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立体几何之三棱锥知识要点

三棱锥

定义

几何体，锥体的一种，由四个三角形组成，亦称为四面体。

底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥

称作正三棱锥；而由四个全等的正三角形组成的四面体称为正四面体。三棱锥有六条棱长，四个顶点，四个面。

立体几何复习知识点汇总(全)

立体几何知识点汇总（全） 1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a、b异面，a平行于平面α，b与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一．点．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a,是夹在两平行平面间的线段，若 a,的位置关系为相交或平行或异面. a=，则b b ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是

异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。（直线与直线所成角]90,0[??∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. （1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. （2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） [注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑥直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）（3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线

高中数学立体几何知识点整理

三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积rh S π2=圆柱侧'2 1ch S =正棱锥侧面积rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表()l r r S +=π圆锥表()22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱2V Sh r h π==圆柱13V Sh =锥h r V 231π=圆锥 '1()3 V S S h =台'2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

必修2立体几何复习(知识点+经典习题)

必修二立体几何知识点与复习题一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点考点一,几何体的概念与性质【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ，但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???，故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ．（2）求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．备考建议：

(完整版)高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)

立体几何知识点整理姓名：一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交符号表示： 3. 线在面内符号表示：二．平行关系： 1.线线平行：方法一：用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二：用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则m l//。 2.线面平行：方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三：用平面法向量实现。若n为平面α的一个法向量，⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行：方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交且相交 m l m l m m l l 方法二：用线面平行实现。 β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。 α α ⊥ ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ⊥ ⊥ l AB AC A AB AC AB l AC l , m l α

方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。三．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： ab c b a 2cos 2 22-+= θ (计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： = θcos (二) 线面角 (1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 (2)范围：]90,0[?? 当?=0θ时，α?l 或α//l 当?=90θ时，α⊥l (3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。方法二：向量法(为平面α的一个法向量)。 ><=, cos sin θ = θ c b a

高中数学立体几何知识点归纳总结60996

高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ?L 底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱侧棱垂直于底面底面为矩形侧棱与底面边长相等棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是 αβγ ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 面积、体积公式：侧面母线

知识点-立体几何知识点常见结论汇总

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O A B C D E F 垂立体几何高考知识点和解题思想汇总补充：三角形内心、外心、重心、垂心知识四心的概念介绍：（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。若P 为ABC ?所在平面外一点, O 是点P 在 ABC ?内的射影，则： ①若PA PB PC ==或PA 、PB 、PC 与所成角均相等, 则O 为ABC ?的外心； ②若P 到ABC ?的三边的距离相等, 则O 为△ABC 的内心； ③若PA 、PB 、PC 两两互相垂直, 或,PA BC PB AC ⊥⊥则O 为ABC ?的垂心．常见空间几何体定义： 1 ．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，这两个面为底面，其他面为侧面。棱柱具有下列性质： 1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等； 2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 3）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。棱柱的分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体 2 ．棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面，这样的棱锥称为正棱锥．正棱锥具有性质：①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线；②正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做这个正棱锥的斜高． (2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体． A B C O 外 I K H E F D A B C M 内 A B C D E F G 重

立体几何知识点总结

立体几何知识点总结 1、多面体（棱柱、棱锥）的结构特征（1）棱柱： ①定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱；四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是正多边形侧棱垂直于底面侧棱不垂直于底面

棱长都相等四棱柱正方体。 ②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形；Ⅱ、两底面是全等多边形； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形； Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。（2）棱锥： ①定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥；正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质： Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；

截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三角形；通过四个直角三角形POH Rt ?，POB Rt ?， PBH Rt ?，BOH Rt ?实现边，高，斜高间的换算 2、旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征 A B C D O H P

（2）性质： ①任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆） ②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且 2d 2 =，其中R为球半径，r为截 r- R 面半径，d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

高中立体几何基础知识

高中立体几何基础知识 1. 平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2. 平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 ②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC. 3. 空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示： α a ?

a α α//a 直线a 与平面α平行 a A α a A α= 直线a 与平面α交于点A l α β= 平面α、β相交于直线l 注意：直线与平面平行（α//a ）和直线与平面相交（a A α=）两种情形，统称为直线在平面外，记为α?a . 4. 平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的符号表示： ααα??∈∈a B A ,．如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． (2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 B A α

