函数定义域
本单元教学的关键在于组织学生理解反三角函数的意义，特别是建立反函数必须具备的条件是确定原来函数以定义域到值域的映射是一一映射。象指数函数y=ax，以定义域x 到值域y +上的映射是一一映射，就有逆映射，确定这个函数的映射有了逆映射，也就可以确定一个新的函数y=logax，其定义域是y +，值域是y 。这个函数叫对数函数，是指数函数y=ax 的反函数。但是正弦函数y=sinx，其自然定义域为x ，在上的任意x，都有唯一确定的y=sinx [－1,1]；但是反过来，对于y [－1，1]中的每一个值，在x 内，不是只有碓一确定的x与y 相对应。因此为了要建立正弦函数的反函数，必须对原来正弦函数y=sinx的定义域进行裁剪，使裁剪以后的子区间能与y [－1，1]之间建立一一对应关系。同时，为了方便起见，又尽量把这个区间取得简单一些，于是我们就取y=sinx，x [ ]，此时，这个函数的反函数我们就称为反正弦函数，用y=arcsinx来表示，同学们应该明白，此时的x [－1，1]，而y [ ]。同理对于其它三个三角函数，我们裁剪得的子区间分别是y=cosx,x [ ]；y=tgx,x [ ]；y=ctgx，x ( )。
建立反三角函数的概念，给出了定义以后，为了更加形象直观地研究这四个反三角函数的性质。我们给出了它们的图象，从而研究它们的一系列性质，定义域、值域、单调性、奇偶性等等；同时要对照、比较，让学生自己动手总结、归纳，便于更加深刻地认识这些性质。教师则应在学生总结归纳之中，指出容易弄错的地方，比如y=arcsinx，y=arctgx是奇函数，但y=arccosx,y=arcctgx都是非奇非偶函数；同时，可以顺便说一下原来的四个函数中间有y=sinx,y=tgx和y=ctgx三个奇函数，只有y=cosx一个偶函数，也是不对称的；又如y=arcsinx 和y=arctgx的定义域不同，一个是闭区间[ ],而另一个则是开区间( ),同样y=arccosx和y=arcctgx的定义域也不同，是[ ]和( )，不要弄错。
【指点迷津】
本单元的重点是反三角函数的概念，这个概念也是本单元的难点。特别是反三角函数的定义域的确定对学生来说较难接受，应该通过代数中前面学过的反函数中建立的例子，例如y=x2,x 是没有反函数的，但是裁剪定义域为x [0, ）时，就可以确定其反函数为，x [0, ）。告诉学生，由于三角函数的周期性，使取同一函数值的自变量x一般说来有无穷多个，从而指出了裁剪定义域的必要性。在给定正弦函数y=sinx的定义域为[ ]后，让学生比较自然地得出其它三个函数的定义域和值域，不使其感到突然，感到奇怪，很自然地接受，也就能更好记忆，学好并用好这个概念。
二.学海导航
【思维基础】
根据反三角函数的定义、性质、完成下面一组练习，以检查基础知识的掌握程度。
1.选择题：
(1)给出四个命题：①函数y=sinx和y=arcsinx都是周期函数；②函数y=cosx和y=arccosx 都是偶函数；③函数y=tgx和y=arctgx的定义域都是；④函数y=ctgx和y=arcctgx都是定义域上的减函数，其中正确命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(2)设a (0,1)，则在[ ]内，使sinx≥a的x的范围是
(A)[ ] (B)
(C) (D)
(3)若arccosx≥,则x的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
2.填空题
(1)若，则arccosx ;
(2)若，则arcsinx ；
(3)若，则arctgx ；
(4)若，则arcctgx ；
3.求下列各式的值。
(1)sin(arcsin )；(2)sin[arcsin( )]；
(3)tg(arcsin ) (4)cos(arcsin )
(5)cos(arcsinx) x (－1,1)；
(6)sin(2arcsin )
4.求下列各式的值。
(1)arcsin(sin )；(2)arcsin(sin );
(3)arccos(cos )；(4)arccos(sin );
5.求值。
(1)tg[arccos(－)(2)tg(arccosx);
(3)cos[arccos +arccos( )]
【学法指要】
例1.已知－1≤x≤1，求证：arcsinx+arccosx=
证明(一)：
∵sin( －arccosx)=cos(arccosx)=x,
其中－1≤x≤1，且arccosx [ ]
∴－arccosx [－，]
由反正弦函数的定义知－arccosx是在[－，]内使正弦值等于x的一个角的弧度数，它应等于arcsinx。
∴arcsinx= －arccosx，
即arcsinx+arccosx=
证明(二)：设=arcsinx,则，又设则
，
例2.试证明arccos(－x)=π－arccosx，其中x [－1，1]
证明(一)：首先∵－1≤x≤1，∴－1≤－x≤1，－x属于arccosx的定义域，arccos(－x)有意义。
其次，由诱导公式和反余弦函数的定义知
cos(
因此是余弦值为－x的一个角的弧度数；
再其次，0≤arccosx≤π,∴0≥－arccosx≥－π
所以π≥π－arccosx≥0，即π－arccosx [ ]
因此，π－arccosx是属于区间[ ]，且余弦值为－x的一个角的弧度数，故有arccos(－x)=π－arccosx。
证明(二)：在坐标系内，作反余弦函数y=arccosx的简图，其定义域为
