梅森数
梅森数
梅森数(Mersenne number)是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime)。p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个12,978,189位数。如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
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也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个，既然有无穷个，那么就应该有一个素数数列的公式，为了寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血。（参见百度百科“素数普遍公式”和“孪生素数普遍公式”）在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
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梅森素数的由来
马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。他与大科学家
伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。许多科学家都乐于将成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。因此，他被人们誉为“有定期学术刊物之前的科学信息交换站”。梅森和巴黎数学家笛卡儿、费马、罗伯瓦、迈多治等曾每周一次在梅森住所聚会，轮流讨论数学、物理等问题，这种民间学术组织被誉为“梅森学院”，它就是法兰西学院的前身。
1640年6月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。这封信讨论了形如2^P－1的数（其中p为素数）。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^P－1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2^P－1是素数，则(2^p－1)2^(p －1)是完美数。
梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2^P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2^P－1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2^P－1是合数。前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。不过，人们对其断言仍深信不疑，连大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。
虽然梅森的断言中包含着若干错误（后文详述），但他的工作极大地激发了人们研究2^P－1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位。可以说，梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2^P－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2^P－1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2^P－1型素数）。
梅森素数貌似简单，而研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。即使属于“猜测”部分中最小的
M^31=2^31－1=2147483647，也具有10位数。可以想象，它的证明是十分艰巨的。正如梅森推测：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的。”是啊，枯燥、
冗长、单调、刻板的运算会耗尽一个人的毕生精力，谁愿让生命的风帆永
远在黑暗中颠簸！人们多么想知道梅森猜测的根据和方法啊，然而年迈力
衰的他来不及留下记载，四年之后就去世了；人们的希望与梅森的生命一
起泯灭在流逝的时光之中。看来，伟人的“猜测”只有等待后来的伟人来
解决了。
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梅森数的位数计算
由于梅森数可能十分巨大，因此计算梅森数的精确位数，需要运用换
底公式：log10(2^p)=p*ln(2)/ln(10)，然后加1再取整即可。（因为10^n 有n+1位，所以要加1）。
计算梅森数的位数的C++源代码如下：
#include
#include
#include
using namespace std;
int main(){
int p;
cout<<"Please input a prime number p:";
cin>>p;
cout<<"M"< return 0; } 编辑本段 梅森素数的探索历程 由于梅森素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着 众多的数学家，如欧几里得、费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等和无数的业余数学爱好者对它进行研究和探寻。2300 多年来，人类仅发现47个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。 自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数； 因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程。而梅森断言为素数而未被证实的几个Mp当然首先成为人们研究的对象。 梅森素数的研究难度极大，它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰苦的计算。1772年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31是一个素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，他因此获得了“数学英雄”的美誉。这是寻找已知最大素数的先声。欧拉还证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理，即：每个偶完美数都具有形式(2^p－1)2^(p－1)，其中2^p－1是素数。这就使得偶完美数完全成了梅森素数的“副产品”了。欧拉的艰辛给人们提示：在伟人难以突破的困惑面前要想确定更大的梅森素数，只有另辟蹊径了。 100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理。鲁卡斯的工作为梅森素数的研究提供了有力的工具。1883年，数学家波佛辛利用鲁卡斯定理证明了M61也是素数——这是梅森漏掉的。梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯发现。 1903年，在美国数学学会的大会上，数学家柯尔作了一个一言不发的报告，他在黑板上先算出2^67－1，接着又算出193707721×761838257287，两个结果相同。这时全场观众站了起来为他热烈鼓掌，这在美国数学学会开会的历史上是绝无仅有的一次。他第一个否定了“M67为素数”这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论。这短短几分钟的报告却花了柯尔3年的全部星期天。1922年，数学家克莱契克进一步验证了M257并不是素数，而是合数（但他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年代人们才知道它有3个素因子）。 