，故2
2
2
2
2
002
cos 42Q Q E d R
R
π
π
θθπεπε-
--=
=
?
上
式中“-”表明：当Q>0时，E 的方向与图中y
轴的正方向
相反，而Q<0时，E 的方向同y 轴的正方向。
5-4 一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ 。求球心处电场强度的大小。 解：将半球面无限分割成小圆环，另设圆环所带的电荷为电荷元dq
()2
2sin 2sin dq R Rd R d σπθθπσθθ=??=
根据书本P132上带电圆环在轴线某点产生场强的公式
2
02
2
042sin 4cos sin 2cos 4εθ
θσπεθ
θθσπθπεd R
d R R
dq dE =
=
=
2
2
48282cos 42sin εσ
εσεθσεθ
θσπ
π
=
=
-=
=
?
d E
5-5 一无限大平面，开有一个半径为R 的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为 σ ，求这洞的轴线上离洞心为r 处的场强。
解：不妨将平面看成一个无洞的大平面和带负电且半径为R 的圆盘的叠加。
无洞的无限大平面所产生的电场为匀强电场102E i σε=
，带负电、电荷面密度为σ ，
半径为R 的圆盘在轴线上离轴心距离为r
处的场强为：20
12E i σ
ε??-=
-??
故12E E E =+=
，方向在圆洞的轴线上。
§5-3 高斯定理
5-6 大小两个同心球面，小球半径为R 1 ，带电q 1 ，大球半径为R 2 ，带电q 2 。求空间电场强度的分布。问电场强度是否是坐标r （即离球心的距离）的连续函数？ 解：当10r R ≤≤时，
以半径为r 作球面， 由高斯定理2
4,0,0S
q
E dS r E q E πε?=?=
=∴=?
此时
当 12R r R ≤≤ 时，以r 为半径作球面，由高斯定理
2
112
04,,4S
q q E dS r E q q E r
πεπε?=?==∴=
?
此时
当2r R ≥时，以r 为半径作球面，由高斯定理
2
12122
004,,4S
q q q E dS r E q q q E r
πεπε?=?==∴=?
＋此时＋
综上所述11
122
0122
200044r R q E R r R r q q r R r
πεπε??
≤≤?
?=≤≤???≥??＋可知电场强度在两球面处不连续。
5-7 两个无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 （R 2 > R 1），带有等值异号电荷，每单位长度的电量为λ （即电荷线密度）。求距轴为r 处的场强（1）r < R 1 ，（2）r >R 2 和（3）R 1 < r 通过高斯面的通量0E 0 S == ?+?+?= ?∑????εq S d E S d E S d E S d 侧面下底上底 各点E 垂直于轴线，上下地面电通量为零 1200() r l E E r R π∴ ==<侧 （2）半径为R 1 和R 2的两圆柱面间作半径为r （R 1 < r 面，由高斯定理0 1 S E ελεl q S d = = ?∑? 1 ελl S d E =?? 侧面 12ελπl rlE = 1 2επλr E = （3）同理，在r >R 2 的区域12 02E r λλπε+= = 5-8 一无限长的半径为R 的圆柱体内，电荷是均匀分布的。圆柱体单位长度的电荷为 λ 。用高斯定理求圆柱体内距轴线的距离为r 一点的场强。 解：圆柱无限长，且电荷分布均匀，电场是轴对称且垂直于轴。所以上下表面磁通量为0。 2 2 2 0cos 222s s h r E dS E ds rhE E dS R h r r rhE E R R λθπελλπεπε???= =?= ?????∴=?= ??? ? ?? 方向垂直于轴线。 5-9 均匀带电的圆环，半径为R =5.0cm ，总电量q =5.0×10-9 C. （1）求轴线上离环心距离为 x =5.0 cm 处的A 点的场强； （2）轴线上哪些点处的场强最大？量值为多大？ 解：（1）在圆环上取一小段d l ，则2q dq dl R π= 2 2 2 2 2 3/2 0022 2 2 3/2 2 2 3/2 00-9 -9 3 12 2 2 3/2 1 48() 8() 4() 5cm 005m ,q=5.010C cm m ,5.010 6.910N /C 4 3.148.8510 005(0.050.05) R dq qxdl dE x R R x R qxdl qx E R x R R x R R E ππεπεπεπε-== ++∴= = ++=???= =??????+? 则代入＝.，x=5.0＝0.05可得0.05 . §5-4 电势 电势差＋§5-6 静电场中的导体 5-10 用不导电的细塑料棒弯成半径为50.0cm 的圆弧，两端间空隙为2.0cm 。电量为3.12×10-9C 解：有补偿法可知：E 0=E 圆+E 空=E 空 设孔隙长为a ，显然a < 5-11 一半径为R 的长棒，其内部的电荷分布是均匀的，电荷体密度为 ρ 。求棒的轴线上一点与棒表面的之间的电势差。 解：圆柱体内电场强度为2 02R r E πελ=方向垂直于轴线 所以，棒的轴线上一点与棒表面的之间的电势差为 2 2 22 00 2004442122ερπε ρππελ πελπελR R R R dr R r l d E U R R AB = = ===?=?? 5-12 有两根半径均为a ，相距为d 的无限长平行直导线（d >>a ），带有等量而异号的电荷，单位长度上的电量为 λ 。求这两根导线的电势差（每一导线为一等势体）。（提示：先计算两导线连线上任一点的场强）。 解：令A 点在两平行导线连线上的任意一点，且距离导线1的距离为r ， 则导线1在A 点处产生的场强为102E r λ πε= 导线2在A 点处产生的场强为20 2()E d r λ πε= - 又因为E 1，E 2方向相同，两者相加12011()2E E E r d r λπε=+= + - 1200 1 1( )ln 2d a d a a a d a U E dr dr r d r a λ λπεπε---= ?= + = -? ? 5-13 参看题5-2，求该题中P 点和Q 点的电势。能否从电势的表示式，由电势梯度算出P 点和Q 点的场强？ 解：（1）取坐标如图所示，设P 点到原点的距离为x ，在距原点O 为l 处取长dl 的线元，则相应的电荷元为 q dq dl dl L λ== ，以dq 作为电荷元，则它在P 点的电势为：000444()q dl dq qdl L du r r L x l πεπεπε= == - 2 220002 2 2 2[ln()]ln 4() 442 L L L L L L L x qdl q q U du l x L L x l L L x πεπεπε---+-= == -= -- ? ? 22 2 00()()22 2 4(4) () 220 x y L L L x x x U q q E L L x L x L x x E πεπε++ --?=- = = ?-- + = （2）取坐标如图所示，设Q 点到原点的距离为y ，在距原点O 为l 处取长dl 的线元，则相应的电荷元为q dq dl dl L λ== ，以dq 作为电荷元，则它在Q 点的电势为： 04q dl dq du r πε= == 22002 2 00[ln(ln 44ln ln 44L L L L L q q U du l L L q q L L πεπεπεπε--= == + = = = ? ? 0(ln 40 y x U q E y L E πε?-'=-= = ?=能从电势的表示式，由电势梯度算出P 点和Q 点的场强, 结果与5-2一致。 5-14 已知半径为R 的均匀带电球体，带电q ，处于真空中。 （1）用高斯定理求空间电场强度的分布； （2）用电势定义式求空间电势的分布。 解： 因为电荷呈球对称分布的带电球体产生的电场也具有球对称的场强分布。 所以可用真空中的高斯定理进行求解。 （1） 当r>R 时，取半径为r 的球面作为高斯面 2 02 044S q E dS r E q E r πεπε?== = ? 