离散数学题库
试题总汇
数理逻辑部分
1、判断下列句子中哪些是命题
（1）2是素数
（2）血是黑色的
（3）2+3=5
（4）明年10月1日是晴天
（5）3能被2整除
（6）这朵花多好看呀！
（7）明天下午有会吗？
（8）请关上门！
（9）X + y > 5
（10）地球外的星球上也有人
2、将下列命题符号化
（1）3不是偶数
（2）2是素数和偶数
（3）李芳学过英语或日语
（4）如果角A和角B是对顶角，则角A等于角B
（5）李平虽然聪明，但不用功
（6）李平不但聪明，而且用功
（7）小王是游泳冠军或者百米赛跑冠军
（8）小王现在在宿舍或者在图书馆
（9）选小王或者小李中的一人当班长
（10）如果我上街，我就去书店看看，除非我很累
（11）如果明天天气好，我们去郊游。否则，不去郊游
（12）你爱我，我就嫁给你
3、判断下列命题公式是否等值
（1）?（p∨q）与?p∨?q
（2）?（p∨q）与?p∧?q
4、验证下列等值式
（1）p→（q→r）?（ p∧q）→r
（2）p?（ p∧q）∨（p∧?q）
5、用等值演算法解决下面问题：
A、B、C、D 4人百米竞赛。观众甲、乙、丙预报比赛的名次为，
（1）甲：C第一，B第二。（2）乙：C第二，D第三。（3）丙：A第二，D第四。比赛结束后发现甲、乙、丙每人报告的情况都是给对一半。试问，实际名次如何？
6、求下面命题公式的主析取范式和主合取范式
（1）（（p∨q）→r）→p
7、利用真值表求主析取范式和主合取范式
（1）（p∧q）∨r
8、逻辑推理证明
（1）前提：p→r，q→s，p∨q。结论：r∨s。
（2）前提：p∨q，p→?r，s→t，?s→r，?t。结论：q
（3）前提：p→（q→r），?s→p，q。结论：s→r。
（4）前提：p→（?（r∧s）→?q），p，?s。结论：?q
9、给定语句如下：
（1）15是素数
（2）10能被2整除，3是偶数
（3）你下午有会吗？
（4）2x+3> 0
（5）2是素数或是合数
（6）这个男孩真勇敢呀！
（7）如果2+2=6，则5是奇数
（8）只有4是偶数，3才能被2整除
（9）明年5月1日是晴天
（10）圆的面积等于半径的平方与π的乘积
以上10个语句中，是简单命题的为A，是复合命题的为B，是真命题的为C，是假命题的为D，真值待定（真值客观存在，只是现在不知道）的命题为E。
A：①（1）、（4）、（8）②（4）、（6）、（9）、（10）③（1）、（9）、（10）
B：①（3）、（10）②（2）、（5）、（7）、（8）③（7）、（8）
C：①（2）、（5）、（9）、（10）②（7）、（8）、（10）③（2）、（9）、（10）④（5）、（7）、（8）、（10）
D：①（1）、（2）、（8）②（1）、（2）③（1）、（5）
E：①（4）、（9）②（9）③（7）、（8）
10、判断公式类型
（1）（p∧q）→（p∨q）
（2）（p?q）?（（p→q）∧（q→p））
（3）?（p→q）∧q
（4）（p∧?p）?q
（5）p→（p∨q）
（6）（p∨?p）→（（q∧?q）∧r）
（7）（（p→q）→p）?p
（8）（p∧q）∨（p∧?q）
（9）?（p∨q∨r）?（?p∧?q∧?r）
（10）（p∧q）∧r
11、给定命题公式如下：（?p→q）→（p∨?q）
该命题公式的主析取范式中含极小项的个数为A，主合取范式中含极大项的个数为B，成真赋值个数为C，成假赋值个数为D。
A、B、C、D：（1）0,（2）1,(3)2,(4)3,(5)4
12、一公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下：
（1）甲或乙盗窃了录音机
（2）若甲盗窃了录音机，则作案时间不能发生在午夜前
（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭
（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前
（5）午夜时屋里灯光灭了
推理证明，谁盗窃了录音机。
13、设p=1，q=0，r=1，s=0，有下列命题公式
（1）（p∧q）→（s∧?r）
（2）（p∧?q∧r∧?s）∨(s→?q)
（3）（p∧q∧r）?（?p∨?s）
那么，（1）的真值为；（2）的真值为；（3）的真值为；14、对于下面的语句，
（1）只要4＜3，就有3＞2
（2）只要4＜3，就有3≤2
（3）只有4＜3，才有3＞2
（4）只有4＜3，才有3≤2
（5）除非4＜3，否则3＞2
（6）4≥3仅当3≤2
（7）4＜3当且仅当3＞2
则，他们的真值是（1）（2）（3）（4）（5）
（6）（7）。
15、设A是含n个命题变项的公式，下面4个结论中，哪个是错误的？