1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个针对Mp的新的素性测试方法，即鲁卡斯-雷默方法：Mp＞3是素数的充分必要条件是Lp-2=0，其中L0=4，Ln+1=(Ln－2)ModMp。这一方法直到今天的“计算机时代”仍发挥重要作用。 “手算笔录时代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。而计算机的产生使寻找梅森素数的研究者如虎添翼。1952年，数学家鲁滨逊等人将鲁卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在几个月内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。其后，M3217在1957年被数学家黎塞尔证明是素数；M4253和M4423在1961年被数学家赫维兹证明是素数。1963年，美国数学家吉里斯证明M9689和M9941是素数。 1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数M11213通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，以第一时间发布了这一重要消息；发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，以致于把所有从系里发出的信件都敲上了“2^11213－1是个素数”的邮戳。 1971年3月4日晚，美国哥伦比亚广播公司（CBS）中断了正常节目播放，发布了塔可曼使用IBM360-91型计算机找到新的梅森素数M19937的消息。而到1978年10月，世界几乎所有的大新闻机构（包括我国的新华社）都报道了以下消息：两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数：M21701。 随着素数P值的增大，每一个梅森素数的产生都艰辛无比；而各国科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数M23209时，人们告诉他们：在两个星期前诺尔已得到这一结果。为此，史洛温斯基潜心发愤，花了一个半月的时间，使用CRAY-1型计算机找到了新的梅森素数M44497。这个记录成了当时不少美国报纸的头版新闻。之后，这位计算机专家乘胜前进，使用经过改进的CRAY-XMP型计算机在1983年至1985年间找到了3个梅森素数：M86243、M132049和M216091。但他未能确定M86243和M216091之间是否有异于M132049的梅森素数。而到了1988年，科尔魁特和韦尔什使用NEC-FX2型超高速并行计算机果然捕捉到了一条“漏网之鱼”——M110503。沉寂4年之后，1992年3月25日，英国原子能技术权威机构——哈威尔实验室的一个研究小组宣布他们找到了新的梅森素数M756839。1994年1月14日，史洛温斯基和盖奇为其公司再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠——这一素数是M859433。而下一个梅森素数M1257787仍是他们的成果。这一素数是使用CRAY-794超级计算机在1996年取得的。史洛温斯基由于发现7个梅森素数，而被人们誉为“素数大王”。但使用超级计算机寻找梅森素数的游戏实在太昂贵了。 网格(Grid)这一崭新技术的出现使梅森素数的探寻如虎添翼。1996年初，美国数学家和程序设计师乔治· 沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用，这就是著名的“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS)项目。该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。1997年美国数学家及程序设计师斯科特·库尔沃斯基和其他人建立了”素数网”（PrimeNet），使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。现在只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加该项目来搜寻新的梅森素数。 为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新领域基金会(EFF)于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找新的更大的梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。其实，绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。 2008年8月23日，美国加州大学洛杉矶分校计算机专家埃德森·史密斯发现了第45个梅森素数“2的43112609次方减1”，该素数有12978189位，它是目前已知的最大素数。如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！史密斯是第一个发现超过1000万位的梅森素数的人，他获得了EFF颁发的10万美元大奖。年底这一重大发现被著名的美国《时代》周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一。 14年来，人们通过GIMPS项目找到了13个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。目前世界上已有170多个国家和地区近18万人参加了这一项目，并动用了37万多台计算机联网来进行网格计算，以寻找新的梅森素数。该项目的计算能力已超过当今世界上任何一台最先进的超级矢量计算机的计算能力，运算速度超过每秒400万亿次。 时至今日止，人们已经发现了47个梅森素数，并且确定M20996011位于梅森素数序列中的第40位。现把它们列表如下： 序号梅森素数位数发现时间 1 M 2 1 公元前300 2 M 3 1 公元前300 3 M5 2 公元前100 4 M7 3 公元前100 5 M13 4 15世纪中叶 6 M1 7 6 1603 7 M19 6 1603 8 M31 10 1772 9 M61 19 1883 10 M89 27 1911 11 M107 33 1914 12 M127 39 1876 13 M521 157 1952 14 M607 183 1952 15 M1279 386 1952 16 M2203 664 1952 17 M2281 687 1952 18 M3217 969 1957 19 M4253 1281 1961 20 M4423 1332 1961 21 M9689 2917 1963 22 M9941 2993 1963 23 M11213 3376 1963 24 M19937 6002 1971 25 M21701 6533 1978 26 M23209 6987 1979 27 M44497 13395 1979 28 M86293 25962 1983 29 M110503 33265 1988 30 M132049 39751 1983 31 M216091 65050 1985 32 M756839 227832 1992 33 M859433 258716 1995 34 M1257787 378632 1996 35 M1398269 420921 1996 36 M2976221 895933 1997 37 M3021377 909526 1998 38 M6972593 2098960 1999 39 M13466917 4053946 2001 40 M20996011 6320430 2003 41? M24036583 7235733 2004 42? M25964951 7816230 2005 43? M30402457 9152052 2006 44? M32582657 9808358 2007 45? M43112609 12978189 2008 46? M37156667 11185272 2008 47? M42643801 12837064 2009 由上表可见，梅森素数的分布极不规则。我们甚至可以看到，连找到梅森素数的时间分布都极不规则，有时许多年未能找到一个，而有时则一下找到好几个。