24.1圆的有关性质6

课题：24.1.4圆周角(一)

主备：刘大勇徐世珍审核：学生姓名：第 6 课时

学习目标：了解圆周角的定义，掌握圆周角定理及推论.

一、自主学习：

阅读课本85页，回答：

1、什么样的角叫做圆周角？画出一个圆周角.

2、完成课本88页练习第1题.

3、在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出什么样的结论吗？猜想你发现的规律.

二、合作探究：

证明：同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.

如下图，分三种情况讨论：

三、展示交流：

1、证明：同弧或等弧所对的圆周角相等.

2、证明：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，0

90的圆周角所对的弦是直径.

3、课本88页练习第2题.

三、点评小结：

1、什么是圆周角？

2、圆周角定理及推论是怎样的？

五、达标检测 :评价等级：批阅时间：

1、课本89页习题第5题.

2、课本89页习题第6题.

3、课本88页练习第3题.

第24讲 圆的有关性质(含答案点拨)

第七单元圆 第24讲圆的有关性质 纲要求命题趋势 1．理解圆的有关概念和性质，了解 圆心角、弧、弦之间的关系． 2．了解圆心角与圆周角及其所对弧 的关系，掌握垂径定理及推论. 中考主要考查圆的有关概念和 性质，与垂径定理有关的计算，与圆 有关的角的性质及其应用．题型以选 择题、填空题为主. 知识梳理 一、圆的有关概念及其对称性 1．圆的定义 (1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________； (2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径． 2．圆的有关概念 (1)连接圆上任意两点的________叫做弦； (2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧． (3)________相等的两个圆是等圆． (4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧． 3．圆的对称性 (1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性． 二、垂径定理及推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧． 2．推论1 (1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3．推论2 圆的两条平行弦所夹的弧________． 4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项． 三、圆心角、弧、弦之间的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________． 2．推论 同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立． 四、圆心角与圆周角 1．定义

《圆的基本性质》各节知识点

圆的知识点及基础训练 第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点： 1、圆的概念及点与圆的位置关系 2、三角形的外接圆 3、垂径定理 4、垂径定理的逆定理及其应用 5、圆心角的概念及其性质 6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【课本相关知识点】 1、圆的定义：在同一平面，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。 2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。 3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。 4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆 5、点与圆的三种位置关系： 若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外 ； 点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 。 6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上 7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。 8、过 的三点确定一个圆。 9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】 【题型一】证明多点共圆 例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上 【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ）A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 例2、下列说法中，错误的是（ ） A.直径是弦 B.半圆是弧 C.圆最长的弦是直径 D.弧小于半圆 例3、下列命题中，正确的是（ ） A ．三角形的三个顶点在同一个圆上 B ．过圆心的线段叫做圆的直径 C ．大于劣弧的弧叫优弧 D ．圆任一点到圆上任一点的距离都小于半径 例4、下列四个命题：① 经过任意三点可以作一个圆；② 三角形的外心在三角形的部；③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上；④ 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ） A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 7、圆周角定理 8、圆周角定理的推论 9、圆锥的侧面积与全面积

241圆的基本性质3同步练习含答案

D. 120 AC=6cm , AD 平分/ BAC ，贝U AD 的长为（ A . ^/"^m B. ^/"^m 6.在O O 中，圆心角/ AOB=90°，点O 到弦A B 的距离为4,则O O 的直径的长为（ C . D . 4 cm A.4 B.8 C.24 D.16 二、填空题 1.已知圆O 的半径为5,弦AB 的长为5,则弦AB 所对的圆心角/ AOB = 2. ■如图，AB 是 O O 的直径，B C =Bb, / A=25 则/ BOD= 弧、弦、圆心角 知识点 1、 圆心角定义：顶点在 _________ 的角叫做圆心角 2、 定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 对应的其余各组量也分别 、选择题 1. 如果两个圆心角相等，那么（ A .这两个圆心角所对的弦相等 B ?这两个圆心角所对的弧相等 C .这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D ?以上说法都不对 2. 下列语句中不正确的有（ ①相等的圆心角所对的弧相等 条直径所在直线都是它的对称轴 A.3个 B.2个 24.1 圆（第三课时） ，它们所 ） ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一 ④长度相等的两条弧是等弧 C.1个 D.以上都不对 3.已知篦、是同圆的两段弧, 且篦=2丘5，则弦AB 与CD 之间的关系为（ ） A. AB=2CD B. AB<2CD C. AB>2CD D.不能确定 4.如图，AB 是 O O 的直径，C, D 是BE 上的三等分点，/ AOE=60 °，则/ COE 是（ 80 AB=10cm ，弦

1 3. 在O O 中，弦AB 所对的劣弧为圆周的 一，圆的半径等于12,则圆心角/ AOB = 4 弦AB 的长为 4.如图，在O O 中，AB =AC , / B=70 °则/ A 等于 5.如图，AB 和DE 是OO 的直径，弦 AC DE ，若弦BE=3，则弦CE= 6.等腰△ ABC 的顶角/ A = 120°,腰AB= AC = 10,A ABC 的外接圆半径等于 三、解答题 ,AB = AC ，/ACB= 60°，求证/ AOB =/ BOC =/ AOC. 1、如图，在O O 中 2、如图，在O O 中, B B A C B

圆的有关性质

圆的有关性质 本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．

双曲线的定义及性质练习题(一) 菁优网2018.4.27

双曲线的定义及性质练习题 一．选择题（共20小题） 1．已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=2a，则当a=3和5时，P点的轨迹为（） A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线D．双曲线的一支和一条射线 2．双曲线的渐近线方程为（） A． B． C． D． 3．如果方程表示双曲线，则m的取值范围是（） A．（2，+∞）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，2） 4．已知点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2=1上，点R 在曲线C3：（x+5）2+y2=1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是（） A．6 B．8 C．10 D．12 5．在△ABC中，已知A（﹣4，0），B（4，0），且sinA﹣sinB=，则C的轨 迹方程是（） A．B． C．D． 6．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（） A．B．C．D．

7．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（） A．B．C．D． 8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D． 9．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x 轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（） A．B．C．D．2 10．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（） A．B．C． D． 11．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m （m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（） A．对任意的a，b，e1＞e2 B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2 C．对任意的a，b，e1＜e2 D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2 12．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（） A．B．3 C．m D．3m

《圆的有关性质》教学设计1

24.1圆的有关性质 24．1.1圆 教学目标 1．理解圆、弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念． 2．能初步应用“同圆的半径相等”及“圆心是任一直径的中点”进行简单的证明和计算． 教学重点 圆的有关概念． 教学难点 圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景明确目标 圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象． 请你举出生活中一些圆的例子．从本节课开始，我们将会更清楚地了解圆以及一些相关的概念和性质． 二、自主学习指向目标 1．自学教材第79至80页． 2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分． 三、合作探究达成目标 探究点一圆的定义及表示 活动一：圆的定义． 图1 (1)从旋转的角度理解：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周__，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做__圆心__，线段OA叫做__半径__． 【展示点评】①在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要素，__圆心__确定位置，__半径__确定大小． ②以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．那么以点A为圆心的圆，记作__⊙A__，读作__圆A__． (2)从集合的观点理解：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有__到定点O的距离等于定长r__的点的集合． 【小组讨论】圆和圆面有何不同？如何证明几个点在同一个圆上？ 【反思小结】线段OA绕它的固定的一个端点O旋转一周所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封闭的曲线图形，指的是圆周．证明几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到一个定点的距离________．

241圆的基本性质2同步练习含答案

垂径定理 知识点 1、 垂径定理：垂直于弦的直径 _____________ ，并且平分弦所对的 _ 2、 推论：平分弦（不是直径）的直径 ______________ ，并且平分弦所对的 【特别注意：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦 ⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意 解题过程中的灵活运用；2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线； 3、垂径定理常用作计 算，在半径r 、弦a 、弦心d 和■拱高h 中已知两个可求另外两个】 C , AB=4 , 0C=1，贝U OB 的长是( 3.在半径为5cm 的圆中，弦 AB // CD,AB=6cm , CD=8cm ，贝U AB 和CD 的距离是 A.7cm B.1cm C.7cm 或 4cm 5. 如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB ，垂足为 M ，下列结论不成立的是（ 24.1 圆（第二课时） 2.如图，O O 的半径为5, .弦 AB=8, A.2 B.3 A CD B M 是弦AB 上的动点，则 OM 不可能为（ C.4 D.5 ). D.7cm 或 1cm 4.如图，AB 是O O 的弦，半径 OA = 2, / -AOB = 120 °，则弦 AB 的长是（ ). B (B) 2J3 (c) 75 ). A . CM=DM B . CB = DB C . / ACD= / ADC D . OM =MD 、选择题 OC 丄弦AB 于点

AB 为O O 的直径，弦CD 丄AB 于E ,已知CD=12 , BE=2，则O O 的直径为（ ） B . 10 C . 16 D . 20 6.如图，在半径为 则OP 的长为（ 5的O O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P ,且AB=CD=8 , ） 7.如图, A . 8 8、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 最深地方的高度为 2cm ，则该输水管的半径为（ ） A . 3cm B . 4cm C . AB 宽为8cm ，水面 二、填空题 1.如图，AB 是O O 的直径, 5cm D . 6cm BC 是弦，OD 丄BC ,垂足为D ,已知OD=5,则弦AC= 2、如图AB 是O O 的直径, / BAC=42。，点D 是弦AC 的中点，则/ DOC 的度数是 __________ 度. B

2018年高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题课后强

专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题 A 组 1．已知方程x 2 2－k ＋y 2 2k －1 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ( C ) A ．(1 2，2) B ．(1，＋∞) C ．(1,2) D ．(1 2 ，1) [解析] 由题意可得，2k －1>2－k >0， 即? ?? ?? 2k －1>2－k ，2－k >0，解得10)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为 ( B ) A ．y 2 ＝6x 2 ＝8x C ．y 2＝16x ＝152 x [解析] 依题意，设M (x ，y )×3p ＝43， x ． 和椭圆x 2m ＋y 2 n ＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两 条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝ ( D ) A ．m 2 －a 2 B ．m －a C ．1 2 (m －a ) D ． (m －a ) [解析] 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 在双曲线的右支上，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，故|PF 1|·|PF 2|＝m －a ． 4．(文)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为

( D ) A ． 73 B ．54 C ．43 D ．53 [解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a ，b 的关系式，然后求 出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)， ∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2 ，∴e ＝c a ＝53 ，故选D ． (理)(2016·天津卷，6)已知双曲线x 24－y 2 b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长 为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为 ( D ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－ C ．x 24－y 2 4 ＝1 2 －12 ＝[解析] 为矩形．双曲线的渐近线方程为 y ＝±b x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4y ＝b 2 x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝ 4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2 ＝12， D ． C 于A ，B 两点，交C 的准线于 D ， E 两点．已 ( B ) B ．4 D ．8 [解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y 2 ＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 2 4 ＋5， 得p ＝4.故选B ． (理)(2016·浙江卷，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2 ＝1(n >0)的焦 点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则 ( A ) A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1

第1讲-圆的有关性质

第1讲-圆的有关性质 1 （1）在同圆或等圆中，“同弧或等弧上” 的圆周角＝ 1 2； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角或 圆周角所对的 和相等；反之亦然； （3）直径所对的圆周角是，反 之，90°的圆周角所对的弦是 ． 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA， OB，∠OBA＝40°，则∠C的度数为（）． A．30° B．40° C．50° D．80° 2 2．垂径定理：如图1，若AB是⊙O的直 径，弦CD⊥AB于E，则 ， ， ． 2．（14常德）如图1所示，AB为⊙O的直径， CD⊥AB，若AB＝10，CD＝8，则圆心O 到弦CD的距离为． 图1 3．（14凉山）如图，已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M， 且AB＝8cm，求AC的长． C

N C M A B O ． 4．已知⊙O 的半径是10，点C 是弦AB 的中点，弦MN 过C 点，且AB 为12，MN 为16，求NC 的值． 5．已知，在⊙O 中，弦AB 与直径MN 成45°角，且把MN 分成1和9长的两段，求AB 的长． 6．⊙O 的半径为5，弦AB ，MN 互相垂直于E ，且AE 为1，BE 为7，求ME ，NE 的长度． O B A M N E O B A M N

C B A O 第9题 第11题 图15 7．（14山西）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为（ ）． A ．30° B ．40° C ．50° D ．80° 8．（14毕节）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是 （ ）． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 9．（14临沂）如图，在⊙O 中，AC ∥OB ，∠BAO ＝25°，则∠BOC 的度数为（ ）． A ．25° B ．50° C ．60° D ．80° 10．（14潍坊）如图，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径 BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是（ ）． A ．44° B ．54° C ．72° D ．53° 11．（14内江）如图，在⊙O 中，∠AOB ＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为（ ）． A ． B ．3 C ． D ．4 323第7题 第8题 O A B 第10题 A B D E O · C

教案--圆的有关性质

圆的有关性质 一、引言 与圆有关的知识，初中我们学习了圆心角、圆周角等有关角的概念及性质，掌握了垂径定理等有关结论，会判断点与圆的位置关系，但对于直线和圆、圆与圆的位置关系及有关性质很少涉及，本讲将补充圆的有关重要性质，为后续学习作准备。 二、回顾梳理 1.圆心角及有关性质： 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距相等。 推论：同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦或弦心距中有一组量相等，则其余各组量分别对应相等。 2.圆周角及有关性质： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 推论： （1） 同弧或等弧所对的圆周角相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 （2） 半圆或直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 （3） 圆的内接四边形对角互补。 3.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 （1） 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3） 弦长公式：2 22:1-11d r l l d r -=的关系和弦长，弦心距，圆的半径如图 （4） 若圆心为O ，半径为R ，则点P 与圆O 的位置关系的判断： R 。 |OP|P R;|OP|P R; |OP|P >?=?

三、衔接拓展 1. 圆内外角、圆外角和弦切角及性质： （1）圆内角：如果角的顶点在圆内，.2 1 2 -11）（，如图COD AOB APB ∠+∠=∠ （2）圆外角：如果角的顶点在圆外，且角的两边都与同一个圆相交， .-2 13-11）（即为圆外角，且，如图AOB COD APB APB ∠∠=∠∠ （3）弦切角：顶点在圆上，角的一边与圆相交，另一边与圆相切， .2 1 4-11AOT TBA PTA PTA ∠=∠=∠∠即为弦切角，且，如图 2. 直线和圆的位置关系： . ;;1R d O l R d O l R d O l d l O O R l >?=?

第1讲 圆的基本性质讲义

第1讲圆的基本性质 一、【教学目标】 1.理解圆、弦、弦心距、直径、弧、圆心角、圆周角等有关的概念． 2. 理解圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是旋转对称图形． 3. 掌握圆中“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”的性质，以及“弧、弦、弦心距、圆心角”四量之间的“等对等”关系，并能运用这些性质进行有关的计算与证明． 4. 理解圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活运用于有关问题的解决． 二、【教学重难点】 1.教学重点：“垂径定理”、圆周角与圆心角的关系的灵活运用 2.教学难点： 三、【考点聚焦】 考点一.圆的基本元素 1．弦和直径： 连结圆上任意两点的线段叫弦，如图，线段AC、AB、BC都是⊙O的弦，其中AB是直径，直径是圆中最长的弦．圆心到弦的距离叫此弦的弦心距，如图中的线段OM的长，表示圆心到弦AC的弦心距． 注意：直径是过圆心的弦，凡直径都是弦，但弦不一定都是直径． 2．弧和半圆： 圆心任意两点间的部分叫做弧，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种．一条直径把圆分成了两个半圆，大于半圆的弧叫优弧，在表示时必须用三个大写字母表示，如图中的优弧 ，小于半圆的弧叫劣弧，如图中的劣弧．

注意： (1)半圆是一种特殊的弧； (2)在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧成立的前提首先是存在于“同圆或等圆中”． 3．圆周角和圆心角． 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫圆周角；顶点在圆心上的角叫圆心角；如图中的∠ABC是圆周角，∠AOD是圆心角． 注意：圆周角具备两大特征： (1).顶点在圆周上， (2).角的两边都与圆相交，二者缺一不可，如图中的∠ABE就不是圆周角． 考点二. 圆的基本性质 1．弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系： 圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，其旋转中心即为圆心．根据圆的这一特性，可以得出关于“弧、弦、弦心距与圆心角”之间的“等对等”关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等． 注意： (1)运用本知识点时，应注意其成立的条件：“同圆或等圆中”． (2)本知识是证明弦相等、弧相等的常用方法． 2．圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，利用“圆是轴对称图形”可以得到：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．” 注意： (1)此性质必须具备两个条件：直径；此直径垂直于弦，两者缺一不可． (2)常用此知识点进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解． 3．圆周角的性质： (1)一条弧所对的圆周角等于该弦所对的圆心角的一半；

北师大版高中数学必修4教案备课单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式

4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性 质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质． 2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点) 3．掌握诱导公式及其应用．(重点) 1.通过借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式，提升逻辑推理素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养． 1．正弦函数、余弦函数的基本性质 从单位圆看出正弦函数y ＝sin x 有以下性质 (1)定义域是R ； (2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]； (3)它是周期函数，其周期是2k π(k ∈Z )； (4)在[0，2π]上的单调性为：在??????0，π2上是单调递增；在?????? π2，32π上是单调递减； 在???? ?? 3π2，2π上是单调递增． 同样，从单位圆也可看出余弦函数y ＝cos x 的性质． 思考1：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？ [提示] 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1. 2．诱导公式的推导

(1)诱导公式(－α，π±α)的推导 ①在直角坐标系中 α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称． ②公式 sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α； sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α； sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α． (2)诱导公式? ?? ?? π2±α的推导 ①π 2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称． ②公式 sin ? ????π2－α＝cos α，cos ? ???? π2－α＝sin α 用－α代替α并用前面公式 sin ? ????π2＋α＝cos α，cos ? ?? ?? π2＋α＝－sin α 思考2：设α为任意角，则2k π＋α，π＋α，－α，2k π－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？ [提示] 它们的对应关系如表： 相关角 终边之间的对应关系 2k π＋α与α 终边相同 π＋α与α 关于原点对称 －α与α 关于x 轴对称 2π－α与α 关于x 轴对称 π－α与α 关于y 轴对称 1．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A.sin ? ?? ?? π2＋α＝－cos α

圆的有关性质复习课教案

复习:圆的基本性质 灵宝实验中学许怀权 导入: 同学们,我们中国人对圆情有独衷,因为它寓意着团圆、完美、和谐，而数学中，圆以简洁的曲线之中，却蕴含神奇多彩的数学知识。今天我们再次走进圆的世界，共同复习圆的基本性质。 一．复习目标: 1.复习圆的有关概念,掌握圆的基本性质。 2.理解圆的对称性，掌握圆的四个定理。 3.会运用圆的基性质定理进行推理和计算。 千里之行，始于足下。明确了目标，就让我们从知识梳理开始今天的复习之旅！二．知识梳理 1.以小组为单位共同复习圆的一组概念。（组里互查,教师出示四个图形检查） 2.两个特性：同学观察两个图形回答一下问题： (1)圆是______ 图形,经过_____________是它的对称轴.圆有_______对称轴. (2)圆是_________ 图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即____________ (3)跟踪练习,概念解读： 1.下列说法正确的是______________ : （1）直径是弦，弦也是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）两条等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧； （4）顶点在圆心上的角为圆心角，顶点在圆周上的角为圆周角； （5）圆的对称轴是它的直径。 3.四个定理： (1) 垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 提问：○1.联想垂径定理基本图形是什么 ○2.根据图说说几何语言怎么叙述？

∵CD 是直径 ①经过圆心 CD ⊥AB ②垂直于弦 ∴AP=BP ③平分弦（不是直径） ④平分优弧 ⑤平分劣弧 ○ 3你能从这几个条件中任选两个推出其它的结论吗？ 找几个同学说说，由此总结： （知二，得三） ○ 4.垂径定理的几个基本图形： ○ 5.定理辨析：下列说法正确吗？为什么？ （1）过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂线平分它所对的两条弧； （3）过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； （4）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 ○ 6.典例精析 例1.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块20cm 厚的砖塞在两侧他量的两砖之间的距离刚好是 80cm ，聪明的你算出大石头的半径是（ ） cm 先独立完成然后找学生讲解，最后老师进行解题方法总结。 解题策略：求圆中的弦、弦心距、和半径时，通过连半径，作垂直， 构造垂径定理基本图形，用方程思想解题。 学以致用 备战中招（一） 1.（2015.盐城）如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦, DC ⊥AB 于E,则下列结论不一定正确( ) A.∠COE=∠DOE =DE ⌒ ⌒ =BE =BC 2.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，⊙O 的半径____厘米。 O B A C D O B C A O B C A D E D C O A B E O D B C A

初中数学 24.1 圆教案

24．1 圆 教学目标 1、知识与技能：了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、 弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理． 2、过程与方法 （1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动． 了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式． （2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流． （3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中， 让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想． 3．情感、态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望． 教学重点：1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等及其运用． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用． 4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 °的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 教学难点 1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题． 2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导， 并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用． 第一课时 24.1.1圆 本节课主要让学生自学为主，明确圆的两种定义、弦、弧等概念，澄清“圆是圆周而非

圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念。 教学过程： 一、引入：通过图片展示圆在生产、生活中的应用。 二、探索新知： 展示自学成果，有同学介绍圆的定义及相关概念。 思考1、车轮为什么做成圆形的？ 思考2、为什么说“直径是圆中最长的弦”？试说说你的理由. 思考3、判断正误：1）、弦是直径； 2）半圆是弧； 3）过圆心的线段是直径； 4）过圆心的直线是直径； 5)半圆是最长的弧； 6 )直径是最长的弦； 7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; 8 )半径相等的两个圆是等圆； 9）等弧就是拉直以后长度相等的弧。 练习：P80 三、归纳小结：有学生自己讨论，老师完善。 四、布置作业： 五、课后反思： 本节课采用学生预习之后尝试回忆的方法来上课。感觉学生的积极性较高。 第二课时 教学内容 1．圆的有关概念． 2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．

(文理通用)2019届高考数学大二轮复习 解析几何第2讲圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题练习

第一部分 专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计 算问题 A 组 1．抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( B ) A ．y 2 ＝6x B ．y 2 ＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2 ＝152 x [解析] 依题意，设M (x ，y )，因为|OF |＝p 2， 所以|MF |＝2p ，即x ＋p 2＝2p ， 解得x ＝3p 2 ，y ＝3p . 又△MFO 的面积为43，所以12×p 2×3p ＝43， 解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2 ＝8x . 2．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2 n ＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两 条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝ ( D ) A ．m 2 －a 2 B ．m －a C ．1 2 (m －a ) D ．m －a [解析] 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 在双曲线的右支上，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，故|PF 1|·|PF 2|＝m －a . 3．(文)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为 ( D ) A ． 73 B ．54 C ．43 D ．53 [解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a ，b 的关系式，然后求

人教版九年级上册241圆的有关性质2教案

** 圆(第2课时) 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB ，如图所示，作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形． 老师点评：绕O 点旋转，O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB ′=30°． 二、探索新知 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′将圆心角 ∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ AB =''A B ，AB=A ′B ′ 理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合 ∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴AB =''A B ，AB=A ′B ′ 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？?请同学们现在动手作一作． （学生活动）老师点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中，?分别作相等的圆 心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合． B A O B A O B ' B A A ' O

第1讲圆的基本性质(学生版)

第一讲，圆的基本性质 一、圆的基本概念 圆的定义 1．描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之 旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2．集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做 半径． 3．圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读 作”圆O “． 4 ．同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆 叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：同圆或等圆的半径相等． 弦和弧 1． 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2． 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 5． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 二、垂径定理 圆的对称性 圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． ⑴ 旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心． 圆的旋转对称性 弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中

圆的有关性质说课稿

24.1 圆的有关性质 说课稿

圆的有关性质说课稿 尊敬的各位评委老师： 上（下）午好，今天我说课的题目是“圆的有关性质”。圆是常见的几何图形，圆形物体在生活中随处可见。它具有独特的对称性，无论你从哪个角度看，圆都具有同一形状。古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆。”下面我将从设计思想、背景分析、教学目标、教学过程、板书设计五个方面来对圆的有关性质进行说明。 一、设计思想： 数学来源于生活，数学教学应走进生活，生活也应走进数学。数学与生活的结合，会使问题变得具体、生动，学生就会产生亲近感、探究欲，从而诱发内在学习潜能，主动动手、动口、动脑。因此，在教学中，我们应自觉地把生活作为课堂，让数学回归生活，服务生活。培养学生的动手能力和创新能力，丰富和发展学生的数学活动经历，并使学生充分体会到数学之趣、数学之用、数学之美。 教师既要做到精讲精练，又要敢于放手引导学生参与尝试和讨论，展开思维活动。 根据新教材留给学生一定的思维空间的特点，教师要鼓励学生自己动脑参与探索，让学生有发表意见的机会，绝对不能包办代替，使学生不仅能学会，而且能会学。 充分发挥网络在课堂教学中的优势，力争促进学生学习方式的转变，由被动听讲式学习转变为积极主动的探索发现式学习。 数学问题生活化，主导主体相结合，发挥媒体技术优势，探究练习相结合，符合《课标》精神。 二、背景分析： （一）学情分析： “圆的有关性质”是人民教育出版社《义务教育课程标准实验教科书·数学·九年级上册》第二十四章第一节的内容。在“圆”这一章，我们将进一步认识圆，探索它的性质，并用这些知识解决一些实际问题。 九年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力。他们在小学已学习了一些圆形的基本知识和面积计算方法, 基础知识较扎实，具有一定探索解决问题的能力，电脑使用水平较熟练，对于课件环境下的学习模式已适应。 三、教学目标： 知识技能：了解圆的概念和有关性质，理解垂径定理及其推论和圆心角、弧、弦、弦心