中考数学规律探索型(几何类)问题解决浅见

⑴ 1+8=?

1+8+16=?

⑵ ⑶ 1+8+16+24=?

……

中考数学规律探索型（几何类）问题解决浅见

中考数学规律探索型问题的解决体现了新课程下数学中考命题的新尝试，是近几年来中考的热点、重点和难点，需要敏锐的观察力、严密的逻辑推理能力和一定的计算能力。为培养这方面的能力，本人以几何图形的问题为例，从哪些方面来观察思考，观察发现规律，并利用规律从特殊到一般和从一般到特殊的办法来解决几何类规律探索型问题。

一、 规律明显 数数看看定有发现

例1、如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n 幅图中共有 个。

解析：方法 ：一数。在数字中发现。在开始的几幅图中把所

要的问题分别数字记载，如1、3、5、7 、… ，发现奇数规律排列，猜想最终结果为2n-1 ；二看。发现图形规律和结果数字规律。直接由图序排列发现大小菱形逐次各自多1，得出所要的结果是：1、1+2、1+2+2、1+2+2+2、… ，再发现是1加上若干个2 组成，2的多少与序列号少1，于是得1+2（n-1）即2n-1 。

例2、观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+……+8n （n 是正整数）的结果为 （ ）。

解析：是图形规律与数字规律结合的问题，与上述比较多了个数字条件规律，探究数字规律结果。

方法：在开始的几幅图中发现图形及图形所对应的算式之间

... (1)

第2幅

第3幅 第n 幅

的关系，即：图形中小正方形的个数是图形所对应的算式的数值结果；然后可直接由图形的规律发现结果或在数字形式（原式或变形式或运算结果）发现结果。如在图形的规律发现结果为3、5、7、…、的平方；在原式数字形式发现结果为1加上若干个含8的倍数的项的和，于是变形为1+8（1+2+3+ … + n ）;在运算结果数字规律9、25、47、81 …中发现为3、5、7、… 、的平方。

归纳方法：这类给定的图形或数字规律及寻找的数字规律容易发现，通过一看二数三变的方法即可解决问题。

练习1、用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．则第n 个图案中正三角形的个数为 。

练习2、、如图9，在锐角AOB 内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可

得10个锐角；……照此规律，画n 条不同射线，可得锐角 个．

练习3、在图（1）中，A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的边BC 、CA

、

…

第一个图案

第二个图案

第三个图案

AB 的中点，在图（2）中，A 2、B 2、C 2分别是△A 1B 1C 1的边B 1C 1、C 1 A 1、 A 1B 1的中点，…，按此规律，则第n 个图形中平行四边形的个数共有 个。

练习4、在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： (1)当11121+==AC AE 时，有122

32+==AD AO (如图1)； (2)当

21131+==AC AE 时，有2

22

42+==AD AO (如图2)；

图1 图2 图3 图4 (3)当

31141+==AC AE 时，有3

22

52+==AD AO (如图3)； 在图

4中，当n

AC AE +=11

时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD

AO

的一般结论，并给出证明(其中n 是正整数)。

说明：证明时按照几何的探究思路和方法。

练习5、如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点

A 1、

B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为3

4

，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、

B 2，A 2

C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…．利用这一图形，能直

B

A

C

D

A 1

A 2

观地计算出3 4＋3 42＋3 43＋…＋3

4

n ＝________．

二、 规律隐含 算算数量待发现

例3、如图，在△ABC 中，∠A ＝ ．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2009BC 与∠A 2009CD 的平分线相交于点A 2010，得∠A 2010，则∠A 2010＝ ．