（1）若A的主析取范式中含2n个极小项，则A是重言式
（2）若A的主合取范式中含2n个极大项，则A是矛盾式
（3）若A的主析取范式中不含任何极小项，则A的主析取范式为0
（4）若A的主合取范式中不含任何极大项，则A的主合取范式为0
16、已知命题公式A含有3个命题变项，其成真赋值为000，010，100，110。
则A的主析取范式为，主合取范式为。
17、判断下列语句是否为命题，如是命题请指出是简单命题还是复合命题，并讨论真值（1）2是无理数
（2）5能被2整除
（3）现在开会吗？
（4）x+5＞0
（5）这朵花真好看呀！
（6）2是素数当且仅当三角形有3条边
（7）血是黑色的当且仅当太阳从东方升起
（8）2008年10月1日天气晴朗
（9）太阳系以外的星球上有生物
（10）小李在宿舍里
（11）全体起立
（12）4是2的倍数或是3的倍数
（13）4是偶数且是奇数
（14）李明与王华是同学
（15）蓝色和黄色可以调配成绿色
18、将下列命题符号化，并讨论其真值
（1）如果今天是1号，则明天是2号
（2）如果今天是1号，则明天是3号
19、设A、B、C为任意的命题公式
（1）已知A∨C?B∨C，问A?B吗？
（2）已知A∧C?B∧C，问A?B吗？
（3）已知?A??B，问A?B吗？
20、设计一个符合如下要求的室内照明控制线路：在房间的门外、门内及床头分别装有控制同一个电灯F的3个开关A、B、C。当且仅当一个开关的键向上或3个开关的键都向上时电灯亮。则F的逻辑关系式可化简为。
（1）A∨B∨C （2）A∨B∨C∨（A∧B∧C）（3）A∨B∨（A∧C）
（4）C∨（A∧B）
21、将下列语句用谓词表达式符号化
（1）2是素数且是偶数
（2）如果2大于3，则2大于4
（3）凡是有理数均可表成分数
（4）有的有理数是整数
（5）没有不吃饭的人
（6）素数不全是奇数
（7）一切人都不一样高
（8）有的自然数无先驱数
（9）有些人喜欢所有的花
（10）任何金属都可以溶解在某种液体中
（11）凡是对顶角都相等
22、指出下列各合式公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的自由出现和约束出现（1）?x（F（x）→?yH（x，y））
（2）?x F（x）∧G（x，y）
（3）?x?y（R（x，y）∨L（x，y））∧?x H（x，y）
23、给定解释I如下：
1）D I={2，3}
2）D I中特定元素a=2
3）函数f（x）为f（2）=3，f（3）=2
4）谓词F（x）为F（2）=0，F（3）=1；
G（x，y）为G（i，j）=1，i，j=2，3；
L（x，y）为L（2，2）= L（3，3）=1；L（2，3）= L（3，2）=0
在解释I下，求下列各式的值。
（1）?x（F（x）∧G（x，a））
（2）?x（F（f（x））∧G（x，f（x）））
（3）?x?y L（x，y）
24、求下列公式的前束范式
（1）?xF（x）∧??x G（x）
（2）?xF（x）∨??x G（x）
（3）?xF（x）→?x G（x）
（4）?xF（x）→?x G（x）
25、设F（x）：x是人，G（x）：x爱吃糖。有人给出语句“不是所有人都爱吃糖”的4种谓词表达式：
（1）??x（F（x）∧G（x））
（2）??x（F（x）→G（x））
（3）??x（F（x）∧G（x））
（4）?x（F（x）∧?G（x））
正确的答案是。
26、给出解释I，使下面两个公式在解释I下均为假，从而说明这两个公式都不是永真式（1）?x（F（x）∨G（x））→（?xF（x）∨?x G（x））
（2）（?xF（x）∧?x G（x））→?x（F（x）∧G（x））
27、取个体域为整数集，给定下列公式
（1）?x?y（x*y=0）
（2）?x?y（x*y=1）
（3）?y?x（x*y=2）
（4）?x?y ?z（x – y = z）
（5）x – y = - y + x
（6）?x?y（x *y = y）
（7）?x（x*y = x）
（8）?x?y（x + y = 2y）
在上面的公式中，真命题的为A，假命题的为B。
A：①（1）、（3）、（4）、（6）；②（3）、（4）、（5）；
③（1）、（3）、（4）、（5）；④（3）、（4）、（6）、（7）
B：①（2）、（3）、（6）；②（2）、（6）、（8）；
③（1）、（2）、（6）、（7）；④（2）、（6）、（8）、（7）
集合部分
1、下列命题
（1）φ?φ；（2）φ∈φ；（3）φ?｛φ｝；（4）φ∈｛φ｝
正确的是；错误的是。
2、计算一下幂集
（1）P（φ）；（2）P（｛φ｝）；（3）P（｛φ，｛φ｝｝）；（4）P（｛1，｛2，3｝｝）
3、证明
（1）（A-B）∪B=A∪B；
4、化简