[－1，1]，值域为[ ]，反余弦函数的图象关于点( )是中心对称图形。设x是[－1，1]内的任意值（如图），A(x,0)，AB平行于y轴，则线段AB的数量就是arccosx。点C的坐标为(－x,0)作CD平行于y轴，交反余弦函数y=arccosx于点D，交y=π于点E，则点D的坐标为(－x,arccos(－x))。由于曲线关于点( )是中心对称图形，所以B点与D点关于( )对称，且AB=DE，因为
CE=π，所以CD+DE=π，DE=AB=arccosx，即arccos(－x)+arccosx=π,
故有arccos(－x)=π－arccosx
例3.画出函数y=arcsin(sinx)在[ ]内的图象，并研究其定义域、值域、奇偶性、周期性和单调性。
解：函数y=sinx的定义域为，此时sinx [－1，1],y=arcsin(sinx)总有意义，故其定义域为，值域为[－，]。
可画出函数在[ ]内的图象，先分段讨论得：
当－≤x≤时，y=arcsin(sinx)=x；
当－π≤x＜－时，y=arcsin(sinx)=arcsin[sin(－π－x)]
∴y=－π－x
当＜x≤π时，y=arcsin(sinx)=arcsin[sin(π－x)]
∴y=π－x
即y=
简图如右，因为
arcsin[sin(－x)]=－arcsin(sinx),所以函数
y=arcsin(sinx)是奇函数；
又因为sinx的周期为2π，所以
arcsin[sin(x+2π)]=arcsin(sinx)，
所以函数y=arcsin(sinx) x 是以2π为最小正周期的周期函数，题中给出的函数
y=arcsin(sinx) x [ ]是它的一个周期。
由图象知，函数y=arcsin(sinx) x 在区间
上是增函数，在区间上是减函数。
例4.求函数y=arcsin(x2－x)的定义域和值域。
解：令－1≤(x2－x)≤1，解得定义域为
又∵u(x)=x2－x=(x－)2－≥－，且当x= 时，u=1，所以值域是
y [－arcsin , ]。
释注：此处请注意复合函数的单调性。
例5.求函数y=arccos(x2－x)的单调递减区间。
解：y=arcosu是u(x)=x2－x在u ［－1，1］上的递减函数，要求题中函数的单调递减区间，只要求函数u(x)=x2－x的递增区间，同时注意原函数的定义域，u(x)=x2－x的递增区间是，定义域要求－1≤u(x)≤1，即≤x≤，因此所求函数的递减区间是[ , ]。
释注：复合函数的单调性与原函数的定义域都必须考虑。
例6.求值：
解：(1)设=arctg7，则tg =7，且
而因此。
评注：给定两个反三角值，此时arctg7与arcctg ，它们的值是确定的，而且即便不知精确等于何值，但是它们的所在范围我们应该是相当明确的。如果不考虑范围，仅就，是不能求得的值的，所以范围的作用是不能忽视的。
例7.已知方程的两个实根为x1与x2，记，
求的值
解：由一元二次方程的根与系数关系知
∴
∴
而x1、x2是原方程的两个负根，所以x1、x2 ( )，
∴，在内所以。
释注：此处的范围，又起到了关键性的作用。
例8.求函数y=arcsin(1－x)+arccos2x的值域。
解：首先求定义域，x应满足不等式组
∴
因此定义域为0≤x≤
其次在定义域0≤x≤内，函数y1=arcsin(1－x)单调递减，函数y2=arccos2x也单调递减，所以原来的函数。
y=arcsin(1－x)+arccos2x
在区间上是单调减函数，所以
因此原来函数的值域是
例9，已知函数f(x)= arccos(sin2x)
(1)求出它的定义域和值域；(2)判断它的周期性；若是周期函数，求出它的最小正周期；
(3)画出它的图象。
解：(1)∵－1≤sin2x≤1对x R成立。
∴ arccos(sin2x)总有意义，定义域为x R
∴当x R时，arccos(sin2x) [ ]，因此其值域为y
(2)∵y =sin2x的最小正周期是T=π，所以f(x)= arccos(sin2x)是周期函数，且其最小正周期就是T=π
(3)∵y= arccos(sin2x),
∴y= arccos[cos( )]
当 [ ]时，即≤x≤时
y= ( )= －x
当 [ ]时，即－≤x≤时
此时，y ,其图象如下所示
例10.设≤x≤0，求arcsin(cosx)－arccos(sinx)的值。
解：∵≤x≤0 ∴cosx [0，1]
设
【思维体操】
本单元反三角函数的概念必须透彻地理解，它是本章的重点，也是难点。首先反三角函数的求值和求角中要分清式子表示的是角的弧度数，还是三角函数值，这在反三角函数恒等式的证明，或计算求值中必须严加注意。如arcsin(cosx)表示使正弦值等于cosx的角的弧度数，而且是在中；而sin(arccosx)则表示有的正弦值。
其次要注意反三角函数的取值范围，如arcsinx ,所以
cos(arcsinx) [0,1]；又如arccosx ，所以sin(arccosx) [0,1]，特别是在具体数值运算过程中要注意取值范围。
例如：求sin[arccos(1－2x)]的值。设首先考虑定义域
－1≤1－2x≤1，解得0≤x≤1；，其次cosα=1－2x，在这个定义域内，所以，这里的根式是算术根，
∵α，sinα≥0成立。
又例如，求值.为了求这个值，设，
由＜0是成立的。
同学们可以在下面几题计算求值中，分别估计每一个反三角函数值代表的角的弧度数的范围，用以从一个方面检验运算结论的正确性。
练习：
1.已知x＞－1，求arctgx+arctg 的值。
2.求函数的值域。
答案：
三.智能显示
