第 八 章 多元函数微分法及其应用

第 一 节 多元函数的基本概念

教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数

概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。

教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容：

一、 区域

1． 邻域

设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即

),(0δP U =}{0δ

也就是

),(0δP U = {),(y x │δ<-+-2

02

0)

()(y y x x }。

在几何上，

),(0δP U 就是xoy 平面上以点),(000y x p 为中心、0>δ为半径的圆内部的点),(y x P 的全体。

2． 区域

设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点。如果存在点P 的某一邻域E P U ?)(，则称P 为E 的内点。显然，E 的内点属于E 。

如果E 的点都是内点，则称E 为开集。例如，集合

}41),{(2

2

1<+<=y

x y x E 中每个点都是E 1的内点，因此E 1为开集。

如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周122=+y x 和

2

2y x +=4。

设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。

连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及

}41),{(2

2

<+

x y x 都是区域。

开区域连同它的边界一起所构成的点集，称为闭区域，例如 {),(y x │y x +?0}及{),(y x │1?22y x +?4} 都是闭区域。

对于平面点集E ,如果存在某一正数r ，使得

(0,)E U r ?，

其中0是原点坐标，则称E 为有界点集，否则称为无界点集。例如，{)

,(y x │1?2

2y x +?4}是有界闭区域，{),(y x │y x +>0}是无界开区域。

二、多元函数概念

在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：

例1 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 h r V 2

π=。

这里，当r 、h 在集合}0,0),{(>>h r h r 内取定一对值),(h r 时，V 的对应值就随之确定。

例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 p =

V

RT ，

其中R 为常数。这里，当V 、T 在集合0{(,)0,}V T V T T >>内取定一对值(,)V T 时，p 的对应值就随之确定。

定义1 设D 是平面上的一个点集。称映射:f D R →为定义在D 上的二元函数，通常记为

),(y x f z =，(,)x y D ∈（或)(P f z =，P D ∈）。

其中点集D 称为该函数的定义域，y x 、称为自变量，z 称为因变量。数集

}),(),,({D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域。

z 是y x ,的函数也可记为 ),(y x z z =， (,)z x y ?=等等。

类似地可以定义三元函数),,(z y x f u =以及三元以上的函数。一般的，把定义1中的平面点集D 换成n 维空间内的点集D ，则可类似地可以定义n 元函数),,,(21n x x x f u =。n 元函数也可简记为)(P f u =，这里点D x x x P n ∈),,,(21 。当1=n 时，n 元函数就是一元函数。当2≥n 时，n 元函数就统称为多元函数。

关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数()u f x =时，就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。例如，函数)ln(y x z +=的定义域为

}0){(>++y x y x

（图8-1），就是一个无界开区域。

又如，函数)arcsin(22y x z +=的定义域为}1){(22≤++y x y x （图8-2），这是一个有界闭区域。

图8-1 图8-2

设函数),(y x f z =的定义域为D 。对于任意取定的点D y x P ∈),(，对应的函数值为),(y x f z =。这样，以x 为横坐标、y 为纵坐标、),(y x f z =为竖坐标在空间就确定一点 ),,(z y x M 。当),(y x 遍取D 上的一切点时，得到一个空间点集 }),(),,(),,{(D y x y x f z z y x ∈=，

这个点集称为二元函数),(y x f z =的图形。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。 三、多元函数的极限

定义2 设二元函数),(y x f 的定义域为D ，),(000y x P 是D 的聚点。如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点

0(,)(,)P x y D U P δ∈?

时，都有ε<-A y x f ),( 成立，则称常数A 为函

数),(y x f 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作

00(,)(,)

lim

(,)x y x y f x y A →=，

或 A y x f →),(（00(,)(,)x y x y →）。

为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指),(y x P 以任何方式趋于

000(,)P x y 时，函数都无限接近于A 。因此，如果),(y x P 以某一种特殊方

式，例如沿着一条直线或定曲线趋于000(,)P x y 时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但是反过来，如果当

),(y x P 以不同方式趋于000(,)P x y 时，函数趋于不同的值，那么就可以断

定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。

考察函数

??

