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高等数学公式手册

高等数学公式

导数公式：基本积分表：

三角函数的有理式积分：

22212211cos 12sin u

dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，一些初等函数：两个重要极限：

三角函数公式： ·诱导公式：

·和差角公式： ·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

αααααααααααα

ααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

cos 12cos 2cos 12

sin -=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctg tg

·正弦定理：R C

B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：

C ab b a c cos 2222-+=

·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=

arccos 2

arcsin π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

)

()

()()2()1()(0

)

()()

)1()1(!2)1()

(n k k n n n n n

k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+

'+==---=-∑

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=

---'=-)(F )

()

()()()()())(()()(ξξξ

曲率：

;0.)

1(lim M s M M :.,13202a

K a K y y ds d s K M M s

K tg y dx y ds s =='+''==??='?'???=

=''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α

ααα

定积分的近似计算：

???----+++++++++-≈

++++-≈

+++-≈

n n n b

n n b

a n y y y y y y y y n

b x f y y y y n a b x f y y y n

b x f )](4)(2)[(3)(])(2

[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：

定积分应用相关公式：

??--==?=?=b

b a dt

t f a b dx

x f a b y k r

m k F A

p F s

F W )(1)(1

221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：

空间解析几何和向量代数：

。

代表平行六面体的体积为锐角时，

向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22

212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k

j i

b a

c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M

d z

x z y x

y x

z y x

y x z y x z

z y y x x z z y y x x u u

??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：

同号）

（、抛物面：、椭球面：二次曲面：

参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：

3,,2221

1};,,{,1

2),,(},,,{0)()()(122

222222

22222

222

22220000002

220000000000=+-=-+=+=++???

??+=+=+===-=-=-+++++=

=++=+++==-+-+-c

z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt

z z nt

y y m t

x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D

Cz By Ax d c z

b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A

多元函数微分法及应用

y z x y x y x y x y x F F y z

F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y

dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x

v z x u u z x z y x v y x u f z t

v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z

u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??=

==???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

，，　隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：

时，，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v

G u

G v F

v u G F J v u y x G v u y x F v

u v u ???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??== 隐函数方程组：

微分法在几何上的应用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y

x y

x x z x z z y z y -=

-=-=-+-+-==??

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线

ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：

上的投影。在是单位向量。方向上的

，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l f

l j i e e y x f l

f j y

f i x f y x f y x p y x f z l x y f

x f l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(??∴?+?=?=????+??=

=??+??=??=

????

多元函数的极值及其求法：

????

???

??=-<-???><>-===== 不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x

重积分及其应用：

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

=???

????+??? ????+==='

z D

y D

x z y x D

y D

x D

y D

x D

D D

a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M

M y d y x d y x x M

x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2

22D

)

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρθ

θθ，，，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面

柱面坐标和球面坐标：

????????????????????????????????????Ω

ΩΩ+=+=+====

===???=??

???=====???

??===dv

y x I dv z x I dv z y I dv

x M dv z M

z dv y M

y dv x M

x dr

r F d d d drd r

r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z

z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ??

θθ??θ?θ

??θ???θ?θ?θθθθθθθπ

πθ?)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )

,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220

)

,(0

，，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：

曲线积分：

?==<'+'=≤≤??

?==?

?)()()()()](),([),(),(,)

()(),(2

2t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L

?βαψ?ψ?βαψ?β

特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：

第一类曲线积分（对弧。

，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的全微分求积注意方向相反！

减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；

、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为

和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()

(00

)

,()

,(00==+=

+????????-===??-??=-=+=??-??+=??-??+=+'+'=+?

?==??????????????y x

dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y

x Q y

x Q G y x Q y x P G ydx

xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P

x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt

t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L

D L D L L

βαβαψψ??ψ?ψ?β

曲面积分：

??????????????????????

∑

++=++±=±=±=++++=ds

R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy

z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx

D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(2

2γβα系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正

号；，取曲面的前侧时取正

号；，取曲面的上侧时取正

，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：

高斯公式：

??????????????????Ω

∑

∑=++==?

A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n

div )cos cos cos (...

,0div ,div )cos cos cos ()(

成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：

—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

?????????Γ

∑

∑∑

?=++Γ??

????=

??=

????=????=????????

