江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考 数学(含答案)

江苏省南京市六校联合体2020届高三模拟考试试卷

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|x 2

－2x<0}，B ＝{x|x<1}，则A∪B＝________．

2. 已知复数z ＝(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，a 为实数，则z －

＝________． 3. 如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．

(第3题)

4. 运行如图所示的伪代码，则输出S 的值为________． S←0 I ←1 While I<10 S←S＋I I←I＋2 End While Print S

(第4题)

5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为________．

6. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝2S 10，则S 5＋4S 15

S 10－S 5

＝________．

7. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且满足f(x)＝f(2－x)．若f(1)＝3，则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝________．

8. 将函数f(x)＝2sin(x ＋

π6)sin(π

3

－x)图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为偶函数，则φ的最小值为________．

9. 已知双曲线x 2

a 2－y

2

b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且与x 轴垂直的直线与双

曲线交于A ，B 两点．若F 1F 2＝

3

2

AB ，则双曲线的渐近线方程为____________．

10. 如图，五边形ABCDE 由两部分组成，△ABE 是以角B 为直角的直角三角形，四边形BCDE 为正方形，现将该图形以AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体．若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为________．

11. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ＝6，∠DAB ＝60°，DE →＝12EC →，BF →＝12FC →.若FG

→

＝2GE →，则AG →·BD →

＝________．

12. 已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3bcos C ，则1tan A ＋1tan B ＋1

tan C

的最小值为________．

13. 已知圆O ：x 2

＋y 2

＝4，点A(2，2)，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，点E 在直线l 上且满足 PQ →＝2QE →.若AE 2＋2AP 2

＝48，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围是________．

14. 若函数f(x)＝(x 3

－3a 2

x ＋2a)·(e x

－1)的图象恰好经过三个象限，

则实数a 的取值范围是________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsin A ＝asin(2π

3－B)．

(1) 求角B 的大小；

(2) 若a ＝2，c ＝3，求sin(A －C)的值．

16. (本小题满分14分)

如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，M 是棱CC 1上的一点．

(1) 求证：BC⊥AM；

(2) 若N 是AB 的中点，且CN∥平面AB 1M ，求证：M 是棱CC 1中点．

17. (本小题满分14分)

疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形OABC 与扇形OCD 组成，OA ＝30米，AB ＝50米，∠COD ＝π6，经营者决定在O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角∠EOF＝π

3，摄像头监控

区域为图中阴影部分，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上，设∠FOC＝θ.

(1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S 关于θ的函数关系式，并求出tan θ的取值范围； (2) 求监控区域面积S 最大时，角θ的正切值．

18. (本小题满分16分)

已知椭圆C ：x 2

a 2＋y

2

b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1，点A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上一点，

且直线PF 1的倾斜角为π4，PF 1＝2，椭圆的离心率为2

2

.

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 设M ，N 为椭圆上异于A ，B 的两点，若直线BN 的斜率等于直线AM 斜率的2倍，求四边形AMBN 面积的最大值．

19. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝ax 2

＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，g(x)＝e x

.

(1) 若a ＝b ＝1，c ＝－1，求函数h(x)＝f （x ）

g （x ）

在x ＝1处的切线方程；

(2) 若a ＝1，且x ＝1是函数m(x)＝f(x)g(x)的一个极值点，确定m(x)的单调区间； (3) 若b ＝2a ，c ＝2，且对任意x≥0，f （x ）

g （x ）≤2x ＋2恒成立，求实数a 的取值范围．

20. (本小题满分16分)

设数列{a n }(任意项都不为零)的前n 项和为S n ，首项为1，对于任意n∈N *

，满足S n ＝a n ·a n ＋12

.

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 是否存在k ，m ，n ∈N *

(k

m ，a 2

n 成等差数列？若存在，试求k ＋m ＋n 的值；若不存在，请说明理由；

(3) 设数列{b n }，b n ＝?

????a n ，n ＝2k －1，k ∈N *

，

q n －1，n ＝2k ，k ∈N *

(q>0)，若由{b n }的前r 项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数r 的最大值．

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换) 求椭圆C ：x 2

16＋y

2

4＝1在矩阵A ＝

?

???

??

140012

对应的变换作用下所得曲线C′的方程．

B. (选修44：坐标系与参数方程)

在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin (θ＋π3)＝3

2与极轴的交点，

求圆C 的极坐标方程．

C. (选修45：不等式选讲)

已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．

(1) 求异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值； (2) 求二面角AMA 1N 的平面角的正弦值．

23. 已知数列{a n }满足a n ＝m ＋C 1

n ＋12＋C 2

n ＋222＋C 3

n ＋323＋…＋C n

n ＋n 2n ，n ∈N *

，其中m 为常数，a 2＝4.

(1) 求m ，a 1的值；

(2) 猜想数列{a n }的通项公式，并证明．

2020届高三模拟考试试卷(南京)

数学参考答案及评分标准

1. (－∞，2)

2. －4i

3. 143

4. 25

5. 710

6. －8

7. 3

8. π

12 9. y ＝±2x

10.