（（A∪B∪C）∩（A∪B））- （（A∪（B - C））∩A
5、已知：A⊕B=A⊕C，证明：A = B
6、求在1到1000之间不能被5和6，也不能被8整除的数的个数
7、某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另一种球（指篮球或排球），求不会打这三种球的人数。
8、设F表示一年级大学生的集合，S表示二年级大学生的集合，R表示计算机科学系学生的集合，M表示数学系学生的集合，T表示选修离散数学的学生的集合，L表示爱好文学的学生的集合，P表示爱好体育运动的学生的集合，则下列各句子所对应的集合表达式分别是：（1）所有计算机科学系二年级的学生都选修离散数学。A
（2）数学系的学生或者爱好文学或者爱好体育运动。B
（3）数学系一年级的学生都没有选修离散数学。C
（4）只有一、二年级的学生才爱好体育运动。D
（5）除去数学系和计算机科学系二年级的学生外都不选修离散数学。E
A、B、C、D、E：
①T?（M∪R）∩S；②R∩S?T；③（M∩F）∩T =φ；
④M?L∪P；⑤P?F∪S；⑥S -（M∪R）?P
9、设S1=｛1，2，…，8，9｝，S2=｛2，4，6，8｝，S3=｛1，3，5，7，9｝，
S4=｛3，4，5｝，S5=｛3，5｝。确定在以下条件下X可能与S1,…,S5中哪个集合相等。（1）若X∩S5 = φ，则A
（2）若X?S4但X∩S2 = φ，则B
（3）若X?S1但X?S3，则C
（4）若X - S3= φ，则D
?S3但X?S1，则E
（5）若X
A、B、C、D、E：
①X=S2或者S3；②X= S4或者S5；③X=S1，S2或者S4；
④X与其中任何集合都不等；⑤X=S2；⑥X=S5；⑦X=S3或者S5；
⑧X=S2或者S4；
10、设A、B、C为任意集合，判断下述命题是否恒真，如果恒真给出证明，否则举出反例。（1）A∪B=A∪C?B=C
（2）A⊕B=A?B=φ
（3）A∩（B - C）=（A∩B）-（A∩C）
（4）（A∩B）∪（B - A）= B
11、设A、B为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件：
（1）A – B = B
（2）A – B = B - A
（3）A∪B = A∩B
12、求使得以下集合等式成立时，a，b，c，d应该满足的条件：
（1）｛a，b｝=｛a，b，c｝
（2）｛a，b，a｝=｛a，b｝
（3）｛a，｛b，c｝｝=｛a，｛d｝｝
（4）｛｛a，b｝，｛c｝｝=｛｛b｝｝
（5）｛｛a，φ｝，b，｛c｝｝=｛｛φ｝｝
13、计算A∩B、A∪B、A - B、A⊕B
（1）A=｛｛a，b｝，c｝，B=｛c，d｝
（2）A={{a，{b}}，c，｛c｝，｛a，b｝}，B=｛｛a，b｝，c，｛b｝｝
（3）A=｛x|x∈N∧x<3｝，B=｛x|x∈N∧x≥2｝
（4）A=｛x|x∈R∧x<1｝，B=｛x|x∈Z∧x<1｝
（5）A=｛x|x∈Z∧x<0｝，B=｛x|x∈Z∧x≥2｝
14、设|A|=3，|P（A）|=64，|P（A∪B）|=256，
求：|B|，|A∩B|，|A - B|，|A⊕B|
15、设A=｛1，2｝，求：P（A）×A
16、设A、B、C、D为任意集合，判断以下等式是否成立，若成立给与证明，否则，举出反例。
（1）（A∩B）×（C∩D）=（A∩C）×（B∩D）
（2）（A∪B）×（C∪D）=（A∪C）×（B∪D）
（3）（A - B）×（C - D）=（A - C）×（B - D）
（4）（A⊕B）×（C⊕D）=（A⊕C）×（B⊕D）
17、设F、G是N上的关系，其定义为：
F=｛
求：G-1、F G、G F、F↑｛1，2｝、F[｛1，2｝]
18、设F=｛
19、设A=｛a，b，c，d｝，R=｛
20、设A=｛1，2，3｝，求出A上的所有的等价关系
21、设A=｛1，2，3，…，11，12｝，R为A上整除关系，画出哈斯图。
22、画出
23、R是X上的二元关系，对于x∈X定义集合：R（x）={y|xRy}
显然R（x）?X。如果X={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，且令
R1=｛
R2=｛
R3=｛
则下列集合满足
（1）R1（0）=A
（2）R2（0）=B
（3）R3（3）=C
（4）R1（1）=D
（5）R2（-1）=E
A、B、C、D、E：
①φ；②｛-4，-3，-2，-1｝；③｛-2，-1｝；④｛-1，0，1｝；
⑤｛-1，0｝；⑥｛1，2，3｝；⑦｛2，3，4｝；⑧｛0，1，2，3｝；
⑨｛1，2，3，4｝；⑩以上结果都不对
24、设S=｛1，2，3｝，定义S×S上的等价关系R，
?
