1第一章概率论基本概念
第一章 概率论基本概念
一、填空题
1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=?=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率
为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率
为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ?，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
18、设2
1)(,41)(,31)(===B A P B P A P ，则=)(B A P 。 19、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%。从中随机取一件，结果不是三等品，则为一等品的概率为
20、将n 个球随机地放入n 个盒子中，则至少有一个盒子空的概率为 。
二、选择题
1、设0)(=AB P ，则下列成立的是( )
① A 和B 不相容 ② A 和B 独立 ③ 0)(0)(==B orP A P ④ )()(A P B A P =-
2、设C B A ,,是三个两两不相容的事件，且a C P B P A P ===)()()(，则 a 的最大值为
(
)
① 1/2 ② 1 ③ 1/3 ④ 1/4
3、设A 和B 为2个随机事件，且有1)|(=AB C P ，则下列结论正确的是( ) ① 1)()()(-+≤B P A P C P ② 1)()()(-+≥B P A P C P
③ )()(AB P C P = ④ )()(B A P C P =
4、下列命题不成立的是 ( )
① B B A B A = ② B A B A =
③ (Φ=))(B A AB ④ A B B A ???
5、设B A ,为两个相互独立的事件，0)(,0)(>>B P A P ，则有 （ ）
①)(1)(B P A P -= ②=)|(B A P 0 ③)(1)|(A P B A P -= ④=)|(B A P )(B P
6、设B A ,为两个对立的事件，0)(,0)(>>B P A P ，则不成立的是 （ ） ①)(1)(B P A P -= ②=)|(B A P 0 ③)|(B A P ＝0 ④=)(AB P 1
7、设B A ,为事件，0)()()(>+=B P A P B A P ，则有 （ ）
① A 和B 不相容 ② A 和B 独立 ③ A 和B 相互对立 ④ )()(A P B A P =-
8、设B A ,为两个相互独立的事件，0)(,0)(>>B P A P ，则)(B A P 为（ ） ①)()(B P A P + ②)()(1B P A P - ③)()(1B P A P + ④)(1AB P -
9、设B A ,为两事件，且=)(A P 3.0，则当下面条件（ ）成立时，有7.0)(=B P ①A 与B 独立 ②A 与B 互不相容 ③A 与B 对立 ④A 不包含B
10、设B A ,为两事件，则))((B A B A 表示（ ）
①必然事件 ②不可能事件 ③A 与B 恰有一个发生 ④A 与B 不同时发生
11、每次试验失败的概率为)10(<
①)1(3p - ②3)1(p - ③31p - ④213)1(p p C -
12、10个球中有3个红球7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人一球，则最后三个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为（ ） ①)103(1
3C ②2)107)(103( ③21
3)107)(103(C ④3102713C C C
13、设8.0)|(,7.0)(,8.0)(===B A P B P A P ，则下列结论成立的是（ ）
①
A 与
B 独立 ② A 与B 互不相容 ③ A B ? ④
)()()(B P A P B A P += 14、设C B A ,,为三事件，正确的是（ ）
①
)(1)(AB P B A P -= ② 1)()()(+-=B P A P B A P ③ )(1)(C B A P ABC P -= ④ )()(A B P B A P =-
15、掷2颗骰子，记点数之和为3的概率为p ，则p 为（ ）
① 1/2 ② 1/4 ③ 1/18 ④ 1/36
16、已知B A ,两事件的概率都是1/2, 则下列结论成立的是（ ） ① 1)(=B A P ② 1)(=B A P ③ )()(AB P B A P = ④21)(=AB P
17、C B A ,,为相互独立事件，1)(0< ① B A 与C ② B A -与C ③ AB 与C ④AC 与C 18、对于两事件B A ,，与B B A = 不等价的是（ ） ① φ=B A ② φ=B A ③ B A ? ④ A B ? 19、对于概率不为零且互不相容的两事件B A ,，则下列结论正确的是（ ） ①A 与B 互不相容 ②A 与B 相容 ③)()()(B P A P AB P = ④)()(A P B A P =- 三、计算题 1、某工厂生产的一批产品共有100个，其中有5个次品。从中取30个进行检查，求次品数不多于1个的概率。 2、某人有5把形状近似的钥匙，其中有2把可以打开房门，每次抽取1把试开房门，求第三次才打开房门的概率。 3、某种灯泡使用1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000小时以后至多有1个坏的概率。 4、甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为45%，35%，20%。各机床加工的优质品率依次为85%，90%，88%，将加工的零件混在一起，从中随机抽取一件，求取得优质品的概率。若从中取1个进行检查，发现是优质品，问是由哪台机床加工的可能性最大。 6、某人买了C B A ,,三种不同的奖券各一张，已知各种奖券中奖的概率分别为02.0,01.0,03.0；并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖则此人一定赚钱，求此人赚钱的概率。 7、教师在出考题时，平时练习过的题目占60%，学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为95%，平时没有练习过的题目在考试时答对的概率为30%。求答对而平时没有练习过的概率 8、有两张电影票，3人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。 9、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。 10、一批产品的次品率为0.1，现任取3个产品，问3个产品中有几个次品的概率的可能性最大。 11、有5个除颜色外完全相同的球，其中三个白色，两个红色。从中任取两个，（1）求这两个球颜色相同的概率；（2）两球中至少有一红球的概率。 12、设B A,是两个事件，用文字表示下列事件：B A , A, , 。 A B AB B 13、从1~100这100个自然数中任取1个，求（1）取到奇数的概率；（2）取到的数能被3整除的概率；（3）取到的数能被6整除的偶数。 14、对次品率为5%的某箱灯泡进行检查，检查时，从中任取一个，如果是次品，就认为这箱灯泡不合格而拒绝接受，如果是合格品就再取一个进行检查，检查过的产品不放回，如此进行五次。如果5个灯泡都是合格品，则认为这箱灯泡合格而接受，已知每箱灯泡有100个，求这箱灯泡被接受的概率。 