得 3 2 3 003 0r 4 3443 4S r R r q q E dS r E R qr E R ππεεππε≤'?=== ? 当时，取半径为的球面作为高斯面。 ＝ 得 （2）由电势的定义式来求解 当r>R 时， 2 0044P r r q q U E dl E dr dr r r πεπε∞∞∞= ?= ?= =? ? ? r R ≤当时 22 22 3 2 3 3 00000()(3)44848R P r r R qr q R r q q R r q U E dl E dr dr dr R r R R R πεπεπεπεπε∞∞∞--= ?= ?= + = + = ? ? ? ? 5-15 两块无限大的导体平板A 、B ，平行放置，间距为d ，每板的厚度为a ，板面积为S 。现给A 板带电Q A ，B 板带电Q B ，如： （1）Q A 、Q B 均为正值时， （2）Q A 为正值、Q B 为负值，且 |Q A | < |Q B | 时，分别求出两板各表面上的电荷面密度以及两板间的电势差。 解：设静电平衡时，1、2、3、4各表面的电荷面密度分别为1234σσσσ、、、。此时两导体板内任意两点12P P 、处的电场强度1 2 0P P E E ==；而这两点的电场强度都是由四个带电 表面的电场强度叠加而成的。建立如图所示的坐标，则有: 1 3124000002222P E σσσσεεεε=---= ① 2 31240000 02222P E σσσσ εεεε=++-= ② 又 12()A S Q σσ+= ③ 34()B S Q σσ+= ④ 联立①②③④，可得 1423 σσσσ==- 12342222A B A B B A A B Q Q Q Q S S Q Q Q Q S S σσσσ+-= =-+= = 22320 0()(1)0,2A B A B AB A B Q Q d Q Q U U U E d d S σσσεε-<=-=== 、均为正值时，>0， 22320 0()(2)0,2A B A B AB A B Q Q d Q Q U U U E d d S σσσεε->=-== = >0、<0时，<0， 5-16 大小两个同心球面，小球半径为R 1，带电1q ，大球半径为R 2，带电2q ，试求空间电势的分布。 解：带电球面的电势分布：球面内： 球面外： 由叠加原理可以计算各区域的电势分布 R q U 04πε=r q U 04πε=2021011144:R q R q U R r πεπε+=≤2020122144:R q r q U R r R πεπε+ =<< § 5-7 电容 电容器 5-17 一电容器为“10μF 300V ”，另一电容器为“30μF 450V ”，若将两电容器并联使用，等 效电容的容量是多少？耐压是多少？若将两电容串联使用，等效电容的容量和耐压又各是多少？ 解：（1）并联 1210uF 30uF 40uF C C C =+=＋＝ 因为并联后每个电容器两端的电势差相等，且不能超过每个电容器的耐压值，所以耐压值取较小值。U 300V 耐＝ (2) 串联 1 2 117.5uF 11111030 C C C = = =++ 因为串联后每个电容器所带的电量都等于 等效电容器的电量，根据公式q C U = ，则1122C U C U C U q === 分别计算两电容器可带电量的最大值，取其中较小值作为q 。10uF 300V 10uF 300V 400V 7.5uF C U U ??耐耐＝，得＝ ＝ 5-18 C1、C2两个电容器，分别标明为“200pF 500V ”和“300pF 900V ”，把它们串联起来后，等值电容多大？如果两端加上1000V 的电压，是否会击穿？ 解：等效电容值pF C C C C C 1202 121=+= C q 71101-?= C q 7 2107.2-?= C q q 7 110 1-?==∴ V C q U 10002 .11000/1m a x <== 会被击穿 § 5-7 电容 电容器 ＋ §5-8 静电场中的电介质 5-19 一平行板空气电容器，空气层厚度1.50cm ，所接电压为39.0kV 时，这电容器是否会 被击穿？（设空气的击穿场强的大小为30.0kV ·cm -1）现将一厚度为0.30cm 的玻璃片插入电容器，玻璃片表面与电容器极板平行，已知玻璃的相对介电系数为7.00，击穿场强的大小为100kV ·cm -1，问这时的电容器是否会被击穿？ 解：（1）30265 .139max <==E 所以不会被击穿 （2）0r S C d εε= 28:1:21=∴ C C 3037.312 .1129 2839>≈? ? =∴气E 会被击 穿，所以先是空气部分导通，接着玻璃部分39=1301000.30 E =>玻璃，也被击穿。 1.20.339=31.377 E E E ?+ ?=?气气气或者 5-20 在两板相距为d 的平行板电容器中，插入一块厚d /2 的金属大平板（此板与两极板相平行），其电容变为原来电容的多少倍？如果插入的是相对介电系数为ε r 的大平板，则又如何？ 解： 设0C 和C '分别为插入前和插入后的电容 （1）金属片的安放位置对电容值无影响。可把金属大平板安放在最下端。 1 2 230:4q q r R U r πε+≥= 00022/2 S S C C d d εε'= = =，电容变为原来电容的2倍； （2）插入后，相当于两个电容器串联， 0010 0r 0r 2r 01 2 22/222/2111S S C C d d S S C C d d C C C εεεεεεε= = ===== +' 所以021 r r C C εε'=+，电容变为原来电容的21r r εε+倍； 5-21 一导体球带电q ，半径为R ，球外有两种均匀电介质，一种介质（ε r ）的厚度为d ，另一种介质为空气，充满其余整个空间。 （1）求离球心O 为 r 处的电强度E 和电位移D ； （2）求离球心O 为 r 处的电势U ； （3）说明第一介质边界面上的极化电荷分布情况。 解：（1）由于导体球内外的电场具有球对称性， 由介质中的高斯定理s d D S Q ?=? 和公式0r D E εε= 求得 当r 11s d 40D S D r π?==? 01=D 01=E 当R 22s d 4D S D r q π?==? 22 4q D r r π= 22 04r q E r r πεε= 当r>R+d 时： 2 33s d 4D S D r q π?==? 32 4q D r r π= 32 04q E r r πε= (2) 用电势的定义式来求 当r 1123002 2 00000044111 ()441 1() 4R R d r r R R d R d r R R d r r r U E dr E dr E dr E dr q q r dr r dr r r q q R R d R d q R R d πεεπεπεεπεεπεε∞ +∞ ++∞ += ?= ?+ ?+ ?=+ ?+ ?=-+++-= + +? ? ? ? ? ? 当 R r R d ≤≤+时： 2232 2 000= 441 1 () 4R d r r R d R d r r R d r r U E dr E dr E dr q q dr dr r r q r R d πεεπεεπεε∞ +∞ ++∞ += ?=?+ ?+ -= + +? ? ? ? ? 当r R d ≥+时： 332 0 44r r r q q U E dr E dr dr r r πε πε∞ ∞ ∞ = ?= ?= = ? ? ? （3）由电极化强度公式 0(1)r P E εε=- 来求：在介质内部，0 22 04r q E r r πεε= 0002022 0(1)(1)(1) 44r r r r r q q P E r r r r εεεεεπεεπε-=-=-= 极化电荷面密度在数值上满足 n P σ'= 所以 2 2 (1)4(1)4() r r r r q R q R d εσπεεσπε-'=- -'= +内界面处外界面处 5-22 半径为R 的导体球，带有电荷Q ，球外有一均匀电介质的同心球壳，球壳的内外半径分另别为a 和b ，相对介电数为ε r ，求： （1）介质内外的电场强度E 和电位移D ； （2）介质内的电极化强度P 和介质表面上的极化电荷面密度σ'； （3）求离球心O 为 r 处的电势U ； （4）如果在电介质外罩一半径为b 的导体薄球壳，该球壳与导体球构成一电容器，这电容器的电容多大？ 