(精选)线性代数第五习题答案详解

第五章

n 维向量空间

习题一

1． 解：a-b = a+(-b)

= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T

= (1,0,-1)T

3a+2b-c = 3a+2b+(-c)

= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T

= (0,1,2)T

2． 解： 3(a 1-a)+2(a 2+a) = 5(a 3+a) 3a 1+2a 2+(-3+2)a = 5a 3+5a 3a 1+2a 2+(-a) = 5a 3+5a

3a 1+2a 2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 3 3a 1+2a 2+(-5)a 3 = 6a

61[3a 1+2a 2+(-5)a 3] = 616a

21a 1+31a 2+(-6

5

)a 3 = a

将a 1=(2,5,1,3)T

,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T

代入a =

21a 1+31a 2+(-6

5

)a 3 中可得： a=(1,2,3,4)T

.

3． (1) V 1是向量空间.由(0,0,…,0)∈V 1知V 1非空.设

a=(x 1,x 2,…,x n )∈V 1,b=(y 1,y 2,…,y n )∈V 1,则有x 1+x 2+…+x n =0，y 1+y 2+…+y n =0.因为 (x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x n +y n )= (x 1+x 2+…+x n )+( y 1+y 2+…+y n )=0

所以a+b=( x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )∈V 1.对于k ∈R ，有 kx 1+kx 2+…+kx n =k(x 1+x 2+…+x n )=0

所以ka=( kx 1,kx 2,…,kx n ) ∈V 1.因此V 1是向量空间.

(2) V 2不是向量空间.因为取a=(1, x 2,…,x n )∈V 2 ,b=(1, y 2,…,y n )∈V 2,但a+b=(2,

x 2+y 2,…,

x n +y n )?V 2.因此V 2不是向量空间.

习 题 二

1． 求向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式：

(1) 解：设向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3+k 4a 4

其中, k 1,k 2,k 3,k 4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T ,a 1=(1,1,1,1)T ,a 2=(1,1,1,0)T

,

a 3=(1,1,0,0)T ,a 4=(1,0,0,0)T

向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式中可得：

(0,2,0,-1)T =k 1(1,1,1,1)T +k 2(1,1,1,0)T +k 3(1,1,0,0)T +k 4(1,0,0,0)T

根据对分量相等可得下列线性方程组：

??????

?-====++++++1

201

213

214321k k k k k k k k k k

解此方程组可得：k 1=－1,k 2=1,k 3=2,k 4=－2.

因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－a 1+a 2+2a 3－2a 4 .

(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：

???????===-=+++++++++1

2

1332223

21

2

143214321k k k k k k k k k k k k k

由方程组中的第一和第二个方程易解得：k 2=4,于是依次可解得：k 1=-2,k 3=-9, k 4=2.

因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－2a 1+4a 2－9a 3+2a 4 .

2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a 1,a 2 ,a 3,a 4线性

相关.

(2) 解：()????? ??--→????? ??-→????? ??=40051011122051011133162111132

1

a a a

因为()332

1

=a a a R

所以a 1,a 2,a 3线性无关.

(3) 解：()????? ??-→????? ??--→????? ??-=0002101114201260111713144211

132

1

a a a

因为()3232

1

<=a a a R

所以a 1,a 2,a 3线性相关.

(4) 解：()????? ??--→????? ??---→????? ??---=50041011132041011121130111132

1

a a a

因为()332

1

=a a a R

所以a 1,a 2,a 3线性无关.

3. 证明：假设有常数k 1,k 2,k 3,使 k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3=0

又由于b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,于是可得 k 1a 1+k 2(a 1+a 2)+k 3(a 1+a 2+a 3)=0 即

(k 1+k 2+k 3)a 1+ (k 2+k 3)a 2+k 3a 3=0 因为a 1,a 2,a 3线性无关，所以有

?????==+=++000332321k k k k k k 解得???

??===0003

21k k k

因此向量组b 1,b 2,b 3线性无关.

4. 设存在常数k 1,k 2,k 3,k 4使

k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0

因为b 1=a 1+a 2,b 2= a 2+a 3,b 3=a 3+a 4,b 4= a 4+a 1 于是可得：

k 1 (a 1+a 2)+k 2(a 2+a 3)+k 3(a 3+a 4)+k 4(a 4+a 1)=0 整理得：

(k 1+k 4)a 1+ (k 2+k 1)a 2+(k 2+k 3)a 3+(k 3+k 4)a 4=0， （下用两种方法解）

法 一：因为a 1,a 2,a 3,a 4为同维向量，则 (1) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性无关时，

k 1+k 4=0， k 2+k 1=0，k 2+k 3=0，k 3+k 4=0

可解得：k 2=- k 1，k 4=- k 1，k 3=k 1

取k 1≠0可得不为0的常数k 1,k 2,k 3,k 4使

k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0 因此b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。

(2) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性相关时，k 1+k 4，k 2+k 1，k 2+k 3，k 3+k 4中至少存 在 一

个不为0，因此易知k 1,k 2,k 3,k 4不全为0，于是可得b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。 法二：因为a 1,a 2,a 3,a 4为任意向量，

所以当??????

