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小学奥数几何(燕尾模型)教学提纲

燕尾定理：

在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么，

::ABO ACO S S BD DC ??=

E D

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题证明燕尾定理：

如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==

S 3

S 1S 4S 2E

【解析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；

三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；

三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；

综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==.

例题精讲

燕尾定理

【例 1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在

BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．

D C

3332

1F E D

C B

【解析】方法一：连接CF ，

根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE

S EC

==△△,

设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标

所以55

1212

DCEF ABC S S ==△

方法二：连接DE ，由题目条件可得到11

33ABD ABC S S ==△△，

1121

2233

ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以

11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111

22323212DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，

而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于5

．

【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积

【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步

判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，

所以1103ABE ABC S S ==△△，1

152

ABD ABC S S ==△△．

根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD

S CD

==△△,

所以1

7.54

ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，

所以阴影部分面积是30107.512.5--=．

(法二)连接DE ，由题目条件可得到1

103

ABE ABC S S ==△△，

112

10223

BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以

11ABE BDE S AF FD S ==△△，

111111

2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，

而21

1032

CDE ABC S S =??=△△．所以阴影部分的面积为12.5．

【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，

AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．

D C

C D

F F

【解析】连接CF ，

根据燕尾定理，

2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36

510

ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =?=+△份，3

10623

CDF S =?=+△份，

所以24545

200(6910)(

6)8(6)93(cm )88

DCFE S =÷++?+=?+=

【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △

面积的几分之几？

E D

13.5

4.59

1121

O E D C

【解析】连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部

分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59

,,,30306030103020

+===

【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1

CQ CA =，BQ 与AP 相交于

点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于．

C X

【解析】方法一：连接PQ ．

由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =V V ，11

BPQ BCQ ABC S S S ==V V V ．

由蝴蝶定理知，21

:::4:136

ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===V V V V ，

所以44122

6 2.455255

ABX ABP ABC ABC S S S S ==?==?=V V V V ．

方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++?=△

【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分

的面积各是多少?

E F

621

【解析】连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以

121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242

217

FDCE S +==

【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC

的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积．

A B

E F

A B

F 2.41.62A B

C D

E F 12

【解析】连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，

ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，2

4 1.623

AEF S =?=+△ 份,3

4 2.423

EFC S =?=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份所以222 4.4945(cm )ABC

S =÷?=△

【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影

部分)的面积为多少？

【解析】连接BN ．

ABC △的面积为3223?÷=

根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△；

同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△

设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224?=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷?=．

【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少

平方厘米

y B C

D E

E D C

B A

【解析】设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示55

1212

BCD S S =

=△阴影平方厘米.

【例 2】如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边

形BODC 的面积为________．

E D

O F E D

B A

【解析】连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,

则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==?=.

【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形

AGCD 的面积是_________平方厘米．

E D

E D C

【解析】连接AC 、GB ，

设1AGC S =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则11126S =

++?=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷?=

【例 4】如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的

面积是_____平方厘米．

【解析】连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，

因此122)210S =

++?=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以7

12010146

BFHG S =÷?=(平方厘米).

【例 5】如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．

E D C B

E D

B A

【解析】连接CD ．

由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△，根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．

【巩固】在ABC ?中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？

A B

E O

【解析】连接OC ．

因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ??==，即3

AOB AOC S S ??=；又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ??=．则334

2223AOB AOC AOE AOE S S S S ????==?=，所以::2:1AOB AOE

OB OE S S ??==．

【巩固】在ABC ?中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？

A B C

E O

【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积

比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ．连接OC ．

A B C

E O

因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ??==，即2AOB AOC S S ??=；又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ??=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ????==?=，所以::8:1AOB AOE OB OE S S ??==．

【例 6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且

13AE AB =，1

4CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ?与CGF ?的

面积之和为．

H B

【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，

所以1

AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，

所以12231

1033942AEG ABF ABCD S S S ??=??=??=X ．

且22313342EG HF EC EC ==?=，故CG GE =，则1

152

CGF AEG S S ??=??=．

所以两三角形面积之和为10515+=．

(法2)如上右图，连接AC 、BG ．

根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ??==，::2:1BCG ACG S S BE AE ??==，

而1

602

ABC ABCD S S ?==X ，

所以3321ABG S ?=++，160302ABC S ?=?=，2321BCG S ?=++，1

60203ABC S ?=?=，

则1103AEG ABG S S ??==，1

CFG BCG S S ??==，

所以两个三角形的面积之和为15．

【例 7】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．

O F E

【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△

【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .

O F E

【解析】根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△

【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =

F E

【解析】根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG

S S ==△△,所以

:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .

O F E

【解析】根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△

（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△

【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果

能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，

且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．

I H

C B

I H

G F

【分析】连接AH 、BI 、CG ．

由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =

，故22

ABE ABC S S ??==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ??==，::3:2BCG ABG S S CE EA ??==，所以

::4:6:9ACG ABG BCG S S S ???=，则419ACG S ?=，9

BCG S ?=；

那么2248

551995

AGE AGC S S ??==?=；

同样分析可得9

ACH S ?=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ??==，::4:19ACG ACB EG EB S S ??==，所以

::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，

所以5521101055BIE BAE S S ??==?=，5511

1919519GHI BIE S S ??==?=．

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形

ABC 的面积．

H G F

【解析】连接BG ，AGC S △=6份

根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△

得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此6

19AGC ABC S S =△△,

同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,6

BIC ABC S S =△△, 所以

196661

1919

GHI ABC S S ---==

△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ?1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜ b ，那么有: (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 1 1 +=?+?=?+ （2）a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2 2 2 2 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31 )1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(41 )1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(31 )2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41 )3)(2)(1(41 )2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和： 1)1(1 (541) 431 321 211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证：111 1)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)-精选.

E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设 8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =， 6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲 E D C B A A B C D E 甲乙【解析】连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．

小学奥数知识点及公式总汇必背

小学奥数知识点及公式总汇（必背）1．和差倍问题 2 2．年龄问题的三个基本特征： 3．归一问题的基本特点： 4．植树问题 5．鸡兔同笼问题 6．盈亏问题 3 7．牛吃草问题 8．周期循环与数表规律 9．平均数 10．抽屉原理 4 11．定义新运算 12．数列求和 13．二进制及其应用 5 14．加法乘法原理和几何计数 15．质数与合数 6 16．约数与倍数 17．数的整除7 18．余数及其应用 19．余数、同余与周期 20．分数与百分数的应用8 21．分数大小的比较9 22．分数拆分 23．完全平方数 24．比和比例10 25．综合行程 26．工程问题 27．逻辑推理11 28．几何面积 29．立体图形 30．时钟问题—快慢表问题12 31．时钟问题—钟面追及 32．浓度与配比 33．经济问题13 33．经济问题 34．简单方程 35．不定方程 36．循环小数14 1．和差倍问题

2 ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??）【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

小学奥数所有公式

简学风教育小学奥数公式和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数和倍问题的公式和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题的公式差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题的公式 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数盈亏问题的公式 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数相遇问题的公式相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题的公式追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间流水问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 浓度问题的公式

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量利润与折扣问题的公式利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 1 每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3 速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4 单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5 工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6 加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7 被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8 因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长

小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

34个小学奥数核心知识点

34个小学奥数必掌握知识点 1、和差倍问题：和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式①(和－差)÷2 =较小数较小数＋差= 较大数和－较小数= 较大数 ②(和＋差)÷2 =较大数较大数－差= 较小数和－较大数= 较小数和÷(倍数＋1) =小数小数×倍数= 大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数

2、年龄问题基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3、归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4、植树问题：基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数棵数=段数－1 棵距×段棵数=段数棵距×段数=总长

=总长数=总长关键确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系问题 5、鸡兔同笼问题：基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。

小学奥数-几何五大模型

模型四相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例 1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4 10814 FC =?=+．【例 2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？【解析】有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。【例 3】如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。【解析】根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=， 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数常用公式

