概率论与数理统计(第四版)习题答案全

概率论与数理统计习（第四版）题解答

第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算

一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．

（1）写出试验的样本点及样本空间；

（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；

（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的

集合．

解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则

（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =

（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =?，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”

二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：

（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点

数之和小于15”．

（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3

只，A —“最小号码为1”．

解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则

},,,{1843ωωω =Ω；

},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =

(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则

},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =

三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；

(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；

(2) ABC ；

(3) ABC C AB C B A BC A ???或CA BC AB ??

(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ??????或C B A ??或.ABC

四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：

（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；

(2) n A A A 21或n A A A ??? 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121??? (4) n A A A ??? 21或.21n A A A

第二章 概率的古典定义·概率加法定理

一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．

解：基本事件总数为611011011011011011019

109?=C C C C C C C 有利事件总数为45678921

4151617181919

?????=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则

0605.010

94

56789)(6

2≈??????=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．

解：基本事件总数为!1010

10

=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!77

7

=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818

=C 种；这三本书的排列顺序数为!33

3=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7?=??(亦可理解为)3388P P

设A 表示“指定的三本书放在一起”，则

067.015

1

!10!3!8)(≈=?=A P

三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个

队被分在不同组内的概率．

解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数10

20C ；两个最强的

队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数9

1812

C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则

526.01910

)(10

20

91812≈==C C C A P

四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．

解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多

于 1个”，则 .10A A A ?=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而

0281.09799423

47)(5010050950≈???==C C A P 1529.09799447255)(50

100

49

95151≈????==C C C A P

故 181

.01529.00281.0)(=+≈A P 五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率． 解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；

C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”

，则 (1) 0855.0198199200193

19418)(3

200

219416≈????==C C C A P (2) 912.0198

199200192

193194)(32003

194≈????==C C B P

(3) 00223.0198199200120

19490)(3

200

019436119426≈????=+=C C C C C C P

六、设4

1

)( ,0 ,3

1)()()(=

=====BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．

解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P

设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ??=，于是有

)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=??= 75.043

41313131==-++=

第三章 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式

一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即

14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=?--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P

68.074

.05

.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==

B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P

二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”

（1）2.010

1

101)()()(19111101911011=+=?+=+=C C C C C C A B P A P C P

（2）4.051

51)()()(25

11141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P

三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是

0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多

一倍．

（1）求任意取出的零件是合格品的概率；

（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合

格品”

（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973

.0)02.01(3

1

)03.01(32≈-?+-?=

（2）25.002.03

103.03202.031

)

()()()()()()()()(22112222=?+??=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P

四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．

解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有100

6.0)(1k

A P ==，得60=k ，从

而有

4.015060150)(2===k A P ，.3.0200

60

200)(3===k A P

设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有

)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=

832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=?-?-+?-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则

168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P

故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P

五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则

2201)(312330==C C A P 22027

)(31219231==C C C A P 220108)(3

12

29132==C C C A P 22084

)(3

12

3

9033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则

31236

312

3731238312393

022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ?+?+?+?==∑=

146.0532400

776161112208444722010855142202755212201≈=?+?+?+?=

第四章 随机事件的独立性·独立试验序列

一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则

9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P

再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则

321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=

于是有

)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-??+?-?+??-+??=

902.0=．

（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有 504.07.08.09.0)(0=??=B P

398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-??+?-?+??-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．

二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、

0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则

3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P 又设B 表示“电路发生间断”，则

321A A A B += 于是有

)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=

)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+= 328.02.02.03.02.02.03.0=??-?+=．

三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、4

1

，求能将此密码

译出的概率．

解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则

51)(=A P 31)(=B P 4

1

)(=C P

设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ??=，从而有

)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=??=

)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.04

1

3151415141513151413151=??+?-?-?-++=． （另解）52

)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有

6.05

3

521)(1)(==-=-=D P D P

四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一

人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则

4.0)(1=A P

5.0)(2=A P 7.0)(3=A P

设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则

09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P )()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=

)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=

)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=?--+-??-+--?=

)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=

)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=?--+-??-+--?=

14.07.05.04.0)()()()()(3213213=??===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有

0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P

故有

458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(3

0=?+?+?+?==∑=i i i B A P B P A P ．

五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在

该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．

解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．

又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则 )9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=

+??+??+??=277936694559

)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(?+??+C C

+??+??+??=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126

918)7.0()3.0()7.0(9+??+

0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=．

六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的

概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则

n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次

要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．

第五章 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布

一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再

放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为

即

亦即

二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之

间生产的合格品数的概率分布．

解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为

三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．

（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为

)4,3,2,0()(6

20

616

4===-x C C C x X P x

x

从而X 的概率分布为

即

（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为

)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P x

x x

从而X

即

四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内

有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p

168877.0)01.01()01.0()1()4(29644

30029644300≈-=-==C p p C ξP

（2）用泊松分布计算)301.0300(=?==np λ

168031355.0!