=??????++=??-??+??-??+??-??ds

t A Rdz Qdy Pdx A R

Q P z y x A y P

x Q x R z P z Q y R R

z y x R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P

x Q dzdx x R z P dydz z Q y R

的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k

j i rot cos cos cos )()()(

γβ

常数项级数：

是发散的

调和级数：等差数列：等比数列：n

n n q q q q q n n 1

312112

)1(3211111

+++++=++++--=

++++-

级数审敛法：

散。

存在，则收敛；否则发、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：、比值审敛法：

时，不确定时，级数发散

时，级数收敛

，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞

→+∞→∞

→+++=???

??=><=???

??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ

。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和

如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n

n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ级数：收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n

n n n

幂级数：

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞

===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n

n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散

时，收敛于

ρρρ

ρρ

函数展开成幂级数：

+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !

)0(!2)0()0()0()(00

lim )(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2

0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ 一些函数展开成幂级数：

)

()!12()1(!5!3sin )11(!

)1()1(!2)1(1)1(1

21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--x n x

x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n

m 欧拉公式：

???

????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix

ix ix e e x e e x x i x e 或三角级数：

。

上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )

sin cos (2)sin()(00101

0ππω???ω-====++=++=∑∑∞

=∞

= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n

傅立叶级数：

是偶函数，余弦级数：是奇函数

，正弦级数：（相减）

（相加）

其中，周期∑?

∑???∑+=

======+-+-=++++=

+++=

+++???

???=====++=--∞

=nx a a x f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n

n n n n n n n cos 2

)(2,1,0cos )(2

0sin )(3,2,1n sin )(2

012413121164

1312112461412185

1311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(1

2)sin cos (2)(0

2222

222

221

0 π

ππ

πππππππ

周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：

???

???=====++=??∑--∞=l

l n l l n n n n n dx l x n x f l b n dx l x

n x f l a l

x n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos

)(12)sin cos (2)(10 其中，周期ππππ

微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，

代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：

为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x

y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0

),(),(),(??? 一阶线性微分方程：

)

1,0()()(2))((0)(,0)()

()(1)()()(≠=+?

+?=≠?

===+?--n y x Q y x P dx

e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx

n dx x P dx x P dx

x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：

中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u

y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(

二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次，0)(0)()()()(2

2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy

x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：

为常数；，其中?'''=++?=+'+''

式的通解：

出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r

型

为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''

高等数学常用公式大全

高数常用公式平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -

高等数学公式汇总(大全)

高等数学公式汇总(大全) 一导数公式：二基本积分表：三三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高数三角函数公式大全

三角函数公式大全两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3 π +a)·tan( 3 π -a) 半角公式 sin( 2A )= 2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )= A A sin cos 1-=A A cos 1sin +

sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2 b a +sin 2 b a - tana+tanb= b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π -a) = cosa cos(2 π -a) = sina sin(2 π +a) = cosa cos( 2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina c os(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin

(完整版)高等数学公式手册.doc

导数公式： (tgx) sec 2 x (ctgx) csc 2 x (secx) secx tgx (cscx) cscx ctgx (a x ) a x ln a (log a x) 1 x ln a 基本积分表：高等数学复习公式高等数学公式 1 (arcsin x) x 2 1 (arccos x) 1 1 x 2 1 ( arctgx ) 2 1 x ( arcctgx ) 1 x 2 1 tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx 2 2 a x x 2 a 2 dx 2 2 a x a 2 x 2 ln cosx C ln sin x C ln secx tgx C ln cscx ctgx C 1 arctg x C a a 1 ln x a C 2a x a 1 ln a x C 2a a x x C arcsin a dx sec 2 xdx tgx C cos 2 x dx csc 2 xdx ctgx C sin 2 x secx tgxdx secx C cscx ctgxdx cscx C a x dx a x C ln a shxdx chx C chxdx shx C dx ln( x x 2 a 2 ) C x 2 a 2 2 sin n xdx 2 cos n xdx n 1 I n I n 2 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 arcsin x C 2 2 a 三角函数的有理式积分： sin x 2u ， cos x 1 u 2 ， u tg x ， dx 2du 1 u 2 1 u 2 1 u 2

高数b常用公式手册完整版

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1.4 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数） 2、三角不等式 2.1 2.2 2.3 2.4 2.6 3、一元二次方程的解 3.2(韦达定理)根与系数的关系： 4、某些数列的前n 项和 4.2 4.3 4.7 5、二项式展开公式

