海伦公式及其证明方法

海伦公式及其证明方法海伦公式：

如图

在△ABC中，过A作高AD交BC于D

设BD = x，那么DC = a-x

由于AD是△ABD、△ACD的公共边

解出x得

于是

△ABC的面积

即

令

对被开方数分解因式，并整理得到

得证

高等数学极限计算方法总结

极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x

（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；

用法向量求二面角和证明两平面垂直

用法向量求二面角和证明两平面垂直 用法向量证明两平面垂直问题 要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量，证明这两个法向量相互垂直。 例1.如右图，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ， BD ∥CE ，且CE=CA=2BD ，M 是EA 的中点。 求证：（1）DE=DA ； （2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA ； 分析（3）：建立如图所示右手直角坐标系 ，不妨设CA=2， 则CE=2，BD=1，C （0，0，0），A （3，1，0），B （0，2，0），E （0，0，2），D （0，2，1），( ) 2,1,3-= EA ，()2,0,0=CE ，()1,2,0-=ED ， 分 别假设面CEA 与面DEA 的法向量是()1111,,z y x n =、()3222,,z y x n =，所以得 11111113203200x y z y x z z ??+-==???? ?==????，22222 2222 3203202x y z x y y z z y ??+-==?????-==???? 不妨取() 0,3,11-=n 、()2,1,32=n ，从而计算得02 1 =?n n ，所以两个法向量相互 垂直，两个平就相互垂直。 用法向量求二面角 如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n 与2n ，则平面α与β所成的角跟法向量1n 与 2n 所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。 例2、如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=a ，AD=3a ，sin ∠ADC= 5 5 ，且PA ⊥平面ABCD ，PA=a ，求二面角P-CD-A 的平面角的余弦值。 分析：依题意，先过C 点CE ⊥AD ，计算得ED=2a ，BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系，则P （0，0，a ）,D(0,3a,0)， C(a,a,0), () a a PD -=,3,0, () a a a PC -=,,, ()0,3,0a AD =,()0,,a a AC = 取平面ACD 的一个法向量()1,0,01=n ，设平面PCD 的法 z y x E A D B P C z y x M C B A E D

极限的计算、证明

极限的论证计算，其一般方法可归纳如下 1、 直接用定义()等δεε--,N 证明极限 例、试证明01 lim =∞→n n 证：要使ε<-01n ，只须ε 1 >n ，故 0>?ε，11 +?? ? ???=?εN ，N n >?，有ε<-01 n 2、 适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限 例、证明：0! lim =∞→n a n n ，0>a 证：已知0>a 是一个常数 ?∴正整数k ，使得k a ≤ ()ε 1!,01+???? ????=?>?∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0! n a n 3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例、求()() n n n n 264212531lim ??-??∞ → 解： ()()()()n n n n n 212264212753264212531?-??-??=??-?? ()()()()n n n n n n 41 125312642211253264?-????=?-??> ∴ ()()n n n 41 2642125312 >??? ? ????-??

两边开n 2次方： ()()121 21412642125311222→?=>??-??>n n n n n n n n 由两边夹：()() 1264212531lim =??-??∞ →n n n n 4、 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问 题 例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：p p n l S →()∞→n 证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n 记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n 再记n n l S α+=()n n l l l βα+=??? ? ? ?+=11，其中0→=l n n αβ()∞→n 则有()p n p p n l S β+=1。 若取定自然数p K >，则当1