解析：（一）

∵∠A 1 = ∠A 1CD - ∠A 1BD ，∠A 1BC = 1

2

∠ABC

∠A 1CD = 1 2∠ACD = 1

2（∠A +∠ABC ）

∴∠A 1 = 1

2

∠A

又∵∠A 2 = ∠A 2CD - ∠A 2BD ，∠A 2CD = 1 4∠ACD = 1

4

（∠A +∠ABC ） ，∠A 2BC = 1

4

∠ABC

∴∠A 2 = 1

4∠A

同理，得∠A 3 = 1 8∠A ；∠A 4 = 1 16∠A ；∠A 5 = 1

32∠A

∴∠A n = 1

2

∠A

n

中考网 https://www.wendangku.net/doc/e53875224.html,

∴∠A 2010 = 1

2 ∠A 归纳方法：利用三角形的内角和或外角和的性质及角平分线性质，采取从特殊到一般解决问题的数学思想，逐次探究出∠A 1 ；∠A 2 ；∠A

3 ；… ；∠A n 的结果，发现一定的数量规律，猜测结论。

解析：（二）

∵∠A n = ∠A n CD - ∠A n BD ，∠A n BD = 1

2

∠ABC

∠A n CD = 1 2 ∠ACD = 1

2（∠A +∠ABC ）

∴∠A n = 1

2 ∠A

∴∠A 2010 = 1

2 ∠A 归纳方法：利用三角形的内角和或外角和的性质及角平分线性质，采取从一般到特殊解决问题的数学思想，先探究出一般情况下的的结果：

∠A n BD = 1

2∠ABC

∠A n CD = 1 2 ∠ACD = 1 2（∠A +∠ABC ） 再利用外角和的性质探究出一般情况下的的结果： ∠A n = ∠A n CD - ∠A n BD

最后进行代入计算，即得规律性的结果。

练习1．如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P 1M 1N 1N 2面积为S 1，四

201

n 201

n n n n n n

边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2，……，四边形P n M n N n N n+1的面积记为S n ，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn = .

练习2、如图，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，A 2C 2，…，A n C n ，则A n C n ＝ 。

练习3、如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形 ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1s 为1，按上述方法所作的

正方形的面积依次为2s ，3s …n s （n 为正整数），那么第8个正方形的面积 ＝ .

A

N 1

N 2

N 3

N 4

N 5

P 4

P 1

P 2

P 3

M 1

M 2

M 3

M 4

…

B

S n

s A

B

C

A 1

A 2

A 3

A 4 A 5 C 1 C 2

C 3 C 4 C 5

练习4、如图，30AOB =?∠，过OA 上到点O 的距离为1，3，5，7，…

的点作OA 的垂线，分别与OB 相交，得到图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为123S S S ，，，…．则2009S =

三、 坐标规律 数形贯穿 庞杂难发现

例4、如图，P 1是反比例函数)

0(＞k x k

y =在第一象限图像上

的一点，点A 1 的坐标为(2，0)，若△P 1O A 1 、△P 2 A 1 A 2 、…、

△P n A n-1 A n 均为等边三角形，则A n 点的坐标是 ．

△P 1O A 1中，易得点P 1

解答思路：1、在等边三角形（1 ，√3）

从而求的其反比例函数

x y 3=

2、在等边三角形△P n A n-1 A n 中，记A n 的坐标为（a n ,0）

过点P n 做P n H ⊥x 轴于点H ，

则P n H = 1 2√3A n-1 A n = 1

2

√3（a n - a n-1 ）

图 15

y

1

2

344

321

x

A P A P A P P A O

OH = O A n-1 + 1 2A n-1 A n = a n-1+ 1 2（a n - a n-1 ）= 1

2（a n + a n-1 ）

3、写出点P n 的坐标为… 1 2（a n + a n-1 ） ， 1

2

√3（a n - a n-1 ） ?

代入其反比例函数

x y 3

得 a n

- a n-1 = 4

4、作赋值计算

∵a 0 = 0 ；a 1 = 2

∴a 1 = 4 ；a 2 = 8 ；a 3 = 12 ；a 4 = 16 ； A 5 = 20 ；a 6 = 24；…

∴a 1 = 2= 2√1 ；a 2 = 2√2 ；a 3 = 2√3 ； a 4 = 2 √4；A 5 = 2√5 ；a 6 = 2√6；…… ； ∴a n = 2√n ∴A n 点的坐标是(2√n , 0 )

归纳方法：这个问题如果采取从特殊到一般办法来解决，至少

要求得A 2、A 3、A 4、这三个点的坐标，方可发现一些规律，这样虽然思维量小些，但运算量大；于是采取从一般到特殊的办法来解决，虽然思维量大一些，但运算量小，能准确得出最终规律。但是要根据问题的情形而定。

2 2

2 2

2 2 2 2

A 4

???