15、某人有5把形状近似的钥匙，其中只有1把能打开他办公室的门，如果他一把一把地用钥匙试着开门，试过的钥匙放在一边，求（1）他试了3次才能打开他办公室的门的概率；（2）他试了5次才能打开他办公室的门的概率 16、10个塑料球中有3个黑色，7个白色，今从中任取2个，求已知其中一个是黑色的条件下，另一个也是黑色的概率。 17、装有10个白球，5个黑球的罐中丢失一球，但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丢失的球是黑色球的概率。 18、设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球，42个白球。现从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求 （1）取到的球为黑色球的概率； （2）如果取到的球为黑色球，求它是取自Ⅰ号盒的概率。 19、三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中Ⅰ型的有4支，Ⅱ型的有5支，Ⅲ型的有6支；这三种型号的圆珠笔帽也放在一起，其中Ⅰ型的有5个，Ⅱ型的有7个， Ⅲ型的有8个。现在任意取一个笔杆和一个笔帽，求恰好能配套的概率。 20、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问：如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。 21、甲、乙、丙、丁4人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7, 求此密码能译出的概率是多少。 22、袋中10个白球，5个黄球，10个红球，从中取1个，已知不是白球，求是黄球的概率。 23、设每次试验事件A发生的概率相同，已知3次试验中A至少出现一次的概率为19/27，求事件A在一次试验中出现的概率。 24、甲、乙、丙3台机床独立工作，由1个人看管，某段时间甲、乙、丙3台机床不需看管的概率分别为0.9，0.8，0.85，求在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。 25、一批产品共有100件，对其进行检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件废品。如果在该批产品中有5%是废品，问该批产品被拒收的概率是多少。 26、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的个数的最大值为2的概率。 27、甲、乙2班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女同学15名，求碰到甲班同学时，正好碰到女同学的概率。 28、一幢10层的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客在第二层起离开电梯。假设每位乘客在哪一层离开是等可能的，求没有2位及2位以上乘客在同一层离开的概率。 29、某种动物由出生到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，问现在20岁的动物活到25岁的概率为多少？ 30、每门高射炮（每射一发）击中目标的概率为0.6，现有若干门高射炮同时发射 （每炮射一发），欲以99%以上的概率击中目标，问至少需要配置几门高射炮？ 31、电路由电池A与2个并联的电池B和C串联而成，设电池A，B，C损坏的概率分别为0.2 ，0.3，0.3，求电路发生间断的概率。 32、袋中10个白球，5个黄球，从中不放回地取3次，试求取出的球为同颜色的球的概率。 33、假设目标在射程之内的概率为0.7，这时射击的命中率为0.6，试求两次独立射击至少有一次击中的概率。 34、假设某地区位于甲乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某段时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3，求（1）该时期内这地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。 35、甲、乙、丙3人同向飞机射击。击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，如果有2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，如果有3人击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。 36、一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，求该射手3发子弹得到不小于29环的概率。 38、甲、乙2名乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，问采用哪种比赛制度对甲更有利。 39、有2500人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费12元。若在一年内死亡，则其家属可以从保险公司领取2000元。假设每人在一年内死亡的概率都是0.002，求保险公司获利不少于10000元的概率。 40、在12名学生中有8名优等生，从中任取9名，求有5名优等生的概率。 41、特色医院接待患者的比例为K型50%，L型30%，M型20%，对应治愈率为0.7，0.8，0.9，一患者已治愈，问他属于L型的概率？ 42、某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火 车迟到的概率为0.5、乘轮船迟到的概率为0.2、乘飞机不会迟到。问这个人迟到的概率；又如果他迟到，问他乘轮船的概率是多少？ 43、一对骰子抛掷25次，问出现双6和不出现双6的概率哪个大？ 44、一副扑克（52张），从中任取13张，求至少有一张“A ”的概率？ 45、据以往资料表明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律。孩子得病的概率为0.6，孩子得病下母亲得病的概率为 0.5，母亲及孩子得病下父亲得病的概率为0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。 46、某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随机地拨号。求他拨号不超过3次的概率；若已知最后一位数字为奇数，此概率是多少？ 47、某场战斗准备调甲、乙两部队参加，每支部队能按时赶到的概率为α，若只有一支部队参加战斗，则取胜的概率为0.4；若两部队参加战斗，则必胜；若两部队未能按时赶到则必败。欲达0.9以上的概率取胜，求α的最低值。 48、工人看管三台设备，在1小时内每台设备不需要看管的概率均为0.8，求 （1）三台设备均不需要看管的概率； （2）至少有一台设备需要看管的概率； （3）三台设备均需要看管的概率。 四、证明题 1、 假设我们掷两次骰子，并定义事件=A “第一次掷得偶数点”，=B “第二次掷得奇数点”，C =“两次都掷奇数点或偶数点”，证明A ，B ，C 两两独立，但A ，B ，C 不相互独立。 2、 设每次试验A 发生的概率)10(,< →n n A P Lim 3、设),(~p n b X ，证明)1(,p np DX np EX -== 4、证明，如果)()|(A P B A P >，则)()|(B P A B P > 5、当b B P a A P ==)(,)(时，证明：b b a B A P 1)|(-+≥ 6、证明：0)(>A P ，则) ()(1)|(A P B P A B P -≥ 7、设C B A ,,三事件相互独立，则AB B A , 与C 相互独立。 