2018年考研数学三真题及解析

2018年考研数学三真题及答案

一、 选择题

1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()

().sin A f x x x = (

).B f x x =().?C f x cos x = (

).D f x =答案:() D 解析:方法一:

()()()

000sin 0lim

lim lim sin 0,x x x x x x f x f x x x

x A →→→-===可导 ()()(

)

0000lim

lim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导

()()()2

0001cos 102lim

lim lim 0,x x x x x f x f x x C x

→→→-

--===可导 ()()(

)

000102lim

lim x x x x f f x x

D x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:

因为()(1)0f f x ==

()(

)

0001

02lim lim x x x x f x f x x

→→→-

-==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D 对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()(

)3

2

:~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导.

2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()1

0,f x dx =?则

()()1'0,02A f x f ??

<<

???

当时 ()()1''0,02B f x f ??

<< ???当时 ()()1'0,02C f x f ??

><

???

当时 ()()1''0,02D f x f ??

>< ???

当时 答案()

D

【解析】

将函数()f x 在1

2

处展开可得

()()()()()2

22

1

110

00''1111',

22222''1111111''',

22222222f f x f f x x f f x dx f

f x x dx f f x dx ξξξ?????

???=+-+- ? ??? ?????????

?

????????????

?=+-+-=+-?? ? ??? ? ? ???????????????

?

??

??故当''()0f x >时,()10

11.0.

22f x dx f f ????

>< ? ??????从而有

选()D 。

3.设(

)

(2

22222

22

11,,11x x x

M dx N dx K dx x e π

π

π

π

ππ-

--++===+???,则 A .? .M N K >> B ..M K N >> C..K M N >> D..K N M >> 答案:() C

解析:()

2

222222

22

1211,11x x M dx dx dx x x π

π

π

π

ππ-

--+??

==+= ?++????? 221x x N dx e

π

π

-+=?,因为1x

e x >+所以11x x e +<

(

22

1,1 1.

K dx π

π-

=>?

即111x x

e +<<+

所以由定积分的比较性质 K M N >>,应选()C .

4.设某产品的成本函数()C Q 可导,其中Q 为产量,若产量为0Q 时平均成本最小,则()

A ()0'0C Q =

B ()()00'

C Q C Q =

C .()()000'C Q Q C Q =

D .()()

000'Q C Q C Q =

答案

D

【解析】平均成本()()()()()

2',C Q dC Q C Q Q C Q C Q Q dQ Q

-=

=,由于()C Q 在0

Q Q =处取最小值,可知

()00'0.Q C Q =故选(D).

5.下列矩阵中,与矩阵110011001??

?

? ???相似的为

111.011001A -?? ? ? ??? 101.011001B -??

? ? ??? 111.010001C -?? ? ? ??? 101.010001D -?? ? ? ???

答案:() A

解析:令110010001P -?? ?= ? ???则1

110010001P -??

?= ? ???

111011

111001

00110100010010011201101

10011010011001001001P AP ---??????

??

???= ?????

??????

?????-??????

?????= ????? ???????????

Q

∴选项为A

6.设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩,()XY 表示分块矩阵,则

()().?Ar A AB r A = ()().?B r ABA r A =

()()(){}.? ,C r AB max r A r B = ()().? T T D r AB r A B = 答案:()A

解析:易知选项C 错

对于选项B 举反例:取11001112A B ????== ? ?????1

则()001100,,331133BA A BA ????

== ? ?????

