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[最新]人教版高中数学选修2-2导学案：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) [WORD版可编辑]

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）

【学习目标】

1.能由定义求函数y c =，y x =，2y x =，x y x y x y ===,1,3的导数；

2.能运用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

【新知自学】知识回顾：

1.函数)(x f y =在点0x x =处的导数是：_____________________，记作

0|)(/0/x x y x f =或，即=)(0/x f =??→?x

y x 0lim _____________________． 2.导数的几何意义：函数在)(x f 在0x x =处的导数就是函数图象在点))(,(00x f x 处的切线的斜率k ，即k=____________________________. 新知梳理：

1. 几个常见函数的导数:

(1)若f(x)=c(c 为常数),则

=')(x f _________________;

(2)若f(x)=x, 则=')(x f _________________;

(3)若f(x)=x 2, 则=')(x f _________________;

(4)若f(x)=x

1, 则=')(x f _________________; (5)若f(x)=x ,则=')(x f _________________.

感悟：

求简单函数的导函数的基本方法：

（1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂；

（2）用导数的公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度，是我们以后主要求导方法. 对点练习：

1.函数()0=x f 的导数为（）

A. 0

B.1

C.不存在

D.不确定

2.已知f(x)=e x ,则=')1-(f ______________.

3.x y cos =在6π

=x 处切线的斜率为（） A.23 B.-23 C.21- D.21

4.曲线n x y =在2=x 处的导数为12，则n 的等于（

）

A.1

B.2

C.3

D.4

【合作探究】典例精析：

例1.求下列函数的导数:

（1）y=sin 3π

；（2）10x y =；

（3）y=5x ; (4)21

x y =；

（5）3x x y =; (6)y=log 3x.

变式练习：

求下列函数的导数: (1)y=lg2; (2)y=

2x 1;

(3)y=x 2

）（; (4)y=x x ;

(5)x y 3

1log =.

例2.求曲线y=x 3

在点()1,1处的切线方程.

变式练习：求过曲线y=sinx 上点），（2

1,6P ，且与过这点的切线垂直的直线方程.

规律总结：

1.求简单函数的导函数的基本方法：

（1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂；

（2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.

2.在求函数的导函数时，可根据函数解析式的结构特征，先进行适当变形，在选择合适的求导公式.

【课堂小结】

【当堂达标】

1. 1.函数32x y =的导数y '=（）

A.23x

B.23

1x C.221x - D.313

2-x 2.在曲线2x y =上切线的倾斜角为4

3π的点是（） A.???

??8,82ππ

B.()4,2

C.??? ??41,21

11,24??

- ???

坐标出错了 3.若()3x x f =，()60/=x f ，则0x 的值是（

）

. A.2 B.2- C.2± D.1±

4.求下列函数的导数：

（1）y=log 27; (2)21

y x =;

(3)y=10x ; (4)y=log 5x;

(5)y=x 43x .

【课时作业】

1.若()3x =x f 则()1/

f =（） A.0 B.31-

C.3

D.31 2.已知()a x x f =，若()41/-=-f ，则a 的值等于（）

A.4

B.4-

C.5

D.5- 3.质点的运动方程是41t s =

（其中s 的单位为m ，t 的单位为s ），求质点在s t 3=时的速度.

4.求曲线3x y =上过点M ()8,2的切线与坐标轴围成的三角形面积.

5.已知()1,1-P 、()4,2Q 是曲线2x y =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线2x y =的切线方程.

6.已知抛物线y=x 2，直线x-y-2=0，求抛物线上的点到直线的最短距离.

7.设f 0(x)=sinx ，f 1(x)=),()(),(120x f x f x f '='

N n x f x f n n ∈'='???+),()(,1，试求f 2016(x).