8、设A A i ?，3,2,1=i ，则2)()()()(321-++≥A P A P A P A P 9、已知21,A A 同时发生，则A 发生，证明1)()()(21-+≥A P A P A P 10、10个考签中有4个难签，3人依次抽签参加考试，证明3人抽到难签的概率相等。 11、设A ，B 为两事件，证明 )()()(AB P B P A B P -=- 12、证明如果A 与B 独立，则A 与B 独立、A 与B 独立、A 与B 独立 13、如果0)(>A P ，证明A 与B 独立的充分必要条件是)()|(B P A B P = 第一章 概率论的基本概念 一、填空题 1、BC A C B A C AB 2、0.2 3、361224C C C 4、32253.07.0??C 5、0.3 6、0.6 7、3/8 8、0.7 9、61768798109???? 10、1/3 11、B A - 12、0.2, 0 13、0 14、0.12 15、0.54 16、0.52 17、1 18、11/12 19、2/3 20、n n n ! 1- 二、选择题 1、④ 2、③ 3、② 4、② 5、③ 6、③ 7、④ 8、② 9、③ 10、③ 11、③ 12、④ 13、① 14、④ 15、③ 16、③ 17、④ 18、① 19、④ 三、计算题 1、30100154953095C C C C + 2、3 24253?? 3、21338.02.08.0??+C 4、)3,2,1(=i B i 分别表示甲、乙、丙生产的零件，A 表示优质品，用Bayes 公式求 )|(A B P i 分别为0.4319 , 0.3606 ,0.2014，故可认为是甲机器生产的零件 6、98.099.097.01)(??-=C B A P ＝0.058906 7、A ＝“答对”，B ＝“平时没练习过”，用Bayes 公式求)|(A B P ，答案为 12/69 8、2/3,2/3,2/3 9、=i A “第i 次取得电影票”，)|(21A A P ，答案为1/2 10、0 11、A =“两个均为红色”，B ＝“两个均为白色”，（1）)()(B P A P + （2）1－)(B P 25232522)(,)(C C B P C C A P == 12、（1）（3）至少有一个不发生，（2）（4） 两个都不发生 13、(1)1/2 (2)33/100 （3）16/100 14、=i A “第i 次取得合格品“，即求)(54321A A A A A P ＝96 9197929893999410095???? 15、=i A “第i 次打开门”，用乘法公式（1）)(321A A A P （2）)(54321A A A A A P 16、A =“有一个为黑色”，B ＝“另一个也为黑色”即求) ()()|(A P AB P A B P =答案为1/8 17、A =“丢失的为黑色”，B ＝“第二次的均为白色，用Bayes 公式求)|(B A P ，答案为，5/13 18、 (1)用全概率公式求77/225，（2）用Bayes 公式求105/154 19、用独立性，103/300 20、1/2 21、0.8992 22、5/15 23、1/3 24、0.059 25、51004951C C - 26、9/16 27、1/2 28、7799A 29、0.5 30、6 31、0.272 32、0.2857 33、0.6636 34、(1)0.27 (2)0.15 35、0.458 A 表示“飞机被击落”，=i B “击中飞机i 次”，全概率公式求)(A P 36、0.784 37、三局两胜制甲胜的概率0.648，五局三胜制甲胜的概,0.682 38、91258 C C 39、0.3117 40、4/9 41、A ＝“出现双6”，=B “不出现双 6”，)(1)(,3635)(2525B P A P B P -== 42、696.0113521348=-C C 43、用乘法公式18.0)(=C AB P 44、=i A “第i 次拨号接通”，则求)()()(321211A A A P A A P A P ++，答：3/10，3/5 45、210,,B B B 表示有0,1，2支部队按时赶到，A 表示“取胜”，先求)(i B P ，用全概率公式表示)(A P ，用9.0)(>A P ，解α915.0≥ 46、（1）0.512 （2）0.488 （3）0.08 第一章 概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。 7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立？举例说明。 8. 设 31)(=A P ，21 )(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ?， （3） 81 )(=AB P . 9. 已知 41)()()(===C P B P A P ，161 )()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求： （1）（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； 概率论与数理统计总复习 第一章 概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算 互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。 对立事件：A B =ΩU 且AB =Φ 即A B B ==Ω- 差事件：A B - 即 A 发生但B 不发生的事件 切记： ()A B AB A AB A B B -==-=-U 2. 概率的性质 单 调 性 ： 若 B A ?，则 )()()(A P B P A B P -=- 加法定理：)()()() (AB P B P A P B A P -+=Y )()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=Y Y )()()(ABC P CA P BC P +-- 例1 设 ,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ??=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。 解：()()()P A C P A P AC -=- ()()P A P C =- （AC C =Q ） 故 ()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-= 由此 ()()()P AB C P AB P ABC -= - ()()P AB P C =- （ABC C =Q ） 0.50.30.2=-= 注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质 计算。 3. 条件概率与三个重要公式 乘法公式 全概率公式 1()()(/)n i i i P A P B P A B ==∑ 贝叶斯公式（求事后概率） 例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。 