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概率论与数理统计练习题随机事件与古典概型

概率论与数理统计练习题

第一次 随机事件与古典概型

一.填空

1. 设S 为样本空间,A,B,C 是任意的三个随机事件,根据概率的性质,则(1)P(A )=_______;(2)P(B-A)=P(B A )=_______;(3)P(A U B U C)= _____;

2. 设A,B,C 是三个随机事件,试以A ,B ,C 的运算来表示下列事件:(1)仅有A 发生_______;(2)A ,B ,C 中至少有一个发生_______;(3)A ,B ,C 中恰有一个发生_______;(4)A ,B ,C 中最多有一个发生_______;(5)A ,B ,C 都不发生_______;(6)A 不发生,B ,C 中至少有一个发生_______;

3. A,B,C 是三个随机事件,且p(A)=p(B)=p(C)=1/4, P(AC)=1/8;P(AB)=P(BC)=0,则A ,B ,C 中至少有一个发生的概率为: _______;A ,B ,C 中都发生的概率为: _______;A ,B ,C 都不发生的概率为: _______;

4. 袋中有n 只球,记有号码 1,2,3,…………n . (n>5) 则事件(1)任意取出两球,号码为1,2的概率为_______;(2)任意取出三球,没有号码为1的概率为_______;(3) 任意取出五球,号码1,2,3中至少出现一个的概率为_______;

5. 从一批由此及彼5件正品,5件次品组成的产品中,任意取出三件产品,则其中恰有一件次品的概率为_______;

二.某码头只能容纳一只船,现预知将独立来到两只船,且在24小时内各时刻来到的可能性都相同,如果他们需要的停靠时间分别为3小时与4小时,试求有一只船要在江中等待的概率? 三.已知A ,B 两个事件满足条件P(AB)=P(A B ),且P(A)=p; 求P(B).

第二次 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式

一.填空

1. 条件概率的计算公式P(B|A)= _______;乘法公式P(AB)= _____; 2.

12,,,n A A A 为样本空间S 的一个事件组,若12,,,n A A A 两两互斥,且12n A A A =S,则对S 中的事件B 有全概率公式_______;

3. 设B 为样本空间S 的一个事件, 123,,A A A 为样本空间S 的一个事件组,且满足:(1)

123,,A A A 互不相容,

且P(i A )>0 (I=1,2,3) ; (2) S=123A A A 则贝叶斯公式为___; 4 两事件A,B 相互独立的充要条件为_______;

5 已知在10只晶体管中,有2只次品,在其中取两次,每次随机地取一只,做不放回抽样,则(1)

两只都是正品的概率为_______;(1)一只正品,一只为次品的概率为_______;(3)两只都为次品的概率为_______;(4)第二次取出的是次品的概率_______;

二.某工厂有甲,乙,丙3个车间,生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,3

个车间中产品的废品率分别为5%,4%,2%,求全厂产品的废品率。

已知男人中有5%的是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者,今从男女人数相等的人群中随机挑选一人,恰好是色盲患者。问此人是男人的概率。

三.一个机床有1/3的时间加工零件A ,其余时间加工零件B ;加工A 时,停车的概率为0.3,加工B 时停

车的概率为0.4,求这个机床停车的概率?

四.已知事件A 的概率P(A)=0.5,B 的概率P(B)=0.6,以及条件概率P(B|A)=0.8,求A,B 和事件的概率。 五.有甲,乙两个盒子,甲盒中装有8支铅笔,4支钢笔;乙盒中装有3支铅笔,3支钢笔;现从15 中

任取一数,若取到偶数,则在甲中取一支笔,否则在乙中取一支笔,已知取到了钢笔,求该钢笔来自甲的概率?