(完整版)运用向量法证明几个数学公式

运用向量法证明几个数学 向量法是几何问题代数化的一种重要方法，运用向量法可以证明一些三角或者几何公式，下面仅举几例予以说明。 例1、用向量证明和差化积公式 cos cos 2cos cos 22αβ αβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22αβαβ αβ+-+= 如图，作单位圆，并任作两个向量 (cos ,sin )OP αα=u u u r ，(cos ,sin )OQ ββ=u u u r 取 ?PQ 的中点M ，则 (cos ,sin )2 2 M αβαβ ++ 连接PQ 、OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点，且ON PQ ⊥，∠Mo x 和∠MOQ 分别为,22αβαβ +-，所以||||cos cos 22 ON OM αβαβ --==u u u r u u u u r ，所以点N 的坐标为(||cos ,||sin ) 22 ON ON αβαβ ++u u u r u u u r ，即(cos cos ,cos sin )2222N αβαβαβαβ-+-+ 又11 ()(cos cos ,sin sin )22ON OP OQ αβαβ=+=++u u u r u u u r u u u r 所以(cos cos ,cos sin )2222αβαβαβαβ-+-+1 (cos cos ,sin sin )2 αβαβ=++ 即cos cos 2cos cos 22 αβαβ αβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ+-+= 在上面的基础上，还可以证明另外两个和差化积公式：

sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 2 2 αβ αβ αβ+--=- 如图，过P 点作y 轴的平行线，过Q 作x 轴的平行线相交于点F ，那么||sin sin PF αβ=-u u u r ，||cos cos FQ βα=-u u u r ， ∠ QPF ＝ ∠ QNE ＝ ∠ Mox ＝ 2 αβ +， ||2||2||sin 2sin 22 PQ NQ OQ αβαβ --===u u u r u u u r u u u r 所以||||cos ,||||sin PF PQ QPF FQ PQ QPF =∠=∠u u u r u u u r u u u r u u u r 即sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--= cos cos 2sin sin 22 αβαβ αβ+--=- 例2、用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式 如图，在直角坐标系中，已知12(,)OA a a a ==u u u r r ，12(,)OB b b b ==u u u r r ，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，那么平行四边形的面积1221||S a b a b =-，三角形OAB 的面积 12211 ||2 OAB S a b a b ?= - 证明：设,a b α<>=r r ，那么可以得出 ||||sin OACB S a b α=r r ，由于cos ||||a b a b α?=r r r r 所以222sin 1cos 1()|||| a b a b αα?=-=-r r r r 222222 1122122111221221222222222 222121212121212()2()1()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a a b b ++--=-==++++++ 所以sin α=

立体几何中的向量方法—证明平行和垂直

2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .

极限计算方法总结

极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5)13(lim 2=-→x x ；??? ≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。

海伦公式的推导和应用

海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注1：Metrica(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 —————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明（1）： 与海伦在他的着作Metrica(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ）：2证明（ 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国着名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上

§3.2 立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系

§3.2立体几何中的向量方法(二) ——空间向量与垂直关系 课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． 1．空间垂直关系的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直线面垂直面面垂直 设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?______ 设直线l的方向向量是a＝ (a1，b1，c1)，平面α的法向量 u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α? ________ 若平面α的法向量u＝(a1，b1 ， c1)，平面β的法向量为v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β? ________ 线线垂直线面垂直面面垂直 ①证明两直线的方向向量的数 量积为______． ①证明直线的方向向量与平面的法向 量是______． ①证明两 个平面的 法向量 _________ ___． ②证明两直线所成角为 ______. ②证明直线与平面内的相交直线 ________. ②证明二 面角的平 面角为 ________._ _______. 一、选择题 1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于() A．1B．2C．3D．4 2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是() A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形 3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥α C．l?αD．l与α斜交

4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．不能确定 5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．不确定 6. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系 是( ) A ．平行 B ．相交 C ．相交且垂直 D ．以上都不是 二、填空题 7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______. 8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中： ①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题 10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱 CC 1上的点，且CN ＝1 4 CC 1.求证：AB 1⊥MN . 11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.