幂函数教学设计

2.3幂函数教学设计教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。教学目标知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想. 过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。重难点重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律教学方法与手段借助多媒体，探究+反思+总结教学基本流程

教学过程设计：（一）实例观察，引入新课 (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里 p 是w 的函数； (2) 如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S=a 2，这里S 是a 的函数； (3) 如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数； (4) 如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长a=12 S ，这里a 是S 的函数； (5) 如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v=t -1，这里v 是t 的函数. 若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是: x y = 2x y = 3 x y = 2 1 x y = 1-=x y 【师生互动】：以上问题中的函数有什么共同特征？都是函数; 均是以自变量为底的幂; 指数为常数; 自变量前的系数为1; 幂前的系数也为1 【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征. （二）类比联想，探究新知 1、幂函数的定义幂函数的概念：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

高中数学必修一幂函数及其性质

幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质（1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；

过点（1，0），即当x =1，y =0；在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数，在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。【例题选讲】例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小：（1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =．例4、设函数f （x ）＝x 3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围．解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ．（2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）．

人教版高中数学《导数》全部教案

导数的背景（5月4日）教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.

幂函数学案

幂函数学习目标:了解幂函数概念;会画常见幂函数的图象;结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 1／2 的图象了解幂函数图象的变化情况和简单性质;会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同的幂的大小学习重点：幂函数的概念和奇偶函数的概念学习难点：简单的幂函数的图像性质。函数奇偶性的判断学习过程：一探究新知 1.写出下列y 关于x 的函数解析式:正方形边长x 、面积y;②正方体棱长x 、体积y;③正方形面积x 、边长y;④某人骑车x 秒内匀速前进了1m,骑车速度为y;⑤某人购买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付的钱数y.上面5个函数是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？ 2.幂函数的定义：一般地，函数y=x a 叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 练习:（1）①y=1／x 3②y=2x 2③y=x 2+x ④y=0.2x ⑤y=x 0 ⑥y=1属于幂函数的是_________. （2）若函数f(x)=(a 2-3a-3)x 2 是幂函数，则a 值为________. 3.幂函数的图象与性质,由幂函数y ＝x 、y ＝12 x 、y ＝x 2 、y ＝x －1 、y ＝x 3 的图象，可归纳出幂函数的如下性质： (1)幂函数在__________上都有定义；(2)幂函数的图象都过点__________；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点________与________，且在(0，＋∞)上是单调________；(4)当a<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是单调________. 4.幂函数的比较 ①幂函数的图象比较 ②函数y ＝x ，y ＝x 2，y=x 3,y=x 0.5 ,y ＝1x (x≠0)的图象和性质

高一数学幂函数知识点总结

高一数学幂函数知识点总结一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

(word完整版)高中数学导数练习题(分类练习)讲义

导数专题经典例题剖析考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是。解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22 y x =+，则(1)(1)f f '+= 。解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1 (1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线32 242y x x x =--+在点(1 3)-，处的切线方程是。解析：443'2 --=x x y ，∴点(1 3)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。

解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在() 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 0020+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得：2 3 0=x 或00=x （舍），此时，830- =y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 4 1 -=，切点坐标是?? ? ??-83,23。答案：直线l 的方程为x y 41- =，切点坐标是?? ? ??-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。解析：函数()x f 的导数为()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'a 时，函数()x f 在R 上存在增区间。所以，当3->a 时，函数()x f 在 R 上不是单调递减函数。综合（1）（2）（3）可知3-≤a 。

《幂函数》教学设计

《幂函数》教学设计克山一中吴雅杰一、设计构思 1、设计理念注重发展学生的创新意识。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。注重提高学生数学思维能力。课堂教学是促进学生数学思维能力发展的主阵地。问题解决是培养学生思维能力的主要途径。所设计的问题应有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。本节主要安排应用类比法进行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。注重学生多层次的发展。在问题解决的探究过程中应体现“以人为本”，充分体现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习能力是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。注重信息技术与数学课程的整合。高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。 2、教材分析幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的内容。该教学内容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。其中，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。该内容安排一课时。 3、教学目标的确定鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标： ⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。 ⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。

高中数学幂函数的定义练习及答案

高中数学幂函数的定义练习及答案题型一：幂函数的定义【例1】下列所给出的函数中，是幂函数的是（） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】形如(01)x y a a a =>≠且的函数叫做幂函数，答案为B ．【答案】B 【例2】 11．函数的定义域是 . 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】【例3】如果幂函数()f x x α= 的图象经过点，则(4)f 的值等于（）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 12 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D 【例4】幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2 ，则(8)f 的值为 . 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】典例分析