6、基本求导公式： 7、基本积分公式： 8、一些初等函数：两个重要极限： 9、三角函数公式： x x x x x x x x x a x x e e a a a x x C C a x x x x 221cos 1sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(= ='-='='= '='='='='='-为实数）为常数）αααα2 2 22 2211 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x x x x x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '?-='?='- =-='??????????+-=?+=?+-==+==+=-+=++-=++=C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx C x x dx C x x dx C x x xdx C x x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2 22 2222???? ???+-=+=+=+=+=-≠++==+C x xdx C x xdx C a a dx a C e dx e C x dx x C x dx x C dx x x x x cos sin sin cos ln ln 1 )1(101 αααα

高等数学上公式

学姐偷懒直接从网上下了一份公式总结，然后按照咱们的考试要求改了一下，特别诡异的那些公式我都删掉了，剩下的都是可能会出现的，哪些必须记哪些可以记也都写在后面了，有的出题形式我也加在知识点后面了，可以做个参考。这上面的知识点不很全，但应付考试差不多了，上面没有的学霸们可以自己再看看书哈。重点关注黑体字！！！电子版已发各部长，可以找部长要。祝大家都能考个好成绩~ ——魏亚杰高等数学（一）上公式总结第一章一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式：（孩子们。没办法，背吧） sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβ αβαβαβαβ αβαβ αβαββα±=±±=±±= ??±=±和差角公式： sin sin 2sin cos 22 sin sin 2cos sin 22 cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()] 21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式： 222222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot αααααααα α ααααα ==-=-=-= --= 倍角公式：

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高数b常用公式手册

高数b常用公式手册 Last revision date: 13 December 2020.

常用高数公式 1、乘法与因式分解公式 2、三角不等式 3、一元二次方程的解 4、某些数列的前n 项和 5、二项式展开公式 6、基本求导公式 7、基本积分公式 8、一些初等函数两个重要极限 9、三角函数公式正余弦定理 10、莱布尼兹公式 11、中值定理 12、空间解析几何和向量代数 13、多元函数微分法及应用 14、多元函数的极值 15、级数 16、微分方程的相关概念 1、乘法与因式分解公式 1.1 1.2 1.4 123221()() n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数） 2、三角不等式 2.1 2.2 2.3 2.4 2.6 3、一元二次方程的解 3.2(韦达定理)根与系数的关系： 4、某些数列的前n 项和 4.2

4.3 4.7 5、二项式展开公式 6、基本求导公式： 7、基本积分公式： 8、一些初等函数：两个重要极限： 9、三角函数公式： ·诱导公式：函数角A sin cos tan cot -α -sinα cosα -tan α - cot α 90°-α cosα sinα cot α tan α 90°+α cosα -sinα -cot α - tan α x x x x x x x x x a x x e e a a a x x C C a x x x x 221cos 1 sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1 )(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(=='-='='='= '='='='='-为实数）为常数） αααα2 2222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x x x x x x x x x x +-='+='--='-='?-='?='-=-='??????????+-=?+=?+-==+==+=-+=++-=++=C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx C x x dx C x x dx C x x xdx C x x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2222222???????+-=+=+=+=+=-≠++==+C x xdx C x xdx C a a dx a C e dx e C x dx x C x dx x C dx x x x x cos sin sin cos ln ln 1) 1(101 αααα

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三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

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高等数学公式手册一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-= =+= -= ----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

·倍角公式： ·半角公式： αα αααααααααααα α ααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 2 cos 12cos 2cos 12 sin -= +=-+±=+=-=+-± =+±=-±=ctg tg ·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理： C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -= -=2 arccos 2 arcsin π π α ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --= -=-=α α αααααααααα αα22222212221 2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -= -= -=-=-==

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高等数学微分和积分数学公式（集锦）（精心总结）一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况）二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=

高数(b)常用公式手册

常用高数公式?1、乘法与因式分解公式 ?2、三角不等式 ?3、一元二次方程的解 ?4、某些数列的前n项和 ?5、二项式展开公式 ?6、基本求导公式 ?7、基本积分公式 ?8、一些初等函数两个重要极限 ?9、三角函数公式正余弦定理 ?10、莱布尼兹公式 ?11、中值定理 ?12、空间解析几何和向量代数 ?13、多元函数微分法及应用 ?14、多元函数的极值 ?15、级数 ?16、微分方程的相关概念 1、乘法与因式分解公式 1.1 1.2

1.4 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数） 2、三角不等式 2.1 2.2 2.3 2.4 2.6 3、一元二次方程的解 3.2(韦达定理)根与系数的关系：