符号表示： A l A ααββ∈? ?=?∈? 且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；② 判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． (3)公理3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 应用：①确定平面；②证明两个平面重合注意:“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． (4)推论1 :经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：A a ??存在唯一的平面α，使得A α∈，α?l (5)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面

高考立体几何知识点总结(详细)

收集整理:宋氏资料２０1６－1-１ 201６高考立体几何知识点总结一、空间几何体（一）空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。２旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。（二）几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。１.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧（c 是底周长,h 是高） S 直棱柱表面＝ｃ·h+ 2S 底 V 棱柱＝ S 底 ·ｈ? 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义（1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱

所围成的几何体叫做棱锥。 (2）正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.２正棱锥的结构特征 Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积:1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎（S 为底面积，h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。对棱间的距离为 a 2 (正方体的边长）正四面体的高 a 6(正方体体对角线l 3 2 =）正四面体的体积为 32a （正方体小三棱锥正方体V V V 3 1 4=-）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1(正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61= ） 3 、棱台的结构特征 3．1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。３.2 正棱台的结构特征（1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形; （2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (３)正棱台的对角面也是等腰梯形；（4）各侧棱的延长线交于一点。４、圆柱的结构特征 A B C D P O H

必修立体几何复习知识点习题

一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法 90角 1、定义：成 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法

高中文科数学立体几何知识点总结

γm βα l l α β立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 α l 符号表示： 2. 线面相交 α A l 符号表示： 3. 线在面内 α l 符号表示：二．平行关系： 1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。 m l m l l ////??? ? ??=??βαβ α 方法二：用面面平行实现。 m l m l ////??? ? ?? =?=?βγαγβα 方法三：用线面垂直实现。若αα⊥⊥m l ,，则m l //。方法四：用向量方法：若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则 m l //。 2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。 ααα////l l m m l ??? ? ?? ?? 方法二：用面面平行实现。 αββα////l l ?? ?? ? 方法三：用平面法向量实现。若n 为平面α的一个法向量， l n ⊥且α?l ,则α//l 。 3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。 β ααβ//',',' //'//????? ??? ??且相交且相交m l m l m m l l 方法二：用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ?? ?且相交m l m l m l α n α l m'l'l α βm m β α l l m β α

三．垂直关系： 1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。三．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： ab c b a 2cos 2 22-+=θ (计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： AC AB AC AB ??= θcos (二) 线面角 (1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 A B C αl l β α m l β α m α l θ c b a A B C θn A O θ P αl A O P α

高中数学立体几何知识点归纳总结

高中数学立体几何知识点归纳总结公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-

高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ? 底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱

底面为平行四边形侧棱垂直于底面底面为矩形底面为正方形棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】 222211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是 αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.

立体几何知识点总结归纳

一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的

平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式： S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=2 22rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2 r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质： ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。侧面母线 B

立体几何基础知识

立体几何基础知识 1. 平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2. 平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 ②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC . 3. 空间图形是由点、线、面组成的图形符号语言文字语言（读法） A a A a ∈ 点A 在直线a 上 A a A a ? 点A 不在直线a 上 A α A α∈ 点A 在平面α内 A α A α? 点A 不在平面α内 b a A a b A = 直线a 、b 交于A 点 a α α?a 直线a 在平面α内 a α α//a 直线a 与平面α平行 a A α a A α= 直线a 与平面α交于点A l α β= 平面α、β相交于直线l a A α=）两种情形，统称为直线在平面外，记为α?a . 4. 平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

符号表示：ααα??∈∈a B A ,．如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． (2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线符号表示：A l A αα ββ∈? ?=?∈? 且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． (3)公理3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 应用：①确定平面；②证明两个平面重合注意:“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． (4)推论1 :经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：A a ??存在唯一的平面α，使得A α∈，α?l (5)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：P b a = ?存在唯一的平面α，使得αα??b a , (6)推论3 :经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：//a b ?存在唯一的平面α，使得αα??b a , 5. 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形特别注意空间四边形是平面图形而不是平面图形. 6. 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 7. 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ?． B A α