数集确界定理

单调有界

单调有界定理 2.4.3实数的连续性 实数集比有理集多了一个重要性质，这就是连续性. 正因为实数集具有连续性，所以在实数集上的极限运算才是封闭的，从而实数集就成为数学分析的立论基础。 定理2.4.3（单调有界定理）若数列{a n}单调增加且有上界，则数列{a n}收敛。 证明：我们不妨假设a n≥0，否则，存在某个有理数c>0，使a n′= a n+c≥0，从而由讨论数列{ a n}变为讨论数列{ a n′}。 由引理2.4.1知，数列{ a n}稳定于某个实数a＝，下面证明，a就 是数列{ a n}的极限。 ＞0，n0N，当n≥n0时，＜。由引理2.4.1知， 事实上， a n 0…，a n k…， 对于充分大的n0，当n＞n0时，有 a n＝， ︱a n-a︱=︱- ︱ ≤<， 即=a 推论4.1若数列｛a n｝单调减少（即a n≥a n+1），且有下界M（a n≥M），则数列｛a n｝收敛。 证明：令a n′＝-a n。由于a n≥a n+1且有下界M′，则可得a n′≥a n+1 ′且a n′≤M＝- M′，由 定理2.4.3知′＝a′。从而有= a = - a n′ 例1设a0＞0，b>0，a n＝（），n=1，2，…，证明数列｛a n｝收敛，并求其极限。 证明：不难看出，n N，有a n＞0，根据几何平均不超过算术平均，n N，有 a n＝（）≥（）＝b， 即数列｛a n｝有下界。 n N，有

a n+1-a n＝（）- a n＝（b-a n2）≤0， 即数列｛a n｝单调减少。 根据推论4.1，数列｛a n｝收敛，设＝a，由极限的单调性，有a≥>0。 对等式a n+1＝（）两端取极限得a=（a+），因a>0，得a=。 注4.4当b=2时，是无理数，例1表明：若a0是一有理数，则有理数列｛a n｝ 收敛于无理数。 求极限的方法小结 阮正顺 极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种： 一、利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。 例 1. 2. 二、利用两个重要极限 两个重要极限为：或使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。 例 1.

例 1 用单调有界定理证明区间套定理.

例 1 用单调有界定理证明区间套定理．即已知： 1 ）单调有界定理成立； 2 ）设为一区间套． 欲证：且惟一． [ 证] 证明思想：构造一个单调有界数列，使其极限即为所求的． 为此，可就近取数列（或）．由于 因此为递增数列，且有上界（例如）．由单调有界定理，存在，且 ． 又因，而，故 ； 且因递减，必使．这就证得． 最后，用反证法证明如此的惟一．事实上，倘若另有一个，则由 ， 导致与相矛盾．[ 证毕] 例 2 用区间套定理证明单调有界定理．即已知： 1 ）区间套定理成立． 2 ）设为一递增且有上界M的数列． 欲证：存在极限． [ 证]证明思想：设法构造一个区间套，使其公共点即为的极限． 为此令。记，并取 再记, 同理取 如此无限进行下去，得一区间套． 根据区间套定理，．下面用数列 极限定义证明： ，一方面，由于恒为的上界，因此

； 另一方面，由 ； 而由区间套的构造，任何不是的上界，故；再由为递增数列， 当时，必有．这样，当时，就有 , 即．[ 证毕] 例3 用确界定理证明区间套定理．即已知： 1 ）确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）； 2 ）设为一区间套． 欲证：存在惟一的点． [ 证] 证明思想：给出某一数集，有上界，使得的上确界即为所求的． 为此，取，其上界存在（例如）．由确界定理，存在． 首先，由为的一个上界，故．再由是的最小上 界，倘有某个，则不会是的上界，即，这与为区 间套相矛盾（）。所以任何．这就证得 ． 关于的惟一性，与例1中的证明相同．[ 证毕] 注本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚． 例4 证明连续函数的局部有界性——若处连续，则和 ，使得． [ 证]据在连续的定义，满足 ． 现取，相应存在，就有 ．[ 证毕] 注类似可证连续函数的其余局部性质，例如四则连续性质、局部保号性质等等．例5 证明上一致连续的充要条件是：上连续，且 存在． [ 证] 先证充分性：令