?=+=+=+=+0

00

04

3322

141k k k k k k k k ，

而该方程组的系数矩阵对应的行列式

01

100011000111001=，所以有非零解

所以b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。

5. 证明：假使向量组b 1,b 2,…,b m 线性相关.即存在不全为0的常数k 1,k 2,…,k m ,使： k 1b 1+k 2b 2+…+k m b m =0 由题意不妨设 a 1=(a 11,a 12,…,a 1r ), a 2=(a 21,a 22,…,a 2r ), …………………, a m =(a m1,a m2,…,a mr )

则相应地， b 1=(a 11,a 12,…,a 1r ,a 1r+1,… a 1n ), b 2=(a 21,a 22,…,a 2r ,a 2r+1,… a 2n ), …………………,

b m =(a m1,a m2,…,a mr ,a mr+1,… a mn )

由k 1b 1+k 2b 2+…+k m b m =0可得：

k 1a 11+k 2a 21+…+k m a m1=0 k 1a 12+k 2a 22+…+k m a m2=0 …………………, k 1a 1r +k 2a 2r +…+k m a mr =0 k 1a 1r+1+k 2a 2r+1+…+k m a mr+1 =0 …………………, k 1a 1n +k 2a 2n +…+k m a mn =0 去前面r 个分量可得：

k 1(a 11,a 12,…,a 1r )+k 2(a 21,a 22,…,a 2r )+…+k m (a m1,a m2,…,a mr )=0 即

k 1a 1+k 2a 2+…+k m a m =0

由假设知k 1,k 2,…,k m 不全为0，因此a 1,a 2,…,a m 线性相关，此与a 1,a 2,…,a m 线性 无关相矛盾，结论得证.

习 题 三

1．

(1) 解：对矩阵进行初等行变换为

????????????482032251345394751325394754317

3125→????????????53105310321043173125→?

????

?

??????00002100321043173125 该矩阵的秩为3，矩阵的第1,2,3列是它的列向量组的一个极大无关组.

(2) 解：对矩阵进行初等行变换为

????????????--01111000111020

01→?

?

?????

?????---21

1

10001110200

1

→?

?

???

?

???

???---120010001110

20

01

该矩阵的秩为4，因此矩阵的第1,2,3,4列是它的列向量组的一个极大无关组.

2．(1) 解：以a 1,a 2,a 3为列作矩阵A ：

A=????????????------74316514

3

121→?

?

???

?

?

?????------10551

18994

001

→?

?

???

???????--00510094

0001 该矩阵的秩为2,它的一个极大无关组为a 1,a 2

(3) 解：以a 1,a 2,a 3为列作矩阵A=????

?

?????300021001 该矩阵为下三角矩阵，其0≠A ，因此该矩阵的秩为3,它的一个极大无关组为向量组本身.

(4) 解：以a 1,a 2,a 3,a 4,a 5为列作矩阵A,

??????

?

?

?---→??

?

??

?

?

??---→??????? ??------→???????

??---=00

000222001512012

2

1

1222000000015120

12

21

122200151201512012211140113130215

1

2012211A

矩阵A 的秩为3, 矩阵A 的第1,2,3列构成它的一个极大无关组，

3. 证明： （法 一）

设s a a a A ,,,:21Λ；t b b b B ,,,:21Λ ，且r B R A R ==)()( t s b b b a a a C ,,,,,,,:2121ΛΛ 向量组C 能被A 表示，而A 也能被C 表示

所以)()()(B R r A R C R === 取向量组

B 的极大无关组为：r i i i b b b ,,,21Λ，它也是向量组

C 的极大无关组

所以向量组C 能由向量组r i i i b b b ,,,21Λ线性表示，所以向量组C 能由向量组B 线性表示，所以向量组A 能由向量组B 线性表示，加上题设条件，所以向量组A 与向量组B 等价。 （法 二）

设向量组B 和A 的秩均为r,且设它们的一个极大无关组分别为 (b 1,b 2,…,b r ), (a 1,a 2,…,a r ).则由极大无关组的性质可知：一个向量组的所有向量都可由它的一个极大无关组的向量线性表示.因此要证明向量组A 与B 等价，只证明a 1,a 2,…,a r 可由b 1,b 2,…,b r 线性表示即可.