则由R产生了S×S的一个划分。在该划分中共有A 个划分块，
其中最大的块有B 个元素，并且含有元素C 。最小的划分块有D 块，每块含有E 个元素。
A、B、D、E：
①1；②2；③3；④4；⑤5；⑥6；⑦9；
C：
⑧1；⑨<1，2>；⑩<2，2> 25、设S=｛0，1｝，F 是S 中的字符构成的长度不超过4的串的集合，即 F=｛λ，0，1，00，01，… ，1111｝，其中λ表示空串。 在F 上定义偏序关系R ：?x ，y ∈F ， 有
例如，00是001的前缀，但01不是001的前缀。 （1）偏序集
④λ；⑤0；⑥0、1和λ；⑦不存在；⑧10；⑨1；⑩1111 26、设S=｛1，2｝，则S 上可定义A 个不同的二元关系，其中B 个等价关系， C 个偏序关系，Is 是D ，φ是E 。
A 、
B 、
C ：
①1；②2；③3；④4；⑤8；⑥16； D 、E ：
⑦等价关系但不是偏序关系；⑧偏序关系但不是等价关系； ⑨等价关系和偏序关系；⑩既不是等价关系也不是偏序关系；
27、下面给定5个函数，其中单射而非满射的有A ，满射而非单射的有B ， 双射的有C ，既不单射，又不满射的有D 。
设R 为实数集合，Z 为整数集合，R +、Z +分别表示正实数和正整数集合。 ①f ：R →R ，f （x ）= -x 2+2x-1； ②f ：R →Z +，f （x ）=lnx ；
③f ：R →Z ，f （x ）=??x ，??x 表示不大于x 的最大整数； ④f ：R →R ，f （x ）=2 x+1；
⑤f ：R +
→R +
，f （x ）=x
x 1
2+
28、对于给定集合A 和B ，构造从A 到B 的双射函数。 （1）A=Z ，B=N ，其中Z ，N 分别表示整数集和自然数集； （2）A=[π，2π]，B=[-1，1]的实数区间 29、（1）设S=｛1，2｝，R 为S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则A ；如果R 是数的小于等于关系，则B ；如果R=Es ，则C 。
（2）设有序对< x+2，4 > 与有序对<5，2x+y >相等，则x=D ，y=E 。 A 、B 、C ：
①x 与y 可任意选择1或2；②x=1，y=1；③x=1，y=1或2；x=y=2； ④x=2，y=2；⑤x=y=1或x=y=2；⑥x=1，y=2；⑦x=2，y=1； D 、E ：
⑧3；⑨9；⑩ -2
30、设S=<1，2，3，4>，R 为S 上的关系，其关系矩阵是
?
?
???
???????0001100000011001， 则（1）R 的关系表达式是A ； （2）domR=B ；ranR=C ； （3）R R 中有D 个有序对； （4）R-1的关系图中有E 个环。
A ：①｛<1，1>，<1，2>，<1，4>，<4，1>，<4，3>｝； ②｛<1，1>，<1，4>，<2，1>，<4，1>，<3，4>｝；
B 、
C ：
③｛1，2，3，4｝；④｛1，2，4｝；⑤｛1，4｝；⑥｛1，3，4｝； D 、E ：
⑦1；⑧3；⑨6；⑩7
31、设S=｛1，2，…，9，10｝，≤是S 上的整除关系，则
④φ；⑤1；⑥10；⑦6，7，8，9，10；⑧6；⑨0；⑩不存在 32、设R 的关系图如所示，试给出r （R ）、s （R ）、t （R ）的关系图。
a b c d
e
33、画出下列集合关于整除关系的哈斯图。 （1）｛1，2，3，4，6，8，12，24｝ （2）｛1，2，…，8，9｝ 34、设A=｛a ，b ｝，B=｛0，1｝， （1）求P （A ）和B A ；
（2）构造一个从P （A ）到B A 的双射函数。
代数系统部分
1、设Z +=｛x |x ∈Z ∧x>0｝，*表示求两个数的最小公倍数的运算，则 （1）4*6=A ； （2）*在Z +上B ；
（3）对于*运算的幺元是C ，零元是D ； （4）在Z +中E ； A ：①24；②12；
B：③只满足交换率；④只满足结合律；
⑤满足交换率、结合律和幂等律；
C、D：⑥0；⑦1；⑧不存在；
E：⑨不存在逆元；⑩只有唯一的逆元
2、在有理数集合Q上定义二元运算*，?x，y∈Q有
x * y = x + y - xy
则（1）2*（-5）=A ，7*1/2 = B 。
（2）*在Q上是C；
（3）关于*的幺元是D；
（4）Q中满足E；
A、B：①4；②7；③-13；
C：④可结合的；⑤不可结合的；
D：⑥1；⑦0；
E：⑧所有的元素都有逆元；⑨只有唯一的逆元；
⑩?x∈Q，x≠1时，有逆元x-1。
3、设V1=
a b c d
a a
b
c d
b b b d d
c c
d c d
d d d d d
表1
*0123
00110
11121
21232
30123