7. 设随机变量X 的概率密度()f x 满足

()()11+=-f x f x ，且()2

00.6=?f x dx ，

则{}0______<=P X ．

(A) 0.2； (B) 0.3； (C) 0.4； (D) 0.6． 解 由()()11+=-f x f x 知，概率密度()f x 关于1=x 对称，故

{}{}02<=>P X P X ，

且{}{}{}00221<+≤≤+>=P X P X P X ，由于{}()2

0020.6≤≤==?P X f x dx ，

所以{}200.4<=P X ，即{}00.2<=P X ，故选项A 正确．

8. 设()

12,,,n X X X K 为取自于总体()

2,X N μσ:的简单随机样本，令

∑==n

i i X n X 1

1

，1S =

2S =， 则下列选项正确的是______．

(A)

)()X t n S

μ-:；

(B) )()1X t n S

μ--:；

(C)

)()*

X t n S μ-:；

(D) )()*

1X t n S μ--:．

解

()

~0,1N ，)1(~)()1(221

2

2

2

--=

-∑=n X X

S n n

i i

χσσ，

与

2

2

(1)n S σ

-相互独立，由t 分布的定义，得

)~(1)

X t n S

μ-=-，

故选项B 正确． 二、 填空题

9.曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程为__。 答案43y x =-

【解析】函数()f x 的定义域为()23224

0,,'2,''2,'''y x y y x x x +∞=+=-=。

令''=0y ,解得x=1,而()'''10,y ≠故点(1,1)为曲线唯一的拐点。 曲线在该点处切线的斜率()'14,y =故切线方程为43y x =-。

10.arcsin __.x e =?

arcsin ,=tan x x x e C t t t C

e C

====??答案【解析】令t=e 则

原式

11.差分方程25?-=x x y y 的通解______. 【答案】

125

x x y c +=?-

()()2+1+2+1+1+2+1+2+1+1+111111==22=5,2525,2,-2=5,=-52x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y c y c c c c y c *+????-?=?-?-?-?=?-?+?-?-=-==?==?-【解析】由于，故原差分方程可化为即。

设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为其通解为。设原差方程的特解代入原方程得即。所以原差分方程的通解为5,c 为任意常数。

12.函数()x ?满足()()()()()20,x x x x x x x x ???ο+?-=?+??→且()02?=,则

()1__.?=

答案 ()12.e ?=

【解析】()()()()()()2,,'=2x x x x x x x x x ??ο???=?+?由可知可微且。 这是一个可分离变量微分方程,求得其通解为()2

;x x ce ?=再由()02

?=,可得

2

c =。

故

()()2

2,12x x e e ??==。

13.设A 为

3

阶矩阵,123,,ααα为线性无关的向量组,若

112322332322,A A A αααααααααα=++=+=-+，,可得

()()123123200,,,,111121A αααααα??

??=-??????

。

由于123,,ααα线性无关,故200111121A ??

??

-??????

:=B ，从而有相同的特征值。

因()()22

001

1

1

223,1

2

1

E B λλλλλλλ--=--=--+---

故A 的实特征值为2。

14.设随机事件,,A B C 相互独立，且

1()()()2

===

P A P B P C ， 则()______?=P AC A B ．

解 由条件概率以及事件相互独立性的定义，得

()()

()()()()()()()

()()()()11122.

111132222

??????=

?=+-?=

+-??

==+-?P AC A B P AC A B P A B P AC P A P B P AB P A P C P A P B P A P B 三、 解答题

15.已知实数,a b ,满足()1

lim 2,x

x ax b e x →+∞

??+-=????

求a,b 。

答案 1,1a b ==

【解析】()011

,lim 2,t t a bt e t x t

+

→+-=令 =可得 ()0000111lim lim lim lim t t t t

t t t t a bt e ae ae be b t

t

t

+

+

++

→→→→+---=+=+其中

可知0011

lim 2,lim ,1t t t t ae ae b a t t

++

→→--=-=而要使得存在必须有。 01,lim =1=2, 1.

,1,1t t ae b b t

a b +→--===此时有故综上。

16.设平面区域D 由曲线

y

=y =及y 轴围成。计算二重积

分

2

D

x dy ??。

答案)2.π-

【解析】

)

2

2

I dy x dx ==

(

)

30

2

2

24

0,

,sin ,cos sin 2288432

x

x dx x x t t tdt td t ππ=-===?=其中对于令可化为

而)340

112416x dx x π==-=-，综上。 17.将长为2m 的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.

