专题强化五 地球同步卫星 双星或多星模型
专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用,同步卫星是与地球(中心)相对静止的卫星;而双星或多星模型有可能没有中心天体,近年来常以选择题形式在高考题中出现.
2.学好本专题有助于学生加深万有引力定律的灵活应用,加深力和运动关系的理解. 3.需要用到的知识:牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等.
命题点一 地球同步卫星
1.定义:相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星. 2.“七个一定”的特点
(1)轨道平面一定:轨道平面与赤道平面共面. (2)周期一定:与地球自转周期相同,即T =24 h. (3)角速度一定:与地球自转的角速度相同.
(4)高度一定:由G Mm (R +h )2=m 4π2T 2(R +h )得地球同步卫星离地面的高度h =3.6×107 m. (5)速率一定:v =
GM
R +h
=3.1×103 m/s. (6)向心加速度一定:由G Mm (R +h )2=ma 得a =GM (R +h )2=g h =0.23 m/s 2
,即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度.
(7)绕行方向一定:运行方向与地球自转方向相同.
例1 利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前,地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的,则地球自转周期的最小值约为( ) A .1 h B .4 h C .8 h D .16 h 答案 B
解析 地球自转周期变小,卫星要与地球保持同步,则卫星的公转周期也应随之变小,由开
普勒第三定律r 3
T 2=k 可知卫星离地球的高度应变小,要实现三颗卫星覆盖全球的目的,则卫
星周期最小时,由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示.
卫星的轨道半径为r =R
sin 30°=2R
由r 31T 21=r 32
T 22得 (6.6R )3242=(2R )3
T 22. 解得T 2≈4 h.
解决同步卫星问题的“四点”注意
1.基本关系:要抓住:G Mm r 2=ma =m v 2r =mrω2
=m 4π2T 2r .
2.重要手段:构建物理模型,绘制草图辅助分析. 3.物理规律
(1)不快不慢:具有特定的运行线速度、角速度和周期. (2)不高不低:具有特定的位置高度和轨道半径.
(3)不偏不倚:同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上,只能静止在赤道上方的特定的点上. 4.重要条件
(1)地球的公转周期为1年,其自转周期为1天(24小时),地球的表面半径约为6.4×103 km ,表面重力加速度g 约为9.8 m/s 2.
(2)月球的公转周期约27.3天,在一般估算中常取27天.
(3)人造地球卫星的运行半径最小为r =6.4×103 km ,运行周期最小为T =84.8 min ,运行速度最大为v =7.9 km/s .
1.国务院批复,自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.如图1所示,1970年4
月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440 km ,远地点高度约为2 060 km ;1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a 1,东方红二号的加速度为a 2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3,则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )
图1
A .a 2>a 1>a 3
B .a 3>a 2>a 1
C .a 3>a 1>a 2
D .a 1>a 2>a 3
答案 D
解析 由于东方红二号卫星是同步卫星,则其角速度和赤道上的物体角速度相等,根据a =ω2r ,r 2>r 3,则a 2>a 3;由万有引力定律和牛顿第二定律得,G Mm
r 2=ma ,由题目中数据可以
得出,r 1
2.研究表明,地球自转在逐渐变慢,3亿年前地球自转的周期约为22小时.假设这种趋势会持续下去,地球的其他条件都不变,未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( ) A .距地面的高度变大 B .向心加速度变大 C .线速度变大 D .角速度变大 答案 A
解析 地球的自转周期变大,则地球同步卫星的公转周期变大.由GMm (R +h )2=m 4π2
T 2(R +h ),得
h =
3
GMT 2
4π2
-R ,T 变大,h 变大,A 正确. 由GMm r 2=ma ,得a =GM
r 2,r 增大,a 减小,B 错误.
由GMm r 2=m v 2
r
,得v =
GM
r
,r 增大,v 减小,C 错误. 由ω=2π
T
可知,角速度减小,D 错误.
3.(多选)地球同步卫星离地心的距离为r ,运行速率为v 1,加速度为a 1,地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2,地球的第一宇宙速度为v 2,半径为R ,则下列比例关系中正确的是( ) A.a 1a 2=r R B.a 1a 2=(r R )2 C.v 1v 2=r R D.v 1v 2
=R r
答案 AD
解析 设地球的质量为M ,同步卫星的质量为m 1,在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m 2,根据向心加速度和角速度的关系有a 1=ω21r ,a 2=ω22R ,又ω1=ω2,故a 1a 2=r
R ,选项A 正确;由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm 1r 2=m 1v 21r ,G Mm 2R 2=m 2v 22R ,解得v 1v 2=
R
r
,选项D 正确.
命题点二 双星或多星模型 1.双星模型
(1)定义:绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统,如图2所示.
图2
(2)特点:
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供,即 Gm 1m 2L 2=m 1ω21r 1,Gm 1m 2L 2=m 2ω2
2r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同,即 T 1=T 2,ω1=ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为:r 1+r 2=L (3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比,即m 1m 2=r 2
r 1
. 2.多星模型
(1)定义:所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同.
(2)三星模型:
①三颗星位于同一直线上,两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示).
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示).
图3
(3)四星模型:
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示).
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示).
例2由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式,三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况).若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m,三角形的边长为a,求:
图4
(1)A星体所受合力大小F A;
(2)B星体所受合力大小F B;
(3)C星体的轨道半径R C;
(4)三星体做圆周运动的周期T .