解：（1）由于同心金属球和球壳周围的电场具有球对称性， 由介质中的高斯定理s d D S Q ?=? 和公式0r D E εε= 求得 当r 1 1s d 40D S D r π?==? 01=D 01=E 当R 22s d 4D S D r Q π?==? 0 22 4Q D r r π= 0 22 04Q E r r πε= 当a 2 33s d 4D S D r Q π?==? 324Q D r r π= 032 04r Q E r r πεε= 当r>b 时： 2 44s d 4D S D r Q π?==? 424Q D r r π= 4204Q E r r πε= （2）由电极化强度公式 0(1)r P E εε=- 来求：在介质内部，0 32 04r Q E r r πεε= 0003022 0(1)(1)(1) 44r r r r r Q Q P E r r r r εεεεεπεεπε-=-=-= 极化电荷面密度在数值上满足 n P σ'= 所以 2 2 (1)4(1)4r a a r r b b r Q P a Q P b εσπεεσπε-'=-=--'== 而介质内部没有极化电荷。 (3) 用电势的定义式来求 当r 112340002 2 2 2 2 2 00000000444444111 11 ()( )4441 ( 4R a b r r R a b a b r R a b a b r R a b r U E dr E dr E dr E dr E dr Q Q Q r dr r dr r dr r r r Q Q Q dr dr dr r r r Q Q Q R a a b b Q R πε πε επε πε πεεπεπεπεεπεπε∞ ∞ ∞ ∞ = ?=?+ ?+?+ ?=+ ?+ ?+?= ++=-+-+ = ? ? ? ? ? ????? ? 011 1 1) 1114r r r r r r a a b b Q R a b εεεεπεεε- + - + ?? ??--= -+?? ????? 当 a r R ≤≤时： 22342 2 2 00 = 4441114a b r r a b a b r r a b r r r r U E dr E dr E dr E dr Q Q Q dr dr dr r r r Q r a b πεπε επε εεπεεε∞ ∞ ∞ = ?= ?+ ?+ ?+ + ?? ??--=-+?? ????? ? ? ? ? ? ?? 当b r a ≤≤时： 3342 2 00 = 44114b r r b b r r b r r U E dr E dr E dr Q Q dr dr r r Q r b πεεπε επεε∞∞ ∞ =?=?+?+ ?-? ??= + ??????? ???? ? 当r b ≥时： 442 0 44r r r Q Q U E dr E dr dr r r πε πε∞ ∞ ∞ =?=?= = ?? ? （4）此时，导体薄球壳内、外两表面上的感应电荷为Q Q －和+,半径为b 的导体薄球壳内表面和半径为a 的金属球表面将形成一球形电容器。电势差为： 23220000044111 1()( )44111 11[()] 4a b a b r R a R a r r Q Q U E dr E dr dr dr r r Q Q R a a b Q R a a b πεπεεπεπεεπεε?=?+?=+=-+- = -+ -???? 所以这电容器的电容为：0 4111 1 1( ) r Q C U R a a b πεε= = ?-+- §5-9 静电场的能量 5-23 一平行板电容器的两极板间有两层均匀电介质，一层电介质的1r ε =4.0，厚度d 1 =2.0mm ，另一层电介质的2r ε=2.0，厚度d 2 =3.0mm 。极板面积为S =50cm 2 。两极板间电压为200V 。计算： （1）每层介质中的电场能量密度； （2）每层介质中的总能量； （3）用公式 qU 2 1计算电容器的总能量。 解：当真空中场强大小为0E ，如充满相对介电常数为r ε的电介质时，电介质中的场强削弱为真空中的 1 r ε，即0 r E E ε= 。已知： 2r r εε＝4.0＝2.0 12mm m mm m d d ??-3 -3 ＝2.0＝210＝3.0＝310 2 3 3 50cm 5.010m S -=?＝ （1） 0012122112 ,, ::1:2r r r r E E E E E E εεεε==== （1） 又因为 1122E d E d U += （2） 联立方程（1）和（2）得 4 133 124 21200 2.510(V /m )221023102510(V /m ) U E d d E E --===?+?+???＝＝ 电场能量密度公式为：12 e w D E = 所以 2 12 4223 110112 12 4223 220221118.8510 4.0(2.510) 1.1110(J/m ) 222 1118.8510 2.0(510) 2.2210(J/m ) 22 2 e r e r w D E E w D E E εεεε----=== ?????=?= = = ?????=? 根据电介质中的高斯定理，可知两层介质中的电位移通量是相等的。 12472 0118.8510 4.0 2.5108.8510C m r D E εε--==????=??－（） （2）介质的总能量是将能量密度对整个体积求积分e e V W w dV =? 由于两层介质中的电场都为匀强电场，所以 12 2 3 7 11 111112 3 7 22 22222 1.1110 510 1.1110 J .2210 3510 3.3310 J e e e e V e e e e V W w dV w V w d S W w dV w V w d S ------===?????=?= ==?????=???-3 -3 ＝210 ＝210 （3）此时，两极板所带自由电荷分别为q q -＋和,用电介质中的高斯定理来求q 。 S D dS q D S q ?=?=? 7398.8510510.4310q DS ---==????＝4库仑 9 7 11 4.4310 200 4.4310 J 2 2 W qU --???=?总＝ ＝ 5-24 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为a 和b 。两圆柱面之间充有介电系数为ε 的均匀电介质。当这两个圆柱面有等量异号电荷 +Q 和 -Q 时，求： （1）在半径为 r （a < r < b ）、厚度为dr 、长度为 l 的圆柱薄壳中任一点处，电场能量密 度是多少？整个薄壳中的总能量是多少？ （2）电介质中的总能量是多少（由积分式算出）？能否从此总能量推算圆柱形电容器的电容？ 答：(1) s 22 22 22 2 22 d 22211 2 2228284e e e a r b D S Q Q D Q D rl Q D E rl rl Q Q Q w D E rl rl r l Q Q dW w dV rldr dr r l rl ππε πεππεπεππεπε< = = = = == = ? 能量密度为整个薄壳中的总能量为 （2） 2 2 2 ln 4422ln b e e V a e Q Q b W dW dr rl l a Q l C b W a πεπεπε= = = = = ? ? 能推算电容 5-25 有两个半径均为R 的球体。若这两个球带有相同的电量Q ，但一个球的电荷是均匀分布在球体内，另一个球的电荷只均匀分布在表面上。试证体电荷分布球体的电场能量是面电荷分布球体的电场能量的6/5倍。 答：应用高斯定理， 得体电荷分布球体的场强为30 2 044Q r r R R E Q r R r πεπε? ?≥?? 2 2 2 2 2 10 0000 1 1 3= 2240820R e R Q Q Q W E dV E dV R R R ε ε πεπεπε∞ ∴= + = + ?? 而面电荷分布球体的场强为2 00 4r R E Q r R r πε =?≥?? 