初始误差对双环流变异可预报性影响 张坤
初始误差对双环流变异可预报性影响
张坤1,2，穆穆1,3，王强1,3
(1. 中国科学院海洋研究所, 山东青岛266071; 2. 中国科学院大学研究生院, 北京100049; 3. 中国科学院海洋环流与波动重点实验室, 山东青岛266071)
摘要：使用球坐标下1.5层约化重力浅水模式模拟海洋风生双环流（double-gyre），模拟出的双环流射流存在拉伸和收缩两种模态间的年际变化，这与观测中黑潮和湾流延伸体的年际变化是类似的。取模式24.33年到25.25年的模拟结果为背景场，利用条件非线性最优扰动（CNOP）方法研究初始误差对双环流变异可预报性的影响，得到两种类型初始误差：全局CNOP和局部CNOP（LCNOP），两者相似系数为-0.85。CNOP和LCNOP不仅在结构上存在负的相似，它们对双环流变异的影响也是相反的。分别将CNOP和LCNOP叠加到初始时刻背景场上，考察误差随时间的发展，发现在射流从拉伸模态向收缩模态转变过程中，CNOP 型初始误差使得射流弯曲程度变大，并在预报时刻已有涡的脱落；而LCNOP型初始误差则使得射流弯曲程度变小。相比LCNOP，CNOP引起的预报误差更大，导致双环流变异的预报技巧下降更多。两种类型误差得到较大发展的区域均有较大的流速切变，极有可能是因为存在正压不稳定，使误差能够不断从背景场吸收能量进而发展起来。
关键字：双环流变异；条件非线性最优扰动（CNOP）方法；1.5层浅水模式
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基金项目: 国家自然科学基金项目（41230420）；中国科学院知识创新工程重要方向项目（KZCX2-EW-201）；青岛市基础研究计划项目（11-1-4-95-jch）
作者简介：张坤（1988-），男，山东济宁人，硕士，主要从事黑潮及其可预报性研究，电话：0532-********，E-mail: kunzhang@https://www.wendangku.net/doc/ea3706689.html,; 王强，通信作者，助理研究员，E-mail: wang.qiang1017@https://www.wendangku.net/doc/ea3706689.html,。
1前言
双环流是副热带海盆风生环流的典型模态。黑潮和湾流延伸体均为双环流的重要组成部分，其流经海域是全球海气相互作用最强烈的区域之一[1,2]。研究发现黑潮和湾流延伸体存在拉伸（elongation ）模态和收缩(contraction)模态间的年际变化[3,4]，这种年际变化对副热带海表温度和气候产生重要影响[3-5]。研究表明黑潮和湾流延伸体两种模态间的年际变化可以很好的被双环流射流变化表征[6]，因此，研究双环流变异对于理解黑潮和湾流延伸体低频变化有重要的指导意义。
目前多数工作是从参数角度出发研究双环流的：Nauw 等[7]研究了侧向摩擦对风生双环流射流不对称的影响；Moore [8]，Sura 等[9]通过风应力研究了双环流变化；Primeau [6,10]分别在准地转和浅水模式下通过粘性系数和风应力等参数考察了双环流的多平衡态和低频变化。目前从初始条件角度研究双环流的工作还比较少：在准地转模式下，Mahadevan 等[11]通过线性奇异向量研究了双环流可预报性，Van Scheltinga 等[12]通过条件非线性最优扰动（CNOP ）方法研究了双环流稳定性。但是这些研究存在一些不足：准地转模式忽略了上层厚度变化及其伴随的非线性作用[13,14]；线性奇异向量采用的是线性近似的方法，在考察非线性作用方面有一定局限性。因此，本文利用浅水模式模拟双环流，采用CNOP 方法研究初始误差对双环流变异可预报性的影响。一方面，浅水模式能够考虑上层厚度变化的影响；另一方面，CNOP 方法能够克服线性近似方法的不足，能更好地考虑非线性过程对误差发展的作用，并且已经在黑潮大弯曲路径可预报性及最优前期征兆[15,16]、ENSO 可预报性[17]、风生环流稳定性[12]等领域得到成功应用。文章主要安排如下：第2部分为模式介绍和模拟结果；第3部分为CNOP 方法简介及计算CNOP 的基本设置；第4部分为初始误差对双环流变异可预报性影响；第5部分为结论。
2 模式介绍及模拟结果
2.1 模式介绍
本文使用的数值模式是球坐标下1.5-层浅水方程模式，首先给出模式无量纲化后的控制方程：
22222222sin (
tan )sin ()cos cos cos 2sin (tan )sin ()cos cos 1()(cos )0cos Du F h u v uv v E u F dt Dv h v u u u F E v F dt h hu hv t φθεθεθθθφθθφ
θεθθεθθθφθθφθ-??--=+?--+????++=-+?-++???????++=???????