4、某些数列的前n项和 4.2 4.3 4.7 5、二项式展开公式

6、基本求导公式： 7、基本积分公式： 8、一些初等函数：两个重要极限： x x x x x x x x x a x x e e a a a x x C C a x x x x 221cos 1sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(= ='-='='= '='='='='='-为实数）为常数）αααα2 2 22 2211 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x x x x x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '?-='?='- =-='??????????+-=?+=?+-==+==+=-+=++-=++=C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx C x x dx C x x dx C x x xdx C x x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2 22 2222???? ???+-=+=+= +=+=-≠++==+C x xdx C x xdx C a a dx a C e dx e C x dx x C x dx x C dx x x x x cos sin sin cos ln ln 1)1(101ααααx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2 :2:2 2 ）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

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方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限【说明】表明无限接近，但，所以这一零因子可以约去。【解】=4 2．分子分母同除求极限例2：求极限【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

高数b常用公式手册

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常用高数公式 ? 1、乘法与因式分解公式 ? 2、三角不等式 ? 3、一元二次方程的解 ? 4、某些数列的前n 项和 ? 5、二项式展开公式 ? 6、基本求导公式 ? 7、基本积分公式 ? 8、一些初等函数两个重要极限 ? 9、三角函数公式正余弦定理 ? 10、莱布尼兹公式 ? 11、中值定理 ? 12、空间解析几何和向量代数 ? 13、多元函数微分法及应用 ? 14、多元函数的极值 ? 15、级数 ? 16、微分方程的相关概念 1、乘法与因式分解公式 123221()() n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数） 2、三角不等式 3、一元二次方程的解

( 韦达定理)根与系数的关系： 4、某些数列的前n 项和 5、二项式展开公式 6、基本求导公式： 7、基本积分公式： 8、一些初等函数：两个重要极限： 9、三角函数公式： ·诱导公式： x x x x x x x x x a x x e e a a a x x C C a x x x x 221cos 1 sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1 )(ln ln 1 )(log )(ln )(()((0)(=='-='='='='='='='='-为实数）为常数） αααα22222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x x x x x x x x x x +-='+='--='-='?-='?='-=-='??????????+-=?+=?+-==+==+=-+=++-=++=C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx C x x dx C x x dx C x x xdx C x x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2222222???????+-=+=+=+=+=-≠++==+C x xdx C x xdx C a a dx a C e dx e C x dx x C x dx x C dx x x x x cos sin sin cos ln ln 1 ) 1(101 αααα

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常用高数公式1、 2、 3、 4、 5、 6、基本求导公式 7、基本积分公式 8、一些初等函数两个重要极限 9、三角函数公式正余弦定理 10、莱布尼兹公式 11、中值定理 12、空间解析几何和向量代数 13、多元函数微分法及应用 14、多元函数的极值 15、级数 16、微分方程的相关概念 1、乘法与因式分解公式

?123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数） 2、三角不等式 3、一元二次方程的解 (韦达定理)根与系数的关系： 4、某些数列的前n 项和

?? ?? ? 5、二项式展开公式 6、基本求导公式： x x x x x x x x x a x x e e a a a x x C C a x x x x 221cos 1sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(= ='-='='= '='='='='='-为实数）为常数）αααα2 2 22 2211 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x x x x x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '?-='?='- =-='

7、基本积分公式： 8、一些初等函数：两个重要极限： 9、三角函数公式： ·诱导公式： ??????????+-=?+=?+-==+==+=-+=++-=++=C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx C x x dx C x x dx C x x xdx C x x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2 22 2222???? ???+-=+=+=+=+=-≠++==+C x xdx C x xdx C a a dx a C e dx e C x dx x C x dx x C dx x x x x cos sin sin cos ln ln 1 )1(101αααα

高数积分公式大全

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝ 11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d () x x ax b +?＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++

的积分 10 ．x C 11 ．x ? ＝22(3215ax b C a -+ 12 ．x x ? ＝ 22232(15128105a x abx b C a -++ 13 ．x ＝22(23ax b C a -+ 14 ．2x ＝22232(34815a x abx b C a -++ 15 ．＝(0)(0)C b C b ?+>+< 16 ． 2a b 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分

19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0)(0)x C b C b ?+>???+< 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 21ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +?＝21d a x bx b ax b --+? 27．32d ()x x ax b +?＝2222 1ln 22ax b a C b x bx +-+