用单调有界原理证明确界存在定理

用单调有界原理证明确界存在定理 证明: 设E R ?是有上界的非空数集且M 是E 的上界，若max E 存在则s u p m a x E E =，现设max E 不存在，于是取0x E ∈，将区间0[,]x M 二等分，若右半区间包含E 的点，则取右半区间记作11[,]a b ，否则将左半区间记为11[,]a b ，于是11[,]a b 中含有E 的点，且1b 是E 的上界，如此下去得到闭区间[,]n n a b 中含有E 中的点n a 单调增加，n b 单调减少且 lim()0n n n b a →∞ -=. 数列{}n a 单调增加有上界，从而有极限ξ。于是lim n n b ξ→∞=， 而n b 是E 的上界lim n n b →∞是E 的上界，ξ∴是E 的上界, 0,N ε?>?当n N >时 n a ξε-<, 于是ξε-不是E 的上界sup E ξ∴= 证明：已知实数集A 非空。存在a 属于A,不妨设a 不是A 的上界，另外，知存在b 是A 的上界，记a1= a ，b1=b ，用a1 ，b1 的中点(a1+b1)/2 二等分[a1 ，b1 ]，如果(a1+b1)/2属于B ，则取a2 =a1 ，b2 =(a1+b1)/2 ；如果(a1+b1)/2属于A ，则取a2 =（a1+b1)/2 ，b2 =b1 ；……如此继续下去，便得两串数列 。其中{an}属于A 单调上升有上界（例如b1 ），{bn} 单调下降有下界（例如a1 ）并且bn -an= (b1-a1)/2 (n-->无穷） 。由单调有界定理，知存在 r ，使liman = r (n-->无穷）。由 lim （bn-an ）=0 有 liman+（bn-an ）= r (n-->无穷） 因为{bn}是A 的上界，所以对任意x 属于A ，有x<=bn （n=1，2，……）， 令n-->无穷 ，x<=lim(n-->无穷）bn = r 所以 r 是A 的上界。 而 任意c>0由lim(n-->无穷）an = r 知任意c>0知存在N ，当n>N 有r-c

数分第一章第六节单调数列与单调有界原理

第一章 实数和数列极限 第六节 单调有界原理与 闭区间套定理 我们知道，有界数列不一定收敛。我们就问，对有界数列再加上什么条件，就能使它收敛呢。 在本节中将要引入一类特殊 的数列—单调数列；单调有界的数列必有极限，对单调数列而言，有界性和收敛性是等价的。 一 、单调数列 的概念 定义 1.8 设}{n a 是一个数列。（1）如果数列}{n a 满足 1+≤n n a a ， ,2,1=n 则称此数列为递增数列；

（2）如果数列}{n a 满足 1+≥n n a a ， ,2,1=n 则称此数列为递减数列； （3）如果上面两个不等式都是严格的，即1+n n a a ）， ,2,1=n ， 则称此数列为严格递增的 （或严格递减的）。 （4）递增或递减的数列通称为单调数列 。 显然，递增的数列有下界， 递减的数列有上界。 显然，}{n a 是递增数列 等价于}{n a -是递减数列。 （递增数列与递减数列两者可以互相转换，所以只讨论一种就可以了。） 例如 （1）n a n 1211+++= ，*N n ∈，

}{n a 是递增数列； （2）121211-+++=n n a ， *N n ∈，}{n a 是递增数列， （3）! 1!211n s n +++= ，*N n ∈， }{n s 是递增数列 。 （4）}1{n 是递减数列， }{2n 是递增数列， }1 {+n n 是递增数列 （11)1(1+-+++n n n n 0)1](1)1[(1>+++=n n ）。 例 设21=x ，并定义 n n x x +=+21，*N n ∈ 则}{n x 是递增数列。 事实上 222+=x ，,,2223 ++=x 可以从中观察出来有 1321+<<<<

单调有界定理及其应用

本科生毕业论文（设计） 题目：单调有界定理及其应用 学生姓名： 学号： 专业班级： 指导教师： 完成时间： 2013年5月10日

目录 0 引言 (3) 1 单调有界定理的内容及其证明 (3) 2 单调有界定理的应用 (4) 2.1 定理在证明区间套定理中的应用 (4) 2.2 定理在证明柯西收敛准则中的应用 (5) 2.3定理在证明致密性定理中的应用 (6) 2.4定理在证明有限覆盖定理的应用 (6) 2.5定理在证明级数的敛散性的应用 (7) 3 总结 (12) 参考文献 (13) 致谢 (13)