表2
定义同态?：S1→S2，且
?（a）=0，?（b）=1，?（c）=0，?（d）=1，
则（1）V1中的运算 A ，其幺元是B ，V2中的运算*C ；
（2）?是D ，V1在?下的同态像是E ；
A、C：①满足交换律，不满足结合律；②不满足交换律，满足结合律；
③满足交换律，满足结合律；
B：④a；⑤d；
D：⑥单同态；⑦满同态；⑧以上两者都不是；
E：⑨
4、设V1=<｛1，2，3｝， ，1>，其中x y表示取x和y之中较大的数，V2=<｛5，6｝，*，6>，其中x*y表示取x和y之中较小的数。
（1）V1含有A 个子代数，其中平凡的真子代数有B 个；
V2含有C 个平凡的子代数。
（2）积代数V1×V2中有D 个元素，其幺元是E 。
A、B、C、D：
①0；②1；③2；④3；⑤4；⑥5；⑦6；
E：⑧<1，5>；⑨<1，6>；⑩<3，6>
5、设S=｛a，b｝，则S上可以定义A 个二元运算，其中有4个运算f1，f2，f3，f4，其运算表如下：
a b a b
a a a a a b
b a a b b a
f1f2
a b a b
a b a a a b
b a a b a b
f3f4
则只有B 满足交换律，C 满足幂等律，D 有幺元，E 有零元。
A：①4；②8；③16；④2；
B、C、D、E：
⑤f1和f2；⑥f1、f2和f3；⑦f3和f4；
⑧f4；⑨f1；⑩f2；
6、设S=｛1，2，…，9，10｝，问下面定义的二元运算*是否为S上的二元运算？
（1）x*y = gcd（x，y），x与y的最大公约数；
（2）x*y = lcm（x，y），x与y的最小公倍数；
（3）x*y =大于等于xy的最小整数；
（4）x*y =max（x，y）；
（5）x*y =质数P的个数，其中x≤p≤y。
7、设V =
8、某二进制通信编码由4个数据位x1、x2、x3、x4和3个校验位x5、x6、x7构成，它们的关系如下：
x5=x1⊕x2⊕x3；x6=x1⊕x2⊕x4；x7=x1⊕x3⊕x4；
其中⊕为异或运算。
（1）设S为所有满足上述关系的码字的集合，且x，y∈S，
有x⊕y =(x1⊕y1,x2⊕y2，…,x7⊕y7)，那么
（2）设x，y∈S，定义H（x，y）=∑
=⊕
7
1
) (
i
yi
xi，那么当x≠y时，H（x，y）≥B 。
（3）使用该种码可查出接收码中包含的所有k≤C 位错误。
（4）使用该种码可纠正接收码中包含的所有k≤D 位错误。
（5）如果接收到1000011，且知有一位出错，那么出错位是第E 位。
A：①半群，但不是群；②群；③环，但不是域；④域；⑤前4种都不对；
B、C、D、E：
①1；②2；③3；④4；⑤5；⑥6；⑦7；⑧0；
9、对以下定义的集合和运算判断它们是不是代数系统。如果是，是哪一种？
（1）S1=｛1，1/2，2，1/3，3，1/4，4｝，*为普通乘法，则S1是A ；
（2）S2=｛a1，a2，…，an｝，n≥2，ai∈R，i=1，2，…，n，
?ai，aj∈S2，有ai aj=ai，则S2是B ；
（3）S3=｛0，1｝，*为普通乘法，则S3是C ；
（4）S4=｛1，2，3，6｝，≤为整除关系，则S4是D ；
（5）S5=｛0，1｝，+、*分别为模2加法和乘法，则S5是E 。
A、B、C、D、E：
①半群，但不是独异点；②是独异点，但不是群；③群；
④环，但不是域；⑤域；⑥格，但不是布尔代数；⑦布尔代数；
⑧代数系统，但不是以上7种；⑨不是代数系统；
10、图6-5给出一个格L，则
（1）L是A 元格；
（2）L是B ；
（3）b的补元是C ，a的补元是D ，1的补元是E 。
A：①5；②6；
B：③分配格；④有补格；⑤布尔格；⑥以上都不对；
C、D、E：
⑦不存在；⑧c和d；⑨0；⑩c；
11、设
（1）a，b∈B，公式f为b∧（a∨（a′∧（b∨b′）））,在B中化简f；
（2）在B中等式（a∧b′）∨（a′∧b）=0 成立的条件是什么？
12、对以下定义的集合和运算判断它们能否构成代数系统？如果能，请说明是构成哪一种代数系统？
（1）S1=｛0，±1，±2，…，±n｝，+为普通加法，则S1是A ；
（2）S2=｛1/2，0，2｝，*为普通乘法，则S2是B ；
（3）S3=｛0，1，2，…，n-1｝，n为任意给定的正整数，且n≥2，*为模n乘法， 为模n 加法，则S3是C ；
（4）S4=｛0，1，2，3｝，≤为小于等于关系，则S4是D ；
（5）S5=Mn（R），+为矩阵加法，则S5是E ；
A、B、C、D、E：
①半群，不是独异点；②独异点，不是群；③群；
④环，不一定是域；⑤域；⑥格，不是布尔代数；⑦布尔代数；
⑧代数系统，不是以上7种；⑨不是代数系统；
13、（1）设G=｛0，1，2，3｝，若?为模4乘法，则