用向量法证明海伦公式

用向量法证明海伦公式 杜云 （六盘水师范学院数学系；贵州六盘水553004） 摘要：从数与形的角度对向量进行再认识，通过应用向量方法证明海伦公式，更进一步阐明了向量是沟通代数与几何的天然桥梁，是一个重要的数学模型，它能为解决问题提供新的方法和视角。 关键词：向量；几何；海伦公式；数形结合 中图分类号：G421文献标识码：A 文章编号：1671-055X （2009）03-0063-03 To prove Heron's Formula with the Vector DU Yun (Mathematics Department of Liupanshui Nornal College;Liupanshui,553004,China) Abstract:Recognized the vector from algebra and geometry and by proving Heron's Formula further expounds ,If shows thar the vector is a natural bridge between algebra and geometry,and it is an important mathematics style,and also provides the new method and view to solve the problems. Key words :vector ；geometry;Heron's Formula;combination between algebra and geometry 收稿日期：2009-03-03 作者简介：杜云（1982-），男，贵州盘县人，助教，研究方向：高等代数与解析几何。 第21卷第3期 2009年6月六盘水师范高等专科学校学报Journal of Liupanshui Teachers College Vol.21NO.3June 2009 63--

梯度、散度和旋度

梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下： 从符号中可以获得这样的信息： ①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数； ②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下 的； ③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。 这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式 (1) 其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式： (2) ( 3) (4) 旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。 I.梯度的散度： 根据麦克斯韦方程有：

而 (5) 则电势的梯度的散度为 这是一个三维空间上的标量函数，常记作 (6) 称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义 所以有 当然，这只是一种记忆方式。 当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程 当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即 这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度：

极限计算方法总结(简洁版)

极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证 明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；???≥<=∞→时当不存在， 时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理 1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+ →1 )1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0)21(lim ，e x x x =+∞→3)3 1(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价

高中数学必修3海伦公式的证明方法

高中数学必修3海伦公式的证明方法 海伦公式的证明⑴ 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c 的对角分别为A、B、C，则余弦定理为[1] cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b- c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 海伦公式的证明⑵ 中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角

形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果 这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来 求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜 求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方， 送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”， 作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 当P=1时，△2=q, △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 因式分解得 △^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/4[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2] =1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得： S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c)

数学分析求极限的方法

求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x

海伦公式的证明(精选多篇)

经典合同 海伦公式的证明 姓名：XXX 日期：XX年X月X日

海伦公式的证明 与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = (a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2 +b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4* √[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+ b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式 =√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 第二篇：海伦公式的几种证明与推广 海伦公式的几种证明与推广 古镇高级中学付增德 高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重 要且优美的公式——海伦公式〔heron's formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得： s? (p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p? 12 (a?b?c)，称为半周长。 图1 第 2 页共 32 页

用向量方法证明直线垂直,求两直线夹角

3.2．2用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 学习目标： 1、进一步理解向量的坐标表示和坐标运算 2、能建立适应的空间直角坐标系并利用坐标方法求空间两个向量的夹角 3、利用向量的数量积解决与立体几何有关的问题 复习回顾 1、 向量数量积的运算及其性质？ 2、 向量夹角与线线夹角的联系与区别？ 3、 如何求向量的夹角？ 一、课前达标： 1、异面直线所成的角： 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示）， 则 .||||| |cos b a b a ??=θ 2、预习检测 （1）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证EF ⊥DA 1 . （2）如图，在正方体ABCDA ′B ′C ′D ′中，E `1 、F 1分别是A 1B `1、C 1D 1的四等分点，求BE 1与DF 1所成的角．

二、典例分析： 1、建立坐标系证明线线垂直，求夹角 例3 在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、BD 的中点，G 在CD 上，且CG ＝CD/4，H 为C 1G 的中点，⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值；⑶求FH 的长。 注意思考： （1） 如何建立坐标系、把已知条件转化为向量表示？ （2） 如何对已经表示出来的向量进行运算才可获得所需结论？ 巩固练习：练习A 1 练习B 1 2、选取基向量求解线线夹角：例4、（见课本100页） O -A B C ,O A =4,O B =5,O C =3; A O B =B O C = C O A =90,M ,N O A ,B C M N ,B C ∠∠∠三棱锥分别是中点，求直线所成角 注意：基向量的选取；如何用基向量来表示未知向量。 巩固练习：练习B 3 三：作业：如下图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.

高数-极限求解方法与技巧总结

第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。 说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。 例1设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。 解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥n x 有下界；下面证单 调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综 合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性

立体几何中的向量方法—证明平行和垂直

1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线，则 v

的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱 的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批

1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线