解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2), B ——第3次摸出两个新球 ∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中 故 ; )/()()(A B P A P AB P =()(/) (/)() i i i P B P A B P B A P A = 2 ()()(|) k k k P B P A P B A ==∑201102 244224012222 666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002 334242012222 666631 (|)(|)(|)151515 C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======4 ()0.16 25 P B == 第一章 概率论的基本概念 一、随机事件其运算 1．随机试验、样本点和样本空间 (1)随机试验 随机试验具有如下特点的试验． 1、在相同的条件下，试验可以重复进行． 2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不止一个． 3、每一次试验出现那一个结果事先不能确定． (2)样本点和样本空间 随机试验的每一个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的一个样本点，记为ω． 随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为． Ω2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件 在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情称为该试验的随机事件，记为A ,B 等． 随机试验的随机事件可以表示为它的一些样本点组成的集合．在一次试验中，若试验结果是随机事件A 中的一个样本点，则称在一次试验中事件A 发生． 只包含一个样本点的事件称为基本事件． 在任何一次试验中都发生的事件，称为必然事件，它就是Ω所表示的事件，因而用Ω表示必然事件． 在任何一次试验中都不发生的事件，称为不可能事件，它就是由φ所表示的事件，因而用φ表示不可能事件． 3．事件之间的关系和运算 (1)包含关系 设A ,B 为二事件，若A 发生必导致B 发生，则称事件A 包含于事件B ，或事件B 包含事件A ，记为B A ?．B A ??A ∈?ω必有B ∈ω，见图1—1． (2)相等关系 设A ,B 为二事件，若B A ?并且A B ?，则称A 与B 相等，记为B A =，见图1—2． (3)事件的并 设A ,B 为二事件， 称事件“A ,B 至少一个发生(A 发生或B 发生)”为A ,B 的并(或和)，记为．B A ∪B A ∪}|{B A ∈∈=ωωω或．见图1—3． (4)事件的交 设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 同时发生(A 发生且B 发生)”为A ,B 的交(或积)．记为或B A ∩AB ．AB }|{B A ∈∈=ωωω且．见图1—4． (5)事件的差 设A ,B 为二事件， 称事件“A 发生且B 不发生”为A 减去B 的差，记为B A ?．B A ? }|{B A ?∈=ωωω且．见图1—5． (6)互不相容关系 第一章概率论的基本概念 教学内容： 1.随机试验 2.样本空间、随机事件 3.频率与概率 4.等可能概率（古典概率） 5.条件概率 6.独立性 教学目标： 1.了解样本空间、随机事件的概念, 理解事件之间的关系与运算； 2.了解频率、统计频率以及主观概率的定义，掌握古典概率, 几何概率的计算方法，理解概率的公理化定义。掌握概率的性质并且会应用性质进行概率计算； 3.理解条件概率的概念, 掌握条件概率公式，乘法公式，全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式并会用这些公式进行概率计算阵； 4.理解事件独立性的概念, 掌握贝努里概型并会应用它进行概 率计算. 教学重点： 事件之间的关系与运算、古典概率、几何概率、概率的公理化定义与概率的性质、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式和事件的独立性。 教学难点：全概率公式和贝叶斯公式及其应用。教学方法：讲授法、演示法、练习法。 教学手段：多媒体+板书。 课时安排：10课时。 教学过程： §1.1 随机实验 一、概率论的诞生及应用 1654年, 法国一个名叫梅累的骑士(一个上流社会的赌徒兼业余哲学家)就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(c a<), 另一赌徒胜b局(c b<)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕 斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念——数学期望. 概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎 遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程 中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等. 二、随机现象 1.确定性现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象，称为确定性现象。 如：太阳不会从西边升起、水从高处流向低处等。 2.统计规律性 在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观 察之前不能预知确切的结果，但人们经过长期实践并深入研究之后，发现在大量 重复试验或观察下，他的结果却呈现处某种规律性.这种在大量重复试验或观察 中所呈现出来来的固有规律性，称为统计规律性。 3.随机现象 这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果有具有 统计规律性的现象称为随机现象。 简言即：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象. 如：在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反结果，有可能出现正面也可 能出现反面；抛掷一枚骰子，观察出现的点数，结果有可能为: 1、2、3、4、5、6等 注：1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系, 其数量关系无法用 函数加以描述； 第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=? 11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?. 第一章概率论的基本概念 一、重点、难点概要复述 随机事件的定义及事件间的关系；概率的定义及性质；常见的三大概率模型：古典概型，几何概型，贝努利概型；条件概率与三大公式：乘法公式，全概公式，贝叶斯公式；事件的独立性。 1.设事件表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则表示_________________. 2.设为事件，则都发生可表示为___________________；发生但与不发生可表示为_______________；中不多于一个发生可表示为 ________________. 3．设为随机事件，则。 A．B． C．