???

=+≠++=,

0,0,0,),(2

22

2

2

2

y

x y x y x xy y x f

显然，当点),(y x P 沿x 轴趋于点)0,0(时，

(,)(0,0)

lim (,)lim (,0)0x y x y f x y f x →→→==；又当点),(y x P 沿y 轴趋于点)0,0(时，

(,)(0,0)

lim

(,)lim (0,)0x y y x f x y f y →→→==。

虽然点),(y x P 以上述两种特殊方式(沿x 轴或沿y 轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是

(,)(0,0)

lim

(,)x y f x y →并不存在.这是因为当点)

,(y x P 沿着直线kx y =趋于点)0,0(

时,有

2

2

2

2

22

2(,)(0,0)

0l i m

l i m 1x y x y k x

x y k x

k

x y

x k x k

→→===+++

， 显然它是随着k 的值的不同而改变的.

例3 求

(,)(0,2)

sin()lim

x y xy x →.

解 这里x

xy y x f )

sin(),(=

的定义域为{}(,)0,D x y x y R =≠∈，

0(0,2)P 为D 的聚点。由极限运算法则得

(,)(0,2)

2

sin()sin()lim

lim

lim 122x y xy y xy xy y x

xy

→→→=?=?=。

四、多元函数的连续性

定义3 设函数),(y x f 在开区域（闭区域）D 内有定义，),(000y x P 是D 聚点，且D P ∈0。如果

0000(,)(,)

lim

(,)(,)x y x y f x y f x y →=,

则称函数),(y x f 在点),(000y x P 连续。

如果函数),(y x f 在开区域（或闭区域）D 内的每一点连续，那么就称函数),(y x f 在D 内连续，或者称),(y x f 是D 内的连续函数。

若函数),(y x f 在点),(000y x P 不连续，则称0P 为函数),(y x f 的间断点。这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）D 内某些孤立点，或者沿D 内某些曲线，函数),(y x f 没有定义，但在D 内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数),(y x f 的不连续点，即间断点。

前面已经讨论过的函数 2

2

22

2

2

,0,(,)0,0,

xy

x y x y

f x y x y ?+≠?+=??+=?

当(,)(0,0)x y →时的极限不存在，所以点)0,0(是该函数的一个间断点。二

元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数

1

1sin

2

2

-+=y x z

在圆周122=+y x 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。

与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。

性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值。这就是说，在D 上至少有一点1P 及一点2P ，使得)(1P f 为最大值而)(2P f 为最小值，即对于一切P ∈D, 有

)()()(12P f P f P f ≤≤.

性质2（介值定理） 在有界闭区域D 上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

由多元初等函数的连续性，如果要求它在点0P 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即

)()(lim 00

P f P f P P =→.

例4 求

(,)(1,2)

lim x y x y xy

→+.

解 函数 xy

y x y x f +=

),(是初等函数，它的定义域为

}0,0),{(≠≠=y x y x D 。

因D 不是连通的，故D 不是区域。但}0,0),{(1>>=y x y x D 是区域，且D D ?1 ，所以D 是函数),(y x f 的一个定义区域。因10)2,1(D P ∈, 故

(,)(1,2)

3lim

(1,2)2

x y x y f xy

→+==

.

