三明学院大一下高数期末考十套卷解答 (9)

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《高等数学》（下）期末考试卷参考答案及评分标准

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5三明学院第二学期《高等数学》（下）期末考试卷 闭卷

参考答案及评分标准

（使用班级：四课时）考试时间：120分钟

一 选择题(每小题3分，共24分)

1微分方程x y 2='' 的通解为 （ D ）

A 33x y =

B cx x y +=

33 C c cx x y ++=33 D 213

3

c x c x y ++= 2 设12,y y 是方程 ()y ay by f x '''++=（1）的两个特解,则下列结论正确的是( D ) A 12y y + 是（1）的解 B 12y y +是方程 0y ay by '''++=的解 C 12y y - 是（1）的解 D 12y y -.是方程 0y ay by '''++=的解

3. 设Γ为曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧，那么对弧长的曲线积分

2221

ds x y z Γ++?=（ C ）

A 2-

B 2-

C 2)e --

D 2)e -- 4 设直线L 为320

21030,x y z x y z ++=?

?

--+=? 平面π为4220x y z -+-=, 则（ C ）

A L 平行于平面π

B L 在平面π上

C L 垂直于平面π

D L 与π相交，但不垂直

5 曲线22

221,0x y z a b

+==绕x 轴旋转而成的曲面方程为 ( A )

A 122222=++

b z y a x B 122222=++b y a z x C 2222b y a x z += D 122

22-+=b

y a x z 6.设(,)u u f x y xy x y

?=+??2具有二阶连续偏导数,则等于 ( D )

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2

A 22xyf

B 1222xf xyf +

C 21222f xf xyf ++

D 2111222()f f x y f xyf ++++

7 幂级数∑∞

=12n n

n x n

n 的收敛半径R= ( B )

A 0 B

2

1

C 2

D ∞+ 8下列级数一定收敛的是 （ D ）

A ∑∞

=+15

5

n n B ∑∞

=+13

n n n

C ∑

∞

=+1

5

5n n D

∑∞

=12

5

n n

二、(每小题3分，共30分)填空题. 1.求微分方程40y y '''-=的通解 412x C C e +

2.

1y x y →→= ln 2

3. 设直线

)1(2

2

1-=+=-z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 m=

1- ， λ=

3

2

4.设向量(1,2,3),(1,1,

a b ==

，若非负实数β使向量a b β+与a b β-垂直，则β

=

5. 函数222()()2()u x y z x y z =-+---在点(1,2,2)M 处方向导数的最大值是

6 点)4,0,3(M 到z 轴的距离是 4

7 级数 ++++++

n 3

1

31312112的和为 2 8设D 是由2

2

1x y +≤所确定的闭区域，根据二重积分性质，估计二重积分2

2

x

y D

e d σ--??的

值：

2

2

1x

y D

e e d πσπ---≤≤??

9交换下列二次积分的次序：

ln 1

(,)e x

dx f x y dy ??

10

(,)y

e

e dy

f x y dx ??

10

化二次积分2

x

dx f dy ?

为极坐标形式的二次积分

2sec 3

4

()d f d π

θ

π

θρρρ??

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3

三、应用题

从斜边之长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。（10分）

解：设直角三角形的两直角边长分别为,x y ，（0,0x

l y l <<<<），则直角三角形的周

长为C x y l =++，由勾股定理知222x y l +=，设拉格朗日函数为

222()L x y l x y l λ=++++-，由方程组 ……………….. （3分）

222

12120

x y

L x L y x y l λλ?=+?=+??+-=?

解得x y ==， ……………….. （7分） 根据题意，有最大周长的直角三角形最小值一定存在，并在开区域{(,)0,D x y x l =<<

0}y l <<取得。又函数在D

内只有唯一的驻点x y ==

，因此可以断定当x y ==

时，C 取得最大值。 ……………….. （10分） 四、计算 1计算三重积分ydxdydz Ω

???，其中Ω为三个坐标面及平面1x y z ++=所围成的闭区域

（10分）.

解：将闭区域Ω投影到xoy 面上，得到投影区域{(,)01,01}D x y x y x =≤≤≤≤-

10

(1)x y

D

D

ydxdydz ydxdy dz y x y dxdy --Ω

==--??????

?? ……………….. （3分）

111222310000111()()223x

x

dx y xy y dy y xy y dx --=--=--??

? ……………….. （7分） 132055555()622624

x x x dx =-+-+=? ……………….. （10分） 2计算对坐标的曲线积分

()L

x y dx +?

，其中L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所

围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）。（10分） 解：设12L L L =+，其中12cos :0,:02,::0sin x a t a

L y x a L t y a t

π=+?=→→?=? （3分）

那么

1

2

()()()L

L L x y dx x y dx x y dx +=+++?

??

20

(cos sin )(cos )a xdx a t a a t d a t a π

=++++?? ……………….. （5分）

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4

22

2(cos 1sin )(sin )a a t t t dt π

=+++-? 2

2

20

2(cos sin sin sin )a a

t t t t dt π

=-++?

220111

2(sin 2sin cos 2)222a a t t t dt π=-++-? ……………….. （8分）

222000

112[cos 2cos sin 2]4242

a a t t t a πππ

ππ=---+-=- ……………….. （10分） 五、将函数21

()32

f x x x =++展成(1)x -的幂级数（8分）

解：21111

()32(1)(2)12

f x x x x x x x =

==-++++++

001111(1)(1)(13)

1122

2(1)2

1111

(1)(1)(24)

1233

3(1)3

n n

n n n n

n n x x x x x x x x ∞=∞===---<<-++==---<<-++∑∑ ……………….. （6分）

故1

1

1

1()(1)()(1)(13)2

3n

n

n n n f x x x ∞

++==

----<<∑ ……………….. （8分）

六、求微分方程 ：()012

2='-+

''y y

y 的通解. （8分） 解：令

dy y p dx '==（1），则//

dp y p dy

=（2）， ……………….. （2分） 将（1）（2）代入原式得

2201dp p

p dy y +=-，即21dp p dy y =--，分离变量的21dp dy p y

=--，解得21(1)p C y =-， ……………….. （6分） 将（1）代入得

21(1)dy C y dx =-，分离变量得12(1)

dy

C dx y =- 解得1211C x C y =+-，即12

11y C x C =-+（12,C C 为任意常数）为原方程通解。（8分）