因为B 可由A 线性表示，不妨设 b 1=c 11a 1+c 12a 2+…+c 1r a r b 2=c 21a 1+c 22a 2+…+c 2r a r … … … … … … b r = c r1a 1+c r2a 2+…+c rr a r 不妨设存在常数k 1,k 2,…,k r 使 k 1b 1+k 2b 2+…+k r b r =0 于是可得：

(k 1c 11+k 2c 21+…+k r c r1)a 1+(k 1c 12+k 2c 22+…+k r b r2)a 2+…+(k 1c 1r +k 2c 2r +…+k r b rr )a r =0 由a 1,a 2,…,a r 线性无关可得： k 1c 11+k 2c 21+…+k r c r1=0 k 1c 12+k 2c 22+…+k r b r2=0

… … … … … … k 1c 1r +k 2c 2r +…+k r b rr =0

把k 1,k 2,…,k r 当作未知数，当k 1,k 2,…,k r 只有0解时，b 1,b 2,…,b r 线性无关.要

k 1,k 2,…,k r 只有0解，当且仅当ij c ≠0 (i=1,…,r,j=1,2,…,r),即

C=?????

????

???rr r r r r c c c c c c c c c Λ

ΛΛΛΛΛΛ21

22221

11211 即矩阵C 的秩为r,存在逆矩阵C -1.设C -1=

????????????''''''

'''rr

r

r

r r c c c c c c c c c ΛΛΛΛΛΛΛ2122221

1

12

11

又因为????????????r b b b M 2

1=C ????

????????r a a a M 21,则

C -1????????????r b b b M 21= C -1C ?????

???????r a a a M 21 即

?

?

??

?

?

??????r a a a M 21= C -1

????????????r b b b M 21

因此有：

a 1=11

c 'b 1+12c 'b 2+…+r c 1'b r a 2=21

c 'b 1+22c 'b 2+…+r c 2'b r … … … … … …

a r =1r

c 'b 1+2r c 'b 2+…+rr c 'b r 也即说明，a 1,a 2,…,a r 可由b 1,b 2,…,b r 线性表示，因此结论成立.

4. 证明：(1) 必要性. 若a 是任一n 维向量，由于n+1个n 维向量a 1,a 2,…,a n ,a 必线性

相关，而a 1,a 2,…,a n 线性无关，故a 必可由a 1,a 2,…,a n 线性表示. (2) 充分性.

因为任一n 维向量都能由a 1,a 2,…,a n 线性表示，则特别地n 维单位坐标向量e 1,e 2,

…,e n 都能由a 1,a 2,…,a n 线性表示,因此，a 1,a 2,…,a n 与e 1,e 2,…,e n 是等价的向量组，故

a 1,a 2,…,a n 的秩为n,即它们线性无关.

5. 证明：因为R 3

=L(e 1,e 2,e 3), e 1,e 2,e 3表示单位坐标向量，所以只须证明L(e 1,e 2,e 3)=

L(a 1,a 2,a 3).即证e 1,e 2,e 3与a 1,a 2,a 3等价.显然，a 1,a 2,a 3可由e 1,e 2,e 3线性表示，因而只须证明e 1,e 2,e 3可由a 1,a 2,a 3线性表示即可.

因为()321,,a a a ＝()321,,e e e ??????????011101110且0

11101110＝２

因此矩阵??????????011101110为可逆矩阵，其逆矩阵为???????

?????????---212

121212********* 即()321,,e e e ＝()321,,a a a ???????

?

????

????---212

12

1212121

2121

21

这说明e 1,e 2,e 3可由a 1,a 2,a 3线性表示，因此L(a 1,a 2,a 3) = R 3

.

6. 证明： （法 一）

???? ??--→???? ??-→???? ??-→??

?? ?

?=???? ??1110110111101101111000111101001121T T a a ???

?

??--→???? ??--→????

??---=???? ??11101101111022021110331221T T b b 因为???? ??T

T a a 2

1

与???

?

??T T b b 21有相同的行最简形矩阵，并且矩阵经过有限次初等行变换得到的新矩阵的行向量组与原来矩阵的行向量组等价，所以向量组T

T

a a 21,与向量T

T

b b 21,等价，即向量组a 1,a 2与向量组b 1,b 2等价。

（法 二）

(1) (`b 1,b 2)能由(a 1,a 2)线性表示.

设(`b 1,b 2)= (a 1,a 2)???

?

??42

31

k k k k 即 ?????????

???---11103

31

2=?????

???????11010011

??