如果这里不引进区域1D ，也可用下述方法判定函数),(y x f 在点

)2,1(0P 处是连续的：因0P 是),(y x f 的定义域D 的内点，故存在0P 的某

一邻域D P U ?)(0，而任何邻域都是区域，所以)(0P U 是),(y x f 的一个定义区域，又由于),(y x f 是初等函数，因此),(y x f 在点0P 处连续。

一般地，求)(lim 0

P f P P →，如果)(P f 是初等函数，且0P 是)(P f 的定义

域的内点，则)(P f 在点0P 处连续，于是)()(lim 00

P f P f P P =→。

例5 求(,)(0,0)

lim

x y xy

→

解

(,)

(0,0)

lim

x y xy

→(,)(0,0lim

x y →=

(,)(0,0)

lim

x y →2

1

小结：

本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念。讨论中我们以二元函数为主，针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推。

作业：

第 二 节 偏导数

教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。

教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算

二元、多元函数的偏导数。 教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。 教学内容：

一、 导数的定义及其计算法

以二元函数),(y x f z =为例，如果只有自变量x 变化，而自变量y 固定（即看作常量），这时它就是 x 的一元函数，这函数对x 的导数，就称为二元函数z 对于x 的偏导数，即有如下定义：

定义 设函数 z =f ),(y x 在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ?时，相应地函数有增量

),(),(0000y x f y x x f -?+,

如果

lim

→?x x

y x f y x x f ?-?+)

,(),(0000 (1)

存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记作

y y x x x

z ==?? ,

0y y x x x

f ==?? , 0

0y y x x x

z == 或

x f ),(00y x

例如，极限（1）可以表示为

00lim

),(→?=x x y x f x

y x f y x x f ?-?+)

,(),(0000. (2)

类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数定义为

lim

→?y y

y x f y y x f ?-?+)

,(),(0000 (3)

记作

0y y x x y

z ==?? ,

0y y x x y

f ==?? , 0

0y y x x y

z == 或 y f ),(00y x

如果函数),(y x f z =在区域D 内每一点),(y x 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是y x 、的函数，它就称为函数),(y x f z =对自变量

y 的偏导数，记作

x

z ??,

x

f ?? , x z 或x f ),(y x

类似地，可以定义函数),(y x f z =对自变量y 的偏导数，记作

y

z ??,

y

f ??, y z 或 y f ),(y x

偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数。例如三元函数 u =f (z y x ,,) 在点 (z y x ,,) 处对x 的偏导数定义为

x

z y x f z y x x f z y x f x x ?-?+=→?)

,,(),,(),,(00

lim

其中 (z y x ,,)是函数 ),,(z y x f u =的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题。

例1 求 2

2

3y xy x z ++=在点(1, 2)处的偏导数。 解 把y 看作常量，得

y x x

z 32+=??

把x 看作常量，得

y x y

z 23+=??

将 (1, 2)代入上面的结果，就得

8231212

=?+?=??==x y x

z ，

7221312

=?+?=??==x y y

z

例2 求y z 2sin =的偏导数。

解 y x x

z x y 2s i n 212

=??==,

y x y

z x y 2cos 22

12

=??==

例3 设)10(≠>=x x x z y ，,求证：

x

z y x ??+

x ln 1z y

z

2=??

证 因为 1

-=??y yx

x

z ,

x x y

z y

ln =??,

所以

y x x

z ??+

x ln 1y

z

??=

1

-y yx

y

x +z x

x

x x x

y

y

y 2ln ln 1=+=

例4 求2

22z

y x r ++= 的偏导数。

解 把 y 和z 都看作常量，得

x

r ??=

2

2

2

z

y x x ++=

r

x

由于所给函数关于自变量的对称性，所以

y

r ??=

r

y ,

z

r ??=

r

z .

二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的偏导数有下述几何意义。 设)),(,,(00000y x f y x M 为曲面),(y x f z =上的一点，过0M 作平面

0y y =，截此曲面得一曲线，此曲线在平面0y y =上的方程为

),(0y x f z =，

则导数0|),(0x x y x f dx

d =, 即偏导数),(00y x f x ,就是这曲线

在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率。同样，偏导数),(00y x f y 的几何意义是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率。

我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续。但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P 沿着平行于坐标轴的方向趋于

0P 时，函数值)(P f 趋于)(0P f ,但不能保证点P 按任何方式趋于0P 时，函

数值)(P f 都趋于)(0P f 。例如，函数

??