2 2 22 20 2 001 1 0()42248e e V V R Q Q W w dV E dV r dr r R ε ε ππεπε∞ ∴= = =+ ?= ??? 可见 2 102 2 032065 8e e Q W R Q W R πεπε= = 5-26 真空中一均匀带电、半径为R 的球面，其电荷面密度为 σ ，球面上有一小孔，小孔的半径与球面半径之比η ? 1 。试问球心处的场强和电势可应用何种简易方法计算？球心处的场强和电势各为多大？ 答： 5-27 设有半径都是r 的两行平行的无限长直导线A 、B ，其间距为d （d ? r ），且充满介电常数为 ε 的电介质。求单位长度导线的电容。 答：设两根长直导线带等量异号电荷，电荷线密度为λ，在它们之间所产生的电场垂直于导线，该电场的大小为 22() E x d x λλπεπε= + -， 它们之间的电势差为( )ln ln 22() d r AB r d r d U dx x d x r r λλλλπεπεπε πε --=+ = ≈ -? 单位长度导线的电容为ln ln AB C d d U r r λ λπε λπε = = = 5-28 在半径为R 、电荷体密度为 ρ 的均匀带电球本内，挖去一个半径为r 的小球，如图 所示。试求O 、O ’、P 、M 各点的场强和电势（O 、O ’、P 、M 在一条直线上）。 答： 题 5-28 图 大学物理静电场知识点总结 1. 电荷的基本特征：（1）分类：正电荷（同质子所带电荷），负电荷（同电子所带电荷）（2）量子化特性（3）是相对论性不变量（4）微观粒子所带电荷总是存在一种对称性 2． 电荷守恒定律 ：一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量必定保持不变。 3．点电荷：点电荷是一个宏观范围的理想模型，在可忽略带电体自身的线度时才成立。 4．库仑定律： 表示了两个电荷之间的静电相互作用，是电磁学的基本定律之一，是表示真空中两个静止的点电荷之间相互作用的规律 12 12123 012 14q q F r r πε= 5． 电场强度 ：是描述电场状况的最基本的物理量之一，反映了电 场的基 0 F E q = 6． 电场强度的计算： （1）单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得 （2）带电体产生的电场强度，可以根据电场的叠加原理来求解 πεπε== = ∑? n i i 3 3i 1 0i q 11 dq E r E r 44r r （3）具有一定对称性的带电体所产生的电场强度，可以根据高斯定 理来求解 （4）根据电荷的分布求电势，然后通过电势与电场强度的关系求得电场强度 7．电场线： 是一些虚构线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的分布 （1）电场线是这样的线：a ．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致 b ．曲线分布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。 （2）电场线的性质：a ．起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远）。b ．不闭合，也不在没电荷的地方中断。c ．两条电场线在没有电荷的地方不会相交 8． 电通量： φ= ??? e s E dS （1）电通量是一个抽象的概念，如果把它与电场线联系起来，可以把曲面S 的电通量理解为穿过曲面的电场线的条数。（2）电通量是标量，有正负之分。 9． 高斯定理： ε?= ∑ ?? s S 01 E dS i （里） q （1）定理中的E 是由空间所有的电荷（包括高斯面内和面外的电荷）共同产生。（2）任何闭合曲面S 的电通量只决定于该闭合曲面所包围的电荷，而与S 以外的电荷无关 10． 静电场属于保守力：静电场属于保守力的充分必要条件是，电荷在电场中移动，电场力所做的功只与该电荷的始末位置有关，而与 习 题 四 4-1 质量为m =的弹丸，其出口速率为300s m ，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力 9800400x F -=。开抢时，子弹在x =0处，试求枪筒的长度。 [解] 设枪筒长度为L ，由动能定理知 2022121mv mv A -= 其中??-==L L dx x Fdx A 00)9 8000400( 9 40004002 L L - = 而00=v ， 所以有： 22 300002.05.09 4000400??=-L L 化简可得： m 45.00 813604002==+-L L L 即枪筒长度为。 4-2 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m 的滑块以初速度0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为() 12 1220-= -πμe mv W [证明] 物体受力：屏障对它的压力N ，方向指向圆心，摩擦力f 方向与运动方向相反，大小为 N f μ= (1) 另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。 由牛顿运动定律 切向 t ma f =- (2) 法向 R v m N 2 = (3) 联立上述三式解得 R v a 2 t μ-= 又 s v v t s s v t v a d d d d d d d d t === 所以 R v s v v 2 d d μ -= 即 s R v v d d μ-= 两边积分，且利用初始条件s =0时，0v v =得 0ln ln v s R v +- =μ 即 s R e v v μ -=0 由动能定理 2 022 121mv mv W -= ，当滑块从另一端滑出即R s π=时，摩擦力所做的功为 () 12 1212122020220-=-=--πμ πμ e mv mv e mv W R R 4-3 质量为m 的质点开始处于静止状态，在外力F 的作用下沿直线运动。已知 T t F F π2sin 0=，方向与直线平行。求：(1)在0到T 的时间内，力F 的冲量的大小；(2)在0到2T 时间内，力F 冲量的大小；(3)在0到2T 时间内，力F 所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。 [解]由冲量的定义?=1 2 d t t t F I ，在直线情况下，求冲量I 的大小可用代数量的积分，即 ?= 1 2 d t t t F I (1) 从t ＝0到 t=T ，冲量的大小为： ?= =T t F I 01d ?-=T T T t T F t T t F 0 00]2cos [2d 2sin πππ=0 (2) 从t =0到 t =T /2，冲量的大小为 π πππ0000 0022 2 2]2cos [2d 2sin d TF T t T F t T t F t F I T T T =-=== ?? (3) 初速度00=v ，由冲量定理 0mv mv I -= 当 t =T /2时，质点的速度m TF m I v π0== 又由动能定理，力F 所作的功 m F T m F mT mv mv mv A 22022 22022 20222212121ππ===-= (4) 质点的加速度)/2sin()/(0T t m F a π=，在t =0到t =T /2时间内，a >0，质点 作初速度为零的加速运动，t =T /2时，a =0，速度达到最大；在t =T /2到t =T 时间内，a <0，但v >0，故质点作减速运动，t =T 时 a =0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一 真空中的静电场 一、选择题 1．如图4—2所示，半径为 的半球面置于电场强度为 的 均匀电场中，选半球面的外法线为面法线正方向，则通过该半球面 的电场强度通量ΦE 为： A ． B ．0 C ． D ． E ． （） 2．