33 11. 21 12. 273 13. (－1－72，－1＋7

2

) 14. [－1，0)∪(0，1] 15. 解：(1) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，及bsin A ＝asin(2π3－B)，

得sin Bsin A ＝sin Asin(

2π

3

－B)．(2分) 由A∈(0，π)时，sin A>0，可得sin B ＝sin(2π

3

－B)，

展开得sin B ＝sin 2π3cos B －cos 2π

3sin B ，即sin B ＝3cos B ．(4分)

又由B∈(0，π)，得sin B>0，从而cos B ≠0， 从而有tan B ＝3，可得B ＝π

3

.(6分)

(2) 在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π

3，

得b 2

＝a 2

＋c 2

－2accos B ＝7，故b ＝7.(7分) 由

a sin A ＝

b sin B ，得2sin A ＝732，解得sin A ＝37

. 因为a

7.(9分)

因此sin 2A ＝2sin Acos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2

A －1＝17.(11分)

因为A －C ＝A －(2π3－A)＝2A －2π

3，

所以sin(A －C)＝sin(2A －

2π3)＝sin 2Acos 2π3－cos 2Asin 2π

3

＝437×(－12)－17×32＝－53

14

.(14分)

16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC⊥CC 1.(2分)

又平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝CC 1，BC ?平面BCC 1B 1，

所以BC⊥平面ACC 1A 1.(4分)

又AM ?平面ACC 1A 1，所以BC⊥AM.(6分) (2) (证法1)取AB 1中点H ，连结NH ，HM. 因为N 是AB 的中点，

所以在△ABB 1中，NH ∥BB 1，且NH ＝1

2BB 1.

又在三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.

又M 为棱CC 1上的一点，所以CM∥NH， 所以CM ，NH 共面．(10分)

又CN∥平面AB 1M ，CN ?平面CNHM ，平面CNHM∩平面AMB 1＝MH ， 所以CN∥MH，

所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以CM∥NH，且CM ＝NH ， 所以CM ＝12BB 1＝1

2CC 1，

所以M 是棱CC 1中点．(14分) (证法2)因为在三棱柱ABCA 1B 1C 1中， 所以BB 1∥CC 1，且BB 1＝CC 1.

因为CM∥BB 1，CM ?平面ABB 1A 1，BB 1?平面ABB 1A 1， 所以CM∥平面ABB 1A 1.(8分)

所以过MCN 可作平面α交直线AB 1于点H ，则CM ?平面α，平面α∩平面ABB 1A 1＝NH ， 所以CM∥NH.(10分)

又CN∥平面AB 1M ，CN ?平面α，平面α∩平面AMB 1＝MH ， 所以CN∥MH，

所以四边形CNHM 为平行四边形，(12分) 所以NH∥AC∥BB 1.

又△ABB 1中N 是AB 的中点，所以H 是AB 1的中点，

所以NH ＝1

2

BB 1＝CM ，所以M 是棱CC 1中点．(14分)

17. 解：(1) 扇形EOC 的面积为12×(π3－θ)×502

＝2 500π6－2 5002θ.(2分)

四边形OCBF 的面积为30×50－12×30×30

tan θ

.(4分)

故阴影部分的面积为S(θ)＝1 500＋2 500π6－50(9

tan θ＋25θ)．(6分)

因为θ∈[θ0，π3]，tan θ0＝35，所以tan θ∈[3

5

，3]．(8分)

(2) 设h(θ)＝9tan θ＋25θ，则h′(θ)＝－9sin 2

θ－9cos 2

θsin 2

θ＋25＝－9

sin 2θ＋25. 令h′(θ)＝0得tan θ＝34∈[3

5

，3]．(10分)

记其解为θ1，并且h(θ)在[θ0，θ1)上单调递减，在(θ1，π

3]上单调递增，

所以h(θ)的最小值为h(θ1)，阴影部分的面积最大值为1 500＋2 500π

6－50h(θ1)，

此时tan θ1＝3

4

.(13分)

答：监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为3

4

.(14分)

18. 解：(1) 因为椭圆C ：x 2

a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的离心率为2

2，所以a ＝2c.

设椭圆右焦点为F 2，在△F 1PF 2中，PF 1＝2，∠PF 1F 2＝π

4

，

由余弦定理得(2a －2)2＝22＋(2c)2

－2×2c×2×cos π4，解得c ＝2，则a ＝2，b ＝2，

所以椭圆的方程为x 2

4＋y

2

2

＝1.(4分)

(2) (解法1)设直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为y ＝k(x ＋2)，联立?????y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2

2＝1，

整理得(2k 2

＋1)x 2

＋8k 2

x ＋8k 2

－4＝0，Δ＝64k 4

－4(2k 2

＋1)(8k 2

－4)>0. 设M(x 1，y 1)，则－2x 1＝8k 2

－42k 2＋1，即x 1＝2－4k 2

2k 2＋1，从而y 1＝4k

2k 2＋1.(8分)

由k BN ＝2k AM ，可得直线BN 的方程为y ＝2k(x －2)，联立?????y ＝2k （x －2），x 24＋y 2

2＝1，

整理得(8k 2

＋1)x 2

－32k 2

x ＋32k 2

－4＝0，Δ＝322k 4

－4(8k 2

＋1)(32k 2

－4)>0.

设N(x 2，y 2)，则2x 2＝32k 2－48k 2＋1，即x 2＝16k 2

－28k 2＋1，从而y 2＝－8k

8k 2＋1.(12分)

由对称性，不妨设k>0，则四边形AMBN 的面积 S ＝12×4×(y 1－y 2)＝2(4k 2k 2＋1＋8k

8k 2＋1

) ＝24×4k 3

＋k

（2k 2＋1）（8k 2

＋1）＝24×1k ＋4k （8k ＋1k ）（2k ＋1k ）＝24×1

k ＋4k 16k 2

＋1k

2＋10

＝24×1

k

＋4k （1k ＋4k ）2

＋2＝24

1k ＋4k ＋21

k ＋4k .

