高中数学导数与函数知识点归纳总结
高中数学导数与函数知识点归
纳总结
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高中导数与函数知识点总结归纳
一、基本概念 1. 导数的定义：
设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量
)()(00x f x x f y -?+=?；比值
x
x f x x f x y ?-?+=
??)
()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x
x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim
lim
0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作x
x f x x f x f y x x
x ?-?+='='→?=)
()(lim
)(000
00
2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）
函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲
线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'
x f ，切线方程为).)((0'
0x x x f y y -=-
3．基本常见函数的导数:
①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;
⑦()1ln x x '=; ⑧()1
l g log a a o x e x
'=.
二、导数的运算
1.导数的四则运算：
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： ()()()()
f x
g x f x g x '''±=±?
???
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+?
???
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf
=(C 为常数)
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
()()()()()()
()()()2
0f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????
。
2.复合函数的导数
形如
)]([x f y ?=的函数称为复合函数。法则： [()]()*()f x f x ?μ?'''=.
三、导数的应用 1.函数的单调性与导数
（1）设函数
)(x f y =在某个区间),(b a 可导，
如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数； 如果
'f 0)( （2）如果在某区间内恒有 'f 0)(=x ，则)(x f 为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f 在点0x 处连续时， ①如果在0x 附近的左侧)(' x f ＞0，右侧)(' x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)(' x f ＜0，右侧)(' x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间],[b a 上连续的函数 )(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值。函数 )(x f 在区间上的最值],[b a 值点处取得。只可能在区间端点及极 求函数 )(x f 在区间上最值],[b a 的一般步骤：①求函数)(x f 的导数，令导数0)('=x f 解出方程的 跟②在区间],[b a 列出)(),(, 'x f x f x 的表格，求出极值及)()(b f a f 、的值;③比较端点及极值点处的函数值的 大小，从而得出函数的最值。 4．相关结论总结： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 四、函数的概念 1.函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合 A 中任何一个数x ，在集合 B 中都有 唯一确定的数 ()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合 A 到B 的一个函数，记作 :f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 五、函数的性质 1.函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．) ． x 1x 2 y=f(X) x y f(x )1 f(x )2 o （1）利用定义 （2）利用已知函数的 单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．． ． y=f(X) y x o x x 2 f(x ) f(x ) 2 1 1 （1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为 增；若 ()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则 [()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[(y f g =（2）打“√”函数 ()(0)a f x x a x =+>的图像与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 减函数． 2. ①一般地，设函数 ()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有 ()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得 0()f x M =．那么，我们称M 是函数 ()f x 的最大值，记作max ()f x M =． ②一般地，设函数 ()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有 ()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作 max ()f x m =． 3.奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数． ． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．． ． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数 ()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =． ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．