(1) 在无量纲化过程中，上层厚度平均深度、长度尺度、水平速度尺度、平流时间尺度以及风应力大小尺度分别记为H 、0r (地球半径)、U 、0/r U ，0τ。方程(1)中，u 表示纬向流速，v 表示经向流速，h 是海洋上层的厚度，φ和θ分别表示纬向和经向坐标，F φ和F θ分
别为：
F u h φ
φατμ=-， F v h θ
θατμ=- (2)
其中φτ和θτ分别表示风应力的纬向分量和经向分量。物质导数可表示为：
c o s D u v dt t θφθ???=++??? (3)
无量纲的模式参数的表达式为：
02U r ε=Ω ，2g H F U
'=, 202H A E r =Ω, 02HU ταρ=Ω, 2I R μ=Ω (4) 其中，Ω，'g ，H A ，I R 分别表示地球自转角速度、约化重力加速度、侧向摩擦系数和界面摩擦系数。
2.2参数设置及模拟结果
本文研究采用理想模型：模拟区域为x y L L ?矩形海盆，格点数为260125?，边界为无滑动边界，主要参数设置参见表1。模式采用隐式差分方法，时间步长设为10天，风应力方程[6]为：
002cos(2)sin(2)4cos 20x
s y y y y y y y y y A L L L L ττπτπππτ????=+-?? ? ??????
?= (5) 022242cos sin cos 0x
s y y y y y y y y y A L L L L πππττπτ????????????=-+-?? ? ? ??? ? ? ???????????????
= 其中,max min y y L L =-y L ，0τ为风应力大小控制参数，s A 为风应力结构控制参数，本文中取0.1。 参数名称
参数值 参数名称 参数值 上层厚度尺度
600H m = 地球半径 60 6.3710r m =? 流速尺度
20.1U m s -=? 地球自转角速度 517.29210s --Ω=? 上层密度
31028.1kg m ρ-=? 重力加速度 29.8g m s -=? 风应力大小
00.096Pa τ= 约化重力加速度 2'0.044g m s -=? 侧向摩擦系数 211060H A m s -=? 界面摩擦系数
811.45810I R s --=? 海盆东西方向长 5600x L Km =
海盆南北方向长 2800y L Km = 表1 浅水模式中主要参数设置
Table .1 The standard values of parameters in the shallow-water model
研究表明动能可以较好区分双环流射流状态[18,19]：能量高时，双环流射流处于收缩模态；能量低时，射流处于拉伸模态。区域Λ（0Km ≤x ≤2500Km, 900Km ≤y ≤1700Km ）包含了双环流西边界以及射流与涡旋强烈作用的区域，因此将Λ的动能作为区分双环流射流路径状态的指数，公式为：
22()()()()kin E t h t u t v t dxdy Λ??=+??? (6)
图1 区域Λ动能随时间变化序列
Fig. 1 Time series of the kinetic energy in region Λ
完成以上设置后，首先积分模式10年作为模式启动阶段，然后继续积分30年。图1为模式10年到40年区域Λ内动能随时间变化序列，可以看出动能大小存在明显的年际变化，这段时间内出现了9次高低能量振荡。在约化重力模式中，海洋上层厚度等值线可以近似的表征表层流场[15]。因此为了直观了解高低动能对应的射流状态，图2（a ）画出模式10年到40年内高动能对应的上层厚度平均场，（b ）画出了低动能对应的上层厚度平均场，其中加粗黑线为海洋上层厚度600m 等值线。可以看出，当动能高时，双环流射流处于收缩模态，当动能低时，双环流射流处于拉伸模态，这与Qiu 等[20]的关于黑潮延伸体年际变化的研究结果是一致的。
图2 模式10年到40年内高低动能对应的平均上层厚度 单位：米
(a)图为高能量对应的上层厚度平均场，(b)图为低能量对应的上层厚度平均场, 加粗黑线为海洋上层厚度600m 等值线，图中红色框为Λ区域