【心中有数】
本单元主要是利用反函数的概念和三角函数的概念来建立三角函数的反函数，教材里共研究了反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数。应该牢固地掌握其定义和基本性质，并学会在实际问题中用角的某个三角函数值来表示角的方法，特别应注意角的范围。【动脑动手】
请完下列一组练习
一.选择题
1.若arcsinx＞1，则x的取值范围是( )
(A) (B)(sin1,1] (C) (D)φ
2.若0＜x＜，则arcsin[cos( +x)]+arccos[sin(π+x)]等于( )
(A) (B)－(C) －2x (D)－－2x
3.在[－1，]内与函数y=x相同的函数是( )
(A)y=arccos(cosx) (B)y=sin(arcsinx)
(C)y=arcsin(sinx) (D)y=cos(arccosx)
4.若x＜0，则arctgx等于( )
(A)arcctg (B)－arcctg (C)π－arcctg (D)arcctg －π
二.求值：
1.arcsin[sin( )]= ;
2.arcsin(sin3)= ;
3.arcsin(cos2)= ;
4.arcsin(cos5)= ;
三.求满足下式的变量x的取值范围：
1.2arccosx－arccos(－x)＞0；
2.arccos3x＜arccos(2－5x)；
3.arccos(2x2－1)＜arccosx；
函数定义域几种类型及其求法
函数定义域几种类型及其求法 河北省承德县一中 黄淑华 一、已知函数解析式型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1、求函数8315 22-+--=x x x y 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足?????≠-+≥--0 8301522x x x 即???-≠≠-<>11535x x x x 且或 解得1135-≠-<>x x x 且或 即函数的定义域为{}1135-≠-<>x x x x 且或。 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。 （一）已知)(x f 的定义域，求[])(x g f 的定义域。 其解法是：已知)(x f 的定义域是],[b a 求[])(x g f 的定义域是解b x g a ≤≤)(，即为所求的定义域。 例2、已知)(x f 的定义域为]2,2[-，求)1(2-x f 的定义域。 解：22≤≤-x ，2122≤-≤-∴x ，解得33≤≤- x 即函数)1(2-x f 的定义域为{}33≤≤-x x （二）已知[])(x g f 的定义域，求)(x f 的定义域。 其解法是：已知[])(x g f 的定义域是],[b a 求)(x f 的定义域的方法是：b x a ≤≤，求)(x g 的值域，即所求)(x f 的定义域。 例3、已知)12(+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域。 解：21≤≤x ，422≤≤∴x ，5123≤+≤∴x 。 即函数)(x f 的定义域是{}53|≤≤x x 。
(完整版)求函数定义域练习题
函数定义域练习题 班级： 姓名： 1. 函数2 ()lg(31)f x x =++的定义域是（ ） A ．1(,)3-∞- B ．11(,)33- C ．1(,1)3- D ．1(,)3-+∞ 2. 已知1()1 f x x = +，则函数(())f f x 的定义域是( ). A ．{|1}x x ≠- B ．{|2}x x ≠- C ．{|12}x x x ≠-≠-且 D ．{|12}x x x ≠-≠-或 3. 函数＝y =的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ） A.09k k ≥≤-或 B.1k ≥ C.91k -≤≤ D. 01k <≤ 4 ．函数 ()f x =的定义域为（ ） A ．2[0,]3 B ．[0,3] C ．[3,0]- D ．(0,3) 5．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是（ ） A ．[,]a b B ．[,]b a -- C ．[,]b b - D ．[,]a a - 6．已知函数()f x 的定义域为[0,4]，求函数2(3)()y f x f x =++的定义域为（ ） A ．[2,1]-- B ．[1,2] C ．[2,1]- D ．[1,2]- 7．若函数()f x 的定义域为[2,2]- ，则函数f 的定义域是（ ） .[4,4]A - .[2,2]B - .[0,2]C .[0,4]D 8．已知函数1()lg 1x f x x +=-的定义域为A ，函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ，则下述关于A 、B 的关系中，不正确的为（ ） A ．A B ? B ．A B B =U C ．A B B =I D ．B ?≠A
讲函数的定义域及表示方法