探索梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特就曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均未尽如人意。中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一科研成果被国际数学界命名为“周氏猜测”。著名的《科学》杂志上有一篇评论文章指出，这是梅森素数研究中的一项重大突破。 为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新领域基金会(EFF)于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找新的更大的梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美 元；超过10亿位数，25万美元。其实，绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。 编辑本段 梅森素数的意义 梅森素数历来都是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。自古希腊时代直至17世纪，人们寻找梅森素数的意义似乎只是为了寻找完美数。但自梅森提出其著名断言以来，特别是欧拉证明了欧几里得关于完美数的定理的逆定理以来，完美数已仅仅是梅森素数的一种“副产品”了。 寻找梅森素数在现代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效的途径，自欧拉证明M31为当时最大的素数以来，在发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。 寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段。如 M1257787就是1996年9月美国克雷公司在测试其最新超级计算机的运算速度时得到的。梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥了独特作用。发现梅森素数不仅仅需要高功能的计算机，它还需要素数判别和数值计算的理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因而它还推动了数学皇后——数论的发展，促进了计算数学、程序设计技术的发展。 由于寻找梅森素数需要多种学科的支持，也由于发现新的“最大素 数”所引起的国际影响使得对于梅森素数的研究能力已在某种意义上标志着一个国家的科学技术水平，而不仅仅是代表数学的研究水平。从各国各种传媒（而不仅仅是学术刊物）争相报道新的梅森素数的发现，我们也可清楚地看到这一点。 梅森素数在实用领域也有用武之地。现在人们已将大素数用于现代密码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。 寻找梅森素数最新的意义是：它促进了分布式计算技术的发展。从最新的13个梅森素数是在因特网项目中发现这一事实，我们已可以想象到网络的威力。分布式计算技术使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能完成的项目成为可能；这是一个前景非常广阔的领域。它的探究还推动了快速傅立叶变换的应用。 在当代梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：它的研究成果，一定程度上反映了一国的科技水平。英国顶尖科学家、牛津大学教授马科斯·索托伊甚至认为它是人类智力发展在数学上的一种标志,也是科学发展的里程碑之一。 可以相信，梅森素数这颗数学海洋中的璀璨明珠正以其独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究。 最后，有必要指出的是：素数有无穷多个，这一点早为欧几里得发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题；而揭开这一未解之谜，正是科学追求的目标。让我们以数学大师希尔伯特的名言来结束本文：“我们必须知道，我们必将知道。” 梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展： 1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1）；.例如：23|(2^11-1);； 47|(2^23-1);；167|(2^83-1);,,,. 2,，p=2^n×3^2+1,，则（6p+1）|(2^P-1)，例如：223|(2^37-1);；439|(2^73-1)； 3463|(2^577-1);；，，，。 3，p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p+1）|（2^P-1）；.例 如;233|(2^29-1)；;1433|(2^179-1)； 1913|（2^239-1）；，，，。 还有一些梅森数分解取得进展，不再一一叙述,(王晓明王蕊珂)。 梅森数之谜：MM127是素数吗？ 周平源 E-mail: zhoupingyuan49@https://www.wendangku.net/doc/ec3757728.html, 当Mp=2p–1是一个梅森素数时，如果把Mp作为指数就可以生成一个新的梅森数,它称为由已知梅森素数Mp生成的双梅森数。虽然Mp是已知素数但MMp不一定也是素数，MMp是否也是素数需要证明或检验。如果MMp是素数，把MMp作为指数可以生成又一个新的梅森数MMMp,它称为由梅森素数MMp生成的双梅森数。这种生成新的梅森数的方法可以无休止地进行下去，而且相继生成的梅森数的数值成长极为迅猛，在这种序列中通常第几项的数值就会成为巨大的天文数字。这就是著名的卡特兰-梅森猜想的数学方法基础。 1876年卢卡斯（Lucas）证明梅森数M127=2127–1是素数后，数学家卡特兰（Catalan）便列出了如下一列无穷的数:c 1 =M2，c2=MM2，c3=MMM2，c4=MMMM2，c5=MMMMM2，….并猜想这些数都是素数。它就是至今悬而未决的著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想 （Catalan’s Mersenne conjecture）。前4个数c 1=M2，c 2 =M3， c3=M7，c4=M127在卡特兰提出这个猜想时就已经知道它们都是素数，但第5个数c 5 =MM127的数值实在太大至今没有任何可信的方 法证明它是素数，而如果它是合数就需要找出它的一个因子但还必须等待漫长的岁月，这是因为比MM127小得多的双梅森数MM61至今还没有被找出一个因子。 多年以来不乏业余数学家宣布已证明MM127是素数，但这些证明都被指出是不可靠的。一些专业数学家推测MM127很可能不是素数，主要理由表现在以下两方面： 1.在MM127 的数值规模上（位数超过1038），可计算出MM127为素数的概率约为1/2120，这是极小的概率，因而MM127几乎不可能是素数。 2.有许多早期类似的猜想形成普遍的误解都被很快出现的合数项否定了。第一例：梅森素数（Mersenne prime）。公元前就知道前4个梅森数M2，M3，M5，M7都是素数因而人们曾猜测对于每个素数p相应的梅森数Mp都是素数，但因为雷吉乌斯在1536年发现M11是合数这个猜想就被否定了。第二例：双梅森素数（double Mersenne prime）。由于已知前4个双梅森数MM2，MM3，MM5，MM7都是素数因而人们曾猜测对于每个梅森素数Mp 相应的双梅森数MMp都是素数，但在1976年Wilfrid Keller发现MM13存在因子后这个猜想也被否定了（至今已经知道双梅森数MM17，MM19，MM31也都有已知因子，正在寻找MM61的因子。在此发现MM31存在因子有特殊意义，因为这个梅森合数MM31的数值已经远远大于最大已知梅森素数M43112609的数值）。第三例也是最著名的例子：费马素数（Fermat prime）。法国大数学 魅力无穷的梅森素数 ——香港科技大学方程 2004年5月15日，美国国家海洋和大气局顾问、数学爱好者乔希·芬德利(Josh Findley)用一台装有2.4GH 奔腾处理器的个人计算机，找到了目前世界上已知最大 Z 的梅森素数。