Fig. 2 Mean upper-layer thickness field under high(a)and low(b) kinetic energy Units: m 3 CNOP 方法简介及计算CNOP 的基本设置
条件非线性最优扰动（CNOP ）方法是由Mu [21]等首次提出，主要用于寻找满足给定约束条件并在优化终止时刻得到最大发展的一类初始扰动。方程（1）离散后可以表示为：
0()t t M =X X (7) 0000(,,)u v h =X 和(,,)t t t t u v h =X 是零时刻和t 时刻满足浅水模式（方程1）的状态向量。于是条件非线性最优扰动问题可描述为求解*
0x ，使其满足以下方程：
0*00()max ()J J δΛ∈=x x x (8) 其中，'''0000(,,)u v h =x 为初始误差，0()J x 为目标函数。基于动能可以很好表征双环流
射流状态的原因，定义目标函数为预报时刻区域Λ内扰动动能，即：
2200001()M ()M ()()[()()]2t t t t t t KE J h h u v dxdy Λ
'''=+-=++?x X x X (9)
方程（8）中，'''(,,)t t t t u v h =x 表示t 时刻的误差。δ为初始扰动约束半径,为了估计所有可能的扰动对预报的影响，本文定义初始扰动约束范数为积分区域Λ内初始扰动的总能量，即：
()()(){}2222200001''''2
H u v dxdy g h dxdy δΛ??=++≤????x (10) 其中，H 为模式参数（表1），'g 为约化重力加速度，本文中211523.610m s δ-=?。
背景场选取：本文主要是研究双环流变异过程的可预报性，选模式24.33年到25.25 25.08年的这次双环流变异过程为背景场，优化时间为240天。以24.3324.42年为第零天，图3给出了0天、90天、180天和240天（模式25.25年）时背景场的上层厚度分布。在t=0天时，双环流射流处于拉伸模态；当t=90天时，南北两支环流交汇处流向南偏，同时弯曲开始形成；当t=180天时，弯曲已经很明显；当t=240天时，弯曲程度达到最大。
优化算法：采用Spectral Projected Gradient Version 2 (SPG2)[22]方法计算CNOP 。
图3 t 时刻背景场的上层厚度 单位：米
Fig .3 The upper-layer thickness of background field at time t Units: m
4 初始误差对双环流变异可预报性影响
4.1 CNOP 和LCNOP
在第3部分设置基础上，计算条件非线性最优初始扰动，发现除了存在CNOP （全局极大值点）外，目标函数0()J x 在相空间内还存在一个局部极大值点，即LCNOP 。CNOP 和LCNOP 均在约束条件的边界上，即0δΛ=x 。研究表明局部极大值也有比较明确的物理
意义[23]，因此本文考虑CNOP 和LCNOP 对双环流变异可预报性影响。图4中阴影部分为初始误差上层厚度分量，等值线为背景场初始时刻的上层厚度场。图4（a ）为CNOP 的上层厚度分布，CNOP 中有两个范围比较大的反气旋涡分布在海盆西侧射流的南北两侧，处于南侧的强度较大，此外，在两个反气旋中间存在一个范围小强度大的气旋涡；图4（b ）为LCNOP 的上层厚度分量分布，LCNOP 中有两个气旋涡分布在海盆西侧射流南北两侧，处于南侧的强度较大，此外，在两个气旋涡之间以及下游区域存在强度小的反气旋涡。CNOP 和LCNOP 的上层厚度分量存在负的相似关系，下面计算二者的相似系数S [15]，计算公式为：
1212,g g S g g =
(11) 其中2,,1,2i i i g g g i ==。经计算，相似系数为-0.85
。
图4 CNOP 和LCNOP 上层厚度分布 单位: 米
Fig. 4 Upper-layer thickness component of CNOP and LCNOP Units: m.