D． 4. 设为随机事件，则。 A． B． C． D． 5.设事件满足，则 _______. 6.将20本书随机放入书架，则指定的某3本书挨在一起的概率是 ____________. 7.向半径为的圆内随机抛一质点，则质点落入圆内接正方形区域的概率为__________. 8.将一枚骰子连续抛掷100次，则事件“出现1点或6点”至少发生2次的概率为_______. 9. 一批灯泡共100只，其中10只为次品。做不放回抽取，每次取1只，则第3 次才取到正品的概率为___________. 10. 三个箱子，第一个箱子有4个黑球、1个白球，第二个箱子有3个黑球、3个白球，第三个箱子有3个黑球、5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中任取一个球，则这个球为白球的概率为 ___________。若已知取得的球为白球，则此球属于第二个箱子的概率 为__________. 二、常见问题及解法 (一) 随机事件的表示： 1．随机事件的表示：设为随机事件，则 i）同时发生可表示为； ii）至少有一个发生可表示为； iii）发生但不发生可表示为 （二）随机事件概率的求法 1．利用加法公式： 2. 应用乘法公式：，其中. ，其中。 注：若，则由乘法公式可得 从而，也即与可以相互转换。又因 ； 故，可相互转换。 3. 在古典概型中求事件的概率： 4. 在几何概型中求事件概率： 5. 在贝努利概型中求事件的概率：在重貝努利试验中，事件每次发生的 概率为，则事件 恰发生次的概率为：，。 6. 利用全概公式与逆概公式求概率：设是完备事件组，，是任一个事 件，则 （i）全概公式: （ii）逆概公式：，其中。 （三）事件独立性的判断 1. 根据实际问题直观判断 2. 根据定义来判断或证明：事件相互独立当且仅当。 三、拓展练习 1.设事件满足求 2.设事件满足，已知，求。 3．设事件满足，，， 求至少有一个发生的概率为。 4. 设事件满足 则有 （A） （B） （C） （D） 5. 设事件满足则 第一章概率论的基本概念 第一节随机事件、频率与概率 一、教学目的： 1.通过本节起始课序言简介,使学生初步了解概率论简史、特色，从 而引导学生了解本课程概况及学习本课程的思想方法 2.通过本次课教学，使学生理解随机事件概念、频率与概率的概念， 了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件的关系和运算，掌握 概率的基本性质及其运算 二、教学重点：概率的概念 三、教学难点：事件关系的分析与运算 四、教学内容： 1.序言：⑴简史⑵学法 2.§1.随机试验: ⑴实例⑵确定性现象⑶随机现象 3.§2.样本空间、随机事件: ⑴样本空间⑵随机事件⑶事件关系 与运算 4.§3. 频率与概率⑴频率定义、性质⑵概率定义、性质 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第二节古典概型、条件概率 一、教学目的： 通过本节教学使学生了解古典概型的定义，理解条件概率的概念，并能够解决一些古典概型、条件概率的有关实际问题． 二、教学重点：古典概率、条件概率计算 三、教学难点：古典概型与条件概率分析与建模 四、教学内容： 1.§４.古典概型 2.§５.条件概率（一） 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第三节乘法公式、全概率公式、Bayes公式、独立性 一、教学目的： 1.通过本节教学使学生在理解条件概率概念的基础上,掌握乘法公 式、全概率公式、Bayes公式以及能够运用这些公式进行概率计算。 2.理解事件独立性概念，掌握用独立性概念进行计算． 二、教学重点： 1.乘法公式及其使用 2.独立性概念及其应用 三、教学难点：应用公式分析与建模 四、教学内容： １.§５.条件概率（二、三）２.§６.独立性 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第四节习题课 一、教学目的： 通过本习题课教学使学生全面系统对概率论的基本概念进一步深化，同时熟练掌握本章习题类型，从而提高学生的分析问题与解决问题的能力． 二、教学重点： 1.知识内容系统化 2.几类问题解决方法 三、教学难点：实际问题转化为相应的数学模型 四、教学内容： 1.本章知识内容体系归纳 2.习题类型： ⑴古典概型计算 ⑵事件关系与运算 ⑶条件概率计算 ⑷乘法公式、全概率公式、Bayes公式使用与计算． ⑸独立性问题的计算 五、讲练习题 第二章随机变量及其分布 第一节随机变量、离散型随机变量的概率分布 一、教学目的： 通过本节教学使学生理解随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布及其性质，掌握二项分布、泊松分布，并会计算有关事件的概率及其分布． 第1章 概率论的基本概念 §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。 A B L R C D 1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。 第1章作业答案 §1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性 P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D) 424222p p p p p -=-+= 2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第2章 随机变量及其分布 §2.2 10-分布和泊松分布 1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求 (1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率； 2 设随机变量X 有分布律： X 2 3 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6 （1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。 §2.3 贝努里分布 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？ §2.6 均匀分布和指数分布 2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。 §2.7 正态分布 1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(2 第一章 随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则 （ ） A ．()P A B =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P AB P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立 A ．()()()P A B P A P B = B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（ ） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ） A ．()A B B A -= B ．()A B B A -? C ．()A B B A -? D ．