该素数为2的24036583次方减1(即224036583－1)，它有7235733位数，如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度可达3万米！它是2000多年来人类发现的第41个梅森素数，也是目前已知的最大素数。世界上许多著名的新闻媒体和科学刊物都对这一消息进行了报道和评介，认为这是数学研究和计算技术中最重要的突破之一。 也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。 梅森素数的由来 马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。 梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广 数与图的完美结合 -------浅析差分约束系统 华中师大一附中冯威 [摘要] 在面对多种多样的问题时，我们经常会碰到这样的情况：往往我们能够根据题目题面意思来建立一些简单的模型，但却面对这些模型无从下手。这时我们应该意识到，也许能够将这种模型与其他的模型之间搭起一座桥梁，使我们能够用更简单直接的方式解决它。这里我们介绍一种方法，它很好地将某些特殊的不等式组与图相联结，让复杂的问题简单化，将难处理的问题用我们所熟知的方法去解决，它便是差分约束系统。这里我们着重介绍差分约束系统的原理和其需要掌握的bellman-ford算法。然后通过zju1508和zju1420两道题目解析差分约束系统在信息学题目中的应用，并逐渐归纳解决这类问题的思考方向。 [目录] ◆关键字 (2) ◆Bellman-ford算法 (2) ◇算法简单介绍 (2) ◇算法具体流程 (2) ◇例题一ZJU2008 (4) ◆差分约束系统 (5) ◇例题二ZJU1508 (5) ◇线性程序设计 (7) ◇差分约束系统 (7) ◇例题三ZJU1420 (8) ◆结语 (9) ◆附录 (9) [关键字] 差分约束系统、不等式、单元最短路径、转化 [正文] 在分析差分约束系统之前，我们首先介绍一个解决单元最短路径问题的Bellman Ford算法，它的应用十分广泛，在差分约束系统中更充当着重要的角色。 Bellman-ford 算法 算法简单介绍 这个算法能在更一般的情况下解决最短路的问题。何谓一般，一般在该算法下边的权值可以为负，可以运用该算法求有向图的单元最长路径或者最短路径。我们这里仅以最短路径为例。 Bellman ford 类似于Dijkstra算法，对每一个节点v∈V，逐步减小从起点s到终点v最短路的估计量dist[v]直到其达到真正的最短路径值mindist[v]。Bellman-ford算法同时返回一个布尔值，如果不存在从源结点可达的负权回路，算法返回布尔值TRUE，反之返回FALSE。 算法具体流程 1．枚举每条边(u,v)∈E（G）。 2．对枚举到的边进行一次更新操作。 3．回到步骤1，此过程重复n-1次，以确定没有更可以优化的情况。 4．枚举每条边（u，v）若仍然存在可以更新的边，则说明有向图中出现了负权回路，于是返回布尔值FALSE。 5．返回布尔值TRUE。 注：这里的更新操作是一种松弛技术，以单元最短路径为例这个操作就是保证 dist[v]<=dist[u]+w[u,v]，即if dist[v]>dist[u]+w[u,v] then dist[v]=dist[u]+w[u,v]，如果是最长路径则是保证dist[v]>=dist[u]+w[u,v]。 定义一个有向图G=（V，E），w（u，v）表示由结点u到v的边的权值。 伪代码如下： 梅森素数：第47个梅森素数被发现 挪威计算机专家奥德·斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，最近发现了第47个梅森素数，该素数为“2的42643801次方减1”。它有12837064位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度超过50千米! 梅森素数的诱惑 素数是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数(如2、3、5、7等等)，素数有无穷多个。而形如“2的P次方减1”（其中指数P为素数）的素数称为梅森素数，以17世纪法国数学家梅森的名字命名。梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。 早在公元前4世纪，古希腊数学大师欧几里得就开创了探寻“2的P次方减1”型素数的先河。他在《几何原本》中论述完全数时就曾研究过这种特殊的素数。由于梅森素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行研究和探寻。2300多年来，人类仅发现47个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数学珍宝”。 梅森素数的研究难度极大；它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。1772年，被誉为“数学英雄”的欧拉在双目失明的情况下，以惊人的毅力靠心算证明了“2的31次方减1”是第8个梅森素数，该素数有10位。 特别值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们探究梅森素数提供了方便；后来这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。 网格技术来助力 网格（Grid）这一崭新技术的出现使梅森素数的探究如虎添翼。1996年初美国数学家及程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用；这就是著名的GIMPS项目。该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。 为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找新的更大的梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元。 去年8月，美国人史密斯发现了第46个梅森素数“2的43112609次方减1”，该素数有12978189位。它是目前已知的最大素数。他获得了EFF颁发的10万美元大奖。去年底，它被《时代》周刊评为“年度50项最佳发明”之一。 13年来，人们通过GIMPS项目找到了13个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。世界上已有170多个国家和地区近18万人参加了这一项目，并动用了37万多台计算机联网来进行网格计算。该项目的计算能力已超过当今世界上任何一台最先进的超级矢量计算机的计算能力，运算速度超过每秒400万亿次。 梅森素数的意义 梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径；它的探究推动了数学皇后———数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术、网格技术和密码技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。 梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：它的研究成果，一定程度上反映了一国的科技水平。英国顶尖科学家索托伊甚至认为它是人类智力发展在数学上的一种标志，也是科学发展的里程碑。 1 设计与工艺完美结合成就经典画册《朝元图》 永乐宫三清殿《朝元图》大型经典画册（如图1所示），荣获了2013年第六届金光印艺大奖书籍装帧设计金奖和评委会特别推荐奖。这一画册由北京雅昌彩色印刷有限公司（以下简称“雅昌”）印制。 总体来看，《朝元图》画册内容资料珍贵，是中国及世界绘画史上重要的艺术瑰宝；装帧设计独特，具有中国气派的风格和特征；印制技术精湛，忠实再现了壁画艺术的特点；装帧加工精致，用料考究，出类拔萃。金光印艺大奖评委会一致认为，这是一部具有国际先进水平的珍世佳作。 阅读《朝元图》画册，会不自觉地被永乐宫壁画的高超画技和独特风格所震慑，被设计的中国气派之美、印制精湛之美、装帧形制之美、材质古朴之美所吸引。