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三角形“四心”定义与性质

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，

即外接圆圆心。ABC ?的重心一般用字母O 表示。

性质：

1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一

边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠2

1,21,21。二、三角形的内心

定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：

性质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝?2

1三角形的周长?内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；

=++CD BF AE 三角形的周长的一半。 4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2

190 。三、三角形的垂心

定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母H 表示。

性质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的

垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：

定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母G 表示。

性质：

1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3

,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；

（2）)(31PC PB PA PG ++=

，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ????===3

1。五、三角形“四心”的向量形式：

结论1：若点O 为ABC ?所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ?=?=?，则点O 为ABC ?的垂心。

结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+，则点O 为ABC ?的垂心。

结论3：若点G 满足0=++GC GB GA ，则点G 为ABC ?的重心。

结论4：若点G 为ABC ?所在的平面内一点，满足)(3

1OC OB OA OG ++=

，则点G 为ABC ?的重心。

结论5：若点I 为ABC ?所在的平面内一点，并且满足0=?+?+?IC c IB b IA a

（其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心。

结论6：若点O 为ABC ?所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ?+=?+=?+)()()(，则点O 为ABC ?的外心。

结论7：设()+∞∈,0λ，则向量)||||(

AC AC AB AB AP +=λ，则动点P 的轨迹过ABC ?的内心。

三角形四心的向量性质

三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若 GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ，则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ，所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ， =OC c ，试用a b c ，，表示OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 图2

3 c b a OG ++= ∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则 AD BE CF ++=0．证明：如图的所示， ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2 PO PB PD =+， 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0．二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点A ，B 的坐标分别为A （-1，0），B （1，0），且GM ∥AB ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 过图3

高中数学三角形四心性质及例题

三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1) O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0; 2) O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA 若O 是 ABC （非直角三角形）的垂心，故 tan AOA tan BOB tan COC 0 2 2 2 3) O 是 ABC 的外心 |OA | |OB| |OC | (或OA OB OC ) 若O 是 ABC 的外心则 S BOC ：S AOC ：S AOB sin BOC ：sin AOC ：sin AOB sin2A : sin 2B : sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2COC 4） O 是内心 ABC 的充要条件是 OA (|A AB B | AC ) OB ( BA AC |BA | |B B C C|) OC (|C CA A | |C C B B |) 0 AB,BC,CA 的单位向量为 e 1 ,e 2 , e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件可 OA (e 1 e 3) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3) 0 O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0 若O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a ：b ：c 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 sin B OB sin COC ; 以写成故 aOA bOB cOC 0或 sin AOA ABC 的内心; 若O 是 ABC 的重心，则 S BOC S AOC S AOB 3S ABC 故 OA PG 31(PA PB PC) OB OC 0; G 为 ABC 的重心 . 则 S BOC ： S AOC ： S AOB tan A ：tan B ： tan C

三角形四心及性质

三角形四心三角形四心要点诠释： (1)三角形的内心、重心都在三角形的内部. (2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部. (3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点. (4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部. 1、三角形外心：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。三角形的三条垂直平分线必交于一点已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O 求证：O点在BC的垂直平分线上证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO ∵EO垂直平分AC，∴AO=CO ∴BO=CO 即O点在BC的垂直平分线上三角形的外心的性质： 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3. 锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA（圆心角＝2同弧圆周角） 6.S△ABC=abc/4R 2、三角形的内心：

三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形三条角平分线必交于一点证明己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC 求证：OC平分∠ACB 证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F ∵AO平分∠BAC,∴OD=OF；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ；∴OD=OF ∴O在∠ACB角平分线上∴CO平分∠ACB 三角形内心的性质： 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 6.S△ABC=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 3、三角形的垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的三条高必交于一点已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F

三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质70409

三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 AB C AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故=++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是 ( ( ( =?=?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是 ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和，又

初高中衔接数学专题八三角形“四心”定义与性质(可编辑修改版)

