2016惠州一调：理科数学试题及答案
惠州市高三第一次调研考数学
第Ⅰ卷
一．选择题：
（1）已知全集{}，，，，，43210=U 集合{}，，，321=A {}，，42=B 则U C A B （）为（ ）．
（A ）{
}421，， （B ）{}432，， （C ）{}420，， （D ）{}4320，，， （2）复数i
-+
25
1（i 是虚数单位）的模等于（ ）． （A ）10 （B ）10 （C
（D ）5 （3）下列命题中的假命题是（ ）．
（A ）0lg ,=∈?x R x （B ）0tan ,=∈?x R x （C ）02,>∈?x R x （D ）0,2>∈?x R x
（4）已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=-，且//m n ，则实数a ＝（ ）．
（A ）－1 （B ）2或－1 （C ）2 （D ）－2
（5）．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
（6）已知函数???≤>=0
,20,log )(3x x x x f x ，则))91((f f =（ ）.
（A ）
12 （B ）14 （C ）16 （D ）1
8
（7）已知某几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是边长为1的正方形，
俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）． （A ）2 （B ）1 （C ）
21 （D ）1
3
（8）已知实数,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤??
--≤??≥?
，则2z x y =+的最大值为
（ ）．
（A ）2- （B ）2 （C ）1 （D ）1-
主视图
侧视图
俯视图
（9）函数x x x f 3
2
cos 32sin
)(+=的图象中相邻的两条对称点间距离为（ ）． （A ）3π （B ）π34 （C ）π23 （D ）π6
7
（10）设,,αβγ为不同的平面，,,m n l 为不同的直线，则m β⊥的一个充分条件为（ ）．
（A ）αβ⊥，l α
β=，m l ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥
（C ）αγ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥
第Ⅱ卷
二．填空题： （11）若3
sin(
)25
π
α+=，a 在第二象限角，则sin2a= ． （12）已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线2
21x y m
+=的离心率为
（13）若a ∈R ，则“1a =”是“1a =”的 条件
（14）如下面数表为一组等式：某学生猜测221(21)()n S n an bn c -=-++，若该学生回答正确，则
3a b += ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值．
123451,235,45615,7891034,111213141565,
s s s s s ==+==++==+++==++++
=
C
C 1
B 1
A
A 1
B
D
16．一个盒子中装有大量．．形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），
（Ⅰ）求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（Ⅱ）在重量分组区间为[]5,15，(]25,35按分层抽样再抽5个作为一个小样本，问从盒子中随机抽取2个小球，其中重量在[]5,15内的小球恰恰好1个的事件的概率。
17．（本小题满分12分）
如右图,三棱柱111ABC A BC -中,112AB AC AA BC ====,1160AAC ∠=?,平面1ABC ⊥平面
11AAC C ,1AC 与1AC 相交于点
D . （Ⅰ）求证
:BD ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求点A1到面ABC 的距离.
18.如图，曲线C 由上半椭圆22
122:1(0,0)y x C a b y a b
+=>>≥和部分抛物线
22:1C y x =-+ (0)y ≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的
方程.
19．已知函数()()2
f x x x a =-，()()2
1g x x a x a =-+-+(其中a ∈R ).
如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并直接写出函数()f x 的单调区间；
20.（坐标系与参数方程选做题）已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，求圆C 上点到直线
:l cos 2sin 40ρθρθ-+=的最短距离。
21. (几何证明选讲选做题)如图3，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若 PA=5，AB=7，CD=11，
2AC =，求BD .
·
P
A
B
C D
O