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二次函数及与几何综合题

二次函数与几何图形综合题

会利用各种条件（点、线段、面积、比例、方程等）选择二次函数的不同表达形式来确定二次函数的解析式，并解决与之相关的问题。以中考压轴题第（1）问为主攻方向。

① __________________________ 一般式；（适用于图像上的三个点或三对值）

② __________________________ 顶点式；其中__ _是抛物线的顶点坐标．（适用于已知图

像的顶点、对称轴和最值）

③ __________________________ 交点式。其中__ _ 是二次函数的图象与x 轴的两个交点

的横坐标。（适用于已知图像与x 轴交点）

能用二次函数模型解决实际问题，如：点与交点、“和最小”、“差最大”、面积等问题。

1. 如图，直线AB过x 轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2相交于B、C 两点，B点坐标为（1，1）。

（1）求直线和抛物线所表示的函数表达式；

（2）在抛物线上是否存在一点D，使得S△OAD=S△OBC，若不存在，说明理由；若存在，请求出点 D 的坐标。

2．已知：抛物线y ax2bx c a 0 的对称轴为x1，与x轴交于A，B 两点，

与y 轴交于点C，其中 A 3，0 、 C 0， 2 ．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC 的周长最小．请求出点P的坐标．

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作

DE∥PC 交x轴于点E．连接PD 、PE ．设CD的长为m ，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

3.如图，抛物线y

x2 4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物

线上的一个动点且在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D，交直线BC 于1）求点A、B、C 的坐标和直线BC 的解析式；

2）求△ODE 面积的最大值及相应的点E的坐标；

3）是否存在以点P、O、D 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象经过点A（-4，0），B（-1，3），C（-3，3）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设此二次函数的对称轴为直线l ，该图象上的点P（ｍ，ｎ）在第三象限，其关于直线l 的对称点为M，点M 关于y 轴的对称点为N，若四边形OAPN 的面积为20，求ｍ、ｎ的值.

5.如图，在直角坐标系内有点P（1,1）、点C（1,3）和二次函数y x2．

（1）若二次函数y x2的图象经过平移后以点C 为顶点，请写出平移后的抛物线的解析式及一种平移的方法；

（2）若（1）中平移后的抛物线与x 轴交于点A、点B（A 点在 B 点的左侧），求cos

∠PBO 的值；

（3）在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出 D 点的坐标；若不存在，说明理由．

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6.如图3，抛物线y x21与y 轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，

过点 B 作BC⊥x 轴，垂足为点C（3，0）.

（1）求直线AB 的函数关系式；

（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P 作PN⊥x 轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN 的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t 的取值范围；

3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？

请说明理由

7. 如图，抛物线y 1 x2 3 x 9 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C，连接

BC、AC。

（1）求AB 和OC 的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合）。过点E作直线l 平行BC，交AC 于点D。设AE 的长为m，△ ADE 的面积为s，求s 关于m的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接CE，求△ CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留）

8. 已知二次函数y x2 2mx m2 1

1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

2）如图，当m 2时，该抛物线与y 轴交于点C，顶点为D，

求C、D 两点的坐标;

3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由。

9. 如图，抛物线y x2 2x 3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴相交于点C，顶点为D。

（1）直接写出A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P 为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m。

① 用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

② 设△ BCF的面积为S，求S与m的函数关系式。

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10. 如图，已知抛物线y x2x 2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），

与y 轴交于点C。

（1）求点A、B、C 的坐标；

（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△ BCM的面积；

（3）连接AC，在x 轴上是否存在点P使△ ACP为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

11. 已知抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(2，0)两点，与y 轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点 D. (1) 求该抛物线的解析式及点M 的坐标；

(2) 连接ON，AC，证明：∠ NOB＝∠ACB；

2 (3) 点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为2时，求点 E 的坐标；

(4) 在满足(3)的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E，F两点关于直线BC 对称吗？请说明理由．

12. 如图，抛物线y＝－2x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，

抛物线的对称轴交x 轴于点 D.已知A( －1，0)，C(0，2)．

(1) 求抛物线的表达式．

(2) 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD 是以CD 为等腰的等腰三角形，如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．

(3) 点E 是线段BC 上的一个动点，过点 E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标．

13. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x 轴交于点

A 和点B，其中点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1 与抛物线交于点D，与直线BC 交于点E.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

14. 已知直线y＝2x＋4 与x 轴、y 轴分别交于A，D 两点，抛物线y＝－2x2＋bx ＋c经过点A，D，点 B 是抛物线与x 轴的另一个交点．(1)求这条抛物线的解析式及点 B 的坐标；

(2)设点M 是直线AD 上一点，且S△AOM∶S△OMD ＝1∶3，求点M 的坐标；

(3) 如果点C(2，y)在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P，使△ BCP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15. 如图，直线y 3x 3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x 轴于另一点C（3,0）.

⑴ 求抛物线的解析式;

16. 已知：抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1，与x 轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，其中 A 3，0 、C 0，2 ．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△ PBC的周长最小．请求出点P 的坐标．

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作