?

??

=+≠++==,

0,0,0,),(2

22

2

2

2y

x y x y x xy y x f z

在点（0，0）对x 的偏导数为

0)

0,0()0,0()0,0(lim

=?-?+=→?x

f x f f x x

同样有

0)

0,0()0,0()0,0(lim

=?-?+=→?y

f y f f y y

但是我们在第一节中已经知道这函数在点（0，0）并不连续。 二、 高阶偏导数

设函数),(y x f z =在区域D 内具有偏导数

),(y x f x

z x =??,

),(y x f y

z y =?? ,

那么在D 内 ),(y x f x 、),(y x f y 都是y x ，的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数),(y x f z =的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

??? ??????x z x =),(22

y x f x

z xx =?? ,

??? ??????x z y =

),(2

y x f y

x z

xy =???,

???? ??????y z x =),(2

y x f x

y z yx =??? , ???

? ??????y z y =),(22

y x f y z yy =?? 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

例5 设133

2

3

+--=xy xy y x z ，求

2

2

x

z ??、

x

y z ???2

、

y

x z ???2

、

2

2

y

z ?? 及

3

3

x

z ??。

解

x

z ?? = y y y x --3

2233,

y

z ?? = x xy

y x --2

392；

2

2

x

z ?? = 26xy

,

x

y z ???2

= 1962

2--y y x ；

y x z ???2

= 1962

2--y y x ,

2

2

y

z ?? = 3218x xy -；

33

x

z ?? = 62y

我们看到例5中两个二阶混合偏导数相等，即 x

y z ???2

=

y

x z ???2

这不是偶

然的。事实上，我们有下述定理。

定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数

x

y z ???2

及

y

x z ???2

在区域D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

例6 验证函数2

2

ln y

x z += 满足方程

2

2

x

z ??+

2

2

y

z ??=0 。

证 因为)ln(2

1ln

2

2

2

2y x y

x z +=+=,

所以 x

z ??=

2

2

y

x x +,

y

z ??=

2

2

y

x y +,

2

2

x

z ??=

22

2

2

2

()2()

x y x x x y +-+ =

()

2

22

2

2y

x x

y +-,

2

2

y

z ??=

2

2222

()2()

x y y y x y +-+ =

()

2

2

2

2

2

y

x

y

x +-

因此

2

2x

z ??+22

y z ??=

()

2

22

2

2y

x

x

y +-+

()

2

2

2

2

2

y

x

y

x +-=0.

例7 证明函数r

u 1=，满足方程

2

2

x

u ??+

2

2

y

u ??+

2

2

z

u ??=0 ,

其中2

22z

y x r ++=. 证

x

u ??=－

2

1r

x

r ??=－

2

1r

·

r

x =－

3

r

x ,

2

2

x

u ??=－

3

1r

+

4

3r

x ·

x

r ??=－3

1r

+

5

2

3r

x .

由于函数关于自变量的对称性，所以

22

y u ??=－

3

1r

+

5

2

3r

y ,

2

2

z

u ??=－

3

1r

+

5

2

3r

z .

因此

2

2

x

u ??+22

y

u ??+

2

2

z

u ??

=－

3

3r

+

5

2

22

)

(3r

z y x ++=－

3

3r

+

5

2

3r

r =0.

例6和例7中两个方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是数学物理方程中一种很重要的方程。

小结：

本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为重点）偏导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础。

作业：

第 三 节 全微分及其应用

教学目的：学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定

义，掌握二元函数可微与偏导数存在之间的关系，会求多元函数的全微分。

教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分。 教学难点：计算多元函数的全微分。 教学内容：

一、全微分的定义

我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得

x y x f y x f y x x f x ?≈-?+),(),(),(， y y x f y x f y y x f y ?≈-?+),(),(),(．

上面两式的左端分别叫做二元函数对x 和对y 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x 和对y 的偏微分.