§1等差数列公式： 1、末项=首项+（项数-1）×公差ａn=ａ1+(ｎ－1) ×ｄ 2、项数=（末项-首项）÷公差+1 ｎ=(ａn－ａ1) ÷ｄ+1 3、中项定理：和=中间数×项数 S =中间数×ｎ（仅奇数列可用）注意：连续的奇数（或偶数）肯定是等差数列，公差一定是2. 平方差公式：ａ2－ｂ2=(ａ＋ｂ) ×(ａ－ｂ) (ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)=ａ2－ｂ2 §2统筹与最优化时间统筹：单列和多列排队排序：快的在前，慢的在后（注意：每列不同位置的等待人数）。过河问题（画图）快去快回，慢者结伴（5人以下常用，7人以上可尝试）。地点统筹： 1、点无大小奇数点选中间点，偶数点选中间段。 2、点有大小（一段法）轻往重移，小往大移 §3整除特征：四大金刚：变形金刚： 2×5=100.2×5=1 4×25=1004×2.5=10 8×125=10008×1.25=10 16×625=10000 ㈠末尾系： 1、末1位： 2、5 2、末2位：4、25 3、末3位：8、125 ㈡和系： 1、数字和（弃9 法）：3、9 2、两位一截求和：3 3、99（重点）㈢差系：11 奇数位数字和－偶数位数字和㈣截位系（三位一截） 7、11、13 奇段和－偶段和。㈤试除法（适用于末尾未知）二部曲1、用最大数试；99 2、检验。综合就用： ⑴拆数（拆成学过的数） ⑵先考虑末尾系，再考虑其它。 §4加乘原理： 1、加法原理：分类相加（类类独立） 2、乘法原理：分步相乘，步步相关。常规题型： 1、排数字： ⑴注意有无重复； ⑵特殊位置优先处理； ⑶“0”的出现 ①0不能放在首位 ②0和偶数同时出现必分类 2、插旗子：按顺序分类讨论。染色问题： 1、排序：从邻圈最多开始排； 2、染色：颜色数量。 §5流水行船： 1、基本公式：①V顺=V船+V水 ②V 逆 =V 船－V 水 ③V 船 =（V 顺＋V 逆）÷2 ④V 水 =（V 顺－V 逆）÷2 静水速度=船速V 静 = V 船顺水速度=船速＋水速V 顺 =V 船 +V 水逆水速度=船速－水速V 逆 =V 船－ V 水相遇追击：相遇：S 和 =Ｖ和 ×ｔ相遇追击：S 差 =Ｖ差 ×ｔ追击水面上：速度和、速度差与水速无关。搬到陆地上做。

小学奥数公式大全

目录计算板块 (2) 计数板块 (5) 数论板块 (7) 应用题板块 (11) 几何板块 (15) 行程板块 (21)

计算板块 1、加法交换律：a b b a +=+，b c a c b a ++=++ 2、加法结合律：()()c b a c b a ++=++ 3、乘法交换律：a b b a ?=?，b c a c b a ??=?? 4、乘法结合律：()()c b a c b a ??=?? 5、乘法分配律：()c a b a c b a ?+?=+? 6、“除法分配律”：()c b c a c b a ÷+÷=÷+ 7、减法性质：()c b a c b a +-=-- 8、除法性质：()c b a c b a ?÷=÷÷ 9、商不变性质：()()()()n b n a m b m a b a ?÷?=÷÷÷=÷，()0,0≠≠n m 10、积不变性质：()()m b m a b a ÷??=?，()0≠m 11、等差数列相关：项数()n ，公差()d ，首项()1a ，第n 项()n a ，前n 项和()n S ，通项公式：()d n a a n ?-+=11， ()d m n a a m n ?-+=，项数公式：()11+÷-=d a a n n ，若q p n m +=+，q p n m a a a a +=+ 求和公式：()21÷?+=n a a S n n ，中项定理，奇数项等差数列：n a S n n ?=+2 1 从1开始连续自然数求和： ()2 121+= +++n n n 从1开始连续奇数求和：()2 1231n n =-+++ 从2开始连续偶数求和：()1242+=+++n n n 12、多位数乘法： ( ) 110999 -?=?n n M M 个当 9 99个n M ≤时，积的数字和为n 9 13、()2 2 2 2b ab a b a ++=+，()2 2 2 2b ab a b a +-=-

小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵ :AG GC ？A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ，那么6BGC S ；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC ．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型

【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3，且2AO ，3DO ，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ．解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵1 3 ABD BCD S S ，∴1 3AH CG ，∴13AOD DOC S S ，∴13AO CO ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ．【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是162 8，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862，根据蝴蝶定理， ::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ，那么1 1 2 21233 GCE CEF S S ．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

小升初奥数必备的34个公式大全

小升初奥数必备的34个公式大全现在的奥数在孩子们小升初择名校中起着越来越大的作用，小编总结了小升初中常考的34个奥数知识点，分享给大家。 34个小学奥数必考公式 1、和差倍问题：和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式①2=较小数较小数+差=较大数和-较小数=较大数 ②2=较大数较大数-差=较小数和-较大数=较小数和=小数小数倍数=大数和-小数=大数差=小数小数倍数=大数小数+差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数

