最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计课题

最短路径问题——将军饮马问题及延伸

湖南省永州市双牌县茶林学校

熊东旭

最短路径问题

教学内容解析：

本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

教学目标设置：

1、能利用轴对称解决最短路径问题。

2、在解题过程能总结出解题方法，，能进行一定的延伸。

3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

教学重点难点：

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

学情分析：

1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数

学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体

验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。

2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教学条件分析:

在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同

侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。

教具准备：直尺、ppt

教学过程：

环节教师活动学生活动设计意图

一

复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如

何用学过的数学知识解释这个

问题？

2.这样的问题，我们称为“最短

路径”问题。

1、两点之间，线段最短。

2、两边之和大于第三边。

从学生已经学

过的知识入

手，为进一步

丰富、完善知

识结构做铺

垫。

二探究新知1.探究一：

【故事引入】：唐朝诗人李颀在

《古从军行》中写道：“白日登

山望峰火，黄昏饮马傍交河．”

诗中就隐含着一个有趣的数学

问题，古时候有位将军，每天

从军营回家，都要经过一条笔

直的小河。而将军的马每天要

到河边喝水，那么问题来了，

问题：怎样走才能使总路程最

短呢？

认真读题，仔细思考。

将实际问题中的“地点”

“河”抽象为数学中的

“点”“线”，把实际问题

抽象线段和最小问题。

从异侧问题入

手，由简到难，

逐步深入。

二探2.探究二：

【变换情境】：后来将军把家搬

到了河的对面，若还是要带马

先到河边喝水，然后再回家，

学生主动探

索，充分发挥

学生的主动

性。

究新知应该怎样走，才能使总路程最

短呢？

（1）【转化】：你能将实际问题

抽象为数学问题吗？

（2）【展示】：

让学生猜想，并画出图形。

巡视发现学生不同的作法（尽

可能多），分别展示各小组的作

法。

给予学生一定的提示。

【回答】：学生思考并回

答，如何将实际问题转化

为数学问题。

已知：直线L和同侧两点

A、B

求作：直线L上一点C，

使C满足AC+BC的值最

小。

【学生展示】：

作法1：

作法2：：

展示多种方

法，产生思维

冲突，引发学

生进一步探究

的学习欲望。

（3）【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否

正确。作法3：

【学生反思】：第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。

第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B 两地的距离相等，也就是AC＝BC。不能说明AC+BC最短

第3种作法应该是正确的。

二探究新知3.解决问题

【追问】用第3种作法的同学，

你们是怎样想到作点B关于直

线L的对称点的？为什么要作

对称点？

如果做点B关于直线L的

对称点，就是把点B移到

了另一侧，而且满足了

BC＝BC’。其实直线L上

所有点到B和B’的距离

都相等。

也可是根据垂直平分线

的性质，L就是线段BB’

的垂直平分线，而垂直平

分线上的点到线段两个

端点的距离相等。

利用轴对称将同侧线段

让学生进一步

体会做法的正

确性，提高逻

辑思维能力。

让学生在反思

的过程中，体

会轴对称的作