人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习同步练习试题
一、选择题
1．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ）
A ．33
B ．27
C ．43
D ．223+
2．如图， ABCD 为正方形， O 为 AC 、 BD 的交点，在RT DCE 中，DEC ∠= 90?，
DCE ∠= 30?，若OE =
62
2
+，则正方形的面积为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
3．如图，正方形ABCD 的边长为2a ，点E 从点A 出发沿着线段AD 向点D 运动(不与点A 、D 重合)，同时点F 从点D 出发沿着线段DC 向点C 运动(不与点D 、C 重合)，点E 与点F 的运动速度相同．BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 中点，则有下列结论：①∠BGF 是定值；②BF 平分∠CBE ；③当E 运动到AD 中点时，GH=
5
2
a ；④当C △AGB = (2)6a +时，S 四边形GEDF =
16
a 2
，其中正确的是( )
A ．①③
B ．①②③
C ．①③④
D ．①④
4． 如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O 的直线交AD 于点E ，交BC 于点F 当点E 从点A 向点D 移动过程中（点E 与点A 、点D 不重合），四边形AFCE 的形状变化依次是（ ）
A ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B ．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
C ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D ．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
5．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片，使AD 落在BC 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB ，AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论①∠AGD ＝110.5°；②S △AGD ＝S △OGD ；③四边形AEFG 是菱形；④BF ＝2OF ；⑤如果S △OGF ＝1，那么正方形ABCD 的面积是12+82，其中正确的有（ ）个．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
6．如图的△ABC 中，AB>AC>BC,且D 为BC 上一点．现打算在AB 上找一点P ,在AC 上找一点Q,使得△APQ 与以P 、D 、Q 为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法： 甲：连接AD,作AD 的中垂线分别交AB 、AC 于P 点、Q 点，则P 、Q 两点即为所求； 乙：过D 作与AC 平行的直线交AB 于P 点，过D 作与AB 平行的直线交AC 于Q 点，则P 、Q 两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）
A ．两人皆正确
B ．两人皆错误
C ．甲正确，乙错误
D ．甲错误乙正确
7．矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的点B '处，折痕为AE ．延长B E '交AB 的延长线于点M ，折痕AE 上有点P ，下列结论中：①M DAB '∠∠＝；②PB PB '＝；③AE ＝
55
2
；④MB CD '＝；⑤若B P CD '⊥，则EB B P ''＝．正确的有（ ）个
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点,O DE 平分ADC ∠交BC 于点
,60,E BCD ∠=?2,AD AB =连接OE ．下列结论：ABCD
S
AB BD =?①；DB ②平分
ADE ∠；AB DE =③；CDE
BOC
S
S
=④，其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②△APD 一定是等腰三角形；③AP ⊥EF ；④
2
2
PD=EF ．其中正确结论的番号是（ ）
A ．①③④
B ．①②③
C ．①③
D ．①②④
10．如图，正方形ABCD 中，延长CB 至E 使2CB EB =，以EB 为边作正方形
EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点,N K ．则下列说法：①ANH GNF △≌△；②DAM NFG ∠=∠；
③2FN NK =；④:2:7AFN DMKH S S =△四边形．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的
坐标是_____．
12．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．
13．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．
14．如图，ABC ?是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，
//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，
11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则
2020C =______．
15．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论： ①可以得到无数个平行四边形EGFH ； ②可以得到无数个矩形EGFH ； ③可以得到无数个菱形EGFH ； ④至少得到一个正方形EGFH ．
所有正确结论的序号是__．
16．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．
17．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=?．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．
18．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （23，0），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．
19．如图，在正方形ABCD 中，2，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，5
3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC ?中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F （1）求证：四边形ADCF 是菱形
（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积
22．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．
提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？ 探究问题：
（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系： ； （2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时； 情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由； 拓展问题：
（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系： ． 23．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，
8BC AD ==．
()1P 为边BC 上一点，将
ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处)
①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写
作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______；
②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由；
()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将
ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点
'D 处，则DQ =______；
24．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则
2222AB CD AD BC +=+．
（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边
AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．
25．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α?<
线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ． （1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；
（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数； （3）联结AF ，求证：2DE AF =
．
26．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论． 拓展与延伸：
(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；
(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]
① ②
27．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC
AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O .
（1）求证：EF DA ⊥.
（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.
28．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.
（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上， 求证：DM =ME ，DM ⊥.ME
简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论. （2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .
29．如图，ABCD 中，60ABC ∠=?，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．
（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，
AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=?，求证：3BG GD AG +=．
30．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。 （1）证明平行四边形ECFG 是菱形；
（2）若ABC 120?∠=，连结BG CG DG 、、，①求证：DGC BGE ≌；②求BDG ∠的度数；
（3）若ABC 90?∠=，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长。
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，作点B 关于MN 的对称点E'，连接E'C ，E'B ，此时
CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=23，BC=4，求EC的长.