三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。的外心一般用字母表示。ABC ?O 性质： 1．外心到三顶点等距，即。 OC OB OA ==2．外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即 OE BC OD ⊥⊥,3.。AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠= ∠2 1,21,21二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。的内心一般用字母表示，它具有如下性质： ABC ?I 性质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝三角形的周长内切圆的半径．?2 1?3.； CE CD BD BF AF AE ===,,三角形的周长的一半。 =++CD BF AE 4.，。,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 C AIB ∠+=∠2 190 三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫垂心。的垂心一般用字母表示。 ABC ?H 性质： 1、顶点与垂心连线必垂直对边，即。 AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母表 ABC ?G 示。性质： 1.顶点与重心的连线必平分对边。 G 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。 2即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重

三角形“四心”定义与性质之欧阳光明创编

三角形“四心”定义与性质欧阳光明（2021.03.07）所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC ?的重心一般用字母O 表示。性质： 1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝?21三角形的周长?内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,； =++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母H 表示。性质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。 2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母G 表示。性质： 1.顶点与重心G 的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。即GF GC GE GB GD GA 2,2,2=== 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，

三角形四心概念与性质

三角形“四心”概念及性质（学生填表时，教师巡视，看到有的学生不会填“四心”位置，启发他们多画几个不同形状的三角形试试，让学生会从特殊到一般的思想方法。）师：三角形的重心有什么性质? 生甲：分中线为1:2。生乙：分中线为3:1。师：应当把重心看成中线的内分点，即顶点到重心与重心到对边中点的距离之比是2:1。三角形的垂心性质，课本上没有明确提出过，不必填上。但如果题中有两条以上的高线，就应想到“四点共圆”。如图1, H是垂心，有几组四点共圆？（学生回答略。）师：外心与内心各有什么性质？（学生回答略。）［通过上述问题的讨论，让学生从对比中认识点到点的距离与点直线距离的区别，从而更好地理解概念，加深印象。］

（教师在黑板上画一个直角三角形，一个钝角三角形，让学生上黑板作垂心，然后归纳总结。）师：锐角三角形的垂心必在形内，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点。 [ 通过实际画图，强化垂心可能在形外的情况，练一遍胜过背几遍。] 师：至于外心，请同学们课后用同样的方法画几个不同形状的三角形来验证结论的正确性。上面，我们归纳了“四心”中每个“心”与三角形的相对位置关系。下面，我们再考虑“四心”在同一三角形中的位置有什么关系？先考虑在等腰三角形中“四心”的位置关系。生：都在同一条直线上。师：在哪一条直线上？生：在底边上的中线或底边上的高或顶角的平分线上。师：对！三线合一，“四心”在三角形的对称轴上。师：等边三角形的“四心”位置又有什么关系呢？生：都重合成一个点了。师：这“四心”共点，这个点叫什么名称？生：“中心”，师：等边三角形叫做正三角形。正三角形的重心、内心、垂心、外心重合成一个点，就是正三角形的“中心”。“中心”是正多边形所特有的，不是正多边形就没有中心。因此三角形中只有等边三角形才有中心，其他三角形都没有中心。 [ 把课本中学过的几个“心”都串起来了，揭示出其内在的联系，让学生能够系统地掌握知识。]二、练习师：我们先做下面的练习：已知三角形的三边长分别为5、12、13，那么垂心到外心的距离是多少？生：6.5 师：怎么得到的？生：如图2，因为已知三角形是直角三角形，外心是斜边的中点，垂心是直角顶点，所以，此两“心”距离是斜边中点到顶点的距离，利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，便可得出已知三角形的垂心到外心的距离为。

三角形四心

三角形四心 1、三角形外心：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。三角形的三条垂直平分线必交于一点已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O 求证：O点在BC的垂直平分线上证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO ∵EO垂直平分AC，∴AO=CO ∴BO=CO 即O点在BC的垂直平分线上三角形的外心的性质： 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 =OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA △ABC=abc/4R 2、三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