该画册主要体现出了以下4大亮点。 内容资料珍贵 永乐宫是一座闻名世界的道教宫观，位于山西省芮城，以精美绝伦的壁画艺术闻名天下。壁画题材丰富，画技高超，既继承了唐宋以来优秀的绘画技法，又融合了元代的绘画特点，形成了永乐宫壁画的独特风格。它不仅是中国绘画史上的重要杰作，也是世界绘画史上的罕见巨制。 在永乐宫各殿中以主殿三清殿《朝元图》壁画最为精彩，描绘了道教神仙朝拜的盛况。画中有8位身高3米的主神，围绕主神绘有金童、玉女、星宿、力士等290尊道仙人物，场面壮观，气势恢弘。壁画中的诸神形象生动，线条疏密有致，刚柔相济，颜色采用矿物质天然颜料，艳而不俗，历时近700年不褪色，充分体现了传统中国绘画的特点，实为中国古代壁画中的扛鼎之作。 画册对三清殿《朝元图》进行了一次整体性、专题性的发掘汇编集成，具有历史价值、艺术价值和收藏价值。 装帧设计独特 《朝元图》画册设计庄重大气、深厚质朴，充满力量感，彰显中国气派和风格，有中华文化之美，极具震撼力。 设计师以“新设计论”为理念，将书籍形态的外在观赏美与内在阅读美相结合，根据永乐宫壁画的特点，将书籍设计成豪华精装大四开画册，充分展示了永乐宫壁画的宏伟。该画册装帧设计的独特性主要体现在以下3点。 （1）封面以满版实地“中国红”为基调，稳重典雅，其巧妙的设计象征永乐宫大门，门上用门钉、木牙签穿带锁书，给读者一种亲手打开大门进入时光隧道的感觉，使读者带着崇敬的心情来欣赏精美绝伦的壁画艺术，体现出一种现场的真实感。 （2）画册整体设计简洁质朴，省去了不必要的装饰， 东北农业大学网络教育学院 自动控制原理网上作业题 第一章基本概念 一、简答题 1 简述自动控制的基本概念 2 简述自动控制系统的基本组成 3 简述控制系统的基本控制过程 4 简述自动控制系统的基本分类 5 试比较开环控制和闭环控制的特点 6 简述自动控制系统的性能评价指标 二、分析计算题 1 液位自动控制系统如图所示。试分析该系统工作原理，画出系统原理框图，指出被控对象、被控参量和控制量 2 发动机电压调节系统如图所示，试分析其工作原理，画出系统原理框图，指出其特点。 3液面控制系统如图所示。试分析该系统的工作原理，指出系统中的干扰量、被控制量及被控制对象，并画出系统的方框图。 4控制系统如图所示。简述该系统的工作原理，说明该系统的给定值、被控制量和干扰量，并画出该系统的方块图。 图1-7发电机-电动机调速系统 操纵电位计 发电机 伺服电机 减速器 负载 Θr 给定值Ur 前置放大器功放执行元件 被控量 Wm 这是一个开环控制的例子 +E -E Θr 发电机-电动机调速系统 5火炮随动控制系统如图所示。简述该系统的工作原理，并画出该系统的原理框图。 第二章 线性控制系统的数学模型 一、简答题 1 简述建立控制系统数学模型的方法及其数学表示形式 2 简述建立微分方程的步骤 3 简述传递函数的基本概念及其特点 4 给出组成控制系统典型基本环节 二、分析计算题 1 有源电网络如图所示，输入量为)(1t u ，输出量为)(2t u ，试确定该电网络的传递函数 2 电枢控制式直流电动机原理图如图所示，输入量为)(1t e ，输出量为)(t o ，试确定其微分方程。 还记得年少时的梦吗？ 还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7……”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。 还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年来，电脑内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。 现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127…… 嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前…… 别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜……你已经迟到了二千年。 在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！ 当P＝11、13、17、19、23……的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。 人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于6的素数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：象5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？ 在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。毕达哥拉斯学派指出，如果一个数的所有因数（包括1但不包括它本身）的和正好等于它本身，则这个数就叫做完美数。很容易 梅森素数的数学和计算机算法的一些知识 本页面讨论用于高效地搜索梅森素数的数学和计算机算法的一些知识。由于相对于数学家，我更多地是计算机程序员，因此我将不深入到太多的数学细节中，而是设法提供链接代替。 生成一个列表(Forming a list) 很容易证明，如果 2p-1 是素数，则 p 也一定是素数。因此，搜索梅森素数的第一步就是生成一个用于测试的素数指数列表。 试验分解因子(Trial Factoring) 下一步是通过寻找小因子来排除一些指数。有一个非常高效的算法判断一个数是否能整除 2p-1。例如，让我们看一下 47 是否能够整除 223-1。把指数 23 转换成二进制数，我们得到10111。从 1 开始，重复以下步骤：平方，删除指数的最左边二进位，如果该位是 1，则将平方后得到的值乘以 2，然后计算其除以 47 后的余数。 删除最左如果需要就除以47 平方边二进位乘以 2 的余数 ------------ ------- ------------- ------ 1*1 = 1 1 0111 1*2 = 2 2 2*2 = 4 0 111 no 4 4*4 = 16 1 11 16*2 = 32 32 32*32 = 1024 1 1 1024*2 = 2048 27 27*27 = 729 1 729*2 = 1458 1 因此，223 = 1 mod 47。两边同时减 1，223-1 = 0 mod 47。因此我们知道 47 是一个因子，从而 223-1 不是素数。 可以证明梅森数有一个非常好的性质：2p-1 的任何因子 q 必定是 2kp+1 的形式，并且 q 除以 8 的余数一定是 1 或者 7。最后，一个高效的程序可以利用任何可能的因子 q 必须是素数这一事实。 GIMpS 程序的分解因子代码使用修正的厄拉托森斯(Eratosthenes)筛法，利用一个二进位表示一个可能的 2kp+1 形式的因子。这个筛排除能够被大约 40,000 以下的素数整除的任何可能的因子。同样，表示除以 8 的余数是 3 或者 5 的可能的因子的二进位被清除。这个过程排除大约百分之九十五的可能的因子。剩下的可能的因子使用上面描述的高效的算法进行测试。 现在唯一的问题是要试验分解多少因子？答案取决于三个因素：分解因子的代价、发现一个因子的概率和素性测试的代价。我们使用以下公式： 分解因子的代价 < 发现因子的概率 * 2 * 素性测试的代价 也就是说，分解因子所花费的时间必须小于期望被节省的时间。如果能够发现一个因子，我们就能够避免进行首次素性测试和复查。 根据以前分解因子的数据，我们知道发现一个 2X到 2X+1之间的因子的概率大约是 1/X。本程序进行素性测试和分解因子所需的时间已经被计算出来。目前，本程序试图分解因子到：指数上限分解因子到 ----------- ------------ 3,960,000 260 5,160,000 261 6,515,000 262 8,250,000 263 13,380,000 264 17,850,000 265 21,590,000 266 28,130,000 267 35,100,000 268 44,150,000 269 57,020,000 270 71,000,000 271 79,300,000 272 用 p-1 方法分解因子(p-1 Factoring) 还有另外一个方法可被 GIMpS 程序用来搜索因子，因而避免进行素性测试的花费。