如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在 S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则； ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 3．两块平行平板，相距d ，板面积均为S ，分别均匀带电＋q 和―q ，若两板的线度远大于d ，则它们的相互作用力的大小为： A ． B ． C ． D ． 4．真空中两块互相平行的无限大均匀带电平面。其电荷密度分别为σ+和2σ+，两板之间的距离为d ，两板间的电场强度大小为 A .0 B. 023εσ C.0 εσ D. 02εσ 5．两无限长的均匀带电直线相互平行，相距2a ，线电荷密度分别为λ+ 和λ- ，则每单位 长度的带电直线受的作用力的大小为 A.2202a λπε B.2204a λπε C.220a λπε D.2 2 08a λπε 6．某区域静电场的电场线分布情况如图4—5所示，一负电荷从M 点移到N 点，有人根据此图做出下列几点结论，其中哪点是正确的? A ．电场强度E M ＞E N ，电场力做正功； B ．电势U M ＜U N ，电场力做负功； C ．电势能W M ＜W N ，电场力做负功； D ．负电荷电势能增加，电场力做正功。 Q ’ A P S Q B 题1.1：已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求（l ）质点在运动开始后s 0.4内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解：（1）质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x （2）由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 ｓ2=P t （t = 0不合题意） 则：m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以，质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2：一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时，0=x 。试根据已知的图t v -，画出t a -图以及t x -图。 题1.2解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--=t t v v a （匀加速直线运动） 0BC =a （匀速直线） 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的a －t 图 在匀变速直线运动中，有 2002 1at t v x x + += 间内，质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动，其x －t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为0l ，试求：当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少？ 第七章、静 电 场 一、两个基本物理量（场强和电势） 1、电场强度 ⑴、 试验电荷在电场中不同点所受电场力的大小、方向都可能不同；而在 同一点，电场力的大小与试验电荷电量成正比，若试验电荷异号，则所 受电场力的方向相反。我们就用 q F 来表示电场中某点的电场强度，用 E 表示，即q F E = 对电场强度的理解： ①反映电场本身性质，与所放电荷无关。 ②E 的大小为单位电荷在该点所受电场力,E 的方向为正电荷所受电场力 的方向。 ③单位为N/C 或V/m ④电场中空间各点场强的大小和方向都相同称为匀强电场 ⑵、点电荷的电场强度 以点电荷Q 所在处为原点O,任取一点P(场点),点O 到点P 的位矢为r ,把试 验电荷q 放在P 点,有库仑定律可知,所受电场力为： r Q q F E 2 041επ== ⑶常见电场公式 无限大均匀带电板附近电场： εσ 02= E 2、电势 ⑴、电场中给定的电势能的大小除与电场本身的性质有关外，还与检验电荷 有关，而比值 q E pa 0 则与电荷的大小和正负无关，它反映了静电场中某给 定点的性质。为此我们用一个物理量-电势来反映这个性质。即q E p V 0 = ⑵、对电势的几点说明 ①单位为伏特V ②通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有: ?∞ ?==p p dr E V q E 0 即P 点的电势等于场强沿任意路径从P 点到无穷远处的线积分。 ⑶常见电势公式 点电荷电势分布：r q V επ04= 半径为R 的均匀带点球面电势分布：R q V επ04= ()R r ≤≤0 r q V επ04= ()R r ≥ 二、四定理 1、场强叠加定理 点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对 该点的电场强度的矢量和。即 《大学物理学》课后习题参考答案 习 题1 1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 )ωt sin ωt (cos j i +=R r 其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。 解：1） 由)ωt sin ωt (cos j i +=R r 知 t cos R x ω= t sin R y ω= 消去t 可得轨道方程 222R y x =+ 2） j r v t Rcos sin ωωt ωR ωdt d +-== i R ωt ωR ωt ωR ωv =+-=2 122 ])cos ()sin [( 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )t 23(t 42++=，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求： （1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。 解：1）由j i r )t 23(t 42++=可知 2t 4x = t 23y += 消去t 得轨道方程为：2)3y (x -= 2）j i r v 2t 8dt d +== j i j i v r 24)dt 2t 8(dt 1 1 +=+==??Δ 3） j v 2(0)= j i v 28(1)+= 1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r t t 22+=，式中r 的单位为m ，t 的单 位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：1）j i r v 2t 2dt d +== i v a 2dt d == 2）21 22 12)1t (2] 4)t 2[(v +=+= 1 t t 2dt dv a 2 t +== n a == 1-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 2012 1 at t v y += （1） 图 1-4 2022 1 gt t v h y -+= （2） 21y y = （3） 解之 t = 1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的t d d r ，t d d v ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 2 1 h y -= 式（2） j i r )gt 2 1 -h (t v (t)20+= （2）联立式（1）、式（2）得 2 02 v 2gx h y -= （3） j i r gt -v t d d 0= 而 落地所用时间 g h 2t = 大学物理课后习题答案第六章 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的 