【详解】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B
，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM=1
2 AE，
∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，
∴MB=2，∠HMB=60°，
∴HM=1，
∴AE'=2，
∴E点与E'点重合，
∵∠AEB=∠MHB=90°，
∴∠CBE=90°，
在Rt△EBC中，3BC=4，
∴7，
故选A.
【点睛】
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．2．B
解析：B
【解析】
【分析】
过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得
OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，根据直角三
角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=1
2
CD，再利用勾股定理列式求出CE，根
据正方形的性质求出2a，然后利用四边形OCED的面积列出方程求出2a，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，过点O 作OM ⊥CE 于M ，作ON ⊥DE 交ED 的延长线于N ，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN 是矩形， ∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM ， ∴∠COM=∠DON ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴OC=OD ，
在△COM 和△DON 中，
==CMO=90COM DON N OC OD ∠∠??
∠∠??=?
， ∴△COM ≌△DON （AAS ）， ∴OM=ON ，
∴四边形OMEN 是正方形，
设正方形ABCD 的边长为2a ，则2
22a a = ∵∠CED=90°，∠DCE=30°， ∴DE=
1
2
CD=a ， 由勾股定理得，2222(2)3CD DE a a a -=-= ， ∴四边形OCED 的面积=2
111623(2)(2)()2
222
a a a a +
=?， 解得21a =，
所以，正方形ABCD 的面积=2
2
(2)4414a a ==?=． 故选B ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
3．A
解析：A
【解析】 【分析】
根据题意很容易证得△BAE ≌△ADF ，即可得到AF=BE ，利用正方形内角为90°，得出AF ⊥DE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解. ④根据△BAE ≌△ADF ，即可得到S 四边形GEDF ,
ABG S = 即可求解.
【详解】
①证明：∵E 在AD 边上(不与A.D 重合),点F 在DC 边上(不与D.C 重合). 又∵点E.F 分别同时从A. D 出发以相同的速度运动， ∴AE =DF ，
∵四边形ABCD 是正方形， ∴,90AB DA BAE D =∠=∠=， 在△BAE 和△ADF 中，
90AE DE
BAE ADF AB AD =??
∠=∠=??=
?
， ∴△BAE ≌△ADF (SAS )， ∴∠1=∠2， ∵2390∠+∠= ∴1390∠+∠= 即90AGB ∠=
90,BGF ∠=
∠BGF 是定值；正确.
②无法判断GBF ∠与CBF ∠的大小， BF 平分∠CBE ；错误. ③当E 运动到AD 中点时， 点F 运动到CD 中点，
1
,2
CF CD a ==
225,BF BC CF a =+=
GH=15,22
BF a =
=正确. ④△BAE ≌△ADF, 则S 四边形GEDF ,ABG
S
=
当C △AGB =
)
2a 时，
,AG GB +=
()
2
22226,AG GB AG AG GB GB a +=+?+=
22224,AG BG AB a +== 222,AG GB a ∴?=
211,22
ABG
S
AG GB a =
?= S 四边形GEDF =12
a 2 ，故S 四边形GEDF =1
6a 2 ，错误.
故选A. 【点睛】
考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
4．C
解析：C 【分析】
先判断出点E 在移动过程中，四边形AECF 始终是平行四边形，当∠AFC=80°时，四边形AECF 是菱形，当∠AFC=90°时，四边形AECF 是矩形，即可求解． 【详解】
解：∵点O 是平行四边形ABCD 的对角线得交点， ∴OA=OC ，AD ∥BC ，
∴∠ACF=∠CAD ，∠ADB=∠DBC=20° ∵∠COF=∠AOE ，OA=OC ，∠DAC=∠ACF ∴△AOE ≌△COF （ASA ）， ∴AE=CF ， ∵AE ∥CF ，
∴四边形AECF 是平行四边形， ∵∠ADB=∠DBC=20°，∠ACB=50°， ∴∠AFC ＞20°
当∠AFC=80°时，∠FAC=180°-80°-50°=50° ∴∠FAC=∠ACB=50° ∴AF=FC
∴平行四边形AECF 是菱形
当∠AFC=90°时，平行四边形AECF 是矩形
∴综上述，当点E 从D 点向A 点移动过程中（点E 与点D ，A 不重合），则四边形AFCE 的变化是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．
5．B
解析：B
【分析】
①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG 的度数，从而求得∠AGD；
②证△AEG≌△FEG得AG＝FG，由FG＞OG即可得；
③先计算∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，从而得到∠AGE＝∠AED，易得AE=AG，由AE＝FE、AG＝FG即可得证；
④设OF＝a，先求得∠EFG＝45°，易得∠GFO＝45°，在Rt△OFG中，GF
a，
从而可证得BF＝EF＝GF
；
⑤由S△OGF＝1求出a2，再表示出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAG=∠GAD＝∠ADO＝45°，∠AOB=90°，
由折叠的性质可得：∠ADG＝1
2