这个方法叫做波拉德(pollard)(p-1)方法。如果 q 是某数的一个因子，并且 q-1 是高度复合的(也就是说 q-1 只有小因子)，p-1 方法就可以找到因子 q。 让图片与文字完美[结合图片详细分析] 你在设计中经常会遇到这样的问题：你的图片与你的文字都占据了相同的空间。你可能经常采用的一个解决的办法是虚化图片，让文字突出，但这样做却会使到一张生动的图片失色。有没有更好的解决办法？当然有。你可以试着将图片的一部分消除，让它成为一个设计元素。而一个羽化的边缘可以使到图片与页面柔和过渡，使画面显得协调。 图 1 图 2 图1的处理方式虽然保留了图片的生动鲜艳特色，但却令文字难以卒读。 图2采用淡化背景的方式来突出文字，却使到图片失色，显得缺乏生气。 图 3 无疑，图3的方式既保留了原图的特色，而且也使到文字与图片更加协调。 在哪里动手？ 这引出了另一个问题，在图片上哪里动手最理想？你必须记住的是怎样使文字及图片成为两个协调的元素。 图 4 图4左，边缘虽然经羽化处理，但因为文字的影响，使左边的页边距不但变大，而且使图片产生一个很明显的边缘。 图4右是一个更好的解决办法，将羽化的图片放在右边，而且要注意一点的是，羽化的边缘并不是平整的，而是自然地跟着文字形成的参差不齐的左边缘变化形成一个弧形羽化边缘（最终效果见图3）。 解决不相配的图形 图 5 在图5中，一张水平放着的图片与垂直的空间并不相配。解决的办法就是沿着图片中的自然边缘，用其边缘淡化使它与空间变得更协调。 在上面的右图中，背景慢慢淡出，让人感觉到图片与空间本是一个整体，这样处理也使看的人更容易将注意力放到水牛上。而装饰性的字体的颜色采用了底部的草的颜色，使整个画面散发出一种质朴的气息。整个画面自然协调，是一个非常成功的设计。 创造一个图片标题 图 6 在图6中，天空中呼啸而过的飞机可以使它成为吸引眼睛的一个元素，而且以良好的视觉效果引出下面的广告文字。 飞机的机身与图片羽化边缘相协调，加强了飞机的动感。不象原图中（图6右上）深蓝色的矩形，可留意羽化的边缘部分是如何对整个页面产生了一种非常合适的气氛的。 突出重点 其实对图片的边缘修饰可以有很多种形状。在这张图中，椭圆形的淡化边缘是逐渐过渡到黑色，而不是象上述几个是过渡到白色的。这可以使到整个画面产生一种焦点效应，使人们的注意力更容易集中在我们想表达的对象上。 素数的分类 摘要：根据任意素数3≥p ，梅森数12-p ，存在二元二次方程p k m mkp p 12481-=++-。且12-p 有且仅有一个素因子形如12+kp ，1),2(=k 。按照梅森数的合素性质判别条件，可以对所有奇素数3≥p 予以分类。素数分类对于研究梅森素数的无穷性及了解素数分布规律有重要意义。 关键词：素数，分类 一，符号的意义 1，p ：大于等于3的奇素数。 2，p '：形如14-'n 的奇素数。 3，p ''：形如14+''n 的奇素数。 二，梅森数12-p 的合素性质判别条件与素数分类法 1，梅森数12-p 的合素性质判别条件： （1）存在奇数p p k p )18(2121+-<≤，使得12+kp 是素数。 （2）)4(mod 1-≡kp （3）)12(m od 1221 ++≡-kp a p （4） )12(m od 1)1(2++≡+kp kp a 2，素数分类法 （1），根据梅森数12-p 的合素性质判别条件（2）：知p ，k 具有形式互反性质： 据此把所有奇素数3≥p 分为两个大类。 第一大类：存在于等差数列 3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，…，14-'n 中的素数p '。 第二大类：存在于等差数列 1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，…，14+''n 中的素数p ''。 设12+''p k |12-'p ，1),2(='k ；12+''''p k |12-' 'p ，1),2(=''k ；则 存在（a ）{1414+'='-'='m k n p ，（b ）{1 414-''=''+''=''m k n p 两种不同对应形式。 （2）,根据梅森数12-p 有且仅有一个素因子形如12+kp ，1),2(=k 。即每个奇素数p （关 于梅森数12-p ）对应唯一的一个奇数k 。 据此把每个大类的素数按照其对应的奇数k ，分为各个子类。 3，-p 矩阵与-q 矩阵 对于第一大类的素数，一般的，设14-'='n p ，14+'='m k 令j n i 2='，1),2(=j ，则12142-=-'='+j n p i 。 再令12+=l j ，,2,1,0=l …，,2,1,0=i …；则 )12(21)12(212142322-+=-+=-=-'='++++i i i i l l j n p （1） 可见：素数p '存在于行号i ，列号l 构成的矩阵之中。 称形如式（1）构造的矩阵为-'p 矩阵。 对式（1）顺序取自然数值行号i ，列号l ，形成以122-+i 为0列元素的-'p 矩阵。 -'p 矩阵： )12(223-+='++i i l p 3 11 19 27 35 43 51 59 67 75 83… 7 23 39 55 71 87 103 119 135 151 167 … 15 47 79 111 143 175 207 239 271 303 335… 31 95 159 223 287 351 415 479 543 607 671… … 性质：矩阵中没有相同的元素。 [寻找“梅森素数”]梅森素数列表 自从美国数学家库珀领导的研究小组发现迄今已知的最大梅森素数232582657－1以来，全球掀起了寻找梅森素数的新一轮热潮。目前，世界上来自150多个国家和地区的近15万人参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目，并动用了超过30万台计算机联网来进行大规模的网格计算，以探寻新的梅森素数。2300年只找到44个梅森素数素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。公元前三百多年，古希腊数学家欧几里德用反证法证明了素数有无穷多个，并提出了少量素数可写成2p－1（其中指数P为素数）的形式。此后许多著名数学家，包括数学大师费马、哥德巴赫、欧拉、高斯等都研究过这种特殊形式的素数，而17世纪的法国数学家梅森是其中成果最为卓著的一位。梅森学识渊博，才华横溢，并且是法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，数学界就把2p－1型的数称为“梅森数”，并以Mp记之（其中M为梅森姓氏的首字母）；如果Mp为素数，则称之为“梅森素数”。2300多年来，人类仅发现了44个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们称为“数海明珠”。貌似简单却难度极大的寻找梅森素数貌似简单，但研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。1772年，被誉为“数学英雄”的瑞士人欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31（即231－1＝2147483647）是一个素数。它有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。电子计算机的出现，大大加快了探究梅森素数的步伐。1952年美国数学家鲁滨逊等人将著名的卢卡斯－雷默方法编译成计算机程序，使用SW AC型计算机在短短几个小时之内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。1963年9月6日晚上8点，当第23个梅森素数M11213通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一成果，他们把所有从系里发出的信封都盖上了“211213－1是个素数”的邮戳。随着素数P值的增大，每一个梅森素数Mp的产生都艰辛无比。而各国科学家及业余研究者们仍乐此不疲，激烈竞争。