【摘要】单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中应用广泛.本文浅淡单调有界定理在实数完备性中的应用，即运用单调有界定理证明实数完备性的几大定理.同时在数列的单调有界定理基础上，利用非负函数的单调性和积分性质，论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对方的敛散性，并推广应用之. 【关键词】单调有界,连续,收敛 ,可积. 【Abstarct】Monotone bounded theorem is an important theorem in the theory of limit which has extensive applications in mathematical analysis. In this article, we study its applications in the real number completeness. For example, we can make use of the theorem to prove some theorems about real number completeness. Furthermore, on the base of monotone bounded theorem of series , we prove that non-regular integral and positive series can be denoted as comparable object for each other in order to justify the other convergence by the monotonicity and integral of non-negative functions. 【Keywords】monotone bounded , continuous , convergence, integrable. 0.引言 在现行的《数学分析》教材中, 通常都把确界原理作为公理给出, 用来反映实数集的连续性(完备性).以此公理作为理论基础, 先证单调有界定理, 用以判别单调数列极限的存在性.至于判别更一般的数列极限是否存在, 就要引用柯西准则, 但柯西准则的充分性证明, 却要放到很后的位置, 作为较难的问题专门处理, 与此相关的判别函数极限存在的柯西准则, 以及在闭区间上连续的函数具有的各种性质的证明, 也就建立在这样一种不甚踏实的基础之上.因此，我们应该用的技能是一个多元关系的观点，自觉的开发技能，引导师范生开发技能. 1.单调有界定理的内容及其证明

单调有界定理求极限

一 刘丽 01211209 （徐州师范大学 数学系 徐州221116） 摘要 文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广,应用单调有界定理证明其极限的存在. 关键词 数列;极限;单调有界定理. 1 引言 求数列极限是数学中的一类基本问题,在考研中常见.求极限的方法很多,如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、柯西准则等.就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广,并加以证明.另外还讨论了一类与积分有关的数列的极限问题. 2 主要内容 本节主要针对考研的一些特殊类型数列通过观察、猜想对其进行一般化的推广,并加以证明. 例[] 11 (2002年全国硕士研究生入学考试数学二试题)设301<->x p x 且.由算术—几何平均不等式知 ()()2 2 1011112p x p x x p x x = -+≤ -= <, 假设2 0p x k ≤ <()1>k ,再次用算术—几何平均不等式知 ()()2 2 10p x p x x p x x k k k k k = -+≤ -= <, 由数学归纳法知,对任意正整数1>n 均有2 0p x n ≤ <,因而数列{}n x 有界.又当1>n 时, ()111≥-= -= -=+n n n n n n n n x p x x p x x p x x x , 故1+≤n n x x ()1>n ,即数列{}n x 单调递增.由数列的单调有界定理知n n x ∞ →lim 存在,设为a ,对 ()n n n x p x x -=+1两边同时取极限得:()a p a a -=,可解得2 p a = 或0=a （舍去）.故 2 lim p x n n = ∞ →.

函数形式的单调有界原理的证明

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/e315641132.html, 函数形式的单调有界原理的证明 作者：刘晓兰 来源：《课程教育研究》2018年第49期 【摘要】引入实数的连续归纳法，用它证明函数极限的单调有界原理，进而数列极限可以作为函数极限的特殊情形讨论。 【关键词】函数极限单调有界原理数学归纳法 【中图分类号】O171 【文献标识码】C 【文章编号】2095-3089（2018）49-0122-01 在微积分教材中，在介绍极限时，不管是在非数学专业的高等数学教材中还是数学专业的数学分析教材中，都是先介绍数列的极限，然后再介绍函数极限，本文引入张景中院士提出的关于实数理论的“连续归纳法”，证明函数极限的单调有界原理，这样数列形式的单调有界原理就可以作为其特例理解，从而教材可以把函数极限和数列极限调整顺序。 1.关于正整数的数学归纳法原理 第二数学归纳法：设有一个与自然数n有关的命题P（n），如果： （1）当n=1时，命题P（1）成立； （2）假设对任意自然数1≤n 2.关于实数的连续归纳法原理 定理1 设P（t）是涉及实数t的一个命题，满足： （1）存在区间[t0，t1），使P（t）在此区间上成立； （2）对任意区间[t0，s），P（t）在此区间上成立，可推出存在t2>s，P（t）在区间[t0，t2）上成立；P（t）则在[t0，+∞）上成立。 3.函数极限的单调有界定理 定理2（函数极限的单调有界定理） 设函数f（x）在[a，+∞）上单调有界，则极限 f（x）存在。 证明：不妨设f（x）是单调递减的，若 f（x）存在，由f（x）的递减性，可得？坌 x∈[a，+∞），必有f（x）≥ f（x），即 f（x）是f（x）的下界。