【例5】下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（）. A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x = 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B 【例6】下列命题中正确的是（） A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 A 错，当0α=时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B 错，如幂函数1y x -=的图象不过点（0，0）；C 错，如幂函数1y x -=在定义域上不是增函数；D 正确，当0x >时，0x α>．【答案】D 【例7】函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数，求m 的值. 【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m 的等式和不等式，从而解出m 的值. ∵2221(1)m m y m m x --=--是幂函数， ∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=，解得121,2m m =-= 当11m =-时，211212m m Q --=∈ 22m =时，222211m m Q --=-∈ ∴m 的值域为-1或2. 【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a 是有理数. 【答案】-1或2 【例8】求函数1302 (3)y x x x -=+--的定义域. 【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计教材内容分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用。学生学情分析学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后，立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数，掌握求导数的基本步骤，初步学会求解简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)

高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ，解得f ′(e)＝－1 e ，故选C.

高中数学必修一幂函数教案

高中数学必修一幂函数教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学必修一幂函数教案教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：问题引入．索一般幂函数的图象规律．

教学过程与操作设计：

环节教学内容设计师生双边互动组织探究材料二：幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0 > α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别地，当1 > α时，幂函数的图象下凸；当 1 0< <α时，幂函数的图象上凸；（3）0 < α时，幂函数的图象在区间 ) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于∞ +时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．

探究与发现 1．如图所示，曲线是幂函数αx y=在第一象限内的图象，已知α分别取2, 2 1 ,1,1 -四个值，则相应图象依次为：． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）3- =x y和3 1 - =x y；（2）4 5 x y=和5 4 x y=．规律1：在第一象限，作直线 )1 (> =a a x，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线x y= 对称．作业回馈 1．在函数 1 , , 2 , 1 2 2 2 = + = = =y x x y x y x y中，幂函数的个数为： A．0 B．1 C．2 D．3 环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数) (x f y=的图象过点 )2 ,2(，试求出这个函数的解析式． 3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率． 4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．

幂函数导学案(1)

§2.3 幂函数 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质； 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. （预习教材P 77~ P 79，找出疑惑之处）复习1：求证3y x =在R 上为奇函数且为增函数. 复习2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式．任务二、新课导学探究任务一：幂函数的概念问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12 a S =，a 是S 的函数；（3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数；（5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 新知 1、幂函数的概念：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 试一试：判断下列函数哪些是幂函数. ① 1 y x =；②22y x =；③3y x x =-；④1y =. 探究任务二：幂函数的图象与性质问题：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12 y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．

说明： ② 除函数12y x =外，其余四个幂函数具有奇偶性 ②在第一象限内，函数1 y x -=的图像向上与y 轴无限接近，我们称x 轴y 轴为渐近线结合以上特殊幂函数的图像得出一般幂函数的性质（1）所有幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图像都通过点(1,1) （2）若0α>，则幂函数的图像都过原点，并且在区间[0,)+∞上为增函数（3）若0,α<则幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图像在 y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于+∞ 时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴（4）当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数从图象分析出幂函数所具有的性质. 观察图象，总结填写下表：常见幂函数的性质例1、已知幂函数2 1 2 1 (22)23m y m m x n -=+-+-，求,m n 的值例2、已知函数22 1 ()(2),m m f x m m x m +-=+?为何值时，()f x 是：（1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数

高中数学-导数的概念及运算练习

高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A

高中数学-幂函数练习

高中数学-幂函数练习【选题明细表】知识点、方法题号幂函数的定义2,4,12 幂函数的图象3,6,7,10 幂函数的性质1,5,8,9,11,12,13,14,15 1.下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( C ) (A)y= (B)y=x3 (C)y=x2(D)y=x 解析:y=,y=x3,y=x在(-∞,0)上都是增函数,故选C. 2.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为减函数,则m的值为( C ) (A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2 解析:因为f(x)=(m2-4m+4)为幂函数, 所以m2-4m+4=1, 解得m=3或m=1. 由x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,则m2-6m+8<0, 解得2m>0 (D)m>n>0 解析:由题图及其单调性可得m