令t ＝1

k

＋4k ，则t≥2

1k ×4k＝4(当且仅当k ＝12时取等号)，则S ＝24t ＋2t ≤244＋12

＝163

， 故S 的最大值为16

3

.(16分)

(解法2)设M(x 1，y 1)，则y 21＝12(4－x 2

1)，A(－2，0)，B(2，0)，则

k MA ·k MB ＝y 1－0x 1＋2·y 1－0x 1－2＝y 2

1x 21－4＝－1

2.(6分)

由k BN ＝2k MA ，故k BN ·k BM ＝－1.(7分)

设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，联立?????x ＝my ＋t ，x 24＋y 2

2＝1，

整理得(m 2

＋2)y 2

＋2mty ＋t 2

－4＝0，即t 2

<2m 2

＋4. 设N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2

－4

m 2＋2

.(9分)

由k BN ·k BM ＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2

－4m 2＋2代入整理得(m

2

＋1)(t ＋2)－2m 2t ＋(t －2)(m 2＋2)＝0，即t ＝23

，满足t 2<2m 2

＋4.(12分)

则四边形AMBN 的面积

S ＝12×4|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2

－4y 1y 2＝2（－2mt m 2＋2）2－4×t 2

－4m 2＋2＝

83

9m 2

＋16

（m 2＋2）

2， 令u ＝m 2

＋2，则S ＝

83

9u －2u 2，u ≥2，解得S 的最大值为16

3

.(16分)

19. 解：(1) (1) 因为a ＝b ＝1，c ＝－1，所以h(x)＝x 2＋x －1e x ，h ′(x)＝－x 2

＋x ＋2

e x

. 令x ＝1，则h′(1)＝2e ，又h(1)＝1e ，所以y －1e ＝2

e (x －1)，即2x －ey －1＝0.(2分)

(2) 因为a ＝1，所以m(x)＝(x 2

＋bx ＋c)e x

，m ′(x)＝[x 2

＋(b ＋2)x ＋b ＋c]e x

. 因为x ＝1是函数m(x)的一个极值点， 所以m′(1)＝0，解得c ＝－2b －3，

则m′(x)＝[x 2

＋(b ＋2)x －b －3]e x

＝(x －1)[x ＋(b ＋3)]e x

. 令m′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－b －3.(4分) 因为x ＝1是一个极值点，所以－b －3≠1，即b≠－4. 当－b －3>1，即b<－4时，

由m′(x)>0解得x∈(－∞，1)或x∈(－b －3，＋∞)，由m′(x)<0解得x∈(1，－b －3)； 当－b －3<1，即b>－4时，

由m′(x)>0解得x∈(－∞，－b －3)或x∈(1，＋∞)，由m′(x)<0解得x∈(－b －3，1)．(7分)

综上，当b<－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(－b －3，＋∞)，单调递减区间为(1，－b －3)；当b>－4时，m(x)的单调递增区间为(－∞，－b －3)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－b －3，1)．(8分)

(3) 因为b ＝2a ，c ＝2，所以f （x ）g （x ）＝ax 2

＋2ax ＋2

e x

≤2x ＋2对任意x≥0恒成立， 即ax 2

＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x

≤0对任意x≥0恒成立． 令p(x)＝ax 2

＋2ax ＋2－(2x ＋2)e x

，p(0)＝0， 由p(1)＝3a ＋2－4e ≤0得a≤4e －2

3.(9分)

p ′(x)＝2a(x ＋1)－2(x ＋2)e x

.

①当a≤0时，对任意x≥0，p ′(x)≤0，所以函数y ＝p(x)在[0，＋∞)上单调递减， 故p(x)≤p(0)＝0，得a≤0符合题意．(10分)

②当0

，

则G′(x)＝2a －2(x ＋3)e x

， 当x≥0时，2(x ＋3)e x

≥6，

2a －2(x ＋3)e x

≤2（4e －2）3－6＝2（4e －11）3

<0，

所以对任意x≥0，G ′(x)<0，得函数y ＝G(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以G(x)≤G(0)＝2a －4.

当2a －4≤0，即00，即2

3

时，

由G(0)＝2a －4>0，G(1)＝4a －6e<0，得G(0)G(1)<0.

又函数y ＝G(x)在区间[0，1]上的图象连续不间断，且单调递减， 由零点存在定理可得，存在唯一x 0∈(0，1)，使得G(x 0)＝0. 所以，当x∈(0，x 0)时，G(x)＝p′(x)>0，

所以函数y ＝p(x)在(0，x 0)上单调递增，故当x∈(0，x 0)时p(x)>0，与题意不符． 综上，实数a 的取值范围是a ≤2.(16分) 20. 解：(1) 数列{a n }是非零数列，所以a n ≠0. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1a 2

2

，a 2＝2；

当n≥2，n ∈N *

时，a n ＝S n －S n －1＝a n a n ＋12－a n －1a n 2，

所以a n ＋1－a n －1＝2，(2分)

所以{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，{a 2n }是首项为2，公差也为2的等差数列，a 2n －1

＝a 1＋2(n －1)＝2n －1，a 2n ＝a 2＋2(n －1)＝2n ，

所以a n ＝n.(4分)

(2) 设k ，m ，n ∈N *

(k

＝kn. 因为16a k ，a 4

m ，a 2

n 成等差数列，所以2m 4

＝16k ＋n 2

.(6分) 消去m 可得2k 2n 2

＝16k ＋n 2

， 所以n 2

＝16k 2k 2－1.