()A B B A -= 8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件 经典习题—古典概率部分 1、设,A B 为随机事件，且0(),()()()1P A P B P A P B <<+≤。 ⑴．若,A B 相互独立，则()()(),()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P A P B ==+-U ； ⑵．若,A B 互斥，则()0,()()()P AB P A B P A P B ==+U ； ⑶．若已知(),()P A P B ，则{}()()1()min (),()P A P B P AB P A P B +-≤≤； ⑷．若已知(),(),()P A P B A P A B ，则 ()() ()()()()(),()() P A P B A P AB P A P B A P B P A B P B P A B ===， []()() ()()()1()() P A P B A P B A P B P AB P A B P A B -=-= -， []()()()()1()P A B P A P AB P A P B A -=-=-， []() ()()()1()() P A P A B P A P B A P B A P A B =+-= +U 。 ■ 2、设,A B 为随机事件，且0(),()1P A P B <<，证明: ⑴.若()()P B A P B A =，则,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()P B A P B ≥。 证明:由于0(),()1P A P B <<，故 ⑴.若()()P B A P B A =，则 ()()()() ()()()()1() P AB P AB P B P AB P B A P B A P A P A P A -====-， 故()()()P AB P A P B =，即,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()()()()P AB P B P A B P A P B =≥，故 ()()() ()()()() P AB P A P B P B A P B P A P A = ≥=。 ■ 3、设()()1P A P B +=，则()()P AB P AB =。 证明:()()1()1()()()()P AB P A B P A B P A P B P AB P AB ==-=--+=U U 。 4、进行n 次独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率都是()0P A α=>，若A 发生k 次，则B 发生的概率为,0,1,...,k k n β=，求B 发生的概率。 解: 用k A 表示在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次，则()(1)k k n k k n P A C αα-=-，故 概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.随机现象在一定条件下具有多个可能的结果，个别几次观察中结果呈现出随机性（不确定性），在大量重复观察中结果又呈现出固有的客观规律性的自然现象称为随机现象. 随机现象的三大特点： （1）在一定条件下具有多个可能的结果，所有可能的结果已知； （2）在一次观察中，结果呈现出随机性，不能确定哪一个结果将会出现； （3）在大量的重复观察（相同条件下的观察）中，结果的出现又呈现出固有的客观规律性. 2.随机试验具有以下几个特点的实验称为随机实验，常用E 来表示 1）可以在相同的条件下重复进行； 2）试验的结果不止一个，并且能事先明确试验所有可能的结果； 3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 注：随机试验即可在相同条件下重复进行的针对随机现象的试验. 1.2 样本空间与随机事件 1. 样本空间与随机事件的概念 1) 样本空间 随机试验E的所有可能结果E的样本空间，记为S. 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点. 样本空间依据样本点数可分为以下三类 （1）有限样本空间：样本空间中样本点数是有限的； （2）无限可列样本空间：样本空间中具有可列无穷多个样本点； （3）无限不可列样本空间：样本空间中具有不可列无穷多个样本点. 2) 随机事件一般，称随机试验E的样本空间S的任何一个子集为E的随机事件，简称为事件. 在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生. 注：（1）：随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生； （2）：由一个样本点构成的单点集，称为基本事件； （3）：样本空间S是必然事件，空集 是不可能事件，它们两个发生与否不具有随机性，为了方便将它们两个也称为随机事件。 经典习题—古典概率部分 1、设,A B 为随机事件，且0(),()()()1P A P B P A P B <<+≤。 ⑴．若,A B 相互独立，则()()(),()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P A P B ==+-； ⑵．若,A B 互斥，则()0,()()()P AB P A B P A P B ==+； ⑶．若已知(),()P A P B ，则{}()()1()min (),()P A P B P AB P A P B +-≤≤； ⑷．若已知(),(),()P A P B A P A B ，则 ()() ()()()()(),()() P A P B A P AB P A P B A P B P A B P B P A B ===， []()() ()()()1()() P A P B A P B A P B P AB P A B P A B -=-= -， []()()()()1()P A B P A P AB P A P B A -=-=-， []() ()()()1()() P A P A B P A P B A P B A P A B =+-= +。 ■ , 2、设,A B 为随机事件，且0(),()1P A P B <<，证明: ⑴.若()()P B A P B A =，则,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()P B A P B ≥。 证明:由于0(),()1P A P B <<，故 ⑴.若()()P B A P B A =，则 ()()()() ()()()()1() P AB P AB P B P AB P B A P B A P A P A P A -====-， 故()()()P AB P A P B =，即,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()()()()P AB P B P A B P A P B =≥，故 ()()() ()()()() P AB P A P B P B A P B P A P A = ≥=。 ■ 3、设()()1P A P B +=，则()()P AB P AB =。 证明:()()1()1()()()()P AB P A B P A B P A P B P AB P AB ==-=--+=。 ; 4、进行n 次独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率都是()0P A α=>，若A 发生k 次，则B 发生的概率为,0,1,...,k k n β=，求B 发生的概率。 