第二讲 函数的定义域及表示方法 【本课重点】 1．会求常见函数的定义域 2、掌握函数的三种表示方法，并会用解析法研究两个变量的函数关系。 3、掌握分段函数的概念及表示方法。 【知识梳理】 1.设B A ,是两个______的___集，如果按照某种____的对应关系f ， 对于集合A 中的_______数x ，在集合B 中都有______的数)(x f 和它对应，那么就称________为从集合A 到集合B 的一个函数，记作_________,其中，x 叫做_____,x 的取值范围叫做________; 与x 对应的y 值叫做_____, 函数值的取值范围叫做________，显然_____是______的子集. 2.函数的定义域、值域 （1）一次函数)0(≠+=a b ax y 的定义域是________，值域是________. (2)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是________，0>a 时，值域是 ________. 0〈a 时，值域是________. （3）反比例函数y=x k (k 0≠)的定义域是______________，值域是______________. 3.区间的概念 设b a ,是两个实数，而且b a <，我们规定： （1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做________，表示为________，数轴表示为______. （2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做________，表示为________,数轴表示为______. （3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做________，分别表示为__________,数轴分别表示为________________,这里，实数b a ,叫做区间的端点. (4) “∞”读作________,“∞-”读作________,“∞+”读作________,实数集R 区间表示为__________. (5)集合{}a x x ≥|区间表示为________,集合{}b x x <|区间表示为________. 4.求函数解析式的方法：直接法、配凑法、换元法、方程组法、待定系数法、赋值法
高一函数定义域基础练习题
函数定义域练习题 1．函数)13lg(13)(2 ++-= x x x x f 的定义域是 （ ） A ．（∞-，3 1-） B ．(3 1- ， 3 1） C ．(3 1- ，1） D ．(3 1- ，∞+） 2. 函数)1lg(11 )(++-= x x x f 的定义域是 （ ） A ．(-∞,-1) B ．(1,+∞) C ．(-1,1)∪(1,+∞) D ．R 3. 若函数) 12(log 1 )(2+= x x f ，则)(x f 的定义域为 ( ) A.)0,21(- B.),21(+∞- C.),0()0,21(+∞?- D.)2,2 1 (- 4 函数y = ( ) A.( 34 ,1) B( 34 ,∞) C （1，+∞） D. ( 34 ,1)∪（1，+∞） 5. 已知()f x = 1 1 +x ，则函数(())f f x 的定义域是 ( ) A ．{|1}x x ≠- B ．{|2}x x ≠- C ．{|12}x x x ≠-≠-且 D ．{|12}x x x ≠-≠-或 6. 函数＝y =R ，则k 的取值范围是 （ ） A.09k k ≥≤-或 B.1k ≥ C.91k -≤≤ D. 01k <≤ 7．函数23)(x x x f -=的定义域为 （ ） A ．[0，3 2 ] B ．[0，3] C ．[-3，0] D ．（0，3） 8．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是 （ ） A ．[,]a b B ．[,]b a -- C ．[,]b b - D ．[,]a a - 9．设I ＝R ，已知2 ()lg(32)f x x x =-+的定义域为F ，函数()lg(1)lg(2)g x x x =-+-的定义域为G ， 那么GU I C F 等于 （ ） A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(1，＋ ∞) D ．(1，2)U(2，＋∞) 10．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2 x f x f y ++=的定义域为 （ ） A ．[2,1]-- B ．[1,2] C ．[2,1]- D ．[1,2]- 11．若函数()f x 的定义域为[－2，2] ，则函数f 的定义域是 （ ） A ．[－4，4] B ．[－2，2] C ． [0，2] D ． [0，4] 12．已知函数1()lg 1x f x x +=-的定义域为A ，函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ，则下述关于 A 、 B 的关系中，不正确的为 （ ） A ．A ? B B ．A ∪B=B C ．A∩B=B D ．B ?≠A 13. 函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为 ( ) A ．[－4,1] B ．[－4,0) C ．(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1] 14. 若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是 ( ) A ．a ＝－1或3 B ．a ＝－1 C ．a > 3或a <－1 D ．－1 < a < 3 15. 若函数y =f (x )的定义域是[0,2]，则函数 g (x )= 21 f x x ()-的定义域是 ( ) A. [0,1] B. [0,1) C. [0,1)∪(1,4] D. (0,1)