?

???42

31k k k k 可解得：????

??4231k k k k =??

?

???--1311 这说明(`b 1,b 2)能由(a 1,a 2)线性表示.

(2) (a 1,a 2)能(`b 1,b 2)由线性表示.

由(1)可知：(b 1,b 2)= (a 1,a 2)?

?

?

?

??--1311 1

3

11--=-2≠0

也即是矩阵???

???--1311有可逆矩阵，可求得其逆矩阵为????

??

????212

32121 因此有(a 1,a 2)= (`b 1,b 2) ???

?

??????21232121

也即(a 1,a 2)能(`b 1,b 2)由线性表示. 由(1),(2)可知:L(a 1,a 2)=L(`b 1,b 2)

7. 解：设存在常数k 1,k 2, k 3使 k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3=0 即

??

?

??=+=++-=++0

230032323

21321k

k k k k k k k 可解得：k 1=k 2=k 3=0

因此a 1,a 2,a 3线性无关,即a 1,a 2,a 3为R 3

的一个基.

设向量b 1=l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3, b 2=l 4a 1+l 5a 2+l 6a 3.即(l 1,l 2,l 3)，(l 4,l 5,l 6)分别为b 1,b 2在基a 1,a 2,a 3下的坐标.也即是：

???

??=+=++-=++72305

32323

21321l

l l l l l l l 和 ??

?

??-=+-=

++--=++13

2389

32656

54654l l l l l l l l

可分别解得：???

??-===

132

3

2

1l l l 和 ???

??-=-==

2

336

5

4l l l 因而b 1,b 2在基a 1,a 2,a 3下的坐标分别为(2,3,-1)和 (3,-3,-2).

8. 解：V 的维数为n-1维，取V 中n-1个向量e 2=(0,1,0,…,0), e 3=(0, 0,1 ,…,0),…,

e n = (0,0,0,…,1).易证e 2,e 3,…,e n 线性无关.对任意x=(0,x 2,x 3,…,x n )有 x=x 2e 2+x 3e 3+…+x n e n ,因此，e 2,e 3,…,e n 为V 的一个基.

习 题 四

1．(1)解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下

??????????--211112211221→??????????----411332011001→??????????--431302011001→????

?

?????--434302010001 于是可得：

????

???

-===44432

13

4

334x x x x x x 取x 4＝1，可得线性方程组的一个基础解系为：

ξ=???????

?

??-134334

因此可得线性方程组的通解为：η=k ξ, k ∈R. (2) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下

??????????----5311111062531→??????????---001441002001→??

??

?

?????-001010002001

于是可得： ??

?=-=023

2

41x x x x

取???

? ?????? ??=?

???

??10,0142x x ，可得线性方程组的一个基础解系为： ξ1=,0012??????? ??- ξ2=???

???

? ??1001

因此可得线性方程组的通解为：η=k 1ξ1+k 2ξ2, k 1,k 2∈R. (3) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下

????????????-----7421631472135132→?

???????????-----19970341990141070742

1→???

???

????????----510016743001410707421 →??????

????????---73270005100141070742

1 因此该齐次线性方程组只有0解.

2. (1) 解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下

????????????-----69141328354214132→????????????-----147702814140147705421→?

?

???

?

??????--0000

0000211012

01

于是可得： ??

?+=

--=21

23331x x x x

其导出组的一个基础解系为：ξ=????? ??-112，非齐次线性方程组的一个特解为0η=???

?

?

??-133

因此非齐次线性方程组的通解为：η=0η+k ξ,k ∈R. (2) 非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下

??????????------112211121112→??????????------211112121211→??

????????---001332331

001→

????

??????--001011010001 因此有：??

?+==3

32

1

1x x x x

可得非齐次线性方程组的一个特解为：0η=???

?? ??112.其导出组的一个基础解系为：

ξ=???

?

? ??111.于是可得非齐次线性方程组的通解为：η=0η+k ξ,k ∈R. 3. 解：因齐次线性方程组的一个基础解系有两个解向量，所以它的系数矩阵的秩为4-2=2,

说明系数矩阵通过行变换，有两行可化为0向量.因此只求其前两行，后两行由前两行通过行变换得到. 设系数矩阵前两行的元素为a 11,a 12,a 13,a 14和a 21,a 22,a 23,a 24.由ξ1, ξ2是齐次线性

方程组的解向量可得： ??

?==++++0

0233213

1211141312a a a a a a (1)

可解得：??

?+-+-==)

2()2(331312131214

11

a a a a a a

取 a 12=3,a 13=0可有 a 11=-2,a 14=-1, 取 a 12=0,a 13=3可有 a 11=-1,a 14=-2.