因为n≥3，

所以16k 2k 2－1>8，0

.(8分)

因此，k ＝1，m ＝2，n ＝4，k ＋m ＋n ＝7.(9分) (3) 若{b n }是单调递增数列，所以当n 是偶数，n －1

两边取自然对数，化简可得

ln （n －1）n －1

n －1

(*)，显然q>1.(11分)

设函数f(x)＝ln x x ，求导f′(x)＝1－ln x

x 2

＝0，x ＝e ，当00，所以f(x)是增函数；当x>e 时，f ′(x)<0，所以f(x)是减函数，所以f(x)在x ＝e 处取极大值．

所以，当n≥4时ln （n －1）n －1是递减数列，ln 11

n －1

的最大值，ln

q>

ln 3

3

.(13分) 设函数g(x)＝ln （x ＋2）x ，求导g′(x)＝x

x ＋2－ln （x ＋2）x 2

<0(x≥1)，所以ln （n ＋1）

n －1是递减数列，当n ＝6时，ln 75>ln 33；当n ＝8时，ln 97＝ln 372

3

.(15分)

所以当2≤n≤6时，存在q>313

，(*)式成立，当n ＝8时(*)式右侧不等式不成立． 所以，至多前8项是递增数列，即正整数r 的最大值是8.(16分)

2020届高三模拟考试试卷(南京) 数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 解：设P(x ，y)是曲线C′上的任一点，它是椭圆C ：x 2

16＋y

2

4

＝1上的点P 1(x′，y ′)在

矩阵A ＝?

?

????1

40012

对应变换作用下的对应点，则??????x y ＝?

?????1

40012

??????x′y′＝?????

???x′4y′2，(4分) 即?

????x ＝x′

4，

y ＝y′2

，

所以????

?x′＝4x ，y ′＝2y.

(6分)

将?

????x′＝4x ，y ′＝2y ，代入x 216＋y 2

4＝1，得x 2＋y 2＝1.(10分)

B. 解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1分) 由直线ρsin (θ＋π3)＝32得ρsin θ·12＋ρcos θ·32＝3

2，

∴12y ＋32x ＝3

2，即y ＝－3x ＋ 3.(4分) ∴直线与x 轴的交点为(1，0)．

又点P 的直角坐标为(1，1)，∴圆C 的方程为(x －1)2

＋y 2

＝1.(6分) ∵ x 2

＋y 2

－2x ＝0，ρ2

－2ρcos θ＝0，∴ ρ＝0或ρ＝2cos θ. 又ρ＝0表示极点也在圆上，∴圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(10分)

C. 解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)≥33a ·33b ·33c ＝273abc ＝27，(6分)

当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，

所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.(10分)

22. 解：(1) 因为直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，所以∠BAD＝60°. 由E 为BC 的中点，可得DE⊥BC.又AD∥BC 可得DE⊥AD.

以D 为坐标原点，DA →

的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分) 则A 1(2，0，4)，M(1，3，2)，C 1(－1，3，4)，E(0，3，0)， A 1M →＝(－1，3，－2)，C 1E →

＝(1，0，－4)， cos 〈A 1M →，C 1E →

〉＝A 1M →·C 1E →|A 1M →||C 1E →|＝－1＋88×17＝73468.

所以，异面直线A 1M 与C 1E 所成角的余弦值为734

68

.(4分)

(2) N(1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →

＝(0，－3，0)．

设m ＝(x ，y ，z)为平面A 1MA 的法向量，则?????m ·A 1M →＝0，

m ·A 1A →＝0，

所以???－x ＋3y －2z ＝0，

－4z ＝0，

可取m ＝(3，1，0)．(6分)

设n ＝(p ，q ，r)为平面A 1MN 的法向量，则?????n ·MN →＝0，

n ·A 1N →＝0，

所以???－3q ＝0，

－p －2r ＝0，

可取n ＝(2，0，－1)．(8分)

于是cos 〈m ，n 〉＝

m·n |m||n|＝232×5＝15

5

，

所以二面角AMA 1N 的正弦值为

10

5

.(10分) 23. 解：(1) 因为a n ＝m ＋C 1

n ＋12＋C 2

n ＋222＋C 3

n ＋323＋…＋C n

n ＋n

2n ，

所以a 2＝m ＋3＝4，所以m ＝1，此时a 1＝2.(2分) (2) 猜想：a n ＝2n

.证明如下：(3分) ①当n ＝1时，由上知结论成立；(4分) ②假设n ＝k 时结论成立，

则有a k ＝1＋C 1

k ＋12＋C 2

k ＋222＋C 3

k ＋323＋…＋C k

k ＋k 2

k ＝2k

.

则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1＋C 1

k ＋1＋12＋C 2

k ＋1＋222＋C 3

k ＋1＋323＋…＋C k ＋1

k ＋1＋k ＋1

2k ＋1.

由C k ＋1

n ＋1＝C k ＋1

n ＋C k

n 得

a k ＋1＝1＋C 1

k ＋1＋C 0

k ＋12＋C 2

k ＋2＋C 1

k ＋222＋C 3

k ＋3＋C 2

k ＋323＋…＋C k

k ＋k ＋C k －1

k ＋k 2k

＋C k ＋1

k ＋1＋k ＋1

2k ＋1 ＝2k

＋C 0

k ＋12＋C 1

k ＋222＋C 2

k ＋323＋…＋C k －1

k ＋k 2k ＋C k ＋1

k ＋1＋k ＋1

2

k ＋1，

a k ＋1＝2k

＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋k 2k －1＋C k ＋1

k ＋1＋k ＋1

2

k

) ＝2k

＋12(C 0k ＋1＋C 1k ＋221＋C 2k ＋322＋…＋C k －1k ＋1＋k －12k －1＋C k k ＋1＋k ＋C k ＋1

k ＋1＋k

2

k

)．(7分) 又C k ＋1

k ＋1＋k ＝（2k ＋1）！k ！（k ＋1）！＝（2k ＋1）！（k ＋1）（k ＋1）k ！（k ＋1）！＝1

2（2k ＋1）！（2k ＋2）（k ＋1）！（k ＋1）！＝12C k ＋1k ＋1＋k ＋1

＝2k

＋12(C 0k ＋1＋C 1

k ＋221＋C 2

k ＋322＋…＋C k －1

k ＋1＋k －12k －1＋C k

k ＋1＋k 2k ＋C k ＋1

k ＋1＋k ＋1

2

k ＋1)，

于是a k ＋1＝2k ＋12a k ＋1，所以a k ＋1＝2k ＋1

，故n ＝k ＋1时结论也成立．

由①②得a n ＝2n

，n ∈N *

.(10分)