4.2 预报误差
本部分着重研究两种类型初始误差对双环流变异预报的影响。我们可以把目标函数值当
作衡量预报误差大小的一个标准，CNOP和LCNOP对应的目标函数值分为1352
?和
9.110m s-
1352
?，说明CNOP引起的预报误差大。为了考察这两类初始误差所导致的预报误差5.710m s-
是否显著，分别将CNOP和LCNOP叠加到初始时刻背景场上(图3)，积分非线性模式240天，得到两个预报场。计算两个预报场相对于背景场区域Λ内上层厚度的均方根误差(RMSE，图5)，可知均方根误差大，预报技巧低；均方根误差小，预报技巧高。图5中，0到120天内CNOP和LCNOP导致的预报误差大小基本相同，但从120天以后，CNOP导致的预报误差增长更快。在预报时刻t=240时，CNOP和LCNOP导致的预报误差分别为36.8m和28.6m。
图5 区域Λ内预报场与背景场上层厚度均方根误差（RMSE）随预报时间变化序列
Fig .5 Time series of root-mean-square error (RMSE) of upper-layer thickness between forecast states and background states in area Λ
图6画出了t=240天时海洋上层厚度600米等值线（在模式中可以近似代表射流路径）其中黑色线代表背景场，绿色线代表叠加CNOP后的预报场，红色线代表叠加LCNOP后的预报场。叠加CNOP后，在预报时刻射流弯曲处出现了涡的脱落，可知CNOP促进了射流弯曲的形成，弯曲在预报时刻前就达到最大，在预报时刻时涡已从弯曲处脱落; 相反，叠加了LCNOP后，在预报时刻射流弯曲程度相比背景场射流弯曲程度变小，说明LCNOP延缓了射流弯曲的形成。在双环流射流从拉伸模态到收缩模态的变化过程中，CNOP和LCNOP 对射流弯曲形成的作用是相反的。
图6 预报时刻t=240天时背景场的双环流射流路径（黑线），叠加CNOP后积分非线性模式得到的射流路径（绿线）,叠加LCNOP后积分非线性模式得到的射流路径（红线），其中双环流射流路径由海洋上层厚度600米等值线近似表示。
Fig. 6 Double -gyre jet path at predicting time (t=240d) for background state(black line), obtained after perturbed by CNOP(green line) and obtained after perturbed by LCNOP(red line). The double-gyre jet is approximately represented by 600-m contour of the upper-layer thickness.
4.3误差发展及分析
为清楚了解CNOP和LCNOP是如何影响双环流变化的，下面分析误差在预报时间0-240天的发展情况。图7画出了叠加CNOP后，积分非线性模式0、90、180和240天后误差的上层厚度发展（阴影部分），等值线为预报场的上层厚度分布。积分90天时，t=0时CNOP 的两个反气旋涡在平流作用下相应移动，位于射流北侧的反气旋在x=1100Km,y=1400Km附近得到了比较大的发展，该位置靠近弯曲发生的区域，而初始时刻位于两个反气旋中间的气旋涡则移动到x=800Km,y=1200Km附近，强度得到很大发展；积分180天时，射流南侧的反气旋涡被耗散掉，相比积分90天时的情况，x=800Km,y=1200Km附近的气旋涡有较小增强，而x=1100Km,y=1400Km附近的反气旋涡则得到极大发展，该涡使得此处流场上层厚度增加。此外在x=1300Km,y=1400Km附近形成了一个强度大的气旋涡，并且使得此处流场上层厚度减小。此时在射流弯曲附近的反气旋涡和气旋涡的共同作用下，双环流射流弯曲程度进一步变大，随着积分时间增加，这对气旋和反气旋涡强度增大，弯曲不断变大。到积分t=240
天时，双环流射流弯曲处已出现涡旋脱落。
图7 预报时间t时CNOP的上层厚度发展（阴影部分）以及此时流场的上层厚度场（等值线）单位：米
Fig. 7 The upper-layer thickness component evolution of CNOP(shading) and the
upper-layer thickness of the double-gyre(contour) at different predicting time t. Units: m.
从误差发展角度了解到CNOP导致射流弯曲区域附近涡脱落，但是扰动为何在
x=800Km,y=1200Km；x=1100Km,y=1400Km；x=1300Km,y=1400Km三个位置附近得到较大发展的原因仍不清楚。图8画出了叠加CNOP后240天内预报场的平均流场。图中区域A、B、C所分别对应x=1100Km,y=1400Km；x=800Km,y=1200Km ；x=1300Km,y=1400Km三个位置附近。区域A内因处在北面气旋涡和南面反气旋涡相互作用的区域，东西方向流速非常小，区域内有向北和向南的海流同时存在，流速切变很大；区域B内流速普遍较大，在其左侧海流流向是西北方向，而右侧流向基本为正西方向，甚至有向西南流的趋势，这个区域内流速方向有比较大的改变，流速切变也比较大；区域C内流速相对来说较小，但是同样存在较大的流向改变。A、B、C三个区域内流速切变都比较大，在这些区域很可能存
在正压不稳定，使得误差不断地从背景场吸收能量，进而得到发展。
图8 叠加CNOP后预报时间段内平均流场单位：米/秒
Fig. 8 The mean velocity field of predicting period when perturbed by CNOP Units: m/s 图9给出了叠加LCNOP后，积分非线性模式0、90、180和240天后误差的上层厚度发展（阴影部分），等值线为预报场的上层厚度场分布。积分90天时，t=0时LCNOP中的射流南北两侧气旋涡在平流作用下移动并得到发展，而且在x=800Km,y=1100Km附近误差发展成一个反气旋涡；积分180天时，位于射流南侧的气旋涡被耗散掉，而北侧气旋涡则在x=1000Km,y=1500Km附近得到发展，该涡使流场此处上层厚度减小，此外在
x=1300Km,y=1400Km附近误差发展反气旋涡，该涡使得流场此处上层厚度增加,这对气涡和反气旋涡的共同作用阻碍了射流弯曲变大。随着积分时间增加，这对气旋和反气旋涡强度增大，到预报时刻t=240天时，预报场射流弯曲程度相比背景场（图3）变弱。图10画出了叠加LCNOP后240天内预报场的平均流场，图中用A，B，C三个矩形框分别代表
x=1000Km,y=1500Km; x=800Km,y=1100Km和x=1300Km,y=1400Km附近的区域。同CNOP 得到较大发展的三个区域相同，这三个区域内流速也存在较大切变，这些区域中很可能存在
正压不稳定，使得误差不断吸收背景场能量，从而得到发展。
图9 预报时间t时LCNOP的上层厚度发展（阴影部分）以及此时流场的上层厚度场（等值线）单位：米
Fig. 9 The upper-layer thickness component evolution of LCNOP (shading) and the
upper-layer thickness of the double-gyre(contour) at different predicting time t. Units: m.