电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3220)(41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ R O λ1 λ2 l x y z 大学物理(上)课后习题答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 3 第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶ 计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解：（1）j t t i t r )432 1()53(2 m ⑵ 1 t s,2 t s 时，j i r 5.081 m ；2114r i j v v v m ∴ 213 4.5r r r i j v v v v v m ⑶0t s 时，054r i j v v v ；4t s 时，41716r i j v v v ∴ 140122035m s 404r r r i j i j t v v v v v v v v v ⑷ 1 d 3(3)m s d r i t j t v v v v v ，则：437i j v v v v 1s m (5) 0t s 时，033i j v v v v ；4t s 时，437i j v v v v 24041 m s 44 j a j t v v v v v v v v v (6) 2d 1 m s d a j t v v v v 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为2 26a x ，a 的单位为m/s 2， x 的单位为m 。质点在x =0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解：由d d d d d d d d x a t x t x v v v v 得：2 d d (26)d a x x x v v 两边积分 210 d (26)d x x x v v v 得：2322250x x v ∴ 31225 m s x x v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+33t ，式中 以弧度计，t 以秒计，求：⑴ t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度 的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t t t 18d d ,9d d 2 ⑴ s 2 t 时，2 s m 362181 R a 2 222s m 1296)29(1 R a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a 即： R R 2 ，亦即t t 18)9(2 2 ，解得：9 2 3 t 则角位移为：32 2323 2.67rad 9 t 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为 =0.2 rad/s 2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：s 2 t 时，4.02 2.0 t 1s rad 则0.40.40.16R v 1s m 064.0)4.0(4.022 R a n 2 s m 0.40.20.08a R 2 s m 22222s m 102.0)08.0()064.0( a a a n 与切向夹角arctan()0.0640.0843n a a 2/εδE o x 02/εδE o x 2/εδ0 2/εδ-E o x 0 2/εδ0 2/εδ-o E x 第六章 电荷的电现象和磁现象 序号 学号 专业、班级 一 选择题 [ C ]1 .一带电体可作为点电荷处理的条件是 (A)电荷必须呈球形分布。 (B)带电体的线度很小。 (C)带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。 (D)电量很小。 [ D ]2．真空中一“无限大”均匀带负电荷的平面如图所示，其电场的场强分布图线应是（设场强方向向右为正、向左为负） （A ） （B ） （C ） （D ） 二 填空题 1． 在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于 ________________________________略________________________________________________, 这称为场强叠加原理。 2．静电场中某点的电场强度，其数值和方向等于_________略____________________________ ___________________________________________________________________________。 3．两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密度分别为δ（δ> 0）及-2δ，如图所示， 试写出各区域的电场强度E 。 Ⅰ区E 的大小 0 2εσ ， 方向 向右 。 Ⅱ区E 的大小 23εσ ， 方向 向右 。 δ -x o I II III σ 2-σ 02/εσ0/εσ0 2/2ε0 22εσ Ⅲ区E 的大小 0 2εσ， 方向 向左 。 4．A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小都为E 0 , 两平面外侧电场强度大小都为 E 0 / 3 ，方向如图。则A 、B 两平面上的电荷面密度分别为 A δ= 3/E 200ε－ ， B δ = 3/E 400ε 。 三 计算题 1．一段半径为a 的细圆弧，对圆心的角为θ0，其上均匀分布有正电荷 q ，如图所示，试以 a , q , θ0表示出圆心O 处的电场强度。 解：建立如图坐标系，在细圆弧上取电荷元l a q q d d 0 ?=θ， 电荷元视为点电荷，它在圆心处产生的场强大小为： θθπεθπεπεd 4d 44d d 0 2003020a q l a q a q E === 方向如图所示。将E d 分解， θθcos d d ,sin d d E E E E y x -=-= 由对称性分析可知，? ==0d x x E E 2 sin 2d cos 4d 0 202 2 02 000 θθπεθ θθπεθθ a q a q E E y y - =-==??- 圆心O 处的电场强度j a q j E E y 2 sin 200 20θθπε- == 第五章静电场 习题5-9 若电荷均匀地分布在长为L的细棒上，求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为 （2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为 若棒为无限长（即L→），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。 证明：（1） 延长线上一点P的电场强度，故由几何关系可得 电场强度方向：沿x轴。 （2） 若点P在棒的垂直平分线上，如图所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此点P的电场强度E方向沿y轴，大小为利用几何关系，，则 当L→时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P点电场强度 其结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。 习题5-10 一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。 解：将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元，在点O 激发的电场强度为 （圆环电场强度） 由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同，利用几何关系，，，统一积分变量，电场强度大小为 积分得 习题5-12 两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。 