三角形三条角平分线必交于一点证明己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC 求证：OC平分∠ACB 证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F ∵AO平分∠BAC,∴OD=OF；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ；∴OD=OF ∴O在∠ACB角平分线上∴CO平分∠ACB 性质： 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r =2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 △=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 3、三角形的垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的三条高必交于一点已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F 求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁， ∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等） ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =90° ∴△AEO∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90°∴∠ACF+∠BAC=90°∴CF⊥AB 三角形的垂心的性质：

三角形四心的向量性质练习

三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若 GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r ．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r ，所以 ()GA GB GC =-+u u u r u u u r u u u r ．以GB u u u r ，GC u u u r 为邻边作平行四边形BGCD ，则有GD GB GC =+u u u r u u u r u u u r ，所以GD GA =-u u u r u u u r ．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ，所以BE EC =u u u r u u u r ，GE ED =u u u r u u u r ．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =u u u r a ，=u u u r OB b ， =u u u r OC c ，试用a b c ，，表示u u u r OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a Θ GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 3 c b a OG ++= ∴ 图2

三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC ?的重心一般用字母O 表示。性质： 1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠= ∠2 1,21,21。二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝?2 1三角形的周长?内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,； =++CD BF AE 三角形的周长的一半。 4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2 190 ，C AIB ∠+=∠2 190 。三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母H 表示。性质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。 2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。 ABC ?的重心一般用字母G 表示。性质： 1.顶点与重心G 的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。即GF GC GE GB GD GA 2,2,2=== 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3 ,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(3 1++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ????===31。五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为ABC ?所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ?=?=?，则点O 为ABC ?的垂心。结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足 2 22222+=+=+，则点O 为ABC ?的垂心。结论3：若点G 满足=++，则点G 为ABC ?的重心。结论4：若点G 为ABC ?所在的平面内一点，满足)(3 1++=，则点G 为ABC ?的重心。结论5：若点I 为ABC ?所在的平面内一点，并且满足=?+?+?c b a （其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心。

【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一．知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++ ?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=???：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 )| CB |CB | CA |CA ( OC )| BC |BC | BA |BA ( OB )AC AC | AB |AB ( OA =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成：0)e e (O C )e e (O B )e e (O A 322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=? ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二．范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)( AC AC AB AB OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 A C B 1 e 2 e P

三角形四心的向量性质

三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若GA GB GC ++=0 ．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0 ，所以 () G A G B G C =-+ ．以GB ， G C 为邻边作平行四边形B G C D ，则有GD GB GC =+ ，所以GD GA =- ．又因为在平行四边形B G C D 中，BC 交G D 于点E ，所以BE EC = ，GE ED = ．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2 所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA = a ，= O B b ，= OC c ，试用a b c ，，表示 O G ．解：设A G 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 3 c b a OG ++=∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边B C A C A B ，，的中点．则AD BE CF ++=0 ．证明：如图的所示， ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(2 3GC GB GA CF BE AD ++- =++∴ 图 3 图2

三角形“四心”定义与性质

三角形“四心”定义与性质三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC ?的重心一般用字母O 表示。性质： 1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。〖半径〗 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.〖定义〗 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠= ∠2 1,21,21。〖圆周角与圆心角〗 4.向量形式：若点O 为ABC ?所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ?+=?+=?+)()()(＝0，则点O 为ABC ?的外心。二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。〖半径、定义〗 2.三角形的面积＝?2 1三角形的周长?内切圆的半径．〖三角形拆分〗 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。〖三角形全等〗 4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ， C AIB ∠+=∠2 190 。 4.向量形式：（1）若点I 为ABC ?所在的平面内一点，并且满足=?+?+?c b a （其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心。 (2)设()+∞∈,0λ，则向量(+=λ，则动点P 的轨迹过ABC ?的内心。证4①：∠

高中数学三角形四心性质及例题

三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1）O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故C tan B tan A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?||||||==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 | CB || CA |OC | BC || BA |( OB AC | AB |( OA =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心;

