久期和凸性
第四节债券投资收益
四、利率的久期与凸性
（一）久期
久期有许多不同的形式和解释。几种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。
1．麦考莱久期
“久期”又叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。当被运用于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表示的可用于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接方法，久期越长，利率风险越大。
麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；用于所有未来现金流的贴现率是固定的。
其中：D——久期
Ct——t时的现金流
R——到期收益率(每期)
P——债券的现价
N——到期前的时期数；
t——收到现金流的时期。
上述公式给出了理解麦考莱久期的方法。它表明时间的权重是每期收到的现金流的现值。每一贴现的现金流都代表了债券现金流现值的一部分。如果加总债券所有的贴现现金流，就得到了债券的价格。
麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：
2．修正久期
债券价格等于与债券相关的现金流的现值：
我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：
上述公式表示了当债券收益率发生很小变动时以美元表示的债券价值发生的变动。将公式两边同时除
以债券价格便得到了每一单位利率百分比变动时债券价格的百分比变动：
上述公式是修正久期的表达式。括号中的项是麦考莱久期公式的分子。因而修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：
修正久期显示了与债券到期收益率的小变动相关的价格百分比变化。注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率水平的运动方向相反是一致的。实际上，久期的负号常常被忽略。
3．封闭式久期
这一方法的优点在于计算简便，这也是为什么大多数计算久期的软件程序都使用封闭形式的公式。莱西和纳沃尔卡(Lacey and Nawalkha)给出了至少6种不同的按息票支付日期计算债券久期的封闭式解法，以及其他一些在支付日期之间支付的持续期方法。虽然这些方法都得出了同样的久期值，它们在复杂程度和要求输入变量的数字上却存在差别。
一个有名的例子是裘阿(Chua)的封闭式久期公式，如公式中所示：
其中：F＝债券面值(平价)，所有其他变量和前面的定义相同。
4．有效久期
弗兰克·法波齐(Frank Fabozzi)描述了另一种衡量久期的方法，它是从修正久期的含义发展而来的。有效久期是衡量不同利率水平下债券价格敏感性的方法。在收益率发生很小变动时它是修正久期的近似值。有效久期对可赎回债券或其他期限和现金流不确定的证券尤为有用。
用下列公式可以计算有效久期：
其中：P_——利率下降x个基本点时的债券价格
P+——利率上升x个基本点时的债券价格
R_——初始收益率减去x个基本点
R+—初始收益率加上x个基本点；
P0 ——债券的初始价格。
考虑8年期利率为9.5％的债券，半年支付1次利息，按面值90％出售，其到期收益率为11.44％。我们现在用收益率中5个基本点的变化来计算其有效持续期。收益率为11.49％时，相关债券价格为89.77%，收益率11.39％时，价格为90.25％。
将这一结论与裘阿的封闭式持续期相比较：
其中：C＝$47.50；F＝$1000；P＝$900；R＝每年11.44％，或每半年5.72％； N＝8年，或16个半年期。
=11.29个半年期，或5.64年。
裘阿的封闭式久期公式得出了麦考莱久期，为了将它变为修正久期，除以(l+半年到期收益率)，或除以1.0572：
在这个例子中，由于没有隐含期权(Embedded options)影响债券价格，有效久期和修正久期相等。
（二）凸性
如果一种债券的市场价格等于它的面值，它的到期收益率就等于息票利率；如果市场价格高于（低于）面值，则到期收益率就会低于（高于）息票利率。据此，可以导出债券定价的两个基本特点：第一，如果债券价格上涨，则收益率必然下降，反之，如果债券价格下降，则收益率必然上升；第二，债券收益率的下降会引起债券价格的上升，且上升的幅度要超过债券收益率以同样比率上升引起的债券价格下降幅度。
根据第一条，债券价格与收益率呈反向关系；根据第二条，不仅表明二者的关系是非线性的，而且债券价格与收益率呈凸关系，这种关系常常被称为债券价格的凸性（convexity）。如图3.1所示。
从图3.1可见，债券价格与收益率呈反向的非线性关系，且收益率从R0下降到R2引起的价格上涨幅
度（P2-P0）大于收益率从R0上升同样幅度到R1引起的价格下降幅度（P0-P1），该曲线是凸性的。
该曲线表明，债券价格对收益率的一阶导数为负，而这正是久期刻画的债券价格与收益率的关系，如图3.1的那条切线。而债券价格对收益率的二阶导数为正，这正是债券的凸性所反映的。
切线和用久期预测的价格的变动相对应。当债券的收益率上升或下降时，价格实际变动(曲线)和持续期预测的价格变动(切线)之间会有偏差,如图3.1中的P2- P*2和P1-P*1（注意：当利率变动时，基于久期的证券估价总是小于实际价格）。曲线越弯曲，价格差别越大。久期可以在利率变动无限小时精确地衡量价格的变动，但当利率发生大的增加时，凸度的重要性就增大了。
因此，尽管久期是衡量利率风险的有用方法，但它在利率发生较大变动时是不完善的。通过考虑和久期相伴的凸度的影响，可以提高预测的准确性。注意凸度关系的两个特点：第一，在其他条件不变时，到期收益率越高、凸度越小；第二，在其他条件不变时，利率越低，凸度越大。