解：（1）设点P在导线构成的平面上，E+E-分别表示正负电导线在P点的 电场强度，则有 （2）设F+，F-分别表示正负带电导线单位长度所受的电场力，则有 显然有，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。 习题5-15 边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy、Oyz和Ozx 平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度E= (E1+kx)i+E2j (k，E1，E2为常数)的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。 解：如图所示，由题意E与Oxy面平行，所以任何相对Oxy面平行的立方体表面，电场强度的通量为零，即。而 考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有 同理 因此，整个立方体表面的电场强度通量 习题5-18 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。 分析：本题的电场强度分布虽然不具备对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带圆盘的电场叠加，求出电场的分布，要回灵活应用。 若把小圆孔看做由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度）的小圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和。 解：（由5-4例4可知，）在无限大带点平面附近 为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场 它们的合电场强度为 习题5-20 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。球电场分 第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2g h d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+= 第一章质点运动学 1、(习题 1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时 速度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -??=000 )1(0t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速 度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2gh d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+= 第七章、静 电 场 一、两个基本物理量（场强和电势） 1、电场强度 ⑴、 试验电荷在电场中不同点所受电场力的大小、方向都可能不同；而在 同一点，电场力的大小与试验电荷电量成正比，若试验电荷异号，则所 受电场力的方向相反。我们就用 q F 来表示电场中某点的电场强度，用 E 表示，即q F E = 对电场强度的理解： ①反映电场本身性质，与所放电荷无关。 ②E 的大小为单位电荷在该点所受电场力,E 的方向为正电荷所受电场力 的方向。 ③单位为N/C 或V/m ④电场中空间各点场强的大小和方向都相同称为匀强电场 ⑵、点电荷的电场强度 以点电荷Q 所在处为原点O,任取一点P(场点),点O 到点P 的位矢为r ,把试 验电荷q 放在P 点,有库仑定律可知,所受电场力为： r Q q F E 2 041επ== ⑶常见电场公式 无限大均匀带电板附近电场： εσ 02= E 2、电势 ⑴、电场中给定的电势能的大小除与电场本身的性质有关外，还与检验电荷 有关，而比值 q E pa 0 则与电荷的大小和正负无关，它反映了静电场中某给 定点的性质。为此我们用一个物理量-电势来反映这个性质。即q E p V 0 = ⑵、对电势的几点说明 ①单位为伏特V ②通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有: ?∞ ?==p p dr E V q E 0 即P 点的电势等于场强沿任意路径从P 点到无穷远处的线积分。 ⑶常见电势公式 点电荷电势分布：r q V επ04= 半径为R 的均匀带点球面电势分布：R q V επ04= ()R r ≤≤0 r q V επ04= ()R r ≥ 二、四定理 1、场强叠加定理 点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对 该点的电场强度的矢量和。即 E E E n E +++= (21) 2、电势叠加定理 V 1 、V 2 ...V n 分别为各点电荷单独存在时在P 点的电势点电荷系 的电场中，某点的电势等于各点电荷单独 存在时在该点电势的代数和。 3、高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该闭合曲面包围的所 有电荷的代数和除以 ε 说明： ①高斯定理是反映静电场性质的一条基本定理。 ②通过任意闭合曲面的电通量只取决于它所包围的电荷的代数和。 ③高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。 三、静电平衡 1、静电平衡 当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，带电 体系即达到了静电平衡。 说明： ①导体的特点是体内存在自由电荷。在电场作用下，自由电荷可以移动， 从而改变电荷分布；而电荷分布的改变又影响到电场分布。 ②均匀导体的静电平衡条件：体内场强处处为零。 ③导体是个等势体，导体表面是个等势面。 ④导体外靠近其表面的地方场强处处与表面垂直。 第5章 静电场 一、选择题 1. 关于电场线, 以下说法中正确的是 [ ] (A) 电场线一定是电荷在电场力作用下运动的轨迹 (B) 电场线上各点的电势相等 (C) 电场线上各点的电场强度相等 (D) 电场线上各点的切线方向一定是处于各点的点电荷在电场力作用下运动的加速度方向 2. 高斯定理(in ) 01d i s S E S q ε?=?∑??r r ò, 说明静电场的性质是 [ ] (A) 电场线是闭合曲线 (B) 库仑力是保守力 (C) 静电场是有源场 (D) 静电场是保守场 3. 根据高斯定理(in ) 01d i s S E S q ε?=?∑??r r ò，下列说法中正确的是 [ ] (A) 通过闭合曲面的电通量仅由面内电荷的代数和决定 (B) 通过闭合曲面的电通量为正时面内必无负电荷 (C) 闭合曲面上各点的场强仅由面内的电荷决定 (D) 闭合曲面上各点的场强为零时, 面内一定没有电荷 4. 高斯定理成立的条件是 [ ] (A) 均匀带电球面或均匀带电球体所产生的电场 (B) 无限大均匀带电平面产生的电场 (C) 高斯面的选取必须具有某些简单的对称性 (D) 任何静电场 5. 将点电荷Q 从无限远处移到相距为2l 的点电荷＋和－q 的中点处, 则电势能的增加量为 [ ] (A) 0 (B) l q 0π4ε (C) l Qq 0π4ε (D) l Qq 0π2ε 6. 下面关于某点电势正负的陈述中, 正确的是 [ ] (A) 电势的正负决定于试探电荷的正负 (B) 电势的正负决定于移动试探电荷时外力对试探电荷做功的正负 (C) 空间某点电势的正负是不确定的, 可正可负, 决定于电势零点的选取 (D) 电势的正负决定于带电体的正负 7. 由定义式?∞ ?=R R l E U ρρd 可知 8. 