解: 用k A 表示在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次，则()(1)k k n k k n P A C αα-=-，故 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 《概率论与数理统计》作业解答 第一章 概率论的基本概念习题（P24-28） 1. 写出下列随机试验的样本空间S ： (1) 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）. (2) 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. (3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品，就停止检查，或检查了4件产品就停止检查. 记录检查的结果. (4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 分析 要写出随机试验的样本空间，就要明确所有的样本点，即随机试验时直接产生的所有可能的结果. 解 (1) 我们考察一个班数学考试平均分的所有可能. 为此，我们先明确平均分的计算：全班的总分除以班级学生数. 设该班有n 个学生，则全班总分的所有可能为0到100n 的所有整数i . 其平均分为i n . 故，所求样本空间为：:1,2,,100i S i n n ??==??????? . (2) 由已知，生产的件数至少为10（刚开始生产的10件均为正品），此后，可以取大于等于10的所有整数. 故所求样本空间为：{}10,11,12,S =???. (3) 若记0＝“检查的产品为次品”，1＝“检查的产品正品”，0，1从左到右按检查的顺序排列，则所求样本空间为： (5) 所求样本空间为：{} 22(,):1S x y x y =+< 2. 设,,A B C 为三个事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 发生，B 与C 不发生. (2) A 与B 都发生，而C 不发生. 第一章概率论的基本概念 §概率的定义 一、概率的性质 （1）1 P. ≤A ) ( 0≤ （2）0 ) P，1 φ (= P. S ) (= （3）()()()() P A B P A P B P AB. ?=+- （4）) A P- =. P (A ( 1 ) （5）) P A B B A = P P- -.特别地，若A = ( ) ( ) ( P (AB ) A B?，-，) = P- ( ) B P A P≥. (A ( B ( ) ) ) P A P (B 例设,A B为随机事件, ()0.4,()0.3 P A B ?= P A P B A，则()_____. =-= 解：,3.0 A P B B P()()()()0.7 P A B P A P B P AB ?=+-= P -AB ( ) ( ) (= = - ) § 条件概率 一、 条件概率 定义 设B A ,是两个事件，且0)(>A P ，称)|(A B P = ) () (A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。 二、全概率公式 全概率公式：12,,,n A A A 为样本空间S 的一个事件组，且满足： （1）12,, ,n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12?? ?=n A A A S . 则对S 中的任意一个事件B 都有 ) ()()()()()()(2211n n A B P A P A B P A P A B P A P B P +++= 例设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为20 1 ,151,101，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率 解 以1A 、2A 、3A 表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以B 表示事件“取得的产品为正品”，于是： ;20 19 )|(,1514)|(,109)|(,0102)(,103)(,105)(321321====== A B P A B P A B P A P A P A P 按全概率公式 ，有： 112233()(|)()(|)()(|)() =++P B P B A P A P B A P A P B A P A 92.010 2 20191031514105109=?+?+?= 三、 贝叶斯公式 设B 是样本空间S 的一个事件，12,,,n A A A 为S 的一个事件组， 且满足：（1）12,, ,n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12?? ?=n A A A S . 则 ) ()()()()()()() ()|(11n n k k k k A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P ++= = 这个公式称为贝叶斯公式。 例：有甲乙两个袋子，甲袋中有4个白球，5个红球，乙袋中有4个白球，4个红球．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球， 第一章随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A、B、C是三个事件，与事件A互斥的事件是：（） A．AB AC +B．() + A B C C．ABC D．A B C ++ 2．设B A ?则（） A．() =1-P（A）B．()()() P A B -=- P B A P B A C．P(B|A) = P(B) D．(|)() P A B P A = 3．设A、B是两个事件，P（A）> 0，P（B）> 0,当下面的条件（）成立时，A与B一定独立 A．()()() = B．P（A|B）=0 P A B P A P B C．P（A|B）= P（B）D．P（A|B）= () P A 4．设P（A）= a，P（B）= b, P（A+B）= c, 则() P A B为：（）A．a-b B．c-b C．a(1-b) D．b-a 5．设事件A与B的概率大于零，且A与B为对立事件，则不成立的是（）A．A与B互不相容B．A与B相互独立 C．A与B互不独立D．A与B互不相容 6．设A与B为两个事件，P（A）≠P（B）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（）A．P（A|B）=1 B．P(B|A)=1 C．(|A)1 p B= p B=D．(A|)1 7．设A、B为任意两个事件，则下列关系式成立的是（）A．() -? A B B A -= A B B A B．() C．() A B B A -= D．() A B B A -? 8．设事件A与B互不相容，则有（） A．P（AB）=p（A）P（B）B．P（AB）=0 C．A与B互不相容D．A+B是必然事件 9．设事件A 与B 独立，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （AB ）=0 D ．P （A+B ）=1 10．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （A|B ）=P （A ） D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ） 11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ） A ．