2、年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3、归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个单一量，题目一般用照这样的速度等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4、植树问题：基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数+1 棵距段数=总长棵数=段数-1 棵距段数=总长棵数=段数棵距段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5、鸡兔同笼问题：基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路： ①假设，即假设某种现象存在： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数= ②把所有兔子假设成鸡：兔数= 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6、盈亏问题：基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。基本题型：

奥数34个常用公式

. 34个小学奥数必考公式 1、和差倍问题：和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用围已知两个数的和，差，倍数关系公式①(和-差)÷2=较小数较小数+差=较大数和-较小数=较大数 ②(和+差)÷2=较大数较大数-差=较小数和-较大数=较小数和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数和-小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数+差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数 2、年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3、归一问题的基本特点：专业资料． . 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4、植树问题：基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数+1 棵距×段数=总长棵数=段数-1 棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5、鸡兔同笼问题：基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路： ①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享

小学奥数-几何五大模型(等高模型)

两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、 BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4 3 倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。【例 3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326?÷=(平方厘米)。 C D B A

小学奥数常见公式

小学奥数常见公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

1、鸡兔同笼问题鸡数＝(兔脚数×总头数－总脚数) ÷(兔脚数－鸡脚数) 兔数＝(总脚数－鸡脚数×总头数) ÷(兔脚数－鸡脚数) 2、流水问题：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 3、火车问题：基本数量关系是火车速度×时间=车长+桥长 1）超车问题（同向运动，追及问题）路程差＝车身长的和超车时间＝车身长的和÷速度差 2）错车问题（反向运动，相遇问题）路程和＝车身长的和错车时间＝车身长的和÷速度和 3）过人（人看作是车身长度是0的火车） 4【列车过桥问题公式】（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；（桥长+列车长）÷过桥时间=速度； 5、植树问题（1）不封闭线路的植树问题：间隔数+1=棵数；（两端植树）路长÷间隔长+1=棵数。间隔数-1=棵数；（2）封闭线路的植树问题：路长÷间隔数=棵数；路长÷间隔数=路长÷棵数=每个间隔长；每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长。（3）锯成或剪成了多少段是间隔数。锯的次数＝段数－1 段数＝锯的次数＋1 （4）在正多边形周围摆花盆： A.每个角上都摆的情况：总盆数＝（每边数－1）×边数每边数＝总盆数÷边数＋1 边数＝总盆数÷（每边数－1） B.每个角上都不摆的情况：每边数×边数＝总盆数总盆数÷边数＝每边数总盆数÷每边数＝边数6、剪绳问题：一根绳对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2N×M＋1）段 6、年龄问题：两个人的年龄的倍数是发生变化的；几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄

小升初奥数公式大全

34个小学奥数必考公式 1、和差倍问题：和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式①(和-差)÷2=较小数较小数+差=较大数和-较小数=较大数 ②(和+差)÷2=较大数较大数-差=较小数和-较大数=较小数和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数和-小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数+差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数 2、年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3、归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4、植树问题：基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数+1 棵距×段数=总长棵数=段数-1 棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5、鸡兔同笼问题：基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路： ①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴图⑵ 【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？三角形等高模型与鸟头模型

小学奥数几何五大模型等高模型

模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1 3 ，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶ 6个面积相等的三角形。【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的 4 3 倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。【例 3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。三角形等高模型与鸟头模型

奥数常用公式大全

小学奥数常用公式小学奥数常用公式小学奥数常用公式 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a 7、正方体V：体积a：棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 8、长方形C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2C=2(a+b)面积=长×宽S=ab 9、长方体V：体积s：面积a：长b：宽h：高(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高V=abh 10、三角形s面积a底h高面积=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 11、平行四边形s面积a底h高面积=底×高s=ah 12、梯形s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷2 13、圆形S面积C周长∏d=直径r=半径(1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r(2)面积=半径×半径×∏ 14、圆柱体v：体积h：高s；底面积r：底面半径c：底面周长(1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 15、圆锥体v：体积h：高s；底面积r：底面半径体积=底面积×高÷3总数÷总份数＝平均数 16、和差问题的公式(和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数

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