43)4(3

4≈==-e ξP

相对误差为

.5168877

.0168031355.0168877.0000≈-=δ

五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行

了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有

)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P

5

554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=

16308.000243.002835.01323.0≈++≈

（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P

3

22541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------= 16308.0≈

六、设随机变量X 的概率分布为

2, 1, ,0 , !

)(===k k a

k X P k

λ；

其中λ>0为常数，试确定常数a ．

解：因为∑∞

===0

1)(k k X P ，即∑∞

==01!k k

k λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=

第六章 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度

一、函数

2

11

x +可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）．

解：（1）设2

11

)(x

x F +=

，则1)(0<

→x F x ，0)(lim =+∞

→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．

（2）设211

)(x

x F +=

，则1)(0<

因为)0( 0)

1(2)('2

2<>+-

=x x x

x F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．

二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：

（1）??

?

???2,0π； （2）[]π,0； （3）??????23,0π．

解：（1）因为??????∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=?π

π

x dx x f ，所以当??

????∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．

（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但

12cos )(0

0≠=-=?

π

π

x dx x f ，所以当[]πx ,0∈

时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度．

（3）因为??

?

???∈23,

0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．

二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再

放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为

于是，??>3,

1x

四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为

+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．

求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度．

解：(1) 由0)2()(lim =-?+=-∞→πB A x F x ，12

)(lim =?+=-∞→πB A x F x ，解得.1

,21πB A ==

即)( ,arctan 1

21)(+∞<<-∞+=x x π

x F ．

(2) .2

1

)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P

(3) X 的概率密度为

)

1(1

)()(2x x F x f +='=π．

五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为

+∞<<∞-=-x Ae x f x

,)(．

求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．

解：(1) 由

1)(?

+∞

∞

-=dx x f ，得1220

??+∞

∞

-+∞

--===A dx e A dx Ae

x x

，解得2

1

=

A ，即有 ).( ,2

1)(+∞<<-∞=

-x e x f x

(2) ).11(21)(2121)()10(1

01010e

e dx e dx x

f X P x x -=-===<<--??

(3) 随机变量X 的分布函数为

?????>-≤===-∞--∞-??0

2

1102121)()(x e x e dx e dx x f x F x x

x x

x ．

第七章 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布

一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间

不超过3分钟的概率．

解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为

??

??∈=]5,0[,

0]

5,0[,51)(x x x f 于是有.6.05

3

)()30(3

===

≤≤?

dx x f X P

二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为

?????≤>=-.0,

0;0,8001)(800x x e x f x

任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．

解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则

287.0800

1)1000()()()(4

5

10008001000800

321≈=-==>===-∞+-∞

+-?e e dx e X P A P A P A P x

x

)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=??=

638.0287.0287.03287.033

2≈+?-?=

（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则

287.0800

1)1000(4

51000

800

1000800

≈=-==>-

∞+-∞

+-?e

e dx e X P x

x

从而有713.01)1000(1)1000(4

5≈-=>-=≤-

e

X P X P ，进一步有

638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P

三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有

).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥

这个性质叫做指数分布的无记忆性．

(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．

e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 的概率．

解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈?，有x

e

x F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．

设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ?，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有

)

(1)

(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥===

=≥+≥

t s

t s e e e λλλ--+-=----=]

1[1]

1[1)(． 另一方面，我们有

t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．

综上所述，故有

)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．

（２）由题设，知X 的概率密度为

??

?≤>=-．，

；

，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5

年以上的概率为

6065.01.0)()5()5(5.05

1.05

1.05

≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+?

?

e e dx e dx x

f X P s X s X P x

x ．

答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．

四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2

)

3(2X X Y -=

． 解：X 的分布律为

（1）X Y 211-=的分布律为

（2）2)

3(2X

X Y -=的分布律为

即

五、设随机变量X 的概率密度为

???

??

≤>+=.0,

0;0,)1(2)(2x x x x f π

求随机变量函数X Y ln =的概率密度．

解：因为)()()(ln )()(y

X y

Y e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为

)( )

1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y

y

y

y

y

y

X

Y

Y π，即 )( )

1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y y

Y π．

第八章 二维随机变量的联合分布与边缘分布

一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示

两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为

Y 的边缘概率分布为

二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数

)3

arctan )(2arctan (),(y

C x B A y x F ++=．

求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度． 解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得

???

?

?

????=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12

πA =

（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2

(1),(2

y x y x F ++=

πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为 .)

9)(4(6),(),(222"

y x y x F y x f xy ++==π

（3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 x

x

x

X x

dx x dy y x f dx x F ∞

-∞-∞

-+∞

∞

-=+==?

?

?