三角形四心问题

七、三角形四心问题一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ???????++=++=?33321321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. | 证法2：如图 ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心（2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. | 0)(=?=-??=? ⊥? 同理⊥，⊥ ?O 为ABC ?的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O OC c OB b OA a ?=++0为ABC ?的内心. 证明：b c 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b AC c AB +平分BAC ∠, ~ ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++=λ B C D B C D

三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一．知识点总结 1）O是的重心; 若O是的重心，则故; 为的重心. 2）O是的垂心; 若O是(非直角三角形)的垂心，则故 3）O是的外心(或) 若O是的外心则故 4）O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成： O是内心的充要条件也可以是若O是的内心，则故; 的内心; 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；二．范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP 平分，那么在中，AP平分，则知选B. 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。 (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例2．H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心. 由, 同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D） A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由. 即则所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。变式：若H为△ABC所在平面内一点，且则点H是△ABC的垂心证明:

三角形四心概念及性质

三角形“四心”概念及性质

（学生填表时，教师巡视，看到有的学生不会填“四心”位置，启发他们多画几个不同形状的三角形试试，让学生会从特殊到一般的思想方法。）师：三角形的重心有什么性质？生甲：分中线为1:2 生乙：分中线为3:1 师：应当把重心看成中线的分点，即顶点到重心与重心到对边中点的距离之比是2:1。三角形的垂心性质，课本上没有明确提出过，不必填上。但如果题中有两条以上的高线，就应想到“四点共圆”。如图1，H是垂心，有几组四点共圆？（学生回答略。）师：外心与心各有什么性质？（学生回答略。） [通过上述问题的讨论，让学生从对比中认识点到点的距离与点直线距离的区别，从而更好地理解概念，加深印象。] 教师在黑板上画一个直角三角形，一个钝角三角形，让学生上黑板作

垂心，然后归纳总结。）师：锐角三角形的垂心必在形，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点。 [通过实际画图，强化垂心可能在形外的情况，练一遍胜过背几遍。] 师：至于外心，请同学们课后用同样的方法画几个不同形状的三角形来验证结论的正确性。上面，我们归纳了“四心”中每个“心”与三角形的相对位置关系。下面，我们再考虑“四心”在同一三角形中的位置有什么关系？先考虑在等腰三角形中“四心”的位置关系。生：都在同一条直线上。师：在哪一条直线上？生：在底边上的中线或底边上的高或顶角的平分线上。师：对！三线合一，“四心”在三角形的对称轴上。师：等边三角形的“四心”位置又有什么关系呢？生：都重合成一个点了。师：这“四心”共点，这个点叫什么名称？生：“中心” 师：等边三角形叫做正三角形。正三角形的重心、心、垂心、外心重合成一

向量表示三角形的四心及应用

三角形“四心”的向量性质及其应用东阳市中天高级中学数学组：蔡航英自从2003年高考(江苏卷)第5题向量考出彩后，在中学数学向量教学时，挖掘三角形“四心”向量性质及其应用，引起了广泛重视。与三角形的“四心”(重心、垂心、外心、内心)有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性，又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级各类考试命题者的青睐,频频出现在各级各类考试卷中，凸现出较好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材，现将有关三角形“四心”向量性质及其应用罗列如下：一、三角形的重心的向量表示及应用命题一已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若 GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ，则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ，所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ， =OC c ，试用a b c ，，表示OG ．

解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 3 c b a OG ++= ∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则 AD BE CF ++=0．证明：如图的所示， ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2 PO PB PD =+， 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 图3 图2