静电场中某点电势的数值等于 [ ] (A) 试验电荷q 0置于该点时具有的电势能 (B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能 (C) 单位正电荷置于该点时具有的电势能 (D) 把单位正电荷从该点移到电势零点外力所做的功 物理部分课后习题答案（标有红色记号的为老师让看的题）27页 1-2 1-4 1-12 1-2 质点的运动方程为22,(1)x t y t ==-，,x y 都以米为单位，t 以秒为单位，求： （1） 质点的运动轨迹； （2） 从1t s =到2t s =质点的位移的大小； （3） 2t s =时，质点的速度和加速度。 解：（1）由运动方程消去时间t 可得轨迹方程，将t = 或1= （2）将1t s =和2t s =代入，有 11r i =u r r ， 241r i j =+u r r r 位移的大小 r ==r V （3） 2x dx v t dt = = 2x x dv a dt = =， 2y y dv a dt == 当2t s =时，速度和加速度分别为 22a i j =+r r r m/s 2 1-4 设质点的运动方程为 cos sin ()r R ti R t j SI ωω=+r r r ，式中的R 、ω均为常量。求（1）质点的速度；（2）速率的变化率。 解 （1）质点的速度为 （2）质点的速率为 速率的变化率为 0dv dt = 1-12 质点沿半径为R 的圆周运动，其运动规律为232()t SI θ=+。求质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小和角加速度β的大小。 解 由于 4d t dt θ ω= = 质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小为 角加速度β的大小为 24/d rad s dt ω β== 77 页2-15, 2-30， 2-34， 2-15 设作用于质量1m kg =的物体上的力63()F t SI =+，如果物体在这一力作 用下，由静止开始沿直线运动，求在0到2.0s 的时间内力F 对物体的冲量。 解 由冲量的定义，有 2-21 飞机着陆后在跑道上滑行，若撤除牵引力后，飞机受到与速度成正比的 阻力（空气阻力和摩擦力）f kv =-（k 为常数）作用。设撤除牵引力时为0t =，初速度为0v ，求（1）滑行中速度v 与时间t 的关系；（2）0到t 时间内飞机所滑行的路程；（3）飞机停止前所滑行的路程。 解 （１）飞机在运动过程中只受到阻力作用，根据牛顿第二定律，有 即 dv k dt v m =- 两边积分，速度v 与时间t 的关系为 2-31 一质量为m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，离开地面的高度等 于地球半径的2倍（即2R ），试以,m R 和引力恒量G 及地球的质量M 表示出： （1） 卫星的动能； （2） 卫星在地球引力场中的引力势能. 解 (1) 人造卫星绕地球做圆周运动，地球引力作为向心力，有 卫星的动能为 212 6k GMm E mv R == （２）卫星的引力势能为 2-37 一木块质量为1M kg =，置于水平面上，一质量为2m g =的子弹以 500/m s 的速度水平击穿木块，速度减为100/m s ，木块在水平方向滑行了20cm 后 停止。求： （1） 木块与水平面之间的摩擦系数； （2） 子弹的动能减少了多少。 第五章真空中的静电场 第一节电荷、库仑定律 一、 电荷 电子具有电荷191.6021910e C -=-?(库仑)，质子具有电荷 191.6021910p C e -=?，中子不带电。物理学对电荷的认识可概括为： (1)电荷和质量一样，是基本粒子的固有属性； (2)电荷有两种：正电荷和负电荷，一切基本粒子只可能具有电子或质子所具有电荷的整数倍； (3)电荷具有守恒性； (4)电荷之间的相互作用，是通过电场作媒质传递的。 不同质料物体相摩擦后，每个物体有若干电子脱离原子束缚，进入到对方物体中去，双方失去电子数目不一样，一个净获得电子，一个净失去电子，这就是摩擦起电。核反应中，电荷也是守恒的，例如 用α粒子42He 去轰击氮核147 N ，结果生成178O 和质子11H 反应前后，电荷总数皆为9e 。 根据(2)，电荷€电场€电荷，质量€引力场€质量。 在电解液中，自由电荷是酸碱盐溶质分子离解成的正、负离子；在电离的气体中，自由电荷也是正、负离子，不过负离子往往就是电子；在超导中，传导电流的粒子是电子对(库珀对)，还可能是极化子、双极化子、孤子等。 从微观上去看，电荷是分立的，宏观上来看，其最小变化量与宏观粒子系统的总电荷量比较完全可被当作无穷小处理。所以宏观小微观大的带电体，电荷的连续性与分立性得到了统一。 二、 库仑定律 12301 4q q F r r πε=r r 或122014r q q F e r πε=r r 0ε为真空电容率(vacuumpermittivity)， 其数值为()()1222122208.85418781810/8.8510/C N m C N m ε--=??≈?? 介质中的库仑力 0r εεε=是电介质的介电常数，r ε是相对介电常数。 电介质中作用力比真空中小，是因为介质极化后，在点电荷周围出现了束缚电荷。它削弱了原点电荷之间的作用。 三、 叠加原理 实验表明，如果同时存在多个点电荷相互作用，则任意两个点电荷之间的相互作用，并 大学物理静电场知识点 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 大学物理静电场知识点总结 1. 电荷的基本特征：（1）分类：正电荷（同质子所带电荷），负电荷（同电子所带电荷）（2）量子化特性（3）是相对论性不变量（4）微观粒子所带电荷总是存在一种对称性 2． 电荷守恒定律 ：一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量必定保持不变。 3．点电荷：点电荷是一个宏观范围的理想模型，在可忽略带电体自身的线度时才成立。 4．库仑定律： 表示了两个电荷之间的静电相互作用，是电磁学的基本定律之一，是表示真空中两个静止的点电荷之间相互作用的规律 12 12123 0121 4q q F r r πε= 5． 电场强度 ：是描述电场状况的最基本的物理量之一，反映了电 场的基 0 F E q = 6． 电场强度的计算： （1）单个点电荷产生的电场强度，可直接利用库仑定律和电场强度的定义来求得 （2）带电体产生的电场强度，可以根据电场的叠加原理来求解 πεπε== = ∑ ? n i i 33i 1 i q 11dq E r E r 44r r （3）具有一定对称性的带电体所产生的电场强度，可以根据高斯定理来求解 （4）根据电荷的分布求电势，然后通过电势与电场强度的关系求得电场强度 7．电场线： 是一些虚构线，引入其目的是为了直观形象地表示电场强度的分布 （1）电场线是这样的线：a ．曲线上每点的切线方向与该点的电场强度方向一致 b ．曲线分布的疏密对应着电场强度的强弱，即越密越强，越疏越弱。 （2）电场线的性质：a ．起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远）。b ．不闭合，也不在没电荷的地方中断。c ．两条电场线在没有电荷的地方不会相交 8． 电通量： φ= ??? e s E dS （1）电通量是一个抽象的概念，如果把它与电场线联系起来，可以把曲面S 的电通量理解为穿过曲面的电场线的条数。（2）电通量是标量，有正负之分。 9． 高斯定理： ε?= ∑?? s S 01 E dS i （里） q （1）定理中的E 是由空间所有的电荷（包括高斯面内和面外的电荷）共同产生。（2）任何闭合曲面S 的电通量只决定于该闭合曲面所包围的电荷，而与S 以外的电荷无关大学物理静电场知识点总结
大学物理课后题答案
大学物理静电场
大学物理(第四版)课后习题及答案 质点
大学物理静电场总结
大学物理课后习题答案(全册)
大学物理课后习题标准答案第六章
大学物理(上)课后习题标准答案
大学物理电场部分问题详解
大学物理静电场作业题.
大学物理课后习题答案详解
大学物理课后习题答案详解
大学物理静电场总结
同济版大学物理学第五章练习题
大学物理教程 上 课后习题 答案
大学物理教案真空中的静电场
大学物理静电场知识点总结