例如，在1979年2月23日，当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第了26个梅森数M23209时，有人告诉他们：在两星期前美国加州的高中生诺尔就已经给出了同样的结果。为此他们又花了一个半月的时间，使用Cray－1型计算机找到了新的梅森素数M44497。为与美国较量，英国原子能技术权威机构――哈威尔实验室专门成立了一个研究小组来寻找更大的梅森素数。他们用了两年时间，花了12万英镑的经费，于1992年3月25日找到了新的梅森素数M756839。不过，1994年1月14日，史洛温斯基等人为美国再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠――这一素数是M859433。史洛温斯基一共发现7个梅森素数，他被人们誉为“素数大王”。由于梅森素数在正整数中的分布是时疏时密、极不规则的，因此研究梅森素数的重要性质――分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。中国数学家及语言学家周海中对梅森素数研究多年，他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们探究这一素数提供了方便。后来这一科研成果被国际上称为“周氏猜测”。最大梅森素数长达40公里网格（Gridd）这一崭新技术的出现使梅森素数的探究如虎添翼。1996年初，美国数学家和程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用，这就是著名的GIMPS项目。该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。只要人们去GIMPS项目的主页下载那个免费程序，就可以立即参加该项目，来搜寻梅森素数。为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术的发展，设在美国的电子新领域基金会（EFF）向 数学与艺术的完美结合 （电气工程学院电自032班刘安东） 美，是人性的追求，是人类进步的一大动力，艺术是美的表达式，数学是美的语言，数学追求美，也创造美。 数学是什么？抽象的思辨，严密的推理，逻辑的论证，精确的计算，总揽全局而又步步为营的思维方式，构造起号称为“思维的体操”的数学大厦的宏基。艺术是什么？浮想联翩，潇洒不羁，蔑视规律跳跃的思维弥漫出若即若离的艺术图景。我们不禁要问：数学是不是真的与艺术美无缘呢？此二者看似水火不容，但任何事物都是辨证同一的。既然数学与艺术有矛盾，自然也有内在蕴涵的统一。 一、数学抽象与艺术抽象 抽象是人们认识世界的一种方式之一。抽象于数学如同大脑于人一样重要。从对事物多寡的判断，诞生了自然数的概念，从对自然景物形状的辨别，出现了丈量学等等。把原因抽象为自变量，把事物间普遍联系抽象为函数关系，把结果抽象为函数值，函数的概念由此而生。 数学的抽象与艺术的抽象是从不同的侧面观察事物，数学强调定量分析，而艺术偏重定性的感知。人的认识过程应是这两者的交替上升，从而变的更近。同时，艺术形象与生活原型在似与不似之间，使艺术有着普遍性和恒久性。数学的普遍性和恒久性也如此，公式不会百分百吻合于实际，但修正后，可在误差允许的范围内逼近。 二、智慧的迷宫——幻方 在欧洲曾经流过一个古老的数学游戏叫“幻方”。这个游戏是：给定1，2，…，2 的方阵，并使每一行、每一列、每一条对n这些数字，要求把它们排列成n n 角线上的n个数字之和都相等。我们把这样的方阵叫做n 阶幻方。 幻方可大量应用与美术设计，1900年西方建筑学家C F布拉顿发现幻方的对称性相当丰富，他采用幻方组成许多美丽的图案，他把图案中的那些线条称为“魔线”， 并应用于轻工业品、封面包装设 计中。德国著名版画家A丢勒 的著名雕刻作品《Melancholia》 是流芳千古的佳作，体现了艺术美与理性美的和谐 组合，其中幻方最后一行中间的两个数就是制作时间：1514。 第15卷第4期1999年8月 商丘师专学报 JOU RNAL OF SHANGQIU TEACHERS COLLEGE Vol.15No.4 August,1999 学术争鸣 对梅森素数分布规律的一种猜想 岑 成 德 (中山大学管理学院,广东广州,510275) 摘 要 提出了关于梅森素数分布规律的一种猜想:梅森素数的指数p的二阶差分序列每10项中都有6项非负值与4项负值. 关键词 素数 梅森素数 猜想 二阶差分 中图分类号 O156 1 形如2p-1(p为素数)的数称为梅森数,记为M p;M p中的素数称为梅森素数(Mersenne prime),近半世纪以来,人们所发现的已知最大素数都是梅森素数,研究梅森素数的分布规律,无疑对寻找新的梅森素数及探索是否存在无穷多的梅森素数都具有十分重要的意义.而梅森素数的分布极不规则,使得寻找其分布规律成为一个难题. 笔者通过大量的观察、分析及试验,对梅森素数的分布规律提出了一种猜想. 表1 已发现梅森素数的指数p及一阶差分 p与二阶差分 p2 位次p p 2p 位次p p 2p 12-- 204423170-866 231- 21968952665096 3521 229941252-5014 4720 231121312721020 51364 241993787247452 6174-2 25217011764-6960 7192-2 26232091508-256 8311210 27444972128819780 9613018 28862434174620458 108928-2 2911050324260-17486 1110718-10 3013204921546-2714 12127202 312160918404262496 135******** 32756839540748456706 1460786-308 33859433102594-438154 151279672586 341257787398354295760 162203924252 351398269140482-257872 17228178-846 36*297622115779521437470 183217936858 37*302137745156-1532796 1942531036100 *关于M2976221和M3021377的说明:虽然所有小于3402900的p值都已被至少检查一次,未发现其他梅森素数; 但需要检查两次才能确认其位次. 收稿日期:1999-02-29 数学与多媒体的完美结合 时间：2008-4-29 浏览次数：509 作者：市三中彭… 数学与多媒体的有机结合 新余三中彭琼 338025 [摘要]：阐述了多媒体技术如何与数学课程整合教学 [关键字]：数学，多媒体，教学方式 陈至立同志曾经提出，教育技术的发展将对我国教育观念和教育过程的改革产生深刻的影响，是教育教学改革的制高点。它阐明教育技术的运用对新时间教育教学改革将产生深远的影响。 我国教育技术专家学者经过长期研究与实践，总结提出现代教育技术的含义：教育技术是在先进的教育思想和教育理论的指导下，充分利用信息技术，通过对教学过程和教学资料的设计、开发、利用许价和管理，以实现教学过程优化的理论与实践。在初中数学教学中，合理地应用多媒体技术辅助教学，可以充分调动学生的学习兴趣，减少“离教”现象，为激发学生的创造思维创设情境，增强学生获取知识的主体性，优化初中数学教学的课堂效率。使课堂教学真正做到“反璞归真、深入浅出”的效果。 每个学生都有分析、解决问题的创造的潜能，关键是教师要为学生提供对于学生来说具有应用价值的、与生活实际密切联系的教学内容，促进学生的这种发展。这就要求我们的数学教学活动，要与学生的生 活紧密结合，把生活中的问题，转化为数学问题。只有这样，才能使他们感受到数学与现实生活的联系，体会到数学的魅力与价值，增强学好数学的信心。而学生在解决数学问题过程中，学会数学知识与方法。进而运用数学知识和方法，去解决生活中的问题，在解决实际问题的过程中，又进一步发展了应用数学意识、提高了解决实际问题的能力。在教学过程中若能借助多媒体教学，可增强学生的兴趣，同时让学生看到数学的巨大魅力。如在讲授圆的切线时，（观察与思考）问题（1）下雨天，转动着的雨伞上的雨滴是顺着伞的什么方向飞出去的？问题（2）砂轮转动时，火花是顺着什么方向飞出去的？这是两个关于切线的十分形象的生活事例。课堂教学中运用多媒体，可形象的再现雨滴和火花的飞溅情况。当动画播放之后，所有同学都被吸引了，然后引导学生把实物图抽象成几何图形再去研究切线如何识别。