因式分解—十字相乘法
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第一讲 因式分解—十字相乘法
一、学习目标
1. 了解十字相乘法分解因式的方法.
2. 掌握并能熟练运用十字相乘法去分解代数式.
二、学法指导
1. 回忆初中学习过的乘法公式,从右到左就是因式分解.
2. 通过学习例题介绍的十字相乘法去解决一些简单的因式分解题.
三、知识链接
1. 复习旧知识：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；
（2）完全平方公式 222
()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2233
()()a b a a b b a b
+-+=+； （2）立方差公式 2233
()()a b a a b b a b
-++=-； （3）三数和平方公式 222
2()2()a b c a b c a b b c a
c ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223
()33a b a a b a b b
+=+++； （5）两数差立方公式 332
2()33a b a a b a b b
-=-+- 2. 启发新知识：十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；
（3）2
2
()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．
解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有
x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如
图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得
2
2
()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1
＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．
－1 －2
x x
图1．1－1
－1 －2
1 1
图1．1－2 －2 6
1 1
图1．1－3
－ay －by
x x
图1．1－4
－1 1
x y
图1．1－5
2
四、自测试题
1. 把下列各式分解因式：
（1）=-+652
x x __________________________________________________。 （2）=+-652x x __________________________________________________。 （3）=++652x x __________________________________________________。 （4）=--652x x __________________________________________________。 （5）()=++-a x a x 12__________________________________________________。 （6）=+-18112x x __________________________________________________。 （7）=++2762x x __________________________________________________。 （8）=+-91242
m m __________________________________________________。 （9）=-+2
675x x __________________________________________________。 （10）=-+22612y xy x __________________________________________________ 2. ()() 3 42++=+-x x x x
3. 若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。
五、当堂训练（要有选作题，并注明哪题是选作题）
1. 在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072
++x x
（5）44152
++x x 中，有相同因式的是（ ）
A 、只有（1）（2）
B 、只有（3）（4）
C 、只有（3）（5）
D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2. 分解因式2
2
338b ab a -+得（ ）
A 、()()3 11-+a a
B 、()()b a b a 3 11-+
C 、()()b a b a 3 11--
D 、()()b a b a 3 11+- 3. ()()2082
-+++b a b a 分解因式得（ ）
A 、()()2 10-+++b a b a
B 、()()4 5-+++b a b a
C 、()()10 2-+++b a b a
D 、()()5 4-+++b a b a
4、若多项式a x x +-32
可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）
A 、10=a ，2=b
B 、10=a ，2-=b
C 、10-=a ，2-=b
D 、10-=a ，2=b 5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102
其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ）
A 、3或9
B 、3±
C 、9±
D 、3±或9± 6. 选作题:
1、()()3211262
+---p q q p 2、2
2
3
65ab b a a +-
六、知识清单（要注明每一条学生应掌握的程度，如熟记、默写等要求）
1. 熟记乘法公式和十字相乘法这一方法.
2. 通过夲节的学习能熟练运用十字相乘法去因式分解.
七、日清反思