A 3A 2A 1

D C B A o y x

练习1、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0） 根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为 。

练习2

、如图，在直角坐标系中，四边形ABCD 是正方形，A （1，-1）、B （-1，-1）、C （-1，1）、D （1， 1）.曲线AA 1A 2A 3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA 1、A 1A 2、A 2A 3…的圆心依次是点B 、C 、D 、A 循环，则点A 2010的坐标是 。

练习3、如图15，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n －1A n 都是等腰直角三角形，点P 1、P 2、P 3……P n 都在函数x

y 4=(x > 0)的图象上，斜边OA 1、A 1A 2、A 2A 3……A n －1A n 都在x 轴上。则点A n 的坐标是 。

练习

4、如图7所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y=x

9（x ＞0）的图象上，△OP 1A 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3……△P n A n

－1A n

……都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n-1A n ，都在x 轴上，则y 1+y 2+…y n = 。

练习5、如图11，若第一个正方形OABC 的顶点B ，第二个正

方形ADEF 的顶点E ，….第n 个正方形的顶点P 都在函数1y x

=

（0x >）的图象上，则点P 的坐标是（ ， ）.

图 15

y 1

2

34

4

3

2

1

x

A P A P A P P

A O

练习6、如图15，点A 1、A 2、

A 3、……、A 1-n 、A n 为x 轴的正半轴上的点，O A 1= A 1A 2= A 2A 3=……=A 1-n A n =1，分别以A 1、A 2、A 3、……、A 1-n 、A n 为直角顶点作Rt △OA 1

B 1、Rt △A 1A 2B 2、Rt △A 2A 3B 3、……、Rt △A 1-n A n B n ，它们的面积分别记为S 1、S 2、S 3、……、S n ，且S 1=1；双曲线恰好经过点B 1、B 2、B 3、……、B n 。（1）求双曲线和直线A 1B 2对应的函数解析式；

（2）填空：S 10=___________，S n =_____________； （3）若直线B 1O 交双曲线于另一点P ，有三位同学在研究直线A 1B 2、直线A 2B 3、……、直线A 1-n B n 这系列直线时，有如下发现：

①小明说：“我发现直线A 1B 2经过P 点” ②小亮说：“我发现直线A 1B 2和直线A 2B 3都经过P 点” ③小王说：“我发现直线A 1B 2和直线A 2B 3、……、直线A 1-n B n

都经过P 点”

请问：上述三位同学的发现，谁的发现更准确？并给予说明。 练习7、正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)， 则B n 的坐标是 ．

练习8、如图所示，已知：点

(00)A ，，(30)B ，，

(01)C ，在ABC △内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，

y x O

C 1

B 2

A 2

C 3

B

1

A 3

B 3

A 1

C 2

O y x

(A )

A 1

C 1 1 2

B

A 2

A 3

B 3

B 2 B 1

图 15y

1

2

344

321x

A P A P A P P A O

另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于 ．

练习9、如图，在直角坐标系中，一直线l 经过点(3,1)M 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，且MA ＝MB ，则△ABO 的内切圆1o 的半径1r ＝ ；若2o 与1o 、l 、y 轴分别相切，3o 与2o 、l 、y 轴分别相切，…，按此规律，则20080 的半径2008r ＝

练习10、二次函数2

23

y x =

的图象如图12所示，点0A 位于坐标原点，

点1A ，2A ，3A ，…，2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2008

B 在二次函数223

y x =位于第一象限的图象上，若△011A B A ,△122A B A ，△

233A B A ，…，△200720082008A B A 都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝ .

练习11、对于每个非零自然数n ，抛物线

()()

2211

11n y x x n n n n +=-

+++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则1122A B A B ++…20092009A B +的值是（ ） A ．

2009

2008

B ．

20082009

C ．

20102009

D ．

20092010

0 x y

A B M O O

O