多媒体教学进入课堂，可使抽象的概念具体化、形象化，尤其是计算机能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，利用这个特点可处理其他教学手段难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，增强他们的直观印象，为教师化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率和教学效果提供了一种现代化的教学手段。 多媒体是一种值得提倡的做法。教育部在《基础教育课程改革纲要》中提出：“大力推进信息技术在教学过程中的应用，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具”。它为全面普及信息技术指出了明确的方向，开拓了更加宽广的前程。从学校现代教育技术层面上看：数字化、网络化、智能化 第29讲分解质因数(一) 2005年2月28日，设在美国奥兰多的梅森素数搜索组织的一名数学爱好者，发现了迄 2－1。素数也叫做质数，是只能被自己和1整除的数。 今为止最大的素数，即25964951 如果一个质数是某个数约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。例如：2、3都是36的质因数，4和9都是36的因数，但不是36的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。我们常用分解质因数的方法，并利用已知的条件和未知条件中的数的特征，从而顺利地解决一些相关的数学问题。 例题与方法 例1、23÷( )=( )……5。在括号填入适当的数，使等式成立，共有多少种不同的填法？ 思路点拨 丁丁：这是一道带余除法，被除数是23，余数是5，要求的是除数和商。根据“被除数=除数×商+余数”，可以知道“除数×商=被除数－余数=23－5=18”。 小麦斯：对!这道题要用到带余除法算式的数量关系：除数×商=被除数－余数，在上述讨论中，既然知道了“除数×商”的积是18，将18写成两个自然数相乘的形式，这样共有三种情况：1×18、2×9、3×6。 机灵猴：特别注意的是，余数必须比除数小，那么可以将1、2、3排除，因为它们都小于5，不能作为除数，剩下的只能是6、9和18作为除数了。 解： 符合题意的填法有： 23÷(6)=3……5； 23÷(9)=2……5； 23÷(18)=1……5。 小麦斯：聪明的小读者，如果上面算式中的余数与商相同，被除数又应是多少？ 例2、小华的妹妹参加了今年中学数学智力竞赛，小华问他妹妹：“这次竞赛你得了多少分？获了第几名？”妹妹告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？” 思路点拨 丁丁：由题中“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910”可以知道，2910是三个数量的乘积，那么就要把2910分解质因数。 小麦斯：将一个合数分解质因数，常用短除法求得，有时也采用直接分解的方法，要注意的是，在质因数的连乘中，一般要按照从大到小的顺序排列。 机灵猴：将2910分解质因数得2910=2×3×5×97。 小华的妹妹是个中学生，不可能是2岁、3岁、5岁，也不能是6岁、10岁，因此，可以肯定，小华妹妹是3×5=15(岁)，名次是第2名，成绩是97分。 解：将2910分解质因数得 2910=2×3×5×97 =2×(3×5)×97 梅森素数 素数也叫质数，是只能被自己和 1 整除的数，例如2、3、5、7、11等。2500 年前，希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2 的n次方减1”的形式，这里n 也是一个素数。此后许多数学家曾对这种素数进行研究，17 世纪的法国教士马丁·梅森(Martin Mersenne)是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数，Mn=2n-1。 1995 年，美国程序设计师乔治·沃特曼整理有关梅森素数的资料，编制了一个梅森素数计算程序，并将其放置在因特网上供数学爱好者使用，这就是“因特网梅森素数大搜索”计划。该计划采取分布式计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间，获得相当于超级计算机的运算能力，第37、38 和39 个梅森素数都是用这种方法找到的。美国一家基金会还专门设立了 10 万美元的奖金，鼓励第一个找到超过千万位素数的人。14年来，人们通 过GIMPS项目找到了13个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。目前世界上已有170多个国家和地区近18万人参加了这一项目，并动用了37万多台计算机联网来进行网格计算，以寻找新的梅森素数。该项目的计算能力已超过当今世界上任何一台最先进的超级矢量计算机的计算能力，运算速度超过每秒400万亿次。 序号2n Mn（梅森素数）Mn的位数发现日期发现者 1 2 3 1 古代古人 2 3 7 1 古代古人 3 5 31 2 古代古人 4 7 127 3 古代古人 序号2n Mn（梅森素数）Mn的位数发现日期发现者 5 13 8191 4 1456年无名氏 6 1 7 131071 6 1588年Cataldi 7 19 524287 6 1588年Cataldi 8 31 2147483647 10 1772年欧拉 9 61 2305843009213693951 19 1883年Pervushin 10 89 618970019…44956211127 1911年Powers 11 107 162259276…010******** 1914年Powers 12 127 170141183…88410572739 1876年卢卡斯 13 521 686479766…115057151157 1952年1月30日Robinson 14 607 531137992…0317******** 1952年1月30日Robinson 15 1,279 104079321…168729087386 1952年6月25日Robinson 16 2,203 147597991…697771007664 1952年10月7日Robinson 17 2,281 446087557…132836351687 1952年10月9日Robinson 18 3,217 259117086…909315071969 1957年9月8日Riesel 19 4,253 190797007…3504849911,281 1961年11月3日Hurwitz 20 4,423 285542542…6085806071,332 1961年11月3日Hurwitz 21 9,689 478220278…2257541112,917 1963年5月11日Gillies 22 9,941 346088282…7894635512,993 1963年5月16日Gillies 23 11,213 281411201…6963921913,376 1963年6月2日Gillies 24 19,937 431542479…9680414716,002 1971年3月4日布莱恩特·塔克曼 25 21,701 448679166…5118827516,533 1978年10月30日Noll & Nickel 26 23,209 402874115…7792645116,987 1979年2月9日Noll 27 44,497 854509824…01122867113,395 1979年4月8日Nelson & Slowinski 28 86,243 536927995…43343820725,962 1982年9月25日Slowinski 29 110,503 521928313…46551500733,265 1988年1月28日Colquitt & Welsh梅森数之谜：MM127是素数吗--漫谈著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想(Catalan-Mersenne number conjecture)
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