南京市2018届高三数学考前综合题(教师)(含答案)

南京市2018届高三数学考前综合题 一．填空题 1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α； ②若l ?α，m ?β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ?α，m ?β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号） 【答案】④． 【说明】考查基本的直线与直线，直线与平面，平面与平面基本位置关系的判断． 2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 【答案】2π 3 ． 【提示】因为f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成立， 即3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝3sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ) 展开并整理得(3cos θ＋sin θ)sin x ＝0恒成立． 所以3cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－3， 又θ∈[0，π]，所以θ＝2π 3 ． 【说明】本题考查函数的奇偶性，以及三角恒等变换，这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2． 【提示】由双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程y ＝±b a x ， 可得两条切线的斜率分别为±b a ， 则两条切线关于y 轴对称，则过抛物线C 1：x 2＝4y 焦点(0，1)的直线l 为y ＝1， 可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1， 即a ＝b ，于是e ＝2． 【说明】本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质，要能通过分析得到直线l 为y ＝1，这是本题的难点． 4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC → ，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ． 【答案】3 8 ． 【提示】因为BD ＝2DC ，所以AD →＝13AB →＋23 AC →

2020年江苏省高考数学模拟试卷及答案

2020年江苏省高考数学模拟试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2． 设i 是虚数单位，若复数i i z 23-= ，则z 的虚部为 ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23 π 的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ． 5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教 （每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ． 6． 函数128 1 --= x y 的定义域为 ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8． 已知53sin - =θ，2 3πθπ<<，则=θ2tan ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆2 21x y m +=的离心率是 ． 10．若曲线1 2 +-= x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则B A tan 3 tan 2- 的最小值为 ． 12．已知圆C ：1)2()2(2 2 =-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ， 在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，?=∠90DAB ，1==DC AD ， AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ． 14．已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1 ()()2f t f t +=-， 则2 2 4a b +的最小值为 ． （第3题）

2019届高三数学文科三诊模拟试卷含答案

2019届高三数学文科三诊模拟试卷含答案 数学（文史）试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，集合，则 A．B．C．D． 2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为A．B．C．D． 3．等差数列中，，则的前9项和等于 A．B．27 C．18 D．4.已知集合，那么“”是“”的 A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C. 充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 A．B． C．D． 6．设函数，则下列结论错误的是 A．的一个周期为B．的图形关于直线对称 C．的一个零点为D．在区间上单调递减

7.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出 A．B． C. D． 8.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为 A．B． C. D． 9.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则角的大小为 A．B．C．D．10. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为 A．B． C. D． 11.定义在上的偶函数（其中为自然对数的底），记，，，则，，的大小关系是 A．B．C．D． 12．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为A．B．C．D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角的余弦值为． 14. 设，满足约束条件，则的最小值为______.

2020届江苏高三数学模拟试题以及答案

江苏省2020届高三第三次调研测试 1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =， ，则U A = ▲ ． 2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值为 ▲ ． 4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为 ▲ ． 5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ． 6． 已知函数2220()20x x x f x x x x ?-=?---的解集为 ▲ ． 7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ． 8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b -=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4 ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 9． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB 边所在 的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3 ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8y x =在() 2 ππ，上交点的横坐标为α， 则sin 2α的值为 ▲ ． 11．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AE λμ=+（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ▲ ． 12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则 离墙 ▲ m 时，视角θ最大． 13．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1 g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得12()() f x g x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ． （第3 题） F （第11题） A （第12题）

江苏省南京市2021届高三年级学情调研数学试卷及答案

南京市2021届高三年级学情调研 数 学 2020.09 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜3 }，则A ∩B ＝ A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 2．已知(3－4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且|a ＋b |＝3，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．5π6 D ．2π3 4．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (43，0)到双曲线C ：x 2a 2－y 2 9＝1的一条渐近线的距离 为6，则双曲线C 的离心率为 A ．2 B ．4 C ． 2 D ． 3 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ≤2a －c ，则角B 的取值范围是 A ．(0，π3] B ．(0，2π3] C ．[π3，π) D ．[2π 3，π) 6．设a ＝log 4 9，b ＝2 －1.2 ，c ＝(827 )－1 3，则 A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：(x －1)2＋y 2＝1，点B (3，0)，过动点P 引圆A 的切线，切点为T ．若PT ＝2PB ，则动点P 的轨迹方程为 A ．x 2＋y 2－14x ＋18＝0 B ．x 2＋y 2＋14x ＋18＝0 C ．x 2＋y 2－10x ＋18＝0 D ．x 2＋y 2＋10x ＋18＝0 8．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (1＋x )＝f (1－x )．若当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2(2x ＋3)，则f (93 2 )的值是 A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，

2019年全国I卷高考文科数学真题及答案

2019年全国I 卷高考文科数学真题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设3i 12i z -=+，则z = A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则 A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3．已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51-（ 51 2 -≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 -．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是