图10 叠加LCNOP后预报时间段内平均流场单位：米/秒
Fig. 10 The mean velocity field of predicting period when perturbed by LCNOP Units: m/s 5 结论
本文使用球坐标下1.5层浅水模式模拟海洋风生双环流，利用CNOP方法研究初始误差对双环流变异可预报性影响。通过计算条件非线性最优扰动，得到CNOP型初始误差和LCNOP型初始误差，两者相似系数为-0.85。在预报时刻t=240天时，相比LCNOP，CNOP 导致的预报误差更大，导致双环流变异的预报技巧变的更低。通过研究误差发展，发现CNOP 使得射流弯曲程度变大，并且在预报时刻射流弯曲处已出现涡的脱落；相反，LCNOP则使得射流弯曲程度变小。另外我们发现CNOP和LCNOP中误差得到较大发展区域都存在大的速度切变，很大可能是由于这些区域存在正压不稳定，使得误差能够不断吸收背景场能量，进而发展起来。本文研究给出了两类使得双环流变异预报技巧下降最大的初始误差：CNOP 型和LCNOP型，并且探讨了其空间结构及发展，如果能够在数值预报中减少甚至消除这两种类型误差，将对黑潮和湾流延伸体的预报提供很大帮助。
本研究仍存在一些不足：一方面本研究使用理想模型，并没有考虑地形、风场、海温等实际因素，并不能与实测情况进行对比验证；另一方面，模式采用1.5层浅水模式，不能够考虑斜压等因素。下一步计划采用多层浅水模式，进一步考虑正压、斜压等因素的影响，并且用物理过程更加详细的海洋模式进行模拟验证。
致谢
衷心感谢Henk A.Dijkstra and Arjen Terwisscha van Scheltinga等提供的球坐标下1.5层浅水模式以及良好的模式运行环境，这为本文工作提供了极大便利。
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The impact of initial error on predictability of
Double-gyre variability
Zhang Kun1,2, Mu Mu1,3, Wang Qiang1,3
(1. Institute of Oceanology, the Chinese Academy of Sciences, Qingdao 266071, China; 2. Graduate School, university of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China; 3. Key Laboratory of Ocean Circulation and Wave, the Chinese Academy of Sciences, Qingdao 266071, China)
Key words:double-gyre variability; conditional nonlinear optimal perturbation(CNOP);
shallow-water model
Abstract: A 1.5-layer reduced-gravity shallow-water model was used to simulate wind-driven double-gyre flow. The model results show that the eastward jet has interannual variability between the contracted path and the elongated path, which also could be observed in Kuroshio and Gulf extension. Taking the simulation results from model time 24.33 year to 25.25 year as the background field, we investigated the impact of initial error on predictability of double-gyre variability by using conditional nonlinear optimal initial perturbation (CNOP) method. We got two kinds initial error: CNOP and LCNOP, and their similarity coefficient is -0.85. CNOP and LCNOP not only have large negative similarity in pattern, they also affect the predictability of double-gyre variability oppositely. Through observing the development of the optimal initial error, we found when the jet was changing from the elongated path into the contracted path, the CNOP strengthened the meander and at last a vortex dropped; however, the LCNOP weakened the meander. Moreover, the prediction error caused by CNOP is greater than that caused by LCNOP. We also found the areas where the optimal initial error got stable evolution generally had large velocity shear and the reason is there most likely exists the barotropic instability. As a result, the initial error could continuously got energy from the background field and developed into big vortexes.