设函数),(y x f z =在点),(y x P 的某一邻域内有定义，并设

),`(y y x x P ?+?+为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差),(),(y x f y y x x f -?+?+为函数在点P 对应于自变量增量x ?、y ?的全

增量，记作z ?，即

),(),(y x f y y x x f z -?+?+=? （1）

一般说来，计算全增量z ?比较复杂.与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量x ?、y ?的线性函数来近似的代替函数的全增量z ?,从而

引入如下定义

定义 如果函数),(y x f z =在点),(y x P 的全增量

),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?

可表示为

)(ρo y B x A z +?+?=?， （2）

其中A 、B 不依y ?赖于x ?、y ?而仅与y x 、有关，22)()(y x ?+?＝ρ，则称函数),(y x f z =在点),(y x P 可微分，而y B x A ?+?称为函数

),(y x f z =在点),(y x P 的全微分，记作dz ，即 y B x A dz ?+?=。

在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点连续。但是，由上述定义可知，如果函数),(y x f z =在点

),(y x P 可微分，那末函数在该点必定连续。事实上，这时由（2）式可得

0lim 0

=?→z ρ ，

从而

),(]),[(lim ),(lim 0

y x f z y x y y x x y x =?+=?+?+→?→?→?ρ。

因此函数),(y x f z =在点),(y x P 处连续。

下面讨论函数),(y x f z =在点),(y x P 可微分的条件。

定理1（必要条件） 如果函数),(y x f z =在点),(y x P 可微分，则该

函数在点),(y x P 的偏导数x

z ??、

y

z ??必定存在，且函数),(y x f z =在点

),(y x P 的全微分为

dz =

x

z ??x ?+

y

z ??y ?。

（3） 证 设函数),(y x f z =在点),(y x P 可微分。于是，对于点P 的某个邻域的任意一点),('y y x x P ?+?+，（2）式总成立。特别当0=?y 时（2）式也应成立，这时||x ?=ρ，所以（2）式成为

|)(|),(),(x o x A y x f y x x f ?+??=-?+ 。

上式两边各除以x ?，再令0→?x 而取极限，就得

lim

x

y x f y x x f ?-?+)

,(),(=A ，

从而偏导数

x

z ??存在，且等于A 。 同样可证y

z ??=B 。所以（3）式成立。

证毕。

我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件。但对于多元函数来说，情形就不同了。当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出

x

z ??x ?+

y

z ??y ?，但它与z ?之差并不一定是较ρ高阶的无穷小，

因此它不一定是函数的全微分。换句话说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。例如，函数

),(y x f z ==??

?

?

?

=+≠++0

,

0,0,2

2

2

22

2

y

x y x y x xy

在点0,0(P 处有 0)0,0(=x f 及 0)0,0(=y f ，所以

)0,0()0,0([y f x f z y x ??+??-?

,

△x →0

如果考虑点),('y y x x P ?+?+沿着直线x y = 趋于)0,0(P ，则

ρ

2

2

()()

x y x y ????+?=

2

2

()()

x x x x ????+?=

2

1,

它不能随0→ρ而趋于0，这表示0→ρ时，

])0,0()0,0([y f x f z y x ??+??-?

并不是较ρ高阶的无穷小，因此函数在点)0,0(P 处的全微分并不存在，即函数在点)0,0(P 处是不可微分的。

由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理。

定理2（充分条件） 如果函数),(y x f z =的偏导数

x

z ??、

y

z ??在点

),(y x P 连续，则函数在该点可微分。

证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在点),(y x P 连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到偏导数在某一点连续均应如此理解）。设点

),(y y x x P ?+?+为这邻域内任意一点，考察函数的全增量

),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?

)],(),([)],(),([y x f y y x f y y x f y y x x f -?++?+-?+?+=。

在第一个方括号内的表达式，由于y y ?+不变，因而可以看作是 x 的一元