高考数学复习总结专题18 计数原理 (解析版)
计数原理
y
2 1. 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】(x )(x y)5 的展开式中 x 3y
3 的系数为（
）
x
A. 5
B. 10 D. 20
C. 15 【答案】C 【解析】 【分析】
y 2
求得 (x y) 5
展开式的通项公式为 T
C 5
r x 5r y r
（ r N 且 r 5），即可求得 x 与 (x y) 展开式
5
r 1
x
的乘积为C r 5 x 6r y r 或C r 5
x 4r y r 2
形式，对 分别赋值为 3，1 即可求得 r x 3 y 3
的系数，问题得解. 5
展开式的通项公式为
【详解】 (x y) T
C r 1
r 5
x 5r y r （ r
N 且 r 5）
y 2
x 5
所以 的各项与 (x y) 展开式的通项的乘积可表示为：
x
y 2
y 2 xT
xC r 5
x 5r y r
C 5
r x 6r y
r
T C 5 r x 5r y r C 5 r x 4r y r 2 和 r 1
r 1
x
x
xT
C r 5 x 6r y r r 3，可得： xT C x 3 5 3 y 3 x 3 y 的系数为10， 3
在 在 中，令 ，该项中 r 1
4 y 2
y 2
T C r x 4r y
r 2
中，令 r 1，可得： T C 1 5 x y 3 ，该项中 3
3
x y 3 的系数为5 r 1
5
2
x
x
3
x y 3 的系数为10 5 15
所以 故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属 于中档题.
2. 【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4 的展开式中 x 3 的系数为 A ．12 B ．16
C ．20
D ．24
【答案】A
【解析】由题意得 x 3 的系数为 C 3 4
2C 4 1 4 8 12 ，故选 A ． 【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
3. 【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德 巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 7 23．在不超过 30 的素数中，随机选 取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 1
1 1 1 A ．
B ．
C ．
D ．
12
14
15
18
【答案】C
【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数， 45种方法，其和等于 30 的有 3 种方法，分别是 7 和 23，11 和 19，13 和 17，所以随机选取 C 2 10 共有 3 1
两个不同的数，其和等于 30 的概率为
= ，选 C ． 45 15
2 5
x 2 的展开式中 x 4 的系数为 C ．40 4. 【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】
x A ．10 B ．20 D ．80
【答案】C
2 5
2 r 5r
【解析】由题可得
x 2 的展开式的通式为T
C r 1
r
5
x
2
C
r 5 2 x 103r ，令
103r 4 ，
r
x x
得 r 2，所以展开式中 x 4
的系数为 C 5 2 2 40．故选 C ．
2 5. 【2017 年高考全国Ⅱ卷理数】安排
3 名志愿者完成
4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有 A ．12 种 B ．18 种 C ．24 种 D ．36 种
【答案】D
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三
C 2 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有 C 4
2 4
A 3
3
36种．故选 D ． 份：有 【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生 的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再 考虑其他元素(或位置)．
（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均 匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
1
6. 【2017 年高考全国Ⅰ卷理数】
(1 )(1 x)6 展开式中 x 2 的系数为 x
2 A ．15 B ．20
C ．30
D ．35
【答案】C 1 1 (1 x)6 展开式中含 x 2 的项为 (1
)(1 x) 6 1(1 x) 6
(1 x)6 ，而 2 【解析】因为 x 2 x
1 1
1C 6
2 x 2
15x 2 ， (1 x)6 展开式中含 x 2 的项为 C 6 4 4 x 15x 2 ，故所求展开式中 x 2 的系数为
x 2 1515 30，选 C ．
x 2 【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的 每项乘以第二个二项式的每项，分析含
x 2
的项共有几项，进行相加即可．这类问题的易 错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤
其是两个二项展开式中的 r 不同． 5
3 3
7. 【2017 年高考全国Ⅲ卷理数】 x y 2x y 的展开式中 x y 的系数为
A ． 80
B ． 40
C ．40
D ．80
【答案】C 5 5 5 5
【解析】x y
2x y x 2x y y 2x y ，由2x y 展开式的通项公式
5r
r
5
3 3
3
T
C r 1
r
5 2
x y 可得：当 r 3时， x 2x y 展开式中 x y 的系数为 C 3 5 2 1 40；
2
5
3 3 2
3 3
当 r 2时，y 2x y 展开式中 x y 的系数为 C 2 5
2 1 80，则 x y 的系数为8040 40 ．故
3
选 C ．
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的 条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n ，r 均为非负整数，且 n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所 求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
8. 【2020 年高考全国 I I 卷理数】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每 个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】36 【解析】 【分析】
根据题意，有且只有 2 名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解. 【详解】 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同
学
2
4 先取 2 名同学看作一组，选法有：C 6
现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有： A
6
3
3
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 66 36种 故答案为：36.
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分 析能力和计算能力，属于中档题.
2 2 6 9. 【2020 年高考全国Ⅲ理数】 (x ) 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
x
【答案】 240 【解析】 【分析】
6
2
写出 x 2 二项式展开通项，即可求得常数项.
x 2 6
【详解】 2
x
x 其二项式展开通项：
r
2
6r
T
C
r 1
r
6
x
2 x
C 6 r
x 122r (2) x r r C 6
r
(2) x 123r
r 当123r 0 ，解得 r 4
6
x
2 2 的展开式中常数项是：C 6 4
2 4 C 6
16 1516 240
.
2 x 故答案为： 240 .
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握a b 的展开
n
通项公式 T
r 1
C r n
a n r
b r ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
10.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）
【答案】16
C3
4 4种选法，从6名学生中任意选3人有C 3
6
20种选法，
【解析】根据题意，没有女生入选有
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416种，故答案为：16．
【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法，即利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有2名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解．