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
5、函数的定义域和值域答案
函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析
专题：函数定义域的求法及常见题型 (定稿)
专题一：函数定义域的求法及常见题型 一、函数定义域求法 （一）常规函数 函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。 例1.求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得或。③ 由②解得或④ ③和④求交集得且或x>5。 故所求函数的定义域为（－∞，-11）U(-11,-3] U(5,+∞)。 注意点：分母、偶次方根被开方数，多条件求交集，定义域写法，仅可写成区间或集合形式，不能写成不等式。 例2.求函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得③ 由②解得④ 由③和④求公共部分，得 故函数的定义域为(-4,-π] U(0,π]。 提示点：③和④怎样求公共部分？ （二）抽象函数 1.有关概念 定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围； 对应法则：通过“工厂”或“模具”观点进行类比，以此深入理解函数 () y f x = 的对应法则“f”。把
函数 () y f x = 的对应法则“f”看作“工厂”或“模具”，把自变量“x”的取值看作“原料”，把相应 函数值“y”看作“成品”。该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对应法则。 如（1）已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域。 可以把f(x)看成工厂的生产加工，f是加工工序，x是原料。 （1）中f(x)的原料就是初级产品，所以原料或初级产品满足的条件就是[0,4]；在f(2x+1)中，初级产品是2x+1，它必须满足[0,4]，由此求出f(2x+1)的原料x满足的条件（即自变量）。 因为(2）中f(2x+1)的定义域是[0,4]，即原料x满足[0,4]，变成初步产品2x+1,那么初步产品的限制条件就成了[1,9], 所以f(x)的原材料就是 [1,9]，这样好不好理解？ 值域：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区间； 显函数：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5； 隐函数：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的； 复合函数：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。 2.四种类型 题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的g(x)相当于前者的x。 解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域 例题3.已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域 解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，即t=3+2x∈[0,3]， 说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。原因是y=f(x)中的x与y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x就是一模一样了，x只能为-3了。 强化训练： 1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5]，求函数y=f(3x-5)的定义域； 2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2]，求函数y=f(log2x)的定义域； 3.已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。 题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的g(x)相当于后者的x。 解决策略：求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域（t的取值范围），即为y=f(x)的定义域 例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域.
函数定义域与值域经典类型总结 练习题 含答案
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
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