∠ADO＝22.5°，
∴∠AGD＝180°－∠GAD－∠ADG＝112.5°，
故①错误；
由折叠的性质可得：AE＝EF，∠AEG＝∠FEG，
在△AEG和△FEG中，
AE FE
AEG FEG
EG EG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△AEG≌△FEG（SAS），
∴AG＝FG，
∵在Rt△GOF中，AG＝FG＞GO，
∴S△AGD＞S△OGD，故②错误；
∵∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，∴∠AGE＝∠AED，
∴AE＝AG，
又∵AE＝FE，AG＝FG，
∴AE＝EF＝GF＝AG，
∴四边形AEFG是菱形，故③正确；
设OF＝a，
∵△AEG≌△FEG，
∴∠EFG＝∠EAG=45°，
又∵∠EFO＝90°，
∴∠GFO＝45°，
∴在Rt△OFG中，GF，
∵∠EFO＝90°，∠EBF＝45°，
∴在Rt△EBF中，BF＝EF＝GF a，即BF OF，故④正确；∵S△OGF＝1，
∴1
2
OF2＝1，即
1
2
a2＝1，
则a2＝2，
∵BF＝EF a，且∠BFE＝90°，
∴BE＝2a，
又∵AE＝EF，
∴AB＝AE+BE+2a＝)a，
则正方形ABCD的面积是)2a2＝(6+＝12+
故⑤正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了四边形的综合，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形、菱形的判定与性质等知识是解题的关键.
6．A
解析：A
【分析】
如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD，QA=QD，则根据"SSS"可判断
APQ≌DPQ，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ 为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ，PD=AQ，则根据"SSS"可判断
△APQ≌△DQP,则可对乙进行判断.
【详解】
解：如图1，
∵PQ垂直平分AD，
∴PA= PD,，QA= QD，
∵PQ= PQ，
∴△APQ≌△DPQ (SSS)，所以甲正确；
如图2，∵PD ∥AQ，DQ ∥AP，
∴四边形APDQ为平行四达形，
∴PA=DQ,，PD=AQ，
∵PQ=QP，
∴△APQ≌△DQP (SSS)，所以乙正确；
故选：A.
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定.
7．C
解析：C
【分析】
①由翻折知∠ABE=∠AB'E=90o，再证∠M=∠CB'E=∠B'AD即可；②借助轴对称可知；③利
用计算，勾股定理求B′D，构造方程，求EB，在构造勾股定理求MB′=55
；④由相似
CB'：BM=CE：BE，BM=10
3
，在计算B'M>5；⑤证△BEG≌△B′PG得BE=B′P，再证菱形即
可．
【详解】
①由折叠性质知∠ABE=∠AB'E=90o，
∴∠CB'E+∠AB'D=90o
∵∠D=90o
∴∠B'AD+∠AB'D=90o
∴∠CB'E=∠B'AD，
∵CD∥MB，
∴∠M=∠CB'E=∠B'AD；
②点P在对称轴上，则B'P=BP；
③由翻折，AB=AB'=5，AD=4，
由勾股定理DB'=3，
∴CB'=5-3=2，
设BE=x=B'E，CE=4-x，
在Rt△B′CE中，∠C=90o，由勾股定理（4-x）2+22=x2，
解得x=5
2
，
∴CE=4-5
2
=
3
2
，
在Rt△ABE中，∠ABE=90o，
AE=
2
2
555
+5=
2
??
?
??
；
④由BM∥CB′
∴△ECB′∽△EBM，∴CB'：BM=CE：BE，
∴2：BM=3
2
：
5
2
，
∴BM=10
3
，
则
2
2
1020
+4
33
??
?
??
>5=CD；
⑤连接B B′，由对称性可知，BG=B′G，EP⊥BB′，BE∥B′P，
∴△BEG≌△B′PG，
∴BE=B′P，
∴四边形BPB′E为平行四边形，
又BE=EB′，
所以四边形BPB′E是菱形，
所以PB′=B'E．
故选择：C．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关键是能够发现△BEG≌△B′PG．
8．D
解析：D
【分析】
求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S?ABCD＝AD?BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC．
【详解】
∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD＝ AD＝ BC，
∴E是BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠CED＝30°，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，
∴S?ABCD＝CD?BD＝AB?BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠ADB＝30°＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝AB，故③正确；
∵O是BD的中点，E是BC的中点，
∴OE是△CBD的中位线，
∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，
∵OC是△BCD的中线，
∴S△BOC＝S△COD，
∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.
9．C
解析：C
【分析】
过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，
DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得
2
2
DP EC
，即可得到答案．
【详解】
证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP=EF；故①正确；
延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，
即AP⊥EF；故③正确；
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，