A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190cm 5．函数f (x )= 2 sin cos x x x x ++在[-π，π]的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生 7．tan255°= A ．-2-3 B ．-2+3 C ．2-3 D ．2+3 8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 9．如图是求 112122 + +的程序框图，图中空白框中应填入 A ．A = 12A + B ．A =12A + C ．A = 1 12A + D ．A =112A +

江苏省南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题

市2018届高三年级第三次模拟考试 数 学 2018.05 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的、学校、班级、学号写在答题纸的密封线．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定 位置上） 1．集合A ＝{x| x 2 ＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2 －4＝0}，则A ∪B =▲________． 2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________． 3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________． 5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为▲________． 6．若实数x ，y 满足? ????x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则y x 的取值围为▲________． 7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）． S ←1 I ←1 While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S (第3题图) (第4题图)

2020南京市高三二模数学试题及答案

南京市2020届高三第二次模拟考试数学 2020.3.24 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、已知集合{}|lg M x y x ==，{} |1N x y x ==-，则M N I = 2、已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是 3、若0,0x y ≥≥，且11x +≤，则z x y =-的最大值是 4、已知函数2()21,f x x ax =++其中[]2,2a ∈-，则函数() f x 有零点的概率是 5、下图是根据某小学一年级10名学生的身高（单位：cm ）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的 百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，则选10名学生平均身高是 cm 6、根据如图所示的算法语句，可得输出的结果是 7、等比数列{}n a 的公比q ﹥0，已知11116n m m a a a a ++=++=，则{} n a 的前四项和是 8、过点（1，2）的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB V D 的面积最小时，直线l 的方程是 9、若平面向量a,b 满足｛a+b ｝=1,a+b 平行于y 轴，a=(2,-1),则b= 10、定义在R 上的奇函数()f x ,当x∈（0，+∞）时，f(x)=2log x ,则不等式f(x)<-1的解集是 。 11、.以椭圆 22 221x y a b +=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原 点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△O AB 是正三 角形，则该椭圆的离心率是 。 12、定义在R 上的()f x 满足()f x =13,0, (1)(2),0, x x f x f x x -?≤?--->?则 10 7 8 11 2 5 5 6 8 12 3 4 119 1Pr int S I While I I I S S I End While S ←←≤←+←+

2019届高三文科数学测试题(三)附答案

2019届高三文科数学测试题（三） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}|1A x x =<，{} |e 1x B x =<，则（ ） A ．{}|1A B x x =< B ．R A B =R C ．{}|e A B x x =< D ． {}R |01A B x x =<< 2．为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况． 根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A ．2016年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54% C ．2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大 D ．2017年11月份的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好 3．下列各式的运算结果为实数的是（ ） A ．2(1i)+ B ．2i (1i)- C ．2i(1i)+ D ．i(1i)+ 4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边 形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为（ ） A ． 33 B ．33π C ．32 D ． 3π 5．双曲线()22 22:10,0x y E a b a b -=>>的离心率是5，过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ， 若OFM △的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．22 6．如图，各棱长均为1的直三棱柱111C B A ABC -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且MN ∥平面11A ACC ，则这样的MN 有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数条 7．已知实数x ，y 满足?? ? ??≤≤+≥-0424 2y y x y x ，则y x z 23-=的最小值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．函数()() 22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）

2019年江苏高三数学模拟试题含答案

2019年高三数学模拟试题 1. 已知集合{2,0,1,7}A =，{|7,}B y y x x A ==∈，则A B = ． 【答案】{0,7} 2. 已知复数z =(i 为虚数单位)，则z z ?= ． 【答案】 3. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 ． 【答案】8 4. 阅读下列程序，输出的结果为 ． 【答案】22 5．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的 3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号 盒子中各有1个球的概率为 ． 【答案】2 9 6．已知实数x ，y 满足1 32 y x x x y ≤-?? ≤??+≥? ，则y x 的取值范围是 ． 【答案】]3 2,31[- 7．如图所示的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =， 3AD =， 点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E PAB -的体积为4，则PA 的长为 ． 【答案】4 8.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________ 14 B

答案： 3 2 9.在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2a =， cos cos A b C c B -=，则 122 b c -的最大值是 答案：10.已知圆C 的方程为22 (1)1x y ++=，过y 轴正半轴上一点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 交 圆C 于A B 、两点，当ABC △的面积最大时，直线l 的斜率k =________ 答案：1或7 11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是 11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN 平面1MND ；②平 面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为6；④三棱锥ABC N -的体积为3 2 =-ABC N V 。其中是真命题的个数是 答案：1 12.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '。当0x ≥时，不等式 ()()1 xf x f x '+>。若对x ?∈R ，不等式 ()()--x x x e f e axf ax e ax >恒成立，则正整数a 的最大值是 答案：0a e << 【解析】因为()()1xf x f x '+>，即()()10xf x f x '+->， 令()()1F x x f x =-????，则()()()10F x xf x f x ''=+->， 又因为()f x 是在R 上的偶函数，所以()F x 是在R 上的奇函数， 所以()F x 是在R 上的单调递增函数， 又因为()()--x x x e f e axf ax e ax >，可化为()()11x x e f e ax f ax ??->-?????? ， 即()()x F e F ax >，又因为()F x 是在R 上的单调递增函数， 所以-0x e ax >恒成立，令()-x g x e ax =，则()-x g x e a '=， 所以()g x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，