（2）若⊕为模4加法，则
G中的2阶元是D ，4阶元是E 。
A：①群；②半群，不是群；
B：③有限；④无限；
C：⑤Klein群；⑥置换群；⑦循环群；
D、E：⑧0；⑨1和3；⑩2；
14、（1）设
（2）在布尔代数L中的表达式
（a∧b）∨（a∧b∧c）∨（b∧c）
的等价式是E ；
A：
①适合德.摩根律、幂等律、消去律和结合律；
②适合德.摩根律、幂等律、分配律和结合律；
③适合结合律、交换律、消去律和分配律；
B、C：④0；⑤1；
D：⑥｛1｝；⑦｛0，1｝；
E：
⑧b∧（a∨c）；⑨（a∧c）∨（a∧b′）；⑩（a∨b）∧（a∨b∨c）∧（b∨c）；
15、下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？
（1）L=｛1，2，3，4，5｝；
（2）L=｛1，2，3，6，12｝；
（3）L=｛1，2，3，4，6，9，12，18，36｝；
（4）L=｛1，2，22，…，2n｝；
16、设A=｛1，2，3，4，5｝，
（1）求解方程｛1，3｝⊕X=｛3，4，5｝；
（2）令B=｛1，4，5｝，求由B生成的循环子群；
17、设A=｛1，2，5，10，11，22，55，110｝是110的正因子集，
（1）画出偏序集
（2）说明该偏序集是否构成布尔代数，为什么？
18、在图6-7所示的3个有界格中哪些元素有补元？如果有，请指出该元素的所有的补元。P154
图论部分
1、（1）（3，3，2，3）、（5，2，3，1，4）能成为图的度数序列吗？为什么？
（2）已知图G有10条边，4个3度顶点，其余顶点的度数均小于等于2，问G中至少有多少个顶点？为什么？
2、（1）画出4个顶点3条边的所有可能非同构的无向简单图；
（2）画出3个顶点3条边的所有可能非同构的有向简单图；
3、给定下列各图：
（1）G1=
（2）G2=
（4）G4=
（5）G5=
在以上6个图中，A 为简单图，B 为多重图。
A：①（1），（3），（6）；②（3），（4），（5）；
③（1），（2），（4）；④（1），（4）
B：①（2），（4），（5）；②（2），（5）；③（4），（5）
4、给定下列各顶点度数序列：
（1）（2，2，2，2，2）；
（2）（1，1，2，2，3）；
（3）（1，1，2，2，2）；
（4）（0，1，3，3，3）；
（5）（1，3，4，4，5）；
以上5组数中，A 可以构成无向简单图的度数序列。
A：①（1），（3），（4）；②（1），（2）；③（1），（3）；④（3），（4），（5）；
5、完全图K4的所有非同构的生成子图中，0条边的有A 个；1条边的有B 个；2条边的有C 个；3条边的有D 个；4条边的有E 个；5条边的有F 个；6条边的有G 个；
A、B、C、D、E、F、G：
①0；②1；③2；④3；⑤4；⑥5；
6、设G为9阶无向图，每个顶点的度数不是5就是6，证明：G中至少有5个6度顶点或者至少6个5度顶点。
7、画出5阶7条边的所有非同构的无向简单图。
8、下列各组数中，哪些能构成无向图的度数列？哪些能构成无向简单图的度数列？
（1）1，1，1，2，3；
（2）2，2，2，2，2；
（3）3，3，3，3；
（4）1，2，3，4，5；
（5）1，3，3，3；
9、设有向简单图D的度数列为2，2，3，3，其中入度列为0，0，2，3，
出度列为。
10、设D是4阶有向简单图，度数列为3，3，3，3，它的入度列能为1，1，1，1吗？
（能或者不能）
11、下面各无向图中有几个顶点？
（1）16条边，每个顶点都是2度顶点；
（2）21条边，3个4度顶点，其余都是3度顶点；
（3）24条边，各顶点的度数是相同的；
12、一个n（n≥2）阶无向简单图G中，n为奇数，已知G中有r 个奇数度顶点，问G的补图G中有几个奇数度顶点？
13、画出K4的所有非同构的字图，其中有几个是生成子图？生成子图中有几个是连通图？
14、画出3阶有向完全图所有非同构的子图，问其中有几个是生成子图？生成子图中又有几个是自补图？
15、设G1、G2、G3均为4阶无向简单图，它们均有两条边，它们能彼此均非同构吗？为什么？
16、在K6的边上涂上红色或蓝色。证明对于任意一种随意的涂法，总存在红色K3或者蓝
色K3。 17、（1）非同构的无向的4阶自补图有A 个； （2）非同构的无向的5阶自补图有B 个； A 、B ：①0；②1；③2；④3；
18、给定有向带权图如图所示，P175
g
d
图中b 到a 的最短路径的权为A ；b 到d 的最短路径的权为B ； b 到e 的最短路径的权为C ；b 到g 的最短路径的权为D ； A 、B 、C 、D ：
①4；②5；③6；④7；⑤8；⑥9；⑦10；