答案 (1)23G m 2a 2 (2)7G m 2a 2 (3)7
4
a (4)π
a 3
Gm
解析 (1)由万有引力定律,A 星体所受B 、C 星体引力大小为F BA =G m A m B r 2=G 2m 2
a 2=F CA
方向如图所示
则合力大小为F A =F BA ·cos 30°+F CA ·cos 30°=23G m 2
a 2
(2)同上,B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为 F AB =G m A m B r 2=G 2m 2
a 2
F CB =
G m C m B r 2=G m 2
a 2
方向如图所示, 由余弦定理得合力为: F B =
F 2AB +F 2CB -2F AB ·
F CB ·cos 120°=7
G m 2
a
2 (3)由于m A =2m ,m B =m C =m
通过分析可知,圆心O 在BC 的中垂线AD 的中点 则R C =
????34a 2+????12a 2=74
a (4)三星体运动周期相同,对C 星体,由F C =F B =7G m 2a 2=m (2π
T
)2R C ,可得T =π
a 3
Gm
.
4.双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k 倍,两星之间的距离变为原来的n 倍,则此时圆周运动的周期为( ) A.
n 3
k 2
T B.
n 3k
T
C.
n 2k
T D.
n k
T 答案 B
解析 设两恒星的质量分别为m 1、m 2,距离为L , 双星靠彼此的引力提供向心力,则有 G m 1m 2L 2=m 1r 14π2T 2 G m 1m 2L 2=m 2r 24π2T 2 并且r 1+r 2=L 解得T =2π
L 3
G (m 1+m 2)
当两星总质量变为原来的k 倍,两星之间距离变为原来的n 倍时 T ′=2π
n 3L 3
Gk (m 1+m 2)
=
n 3k
·T 故选项B 正确.
5.银河系的恒星中大约四分之一是双星.如图5所示,某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O 做匀速圆周运动.由天文观察测得它们的运动周期为T ,若已知S 1和S 2的距离为r ,引力常量为G ,求两星的总质量M .
图5
答案 4π2r 3
GT 2
解析 设星体S 1、S 2的质量分别为m 1、m 2,运动的轨道半径分别为R 1、R 2,则运动的角速度为ω=2π
T
根据万有引力定律和向心力公式有 G m 1m 2
r 2=m 1ω2R 1=m 2ω2R 2 又R 1+R 2=r
联立解得两星的总质量为
M =m 1+m 2=ω2r 2R 2G +ω2r 2R 1G =ω2r 3G =4π2r 3
GT
2.
一、近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的比较
如图6所示,a 为近地卫星,半径为r 1;b 为同步卫星,半径为r 2;c 为赤道上随地球自转的物体,半径为r 3
.
图6
二、卫星追及相遇问题
典例 (多选)如图7所示,三个质点a 、b 、c 的质量分别为m 1、m 2、M (M 远大于m 1及m 2),在c 的万有引力作用下,a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动,已知轨道半径之比为r a ∶r b =1∶4,则下列说法中正确的有( )
图7
A .a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b =1∶8
B .a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b =1∶4
C .从图示位置开始,在b 转动一周的过程中,a 、b 、c 共线12次
D .从图示位置开始,在b 转动一周的过程中,a 、b 、c 共线14次 点评 某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之
分,但它们都处在同一条直线上,由于它们的轨道不是重合的,因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理,而是通过卫星运动的圆心角来衡量,若它们初始位置在同一直线上,实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻,而本题中a 、b 、c 三个质点初始位置不在一条直线上,故在列式时要注意初始角度差. 答案 AD
解析 根据开普勒第三定律:周期的平方与半径的三次方成正比,则周期之比为1∶8,A 对;设图示位置夹角为θ<π
2,b 转动一周(圆心角为2π)的时间为t =T b ,则a 、b 相距最远时:
2πT a T b -2π
T b T b =(π-θ)+n ·2π(n =0,1,2,3,…),可知n <6.75,n 可取7个值;a 、b 相距最近时:2πT a T b -2π
T b T b =(2π-θ)+m ·2π(m =0,1,2,3,…),可知m <6.25,m 可取7个值,故在b 转动一周的过程中,a 、b 、c 共线14次,D 对.
题组1 同步卫星
1.(多选)据报道,北斗卫星导航系统利用其定位、导航等功能加入到马航MH370失联客机搜救工作,为指挥中心调度部署人力、物力提供决策依据,保证了搜救船只准确抵达相关海域,帮助搜救船只规划搜救航线,避免搜救出现遗漏海域,目前北斗卫星导航定位系统由高
度均约为36 000 km 的5颗静止轨道卫星和5颗倾斜地球同步轨道卫星以及高度约为21 500 km 的4颗中轨道卫星组网运行,下列说法正确的是( ) A .中轨道卫星的周期比同步卫星的周期大 B .所有卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上 C .同步卫星和中轨道卫星的线速度均小于第一宇宙速度
D .赤道上随地球自转的物体的向心加速度比同步卫星的向心加速度大 答案 BC
解析 由开普勒第三定律可知,轨道半径较小的中轨道卫星的周期比同步卫星的周期小,A 项错;由题意知,北斗导航系统的卫星轨道高度一定,因此卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上,B 项正确;第一宇宙速度是卫星绕地球的最大运行速度,C 项正确;赤道上物体与同步卫星的角速度相同,由a =ω2r 可知,同步卫星的向心加速度较大,D 项错. 2.如图1所示,轨道Ⅰ是近地气象卫星轨道,轨道Ⅱ是地球同步卫星轨道,设卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上都绕地心做匀速圆周运动,运行的速度大小分别是v 1和v 2,加速度大小分别是a 1和a 2,则( )
图1