2020南京市高三一模(数学)含答案

南京市2020届高三第一次模拟考试（数学） 2020.01 n 参考公式：1.样本数据X I ,X 2,L ,X n 的方差s 2 - （x i X ）2，其中x 是这组数据的平均 n i i 数。 2. 柱体、椎体的体积公式：v 柱体ShV 椎体Ish ，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 3 是高。 一、填空题：（5分X 14=70分） 1.函数 y V2X ―X 2 的定义域是 _______ . _______ 2. 已知复数z 满足（z 2）i 1 i （ i 为虚数单位），则z 的模 为 _______ . _____ X y 2 0, 3. 已知实数x,y 满足X y 0, 则z 2X y 的最小值 X 1, 是 . 4. 如图所示的流程图，若输入的X 9.5，则输出的结果 为 5. 在集合A 2,3中随机取一个元素m ，在集合B 1,2,3中随机取一个元素 n ，得到 点P （m, n ），则点P 在圆X 2 y 2 9内部的概率为 . 6. 已知平面向量a,b 满足|a| 1,|b| 2，a 与b 的夹角为_，以a,b 为邻边作平行四边 3 形，贝吐匕平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 l |47g3 7. 为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在 6」 场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差I 为 . 8. 在厶ABC 中,角A B C 所对的边分别为a 、b 、c ,若1 业冬，则角A 的大小 tanB b 为 . 2 2 9. 已知双曲线C:务与1（a 0,b 0）的右顶点、右焦点分别为 A F,它的左准线与X a b 轴的交点为B ,若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 二 雪）

江苏省南京市、盐城市2018届高考第二次模拟考试数学试题-有答案

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题纸上，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式： 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1．函数f(x) =lg(2 -x)的定义域为 ▲ ． 2．已知复数z 满足 12z i =1，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 3．执行如图所示的算法流程图，则输出口的值为▲ ． 4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为 ▲ ． 5.3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为__▲ ． 6．已知等差数列 的前，l 项和为品．若S 15 =30，a 7=1，则S 9的值为▲ ．

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若bsinAsinB 十acos 2B - 2c ，则a c 的值为 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22 21y x b -=(b>0)的两条渐近线与圆O ：x 2+y 2 =2 的四个交点依次 为A ，B ，C ，D.若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ． 9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1的正四棱锥S-EFGH （如图2），则正四棱锥S-EFGH 的体积为 ▲ ． 10．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2+x ．若f(a)+f(-a)<4 ，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=1 m x +（m>0）在x=l 处的切线为l ，则点（2，-1）到直线，的距离的最大值为▲ ． 12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F.若2AB AC =uu u r uuu r g ，5AD AF =uuu r uuu r g ，则AE 长为 ▲ ． 13.在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x+4)2+(y-a)2=16上两个动点，且．若直线l:y= 2x 上存在唯一的一个点P ，使得 ，则实数a 的值为 ▲ ． 14．已知函数f(x) , t ∈R ．若函 数g(x)=f(f(x))-1）恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文

江苏省泰州中学2018届高三数学3月月度检测二模模拟试题

江苏省泰州中学2018届高三数学3月月度检测（二模模拟）试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 1.已知集合 A={1，2, 3，4}, B={x|log 2 (x - 1) <2},则A∩B= . 2.已知x ，y∈R, i 为虚数单位，x+(y-2)i 则x+y= . 3.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有九个小长方形。若中间一个小长方形的面积等于其他八个小长方形面积和的则中间一组的频数为 . 4.在△ABC 的边AB 上随机取一点P,记ACAP 和ACBP 的面积分别为51和52, 则S 1>2S 2的概率是 . 5.运行如图所示的伪代码，其输出的结果S 为 . 6.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3=7, S 6=63.则S 9= . 7.若正四棱锥的底面边长为22，侧面积为224，则它的体积为 . 8.平面直角坐标系中，角θ满足)0,1(,5 3 2cos ,542sin -===OA θθ 设点B 是角θ终边上一动点，则OB OA -的最小值是 . 9.设不等式组?? ? ??+--+--0>10>10 <22y x y x y x 表示的平面区域为a, P(x, y)是区域D 上任意一点， 则|2||2|y x --的最小值是 . 10.设函数a ax x x f 2152)(2 -+-=的两个零点分别为)(1x ,2x ）,且在区间(1x ,2x ）上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围 . 11.已知0是△ABC 外接圆的圆心，若O OC OB OA =++654，则cosC= .

江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考数学试题(word版有答案)

江苏省南京市 2020 届高三年级第一学期期初联考考试 数学试题 2019．9 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合{}21≤<-=x x A ，{}0≤=x x B ，则=B A ． 2. 已知复数i i z +-=13（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 3. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 1600，检测结果的频率分布 直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)， [20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ． 4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个 三位数，则该三位数是偶数的概率是 ． 5. 函数x y 2log 1+=的定义域为 ． 6. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ． 7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 C ：)0(116 2 22>=-a y a x 的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为3 54 ，则双曲线 C 的方程为 ． 8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．

9. 函数)0,0)(sin()(>>+=ω?ωA x A x f 的部分图象如图所示.若函数)(x f y =在区间],[n m 上的值域为]2,2[-，则m n -的最小值是 ． 10. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和.若211q a = ，且725+=S S ，则首项1a 的值为 ． 11. 已知是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当0

(完整版)江苏省2019年高考数学模拟试题及答案

江苏省2019年高考数学模拟试题及答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ． 【答案】}3{ 2．函数x y ln =的定义域为 ． 【答案】),1[+∞ 3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)2 3 ,(m P ，则αtan ． 【答案】3- 4．在ABC ?中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ． 【答案】 3 2π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ． 【答案】 4 3π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ． 【答案】1 7．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x 在0=x 处的切线方程为 ． 【答案】23+=x y 8．实数1-=k 是函数x x k k x f 212)(?+-=为奇函数的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”， “充要”，“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要 9．在ABC ?中，0 60,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若?=?2，则 AD ． 【答案】 3 3 2 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则