【解析】设分成的三段分别为,,,x y z 则有2x y z ++=及x,y,z>0，

圆的面积为

222222

123222

1111=,=+416416112,+416S x S y S x y x y z x y πππ=

++=，正方形的面积为正三角形的面积为，总面积为S ，则问题转化为在条件x,y,z>0下,求函数

的最小值。令

()222

11++2,41636

x y z x y z λπ+++-L=

(

)

2

=02=0

8,=018=203,9

L x

x x L y y y L z z x L x y z λπλλλ

π??+=???=??

???+=?????

=?????

+=???=

??????

++-=???+则有解得唯一条件极值点为为最小值最小值为

18.已知()()2

1cos 211,.1n

n n n x a x x a x ∞

=-=-<<+∑求

答案 ()

()22

2112222,0,1,2,;n n a n n n ++=-+=+=L

()()()()()()()22212121212121,0,1,2,2!2!

n

n

n n n n

a n n n n n +--=+-+=-+=L 。

【解析】()1

-2

1+x 将cos2x 与展成幂级数可得

()

()

()()()()()

()()()2220

12

00

212cos 21,,

2!

2!

1

1'111,1111n

n n

n

n n n n n n n n n x x x x x n n x n x x x x ∞

∞

==∞

∞

+==-=-=-∞<<+∞????-

==-=-+-<< ???+??+??∑∑

∑∑

则

()

()22

2112222,0,1,2,;

n n a n n n ++=-+=+=L

()()()()()()()2221

212

1212121,0,1,2,2!

2!

n

n

n

n

n n

a n n n n n +--=

+-+=

-+=L 。

19.设数列{}n X 满足:()110,11,2,.n n x x

n x x e e n +>=-=L 证明{}n X 收敛,并求

lim .n n x →+∞

证明:①证明0n x >,易证

②再证{}n X 单减,由

()1

01,0,0

n n n x x x n n n e e e e

e x x x ξξ+--===∈-拉格朗日中值定理

{}1,lim n n

n n x x x x x ξ+→+∞

∴=<∴单减有下界由此得存在

③设lim ,1

A A n n x A Ae e →+∞

==-则

0A ?=

20.设实二次型()()()()222

1231232313,,,f x x x x x x x x x ax =-+++++其中a 是参数.

(1)求()123,,0f x x x =的解;

(2)求()123,,f x x x 的规范形.

解析:(1)()123,,0f x x x =而123231300,0

x x x x x x ax -+=??

+=??+=?

由

11110

201101110002A a a -???? ? ?=→ ? ?

? ?-????

得 当2a ≠时,()3,r A =只有零解1230.x x x === 当2a =时,()2,r A =方程有无穷多解, 通解为

12321,1x x x k k x -???? ? ?==- ? ? ? ?????

为任意常数.

(2)由(1)知,当2a ≠时A 可逆,

令1123

22333y x x x y x x y x =-+??=+??=?

,即Y AX =,则规范形为222123,f y y y =++ 当2a =时,()2,r A =

令1123

22333y x x x y x x y x =-+??=+??=?

,则()2

222

21212122132,22f y y y y y y y ??=+++=++ ???

令1

12223312z y y z z y ??=+????

??=??

?=???

,则得规范形为22

12.f z z =

21.已知a 是常数,且矩阵1213027a A a ?? ?= ? ?-??可经初等变换化为矩阵12011111a B ??

?

= ? ?-??

(1)求a ;

(2)求满足AP B =的可逆矩阵P . 解析:(1)A Q 经过初等列变换化为B

()()

121212130010127033000r A r B a a a A a a a a ∴=?????? ? ? ?=→-→- ? ? ?

? ? ?--??????

Q

()()22

121212011011011111013002r A r B a a a B a a ∴=∴=?????? ? ? ?=→→ ? ? ?

? ? ?-+-??????由得a=2.

(2)令()()1123123,,,,,P X X X B b b b ==

()()()()1123123123,,,,,,=1231

22122122

122130011012

111272111036

3331221221063

440121110121

110000000000

00i i AP A X X X AX AX AX b b b AX b i A B ===∴=????