5.三个数a=(),b=(),c=()的大小顺序是( B ) (A)cb=(). 因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减, 所以b=()>c=(), 所以a>b>c.故选B. 6.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),则f(4)的值等于. 解析:由f(x)=xα的图象经过点(2,),得=2α,所以α=-,则f(4)==2-1=. 答案: 7.函数y=xα+2(x>0)的图象恒过定点. 解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3). 答案:(1,3) 8.若幂函数f(x)的图象过点(4,),则f(x)的值域为. 解析:由题意设f(x)=x m,由点(4,)在函数图象上得4m=,解得m=-2. 所以f(x)=x-2=, 故其值域为(0,+∞). 答案:(0,+∞) 9.已知(m2+m≤(3-m,求实数m的取值范围. 解:设函数y=, 函数为R上的单调递增函数, 得m2+m≤-m+3, 即m2+2m-3≤0,

高中数学必修1幂函数学案

幂函数（学案）学习目标 1.理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数； 2.体会幂函数在第一象限内的变化规律； 3.借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象；学法指导自学课本108页——109页例1上方。通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。特别强调：指数决定曲线的趋势。自学检测 1.幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中α为常数. 注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。练习1：判断下列函数哪些是幂函数 . ①1 y x = ； ②22y x =； ③3y x x =-； ④1y = ； ⑤x 2.0y =；⑥5 1x y =； ⑦3x y -=； ⑧2x y -=. 练习2：已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________ 练习3：函数3 2 2)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求其解析式。 2.根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗

（1）0<α<1时，（2） α=1时，（3） α>1时，（4） α<0时， 4.研究函数1 2 13 2 x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质，完成下表：课堂小结幂函数的的性质及图象变化规律：（1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点；

（2）0α>时，幂函数的图象通过，并且在区间[0,)+∞上是（增、减）函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸；（3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是（增、减）函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（形状类似于x y 1 = 在第一象限的图象）能力提升求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。（1） 3 2 x y =（2）2 3x y =（3）5 3x y =（4）0 x y =（5）3 2-=x y （6）2 3x y - =（7）5 3- =x y

幂函数导学案

幂函数导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，掌握从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习. 【课堂导学】一、预习作业 1、幂函数的概念：一般地，形如的函数称为幂函数，其中α是常量，x 是变量。 2、作出函数x y =，2 x y =，3 x y =，21x y =，31x y =， 32x y =，2 3x y =的图象.并 x y = 2 x y = 3 x y = 21x y = 3 1x y = 32x y = 23x y = 定义域值域奇偶性单调性 3、作出函数1 -=x y ，2 -=x y ， 23 y x - =的图象. 观察图象，总结填写下表： 4．幂函数α x y =的主要性质：（1）幂函数α x y =在第一象限内的特征：若1>α，函数的图象都过定点，下凸递增，在区间是函数若10<<α，函数的图象都过定点，上凸递增，在区间是函数若0<α，函数的图象都过定点，下凸递减，在区间是函数（2）幂函数α x y =的图象必过第象限，必不过第象限，有可能过第象限，具体看幂函数α x y =的奇偶性。α x y =是偶函数时，图象还在第象限，是奇函数时，图象还在第象限；也有可能既不是奇函数也不是偶函数，但不可能既是奇函数也是偶函数. 二、典型例题例1、求函数2y x =、12 y x =、 2y x -=的定义域，并判断它们的奇偶性，再在同一坐标系中作出图像。

例2利用幂函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小： ⑴ 12 5.23 12 5.24；⑵10.26- 10.27-；⑶() 3 0.72- ()3 0.75-。 ⑵ 例3、点（ 3，3）在幂函数()y f x =的图像上，点（22-， 18 ）在幂函数 ()y g x =的图像上，求()y f x =和()y g x =的解析式。随堂练习课本73页练习1、2。三、板书设计