2

arctan

1)4(2),()(2ππ

2

arctan 121x π+=

y

x

y

Y y

dy y dx y x f dy x F ∞

-∞-∞

-+∞

∞

-=+==?

??

3

arctan

1)9(3),()(2ππ

3

arctan 121y π+=

X 及Y 的边缘概率密度分别为

??

?

+∞+∞

∞-+∞

∞-++?=++==0222222)

9(1

)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )

4(2)3arctan 31()4(1122

022x y x +=+?=∞+ππ ???+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241

)9(12)9)(4(6),()(dx x

y dx y x dx y x f y f Y ππ )

9(3)2arctan 21()9(1220

22y x y +=+=∞+ππ

三、设),(Y X 的联合概率密度为

???>>=+-.,

00;

0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f

求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X

落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由

1),(=??

+∞∞-+∞

∞

-dy dx y x f ，有16

1

32==

??∞+∞

+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为

?????>>==????--∞-∞

-其它0

,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x x

y

?

??>>--=--其它00,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为

???≤>=?????≤>==-+∞--∞+∞-??000200

06),()(2032x x e

x x dy e e dy y x f x f x y x X

???≤>=?????≤>==

-+∞

--∞

+∞

-??

300

06),()(30

32y y e

x x dx

e e dx y x

f y f y

y x Y （4）?

???

---==

∈x y x

R

dy e dx e

dxdy y x f R Y X P 3220

33

26),(}),{(

63

6271)(2---?-=-=e dx e e x

四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2

x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：

(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为

??

??∈=.

),(, 0;

),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(2132212

2212==-+=-+==--+-?????C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R

解得9

2

=C ．故有

??????∈=.),(, 0;

),(,92

),(R y x R y x y x f

(2) ??????++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 22

1

22102

29292),()2(

??-++=212

10)2(92292dx x x xdx

481.027

13

)322(92922132102≈=-+

+=x x x x ． 第九章 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布

一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为

???

??≤>=-.0,

0;0,21)(2y y e y f y

Y

求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．

解: (1)X 的概率密度为?

???∈=)1,0(,0)

1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）

???

??><<==-其它,

00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f y

Y X

（2）dx e

dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x

y

x

y x

y ???

???-

∞

+-∞

+-≥=-===

≥10

2

102

2

10

2)(2

1),()(

7869.0)1(222

11

22

≈-=-=--e e x

二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：

.

,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(2122

11

n j q

p C j p n i q p C i p j

n j

j

n Y i

n i i n X ====--

证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布．

证明: 设j i k +=, 则

i

k n i k i k n k

i i n i i n k

i Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===2211

)()()()( ∑=-+=k

i k n n k i n i

n q p C C

212

1)( 由

k

n

m k

i i

k n

k m C C C +=-=

∑

, 有

k n n k

i i

n i n C C C

2

1210

+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(21212

1n n k q p C k P k

n n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.

三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：

??

?

??><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或

求随机变量Y X Z +=的概率密度． 解: X 的概率密度为 ??

??∈=]

1,0[,0]

1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为

??

?

??≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10

,),(其它当当y x y y x y y x f

Y X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是z

y x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.

故有 ??????

???≤<+-≤<-+-≤≤><=3229

32

12123

3102

3,00

)(222z z z z z z z z

z z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为

????

???≤<-≤<+-≤≤><=323

2132103,00

)(z z z z z z z z z f Z

三、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i ）组成，联接方式如右图所示．设各个部件

的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．

解: 由题设，知ij X 的分布函数为

??

?≤>-=-0,

00

,1x x e F x X ij λ 先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有

)3,2,1(),m ax (21==i Y i i i ξξ

从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为

??

?≤>-==-0,

00

,)1()(221y y e F F y F y X X Y i i i λ 设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min (321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为

??

?≤>---=???≤>----=-0,

00

,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ 故Z 的概率密度为

??

?≤>--=---0,

00

,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ

第十章 随机变量的数学期望与方差

一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回

去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为

即

110

3322013220924491430=?+?+?+?

=EX 即

3.000

4.03041.0220

5.0175.00≈?+?+?+?=EX

2X 的分布为

即

于是有

22

9

220192209444914302=

?+?+?+?

=EX 即

4091.0004.09041.04205.0175.002≈?+?+?+?=EX

从而有

3191.013310042471

)11033(229)(222≈=-=

-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX X

σ

二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为

p q p q q p q p iq

p ipq

EX i i i i i i 1

)1()1(

)(2

1

1

1

1

1

=-='-='===∑∑∑∞

=∞

=-∞

=- 2X

p

p p p q q p q p q q p pq

i EX i i i i

i i 1

22)1()1()(])([2231

1

1

1

2

2

-=-=-+=

'=''==∑∑∑∞

=∞

=∞

=-

进一步有

p

p p p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=

-=

三、设离散型随机变量X 的概率函数为

,,2,1,2

1

]2)1([ ==-=k k X P k k k

问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．

解：因为∑∑∑∑∞

=∞=∞

=∞

=-=?-=-=-==1

111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k k

i i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．

四、设随机变量X 的概率密度为??