第三次 一维随机变量及其分布 一维离散型随机变量

一. 填空

1. 设X 为一个随机变量,x 为任意的实数,则X 的分布函数定义为F(x)= _______;

根据分布函数的性质P(12)x X x <≤=_______;

2. 设离散型随机变量X 可能取的值为12,n x x x ,且X 取这些值的概率为:

P(X=k x )=k p (k=1,2….k), 则

k k

p =∑

_______;根据分布函数的性质

P(12)x X x <≤=_______;

3. 如果随机变量X 服从参数为,n, p 的二项分布B(n,p),那么它的分布律为P(X=k)= __;

4. 设X 服从参数为λ的泊松分布,则其分布律为

_______;

二.一批产品共有n 件,其中有m (3≤m ≤n )件次品,从中任意抽取3件产品,求取出的次品数X 的分布律。

三.将三个球随机放入4个杯子中,求杯子中球的最大个数X 的分布律。

四.一批零件中有9个合格品,3个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次取出的废品不再放回,求在取出合格品之前,已取出的废品数的分布律。 五.设离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2,,)(1)

a P X k k N k k ==

=+ ,试确定常数a 。

六.已知甲乙两箱中装有同种产品,其中甲箱装有3件合格品和3件次品,乙箱中装有3件合格品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求: (1)箱中次品件数X 的分布率;

(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

第四次 一维连续型随机变量

一.填空

1.设()f x 为X 的分布密度函数,F(x)为分布函数,那么F(x)=_______;()f x dx +∞

-∞

=?

_

______;P(a

2.X 服从[a,b]上的均匀分布,那么X 分布密度函数为

_______。

3. X 服从参数为,μσ的正态分布,那么X 分布密度函数为

_______。

4.X~N(0,1),那么X 分布密度函数为

_______。

5.如果2

(,)X N μσ ,()x Φ是标准正态分布的分布函数,那么P(a

f x A e x -=-∞<<+∞,求:(1)常数A ,(2)X 落在区

间(-1,2)内的概率;(3)X 的分部函数。

三.设k 在(0,5)上服从均匀分布,求方程2

4420x kx k +++=有实根的概率。

四.设随机变量X 服从正态分布2

(,)N μσ(0)σ>,且二次方程2

40y y X ++=无实根的概率为12

求μ。

第五次 二维离散型随机变量

一. 填空

1. 如果

),Y X (是二维随机离散型变量,则),Y X (的联合分布率定义为ij p = ;分布率的性质

∑∑

=i

j

ij p 。

2.若已知),2,1,(,),( ====j i p y Y x X P ij j i 则随机变量

),Y X (关于X 的边缘分布为 ;Y X ,相互独立的充要条件是 。

二. 将一枚硬币掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示在三次中出现正面的次数与出现

反面次数之差的绝对值。试写出

X 和Y 的联合分布率。

三. 设

),Y X (的分布率由下表给出,问βα,为何值时X 与Y 相互独立?

概率论与数理统计练习题随机事件与古典概型

四. 设

X 与Y 相互独立,且分布率分比分别为下表,求二维随机变量),Y X (的联合分布率。

概率论与数理统计练习题随机事件与古典概型

概率论与数理统计练习题随机事件与古典概型

五. 设随机变量

X 与Y 相互独立,下表列出二维随机变量),Y X (的联合分布率及关于X 和关于Y 的

边缘分布率中部分数值,试将其余数值填入表中空白处。

概率论与数理统计练习题随机事件与古典概型

六. 设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为

)10(<

),Y X (的概率分布。 第六次 二维连续型随机变量

一. 填空

1. ),Y X (是二维连续型随机变量,),(y x f 是

),Y X (的分布密度,则),Y X (分布函数=≤≤=),(),(y Y x X P y x F ;

??

+∞∞-+∞

-=dxdy y x f ),( ;

2.设),(y x f 是二维连续型随机变量的联合密度函数,则关于

X 与Y 的边缘分布密度函数分别为

()x f x = ;()y f x = ;X 与Y 相互独立的充分必要条件是 。 设随机变量

),Y X (的概率密度为?

??>>=+-其他

,00,0,

),()43(y x ke y x f y x ,(1)确定常数k ;(2)求

),Y X (的分布函数;(3)求)20,10{≤<≤

互独立?

二. 假设随机变量U 在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量 ??

?->-≤-=1

1

11U U X 若若 ??

?>≤-=1

1

11U U Y 若若

试求X 和Y 的联合概率密度。

第七次 随机变量的函数分布 条件分布

一.填空

1. 设

),Y X (的联合分布为),(y x f ,则Y X Z +=的密度函数()z f z = ;特别当Y X ,相互独立时,Y X ,的概率密度分别为(),x f x ()y f x ,则()z f z = 或()z f z = 。 二.设随机变量X 服从参数)0(>λλ的指数分布,求随机变量X

e

Y λ-=的概率密度。

三.袋中有4个同样的球,依次写上1,2,2,3,从袋中任意取出一球,不放回袋中,,再任取一球,以Y

X ,表示第1、2次取到球上的数字:(1)求),Y X (的分布率,并证明X 与Y 不相互独立;(2)求Y X Z +=的分布率;(3)求),m

ax (Y X V =的分布率;(4)求min(,)U X Y =的分布率;(5)求V

U W +=的分布率。

第八次 数学期望 方差(一)

一. 填空

1.设随机变量X 的分布率为 X -2 0 2 ,则=)(X E ;

P 0.4 0.3 0.3

=)(2X E ;2

(35)E X

+= 。

2.已知随机变量X 服从)1,3(-N ,Y 服从)1,2(N ,且

X 与Y 相互独立,随机变量

72+-=Y X Z ,则=)(Z E 。

3. X 是随机变量,)(X E 是数学期望,则方差定义为=)(X D ;计算公式

=)(X D 。

4. 若X ~),(p n B ,则=)(X E ,=)(X D ;若X ~)

(λπ,

=)(X E ,=)(X D ;若X ~),(2

σμN ,则=)(X E , =)(X D ;若X 服从[a ,b]上的均匀分布,则=)(X E ,=)(X D 。

5. 若X ,Y 满足条件 ,则)()()(),()()(Y D X D Y X D Y E X E XY E +=+=。

6. 两个随机变量X ,Y 的方差分别为4和2,则Y X 32-的方差为 。

7. 设X 表示10次独立重复射击击中目标的次数,每次射中的概率为4.0,则=)(X E ,

=)(2

X E ;=)(X D 。

8. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,1)]2)(1[(=--X X E 则=λ

二. 设X 是一个随机变量,其密度函数为??

?

??<≤-<≤-+=其他

,010,

10

1,

1)(x x x x x f ,求)(X D 三. 设随机变量U 在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量 ??

?->-≤-=1

1

11U U X 若若 ??

?>≤-=1

1

11U U Y 若若

求)(),(Y X D Y X E ++。

第九次 数学期望 方差(二)

一.填空

1Y X ,是任意两个随机变量,协方差定义为=),cov(Y X ;它的计算为

=),cov(Y X ;=),cov(bY aX ;=+)(Y X D 。

2 Y X ,相互独立与不相关的关系是___________________。

3 相关系数定义为=XY ρ ;且≤||XY ρ 。

4 1||=XY ρ的充分必要条件是 。

5 设6)(,4)(==Y D X D ,6.0=XY ρ,则=-)23(Y X D 。

6 设随机变量X 与Y 独立,同服从正态分布),(2

σ

μ,令Y X βαζ+=,Y X βαη-=则

=ξηρ 。

三.设随机变量X 与Y 的概率密度为??

???≤+=其它,01

,1),(2

2y x y x f π,验证X 与Y 互不相关,但也不相

互独立。

四.),(Y X 服从二维正态分布, )3,1(~2

N X ,)4,0(~2

N Y 。X 与Y 的相关系数

1,2

3

2

X Y X Y Z ρ=-

=

+

,求(1))(),(Z D Z E ;(2)X 与Z 的相关系数XZ ρ。

第十次 大数定理及中心极限定理 一.填空

1 设随机变量X 的方差为2,则根据切比晓夫不等式估计≤≥-}2|{|)

(X E X P 。 2 根据贝努里大数定理,设A n 是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数,又A 在每次实验中出现的概率为

)10(<

ε,有 。

3 根据中心极限定理,设随机变量n

X

X ,,1 相互独立,服从同一分布,且具有有限的均值与方差,

),2,1(0)(,)(2

=≠==i X D X E i i σ

μ,随机变量σ

μn n X Y n

i i n -=

=1

的分布函数)(x F n ,对

任意的x ,满足P x F n n =∞

→)(lim { }= 。

第十一次 样本及其分布

一.填空

1 设n

X

X X ,,, 21是来自总体的简单随机样本,则样本均值=X ;样本方差

=2

S

;样本的K 阶(原点)矩=k A ;样本的阶(中心)矩=k B 。

2 设),(~2

σμN X ,n X X X ,,, 21总体,是从该母体中抽的容量为n 的样本,则统计量

~X ;=)(X E ;=)(X D 。

3 设n X X X ,,, 21相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则∑

=n

i i

X

1

2

服从参数为 的

分布。

4 设总体X 服从正态分布),(2

σ

μN ,n X X X ,,

, 21是它的一个简单随机样本,则统计量n X /2

σ

μ

-服从 分布;

n

S

X /2

μ-服从 分布;

2

2

)1(σ

S

n -服从 分布;

2

1

2

)

μ∑=-n

i i

X

服从 分布。

5 设)(~),1,0(~2

n Y N X χ,X 与Y 独立,则随机变量n

Y X T /=服从自由度为 的

分布。

6 设总体)(~λπX ,n

X

X X ,,, 21是X 的一个样本,2

,S X 分别是样本均值及样本方差,则

=)(X E ;=)(2

S E 。

第十二次 参数估计 一.填空

1 估计一个参数的常用矩估计法的方法是 。

2 若X 是离散型随机变量,分布律是{}(;)P X x P x θ==,(θ是待估计参数),则似然函

数 ,X 是连续型随机变量,概率密度是(;)f x θ,则似然函数是 。

3 若未知参数θ的估计量是 θ

,若0ε?>,有 成立,则 θ称是θ的一致估计量,若 称 θ

是θ的无偏估计量。设 12,θθ是未知参数θ的两个无偏估计量,若 则称 1θ较 2θ有效。 4 对任意分布的总体,样本均值X 是 的无偏估计量。

5 设总体~()X πλ,其中0λ>是未知参数,1,,n X X 是X 的一个样本,则λ的矩估计量为 ,极大似然估计为 。

二.设总体X 服从几何分布,分布律为1

{}(1),1,2,k P X K p p k -==-= ,先用矩法求p 的估计

量,再求p 的极大似然估计。

三.设总体X 的概率密度为(1),01

(;)0 x x f x θθθ?+<<=??其它

,其中1θ>-是未知参数,1,,n

X X 是来自X 的容量为n 的简单随机样本,(1)求θ的矩估计量;(2)求θ的极大似然估计。

四.设总体2

1~(,),,,n X N X X μσ ,都是来自X 的一个样本,试确定常数C ,使

1

211

()n i i i C X X -+=-∑为2

σ的无偏估计。

第十三次 补充题

二.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为

2

1,0()2

0, 0y

Y e y f y y -?>?=??≤?

,(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设a 的二次方程为2

20a X a Y ++=,试求a 有实根的概率。

三.设随机变量X 服从参数(0)λλ>的指数分布,求随机变量3

Y X =的概率密度。

四.设随机变量X,Y 相互独立,若P 在区间[0,](0)a a >上服从均匀分布,求:(1)X Y -的概率密度;(2)||X Y -的概率密度。

六.设随机变量X 的概率密度为1

cos ,0()22

0, x x f x π?≤≤?

=???

其它对X 独立的重复观察4次,用Y 表示观察值大于

3

π

的次数,求2

Y 的数学期望。

七. 设总体X 的概率分布为

概率论与数理统计练习题随机事件与古典概型

其中1(0)2

θθ<<

是未知参数,利用总体X 的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和

最大似然估计值。

八.设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2,(,)0, x e x f x x θθ

θθ

--?>=?≤?,其中0θ>是未知参数,

1,,n X X 是来自总体X 的简单随机样本,

(1)求总体X 的分布函数()F x ;(2)求θ的最大似然估计量 θ;(3)用 θ

做θ的估计量,讨论它是否具有无偏性。 九.设随机变量X 的概率密度为3(1) 01

()0 A X X f x ?-≤≤=??其它

(1)求常数A ;(2)求X 的分布

函数;

十.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22 1

(,)0 C x y x y f x y ?≤≤=??其它

(1)试确定常数C ;(2)

求边缘概率密度。

十一.设总体~(0,1)X N ,16,,X X 是X 的一个样本,令

22123456()()Y X X X X X X =+++++,求常数C ,使2

~C Y χ分布。