19、某中学有3个课外小组：物理组、化学组、生物组。今有张、王、李、赵、陈5名同学。若已知：
（1）张、王为物理组成员，张、李、赵为化学组成员，李、赵、陈为生物组成员； （2）张为物理组成员，王、李、赵为化学组成员，王、李、赵、陈为生物组成员； （3）张为物理组和化学组成员，王、李、赵、陈为生物组成员； 问在以上3中情况下能否各选出3名不兼职的组长？
20、在图8-17所示的各图中，A 为欧拉图，B 为哈密顿图。 P185 A 、B ： ①（a ），（b ），（c ）；②（d ），（e ），（f ）；③（c ），（e ）； ④（b ），（c ），（d ），（e ），（f ）；⑤（b ），（c ），（d ），（e ）； 21、在图8-18所示的各图中，是二部图的为A ，在二部图中存在完美匹配的是B ，它的匹配数是C 。 P186 A 、B ： ①（a ）；②（b ）；③（c ）；④（d ）；⑤（e ）；⑥（f ）； ⑦（a ），（b ）；⑧（b ），（f ）；⑨（c ），（d ），（e ）；⑩（d ），（e ）； C ：①1；②2；③3；④4；
22、图8-19所示的平面嵌入中，面数为A ，次数最高的面的次数为B ， 次数最低的面的次数为C ，总次数为D 。 A 、B 、C ：
①5；②6；③7；④8；⑤9；⑥10；⑦11；⑧1； D ：①24；②26；③28；
23、画出完全二部图K13，K24，K22。
24、完全二部图Krs 中，边数为 ，匹配数 1为 。
25、今有工人甲、乙、丙去完成三项任务a、b、c。已知甲能胜任a、b、c三项任务；乙能胜任a、b两项任务；丙能胜任b、c两项任务。你能给出一种安排方案，使每个工人各去完成一项他们能胜任的任务吗？
26、画一个无向欧拉图，使它具有：
（1）偶数个顶点，偶数条边；
（2）奇数个顶点，奇数条边；
（3）偶数个顶点，奇数条边；
（4）奇数个顶点，偶数条边；
27、画一个无向图，使它是：
（1）是欧拉图，是哈密顿图；
（2）是欧拉图，不是哈密顿图；
（3）不是欧拉图，是哈密顿图；
（4）不是欧拉图，不是哈密顿图；
28、今有a、b、c、d、e、f、g7个人，已知如下事实：
a：会讲英语；
b：会讲英语和汉语；
c：会讲英语、意大利语和俄语；
d：会讲日语和汉语；
e：会讲德语和意大利语；
f：会讲法语、日语和俄语；
g：会讲法语和德语；
试问：这7个人要围成一圈，应如何排座位，才能使每个人都能和他身边（相邻）的人交谈？
29、彼得森图如图8-23所示。证明它不是二部图，也不是欧拉图，更不是平面图。
P189
30、证明图8-24所示图G是哈密顿图，但不是平面图。
P189
31、图8-25所示图G为平面图，试给出它的一个平面嵌入，它是极大平面图吗？
P189
32、（1）完全图Kn（n≥1）都是欧拉图，这个命题真值为A；
（2）完全图Kn（n≥1）都是哈密顿图，这个命题真值为B；
（3）完全二部图Knm（n≥1，m≥1）都是欧拉图，这个命题真值为C；
（4）完全二部图Knm（n≥1，m≥1）都是哈密顿图，这个命题真值为D；
A、B、C、D：①真；②假；
33、6个顶点11条边的所有可能的非同构的连通的简单的非平面图有A 个，
其中有B 个含子图K33，有C 个含与K5同胚的子图。
A、B、C：
①1；②2；③3；④4；⑤5；⑥6；⑦7；⑧8；
34、图9-3所示的图G中，实线边所构成的子图是G的一颗生成树T，求T对应的基本回路和基本回路系统，基本割集和基本割集系统
P193
35、（1）求带权为1、3、4、5、6的最优二元树；
（2）求带权为2、3、5、7、8、8的最优二元树；
36、计算非同构无向树的个数。
（1）2个顶点非同构无向树的有A 颗；
（2）4个顶点非同构无向树的有B 颗； （3）6个顶点非同构无向树的有C 颗； （4）7个顶点非同构无向树的有D 颗； A 、B 、C 、D ：
①1；②2；③4；④6；⑤7；⑥8；⑦9；⑧10；⑨11；⑩12； 37、（1）在一棵树中有7片树叶，3个3度顶点，其余都是4度顶点， 则该树有A 个4度顶点；
（2）在一棵树中有2个4度顶点，3个3度顶点，其余都是树叶， 则该树有B 片树叶；
（3）一棵树中有ni 个顶点的度数为i ，i=2，3，…，k ，而其余的顶点都是树叶， 则该树中有C 片树叶。 A 、 B ：
①1；②2；③3；④4；⑤5；⑥6；⑦7；⑧8；⑨9；⑩10； C ： ①
∑=k i ni 2
；②∑=*k i ni i 3
；③∑=*-k i ni i 3
)2(；④2)2(3
+*-∑=k
i ni i ；
38、图9-16给出两个带权图。 P200
（1）图（a ）中最小生成树的权为A ； （2）图（b ）中最小生成树的权为B ；