由于a 21,a 22,a 23,a 24为未知数所建立的方程组与(1)一致，因此我们将上面的解向量一组

作为a 11,a 12,a 13,a 14的解，另一组作为a 21,a 22,a 23,a 24的解.于是可得一个齐次线性方程组

的系数矩阵为：??

???

??

??

???-------036

31331230

110

3

2. 因此，该齐次线性方程组为：

??????

?====+--+--+--+-0

003633323323

2143214

31421x x x x x x x x x x x x x .

4. 解：因非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，则它的导出组的自由未知量个数为1，其

基础解系只有一个解向量，不妨设为ξ.又设非齐次线性方程组的一个特解为0γ，则它的通解为：γ=0γ+k ξ,k ∈R. 因1η,2η是它的两个解向量,为方便之,不妨取k=1和k=－1则可得：

??

?-=+=ξ

γξγηη002

1

因此可解得0γ=21????????????9753，ξ=

21

????????????1111.于是可得通解为：γ=21????

????????9753+2k

????

?

?

??????1111,k ∈R.

5. 解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下

??????????----22211121112λλ→??????????-+----λλλλ222331332001→???

?

??????-++---2220310320012λλλλ 要方程组有解，其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.因此有2

λ+λ-2=0,可解得λ=-2或

λ=1.

(1) 当λ=-2时，其增广矩阵为??

??

?

?????--022*********，因此???++==2

2332

1x x x x ，相应地其导

出组的解为??

?==3

32

1

x x x x ，它的一个基础解系为ξ=(1,1,1)T

. 非齐次线性方程组的

一个特解为0γ=(3,3,1)T

.则非齐次线性方程组的通解为γ=0γ+k ξ,k ∈R. (2) 当λ=1时，同(1)类似可解得非齐次线性方程组的通解为γ=0γ+k ξ,k ∈R.

其中0γ=(2,1,1)T

, ξ=(1,1,1)T

.

6. 证明：设B=(b 1,b 2,…,b n ),由AB=0知Ab j =0(j=1,2,…,n),即向量组b 1,b 2,…,b n 是方程

组AX=0的解向量，从而它们可由Ax=0的基础解系线性表示.故b 1,b 2,…,b n 的秩不大于n-R(A) (基础解系所含解向量个数),也就是R(B)≤ n-R(A)，或R(B) +R(A)≤ n.

7. 8. 9. 10. 11.

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 12.

13.

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

线性代数典型例题

线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

大一线性代数期末试卷试题卷及标准答案解析.doc

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！ 线性代数期末考试试卷及答案 号 位 座 注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚； 线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )； 3．考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。 题号一二三四五总分 业得分 专 评卷人 ) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。 题 封 答1．设矩阵A为2 2矩 阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是 院 不 内 【】学 线 封 密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. －2n A. －2 D. 1 B. －2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓

C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是 【 】 A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有 【 】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是 【 】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系， 则下列向量组中也为该方程 组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组 B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组 C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1 D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ，则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解， 也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是 【 】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

北大版 线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

8线性代数练习题(带解题过程)

8线性代数练习题(带解题过程)

０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

１ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

同济大学线性代数第五版课后习题答案

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)

历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++2 21 12 1 c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关

2020线性代数试题(带解题过程)

线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设A 为3阶方阵且2=A ，则=-*-A A 231 ； 【分析】只要与*A 有关的题，首先要想到公式，E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里11*2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3)1(- ◆2． 设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如321,,ααα线性相关，则321,,βββ线性______(相关) 如321,,ααα线性无关，则321,,βββ线性______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ???? ??????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！ 你来做 下面的三个题： （1）已知向量组m ααα,,,21 （2≥m ）线性无关。设 111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m 试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性。（答案：m 为奇数时无关，偶数时相关） （2）已知321,,ααα线性无关，试问常数k m ,满足什么条件时，向量组 312312,,αααααα---m k 线性无关？线性相关？（答案：当1≠mk 时，无关；当1=mk 时，相关） （3）教材P103第2(6)题和P110例4和P113第4题 ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4，2)(=A r ，321,,ηηη是它的三个解，且

线性代数课后习题答案分析

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析 第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。 典型例题解析 例1 设均为3阶矩阵，且，则。 解：答案：72 因为，且

所以 例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。 解：答案：A 因为，所以A可进行。 关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。 关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 例3 已知 求。 分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。 解：因为 得。

例4 设矩阵 求。 解：方法一：伴随矩阵法 可逆。 且由 得伴随矩阵 则=

方法二：初等行变换法 注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。 例4 设矩阵 求的秩。 分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。 解： 。

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。