三角形“四心”的向量表示

三角形“四心”的向量表示我们都知道，在三角形中，因为有三条边和三个内角，所以有很多的性质。在三角形众多的“心”中，有几个是学生应该掌握的，主要是四个心：重心，内心，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归纳，让同行借鉴。一．各心的定义。 1．重心：三角形三条边的中线的交点。其性质一是连接重心和顶点，延长后必交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成2：1。 2．垂心：三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。 3．外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。其性质是外心到三顶点等距离。 4．内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。其性质是内心到三边等距离。二．各心的向量表示。在三角形ABC 中，点O 为平面内一点，若满足： 1．=++，则点O 为三角形的重心。 ~ 分析：由+=-，以OC OB ,为邻边作一平行四边形OBEC ，点D 为BC 中点，如图，由向量的平行四边形法则，有OB OC OE +=，交BC 于D ，从而有OA AO OD OE -===2 故O 为重心。 E C B 2．==，则点O 为三角形的外心。 3．?=?=?，

+=+=+，则点O 为三角形的垂心。分析：由OA OC OC OB OB OA ?=?=?有三个等式，其中一个如OC OB OB OA ?=?，则有0)(=-，有0=?，故AC OB ⊥。同理可证，点O 为三角形的垂心。 ( D C 而在三角形ABC 中，记=，=，=，则由2222BO AC CO AB +=+ 2 222)()(+-=+-，展开为?=?22，则0)(=?- 故 OB AC ⊥ ，同理可证 OA BC ⊥ ，从而点O 为三角形的垂心。 4．0=++，则点O 为三角形的内心。分析：若点O 为三角形ABC 的内心。如图，延长AO ，过点C 作BO CE //，由于 CDE BDO ??与相似，有DB CD OB CE =，由AD 为角A 的平分线，有AB AC DB CD =，从而有AB AC OB CE =，,OB AB AC CE ?=故OB AB AC CE ?= C 同理可得，BC BD OE OD =，BC BD OD OE ?=，而BO 为角B 的内角平分线，AB OA BD OD =，有OA AB BC BC AB OA OE ?=?=，故AO AB BC OE ?=

三角形四心概念及性质

三角形“四心”概念及性质重心垂心外心心定义三角形的三条______ 的交点。三角形的三条 _____的交点。三角形的______的圆心，也就是三角形三边的______的交点。三角形的______的圆心，也就是三角形三角的______的交点。图形性质三角形的重心分中线比为______。三角形的外心到 _____距离相等。三角形的心到______ 距离相等。与三角形的位置必在三角形的 _______。锐角三角形在_____，钝角三角形在____，直角三角形在_____。锐角三角形在____，钝角三角形在_____，直角三角形在_____。必在三角形的 ______。

关系（学生填表时，教师巡视，看到有的学生不会填“四心”位置，启发他们多画几个不同形状的三角形试试，让学生会从特殊到一般的思想方法。）师：三角形的重心有什么性质？生甲：分中线为1:2。生乙：分中线为3:1。师：应当把重心看成中线的分点，即顶点到重心与重心到对边中点的距离之比是2:1。三角形的垂心性质，课本上没有明确提出过，不必填上。但如果题中有两条以上的高线，就应想到“四点共圆”。如图1，H是垂心，有几组四点共圆？（学生回答略。）师：外心与心各有什么性质？（学生回答略。） [通过上述问题的讨论，让学生从对比中认识点到点的距离与点直线距离的区别，从而更好地理解概念，加深印象。]

（教师在黑板上画一个直角三角形，一个钝角三角形，让学生上黑板作垂心，然后归纳总结。）师：锐角三角形的垂心必在形，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点。 [通过实际画图，强化垂心可能在形外的情况，练一遍胜过背几遍。] 师：至于外心，请同学们课后用同样的方法画几个不同形状的三角形来验证结论的正确性。上面，我们归纳了“四心”中每个“心”与三角形的相对位置关系。下面，我们再考虑“四心”在同一三角形中的位置有什么关系？先考虑在等腰三角形中“四心”的位置关系。生：都在同一条直线上。师：在哪一条直线上？生：在底边上的中线或底边上的高或顶角的平分线上。师：对！三线合一，“四心”在三角形的对称轴上。师：等边三角形的“四心”位置又有什么关系呢？生：都重合成一个点了。师：这“四心”共点，这个点叫什么名称？