①10；②14；③15；④21；⑤22；⑥24；⑦25；⑧26；⑨27；⑩28； 39、用Huffman 算法求带权为2、3、5、7、8的最优二元树T 。 （1）T 的权为A ；
（2）T 中有B 片树叶，C 个2度顶点，D 个3度顶点，E 个4度顶点， （3）T 的高度为F 。
A ：①40；②45；③50；④55；⑤60；
B 、
C 、
D 、
E 、
F ：
①0；②1；③2；④3；⑤4；⑥5；⑦6；⑧7；⑨8； 40、（1）求一个带权为1、2、3、4、5、5.5、7.5的最优三元树，其权为A ； （2）求一个带权为1.5、2.5、3、4、5、6的最优三元树，其权为B ； A 、B ：
①30；②35；③37；④45；⑤47；⑥48；⑦48.5；⑧50；⑨52；⑩55；
41、设无向树T 有3个3度、2个2度顶点，其余顶点都是树叶，树叶顶点数为 。 42、设无向树T 有7片树叶，其余顶点的度数均为3，求T 中3度顶点数？画出所有具有此种度数的非同构的无向树。
45、画出度数列为1，1，1，1，2，2，4的所有非同构的7阶无向树。
46、在图9-20所示的无向图G 中，实线边所示的子图为G 的一棵生成树T ，求G 对应于T 的基本回路系统和基本割集系统。 P203
47、求图9-21所示两个带权图的最小生成树，并计算它们的权。 P203
48、计算非同构的根数的个数。
（1）2个顶点非同构的根数为A 个；
（2）3个顶点非同构的根数为B 个；
（3）4个顶点非同构的根数为C 个；
（4）5个顶点非同构的根数为D 个；
A、B、C、D：
①1；②2；③3；④4；⑤5；⑥6；⑦7；⑧8；⑨9；⑩10；
离散数学作业答案
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
离散数学题库及答案
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
(完整版)离散数学作业答案一
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
离散数学试题及答案精选版
离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则
吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每
一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故
G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学题库
常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设
慕课 离散数学 电子科技大学 课后习题十 答案
作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G=
数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学试题及答案(1)
离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学作业答案
第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P
离散数学章练习题及答案
离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r
国开放大学离散数学本离散数学作业答案
国开放大学离散数学本离 散数学作业答案 The pony was revised in January 2021
离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题
1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= {{1,2}，{2,3}，{1,3}， A B {1,2,3}} ，A B= {< 1,1>，<1,2>，<2，1>，<2，2>，<3，1>，<3， 2> } ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为 {< 2,2>，<2,3>，<>，<> } ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} y x y x∈ ∈ < > = A , , 2 , y {B x 那么R－1＝ {< 6，3>，<8，4> } ． 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={