A 与 B 互斥 B ．AB 是不可能事件 C ．P （A ）=0或P （B ）=0 D ．AB 未必是不可能事件 12．若事件A 、B 满足A B ?，则 （ ） A ．A 与 B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生 C ．B 发生时则A 必发生 D ．A 不发生则B 总不发生 13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ） A ． ()()P B P AB - B ．()()()P A P B P AB -+ C ．()()P A P AB - D ．()()()P A P B P AB -- 14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示 （ ） A ．A 、 B 、 C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个 C ．A 、B 、C 至多发生两个 D ．A 、B 、C 至多发生一个 15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 相互对立 D ．A 与B 互不独立 16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则P A B C -= （）（ ）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.3 17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ） A ．1/2 B ．1/3 C ．1/4 D ．3/4 18．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率 为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ） A ．121p p -- B ．121p p - C ．12121p p p p --+ D ．122p p -- 19．每次试验的成功率为)10(< 概率统计（1） 附“标准正态分布函数值”：(2.0)0.9772, (3.08)0.999, (0.5)0.6915Φ=Φ=Φ= 一．填空题：(共 8小题，每小题 3分，共24 分) 1．设()0.5,()0.7P B P A B == ，则()P A B = . 2. 已知随机变量X 服从正态分布N （1，2），F(x )为其分布函数，则)(x F '= . 3 若随机变量X 的概率密度为2 4 ()x X p x -= ，则2()E X = . 4设随机变量X 概率密度为2100 , 100()0, 100x p x x x ?>? =??≤? ，以Y 表示对X 的四次独立重复 观察中事件{X ≤200}出现的次数，则P{Y=2}= . 5.若二维随机变量（X,Y ）在区域{(,)/01,01}D x y x y =<<<<内服从均匀分布，则 1()2 P X Y X ≥ >= . 6．若随机变量X 与Y 相互独立，且()()1,9,2,4X N Y N 服从正态分布服从正态分布，则2X Y -服从________分布. 7．设随机变量X 与Y 相互独立且均服从二项分布B(10, 0.2), 则由切贝雪夫不等式有{2}P X Y -≤( ) 8. 设~(0,4)X N ,~(1,5)Y N ，且X 与Y 相互独立，则Z X Y =-的分布函数()z F z =（ ）。 。 二．选择题：(共 小6题，每小题 2分，共12 分) 1．若当事件A 与B 同时发生时，事件C 一定发生，则（ ）. ()()()() 1 ()()()()1()()() ()()() a P C P A P B b P C P A P B c P C P AB d P C P A B ≤+-≥+-== 2． 设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1与X 2的分布函数，为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ） (a ) 5 2,53- == b a (b) 3 2,3 2= = b a (c) 2 3,2 1= - =b a (d) 2 3,2 1-== b a 3．设随机变量X 服从正态分布2 (,)N μσ，则随着σ的增大，概率() P X μσ-< 概率论与数理统计重要数学概念英汉对照 Chapter 2 Sample Space：样本空间 Random event: 随机事件 Simple event:; 基本事件 Independent : 独立 Dependent: 不独立 Mutually exclusive or disjoint : 互斥，互不相容 Axiom: 公理 Union: 并 Intersection: 交 Complement: 补 The law of Total Probability: 全概率公式 Bayes’ Theorem: 贝叶斯原理 Chapter 3 Discrete random variable (rv) : 离散型随机变量 Continuous random variable : 连续型随机变量 Probability distribution : 概率分布 Parameter: 参数 Family of probability distribution: 分布族 Probability mass function (pmf): 概率质量函数 Cumulative distribution function (cdf) : 累积分布函数（分布函数）Step function: 阶梯函数 Expected value: 期望 Variance: 方差 Standard deviation: 标准差 Binomial distribution: 二项分布 Hypergeometric distribution: 超几何分布 Negative binomial distribution: 负二项分布 Geometric distribution: 几何分布 Poisson distribution: 泊松分布 Chapter 4 Probability density function(pdf): 概率密度函数 Uniform distribution: 均匀分布 Percentile of a continuous distribution: 连续型分布的百分位数Normal distribution: 正态分布 Probability Plots: 概率图 Sample percentiles: 样本百分位数 Chapter 5 Joint probability mass function: 联合概率（质量）函数第一章 概率论的基本概念练习题
概率论与数理统计总复习 公式概念定理
第一章 概率论的基本概念
第1章 概率论的基本概念
第一章 概率论的基本概念习题答案
第一章 概率论的基本概念重点和难点
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概率论的基本概念经典习题-1
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西财期末概率论1(有答案)
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