=d ． 【答案】 6 π 11．如图，在四边形ABCD 中，0 60,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=， CD CF λ=其中0>λ，若15=?AD EF ，则λ的值为 ． 【答案】 2 5 12．已知函数x m x e m x x f x )1(2 1)()(2 +--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ． 【答案】}1{- 13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中2 1 1-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列} {n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】)7,5( 14．在ABC ?中，3tan -=A ，ABC ?的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00?≥?，则线段BC 的长为 ． 【答案】6 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 若函数)0,0()3 sin()(>>++=b a b ax x f π 的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离 为π. （1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 在?? ? ???4, 0π上的最大值和最小值.

2019届高三第一次模拟考试卷 文科数学(一)

1 2019届高三第一次模拟考试卷 文 科 数 学（一） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 1．[2018·陕西四校联考]已知复数3 12i z =-（i 是虚数单位），则z 的实部为（ ） A ．3 5- B ．35 C ．15- D ．15 2．[2018·广西摸底]已知集合{} 24A x x x =≤，{}340B x x =->，则A B =（ ） A ．(],0-∞ B ．40,3?? ???? C ．4,43?? ??? D ．(),0-∞ 3．[2018·资阳一诊]空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表： 下图是某市10月1日—20日AQI 指数变化趋势 下列叙述错误的是（ ） A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100 B ．这20天中的中度污染及以上的天数占1 4 C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好 D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 4．[2018·长春质监]已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，9 20S =，则7a =（ ） A ．3- B ．5- C ．3 D ．5 5．[2018·曲靖一中]曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为（ ） A B ．2 C ．4 D ．8 6．[2018·衡水中学]如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2A E E O =，则ED = A ．1233 AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133A D AB - D ．12 33 AD AB + 7．[2018·遵义航天中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A ．13 B ． 23 C ．1 D ． 43 8．[2018·黑龙江模拟]已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与 C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A ．83 B ． 52 C ．3 D ．2 9．[2018·曲靖统测]若关于x 的不等式210x kx +->在[] 1,2区间上有解，则k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．3,02?? - ??? C ．3,2??-+∞???? D ．3,2?? -+∞ ??? 10．[2018·广安诊断]在区间[]1,1-上随机取一个数k ，则直线()2y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（ ） A ． 29 B C ．13 D 11．[2018·赣州模拟]在平面直角坐标系xOy 中，设1F ，2F 分别为双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左、 右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A B ．2 C D 12．[2018·陈经纶中学]已知矩形ABCD ，2AB =，BC x =，将ABD △沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ） A ．当1x =时，存在某个位置，使得AB CD ⊥ B ．当x =AB CD ⊥ C ．当4x =时，存在某个位置，使得AB C D ⊥ D ．0x ?>时，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

南京市2018届高三数学考前综合题(学生)

A B N M D C B A 南京市2018届高三数学考前综合题 一．填空题 1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α； ②若l ?α，m ?β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ?α，m ?β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号） 2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ． 4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC → ，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ． 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则d aq 的值是 ． 6．已知函数f (x )＝－34x ＋1 x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最 大值是 ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与 圆 O ：x 2＋y 2＝ b 2 4 相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为 ． 8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是 ． 9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN → ＝ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB → ， 则r 的取值范围是 ． 11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是 ．

江苏省高三数学招生考试模拟测试试题(十二)

1 高三模拟测试卷(十二) 数学 (满分160分，考试时间120分钟) 参考公式： 样本数据x1，x2，…，x n的方差s2＝1n?i＝1n (x i－x－)2，其中x－＝1n i＝1n x i. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝__________．． 2. 设a，b∈R，i为虚数单位，若(a＋bi)·i＝2－5i，则ab的值为__________．． (第5题) 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝3x，则该双曲线的离心率为__________．． 4. 已知一组数据9.8，10.1，10，10.2，9.9，那么这组数据的方差为__________．． 5. 右图是一个算法流程图，运行后输出的结果是__________．． 6. 若函数f(x)＝asin??????x＋π4＋3sin??????x－π4是偶函数，则实数a的值为__________．． 7. 正四棱锥的底面边长为2 cm，侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该四棱锥的侧面积为__________cm2. 8. 将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移2个单位后得到的函数图象关于原点对称，则实数φ的值为____________．． 9. 二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：

－4 －3 －2 －1 1 2 3 2 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则关于x的不等式f(x)≤0的解集为__________．． 10. 在正五边形ABCDE中，已知AB→·AC→＝9，则该正五边形的对角线的长为 __________．． 11. 用大小完全相同的黑、白两种颜色的正六边形积木拼成如图所示的图案，按此规律再拼5个图案，并将这8个图案中的所有正六边形积木充分混合后装进一个盒子中，现从盒子中随机取出一个积木，则取出黑色积木的概率是__________．． 12. 若函数f(x)＝?????（x－a）2，x≤0，x－lnx＋5＋a，x＞0的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是__________．． 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(－1，0)，Q(2，1)，直线l：ax＋by＋c＝0，其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是__________．． 14. 在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝3＋2x－x2－3(x∈[0，2])的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ，若θ∈[0，α]，旋转后所得曲线都是某个函数的图象，则α的最大值为__________．． 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 已知θ∈??????3π4，5π4，sin??????θ－π4＝55. (1) 求sinθ的值； (2) 求cos??????2θ＋2π3的值．