?

?

=→----→ ? ? ? ?------?

???????

?

?----→---- ? ? ? ??

???

M M M

M M M M M M M M M M ，，

()

()

111111112222222233336363b =2121,106464b =2121,10646b =2110k AX X k k k k k AX X k k k k AX X k --+??????

? ? ?

∴=+-=- ? ? ? ? ? ?

??????

--+?????? ? ? ?

=+-=- ? ? ? ? ? ?

??????

--???? ? ?=+-= ? ? ? ?????的通解为为任意常数的通解为为任意常数的通解为()3333421,k k k k +?? ?

- ? ?

??为任意常数

12311231231231231123321

2

3

636464=212121(,,)

636464

=212121=k k k P k k k k k k k k k k k k P k k k k k k k k -+-+-+??

?∴--- ? ???-+-+-+----Q ，，其中为任意常数，

， 当

23

k k ≠时,

1

P 可逆,取可逆矩阵

123123123123636464=212121(,)k k k P k k k k k k k k k -+-+-+?? ?

---≠ ? ???

，，为任意常数，使得AP=B. 22. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为

{}{}

1

112

P X P X ===-=

， Y 服从参数为λ的泊松分布()P λ．令Z XY =，求（1）()

,Cov X Z ；（2）Z 的概率分布．

解 （1）由题意，知

()()1111022E X =?+-?=，()

()

2221111122

E X =?+-?=，

则()()()

221D X E X E X =-=，且()E Y

λ=．于是，由协方差计算公式，得

()

(

)

()()()()()()()

()()

22

2

,,.

Cov X Z Cov X X Y

E X Y E X E X Y

E X E Y E X E Y E Y D X ==-?=?-?=?

（2）随机变量Z XY =的取值为0,1,2,±±K ，则

{}

{}

{

}

{}{}

{}{

}

0001,01,0

101011,20!20!P Z P X Y P X Y P X

P Y P X P Y e e e λλ

λλλ---===-=+====-?=+=?==?+?=

{

}

{

}

{}{

}

1,11,2!

k P Z k P X Y k

P X

P Y k e k λλ-======?==?

同理，

{}

{

}

{

}{

}

1,11,2!

k P Z k P X Y k

P X P Y k e k λλ-=-==-===-?==?

其中，1,2,k =K ． 23 .总体X 的概率密度为

()

1,2x

f x e σ

σσ

-=，

（x -∞<<+∞） 其中()

0,σ∈∞为未知参数， ()

12,,,n X X X K 为取自于总体X 的简单随机样

本．记σ的最大似然估计量为μσ，求（1）μσ；（2）μ()μ()

,E D σ

σ． 解 （1）构造似然函数

()

()

111,11,

22n

i i

i n

i i x x n

n n i L f x e e σσσσ

σ

σ==--==∑==∏∏

方程两边取自然对数，得

()()

1

ln ln 2n

i

i x

L n σσσ

==--

∑，

求上述方程的驻点，得

()1

2

ln 0n

i

i x

d L n d σσ

σσ

==-+=∑，

即最大似然估计量为

μ1

n

i

i X

n

σ

==∑．

（2）由期望的公式，得

()()

0,12122x

x

E X

x f x dx

x e dx

x e dx σ

σ

σσ

σσ

+∞

-∞-+∞

-∞-+∞=?=?=?=?

??，

同理，

()()

2

222202

20

,1

21

2212,

x x

x

E X E X x f x dx x e dx x e dx

x e dx σσσσσσ

σσ

+∞-∞

-+∞-∞-+∞-+∞??==? ???

=?=?=?=???? 由方差的公式，得()

()

22

2D X

E X E X σ????=-= ??

???，则

μ()

()1

n

i

i X E E E X n σσ=?? ?

?=== ? ??

?

∑，

μ()

()2

11

n

i

i X D D D X n n n

σσ

=?? ? ?===

? ??

?

∑．