?

??

≥<-=.

1, 0;1,11)(2

x x x x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．

解：011

)()(1

1

2

=-?

==

??

-+∞

∞

-dx x

x dx x xf X E π

dx x x dx x x dx x f x X D ???-=-?==-∞+∞-10221122

21211)()(πππ

2

1]arcsin 2112[2102=+--=x x x π

五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,2

1)(+∞<<-∞=-x e x f x

．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(==

=

??+∞∞

--+∞

∞

-dx xe dx x xf EX x

2!2)3(21)(0222

==Γ====???+∞-+∞∞

--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x

（分部积分亦可）

第十一章 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理

一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2

)

3(X X Y -=的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为

Y 的概率分布为

2Y 的分布为

72.072.0128.00=?+?=EY 72.072.0128.002=?+?=EY

2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY

二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．

解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在

x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2

,2

[ππ-上的均匀分

布，其概率密度为

??

???-

?-∈=]2

,2[,0]

2,

2[,1

)(ππ

θπ

πθπ

θf ．

弦OB 的长为 ]2

,2[cos 2)(π

πθθ

θ-

∈=R L ，故所有弦的平均长度为

??-

∞

+∞

-?==22

cos 21

)()()]([π

π

θθπ

θθθθd R d L f L E

π

θπ

θθπ

π

π

R

R

d R

4sin 4cos 42020

=

=

=

?

．

三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为

?????≤>=-. 0,

0 ;

0 ,4

1)(4

x x e x f x

工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，

调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有

??

---

∞

--=-===<1

041

10

441

14

1)()1(e e dx e dx x f X P x x 进而有 4

1)1(1)1(-=<-=≥e

X P X P

设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为

从而有

64.33200300100)1(2004

14

14

1≈-?=?+-?-=-

-

-e

e e EY

答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．

四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2

σ．求这些随机

变量的算术平均值∑==n

i i X n X 1

1的数学期望与方差．

解：因为μ=)(i X E ，2

)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有

μμ=====∑∑∑∑====n

i n i i n

i i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，

n

n X D n X D n X n D X D n

i n

i i

n i i n i i 2

1

2

21

2

1

211

)(1

)(1)1()(σσ

=

====∑∑∑∑====．

五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下

车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．

解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中

?

??=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0

于是i X 的概率分布为

设∑==

n

i i

X

X 1

, 则X 表示沿途停车次数, 故有

]})10110(1[1)10110(0{10)(20

2010

1

10

1--?+-?===∑∑==i i i i EX X E EX

748.8)9.01(1020

≈-= 即停车次数的数学期望为748.8.

第十二章 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律

一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为

()()

. 1

,2

2

2++=

y x

A

y x f

求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．

解: (1) 由

??

+∞∞-+∞

∞

-=1),(dxdy y x f . 有

()

()

????

∞+∞-∞

+∞

-∞

+==+=++11

1

20

2

2

2

2

2

A dr r

r

d A dxdy y x

A

πθπ

解得, π

1

=

A .

(2) ()

01

1

),()(2

2

2

??

??

∞

+∞

-∞

+∞

-∞+∞-∞

+∞

-=++=

=

dx y x

x

dy dxdy y x xf X E π.

由对称性, 知 0)(=Y E .

?

?

+∞∞-+∞

∞

-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(2

2

2()

?

?

∞

+∞

-∞

+∞

-++=

dx y x

x dy 2

2

2

2

1

1

π

()

()+∞=++

+=+-+=+=

∞

+∞

+∞

+?

?

?

220

2

2220

2

2

3

]11)1ln([1)1(211

r

r dr r r

r r dr r

r d π

θπ

同理, 有 +∞=)(Y D .

)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=

??

+∞∞-+∞

∞

-=

dxdy y x xyf ),(

()

01

1

),(2

2

2

??

?

?

∞

+∞

-∞

+∞

-∞+∞-∞

+∞

-=++=

=dx y x

x

ydy dxdy y x xyf π.

二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为

???<<<=其它．

,0;

10,,1),(x x y y x f

求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？

解: (1) 因为 ?????====-∞+∞-∞+∞-102

103

22),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x

0),(10

===???

?-+∞∞-+∞

∞

-x

x

ydy dx dxdy y x yf EY

0),()(10

===????

-+∞∞-+∞

∞

-x

x

ydy xdx dxdy y x xyf XY E

所以有

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

概率论与数理统计期末试卷+答案

一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计习题及答案

习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 5.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;

（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间 隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5 9 ，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ，故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-

华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题

华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、

A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000

哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: