高中数学必修四检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1 、在下列各区间中,函数y =sin (x +4π
)的单调递增区间是( )
A.[2π,π]
B.[0,4π]
C.[-π,0]
D.[4π,2π]
2 、已知sin αcos α=81,且4π<α<2π
,则cos α-sin α的值为 ( )
(A)2
3 (B)4
3 (C)
3-
(D)±
2
3
3 、已知sin cos 2sin 3cos αα
αα-+=51,则tan α的值是 ( )
(A)±83 (B)8
3 (C)83-
(D)无法确定
4 、 函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2??
-????
,的简图是( )
5 、要得到函数sin y x =的图象,只需将函数
cos y x π?
?=- ?
3??的图象( ) A .向右平移π6个单位 B .向右平移π3个单位 C .向左平移π3个单位 D .向左平移π
6个单位
6 、函数π
πln cos 2
2y x x ??=-<< ???的图象是( )
7 、设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b += (A
(B
(C
) (D )10
8 、 已知a =(3,4),b =(5,12),a 与b 则夹角的余弦为( ) A .
6563 B .65 C .5
13 D .13 9、 计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于 ( ) A.12
B.33
C.22
D.32 10、已知sin α+cos α= 1
3 ,则sin2α=
( )
A .89
B .-89
C .±89
D .322
11 、已知cos(α-π
6)+sin α=4
53,则sin(α+7π
6)的值是 ( )
A .-
235 B.235 C .-45 D.4
5
12 、若x = π
12 ,则sin 4x -cos 4x 的值为
( )
A .21
B .21-
C .23-
D .2
3
x
x
A .
B .
C .
D .
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题4小题,每小题4分,共16分. 把正确答案填在题中横线上.
13 、若)sin(2)(?ω+=x x f (其中2
,0π
?ω<
>)的最小正周期是π,且1)0(=f ,则
=ω ,=? 。
14、设向量)2,1(m a =,)1,1(+=m b ,),2(m c =,若b c a ⊥+)(,则=||a ______.[
15、函数)
62sin()(π
-
=x x f 的单调递减区间是
16、函数
π()3sin 23f x x ?
?=- ?
??的图象为C ,则如下结论中正确的序号是 _____ ①、图象C 关于直线
11π12x =对称; ②、图象C 关于点2π03?? ???,
对称; ③、函数()f x 在区间π5π1212??- ?
??,内是增函数; ④、由3sin 2y x =的图角向右平移π
3个单位长度可以得到
图象C .
三、解答题:本大题共6题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17、(12分)已知向量 = , 求向量b ,使|b|=2| |,并且 与b 的夹角为 。
18、(12分)若0,02
2π
π
αβ<<-
<<
,1cos ,cos 4342ππβα????
+=-=
? ?????,求cos 2βα??+ ???.
19、(12分)
设
2
()6cos 2f x x x =. (1)求()f x 的最大值及最小正周期;(2)若锐角α
满足()3f α=-,求
4
tan 5α
的值.
20、(12分)
如右图所示函数图象,求)sin()(?ω+=x A x f (π
?ω<>,0)的表达式。
21、设平面三点A (1,0),B (0,1),C (2,5).
(1)试求向量2+AC 的模; (2)试求向量与AC 的夹角; (3)试求与BC 垂直的单位向量的坐标.
22、(14分)已知函数())cos()f x x x ω?ω?=+-+(0π?<<,0ω>)为偶函数,且
函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π
2
. (Ⅰ)求π8f ??
???
的值; (Ⅱ)将函数()y f x =的图象向右平移π
6
个单位后,得到函数()y g x =的图象,求()g x 的单调递减区间.
答案
1-5BCBAA 6-10ABAAB 11-12CC 13、 2 6
π 14、2 15、z k k k ∈++],6
5,
3
[
ππ
ππ
16、①②③ 17、由题设
, 设 b=
, 则由
,得
. ∴
,
解得 sin α=1或 。
当sin α=1时,cos α=0;当 时, 。
故所求的向量 或
。
18、
9
3
5 19、1)
1cos 2()6322
x
f x x
+=?
3cos 2323x x =+ 31232sin 232x x ?=-+???23236x π??=++ ???.故()f x 的最大值为233;
最小正周期22T π
=
=π.21世纪教育网 ☆
(2)由()323f α=-23233236απ??++=- ???cos 21
6απ??+=- ???.
又由02απ<<得2666απππ<+<π+,故26απ+=π,解得
512α=π
. 从而4tan tan 353απ
==
20、)4
2sin(2π
+
=x y
21、(1)∵ =(0-1,1-0)=(-1,1),=(2-1,5-0)=(1,5). ∴ 2AB +AC =2(-1,1)+(1,5)=(-1,7). ∴ |2AB +AC |=227)1(+-=50.
(2)∵ ||=2
21)1(+-=2.||=2251+=26,
AB ·=(-1)×1+1×5=4.
∴ cos θ |
|||AC AB ?=
26
24?=
13
13
2. (3)设所求向量为=(x ,y ),则x2+y2=1. ①
又 BC =(2-0,5-1)=(2,4),由BC ⊥m ,得2 x +4 y =0. ②
由①、②,得???????-==.55552y x 或???
????==.
-555
5
2y x ∴ (552,-55)或(-552,55)即为所求.
22、 解:(Ⅰ
)())cos()f x x x ω?ω?=+-+
1
2)cos()2x x ω?ω??=+-+???
π2sin 6x ω??
?=+- ??
?.
因为()f x 为偶函数,
所以对x ∈R ,()()f x f x -=恒成立, 因此ππsin()sin 6
6x x ω?ω???-+-=+-
??
?
.
即πππsin cos cos sin sin cos cos sin 666x x x x ω?ω?ω?ω????????
--
+-=-+ ? ? ? ?
??????
整理得πsin cos 06x ω???
-
= ??
?
. 因为0ω>,且x ∈R , 所以πcos 06???
-
= ??
?
. 又因为0π?<<, 故ππ62
?-
=. 所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω??
=+= ??
?
. 由题意得
2π
π
2
2
ω
=,所以2ω=. 故()2cos 2f x x =.
因此ππ2cos 84f ??==
???
(Ⅱ)文:将()f x 的图象向右平移
π
6
个单位后,得到π6f x ?
?- ??
?的图象,
所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ???
?????=-=-=- ? ? ????
??
?????. 当π
2π22ππ3k x k -
+≤≤(k ∈Z )
, 即π2πππ63
k x k ++≤≤(k ∈Z )时,()g x 单调递减,
因此()g x 的单调递减区间为π2πππ63k k ?
?
++???
?
,(k ∈Z ).