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微分几何试题及答案

【篇一：微分几何试题】

有曲线x?etcost,y?etsint,z?et，则当t?0时的切线方程为

x?1?y?z?1。 2．设曲面s:r?r(u,v)的第一基本形式为

i?du?sinhudv，则其上的曲线u?v从

et?e?t

（这里sinht?） v?v1到v?v2的弧长为|sinhv1?sinhv2|。

3．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一基本量为e?g?1,f?0，第二基

本量为，则曲面在该点沿方向(d)?(1:2)的法曲率为kn?l?a,m?0,n?b a?4b

。 5

4．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一类基本量为e?1,g?1，且曲面

在该点的切向量

ru,rv相互平行，则f在该点等于 5．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的

第二基本量为l?1,m?0,n??1，则曲面在该点的渐近方向为

(d)?(1:?1)。

6．设曲面的参数表示为r?r(u,v)，则|ru?r

v| 7．曲线x?tsin

?(0,

，主法向量为22

1．圆柱螺线的参数表示为r?(cost,sint,t)。计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平面方程以及在任意点处的曲率和挠率。（35分）解：r(0)?{1,0,0},r?(0)?{0,1,1},r??(0)?{?1,0,0}，所以

切线：

?x?1?0x?1y?0z?0

??，即? 011?y?z?0

法平面：(x?1)?0?(y?0)?1?(z?0)?1?0，即y?z?0

x?1y

密切平面：

1?0，即?y?z?0

0?110

t?,r}?,t?() r(t)?{cots,stin{tsin t,

r??(t)?{?cost,?sint,0},r???(t)?{sint,?cost,0}。

|r?| k?

?1}r,??r???{sitn?,ctos,r?,r |2

??)1|r??r??|1(r?,r??,?r ???? 32

(r??r??)2|r?|2

2．计算抛物面z?x2?y2的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。（35分）

解：r?{x,y,x2?y2}，rx?{1,0,2x},ry?{0,1

,2y}，

rxx?{0,0,2},rxy?{0,0,0},ryy?{0,0,2} n?

rx?ry|rx?ry|

所以有e?rx?1?4x,

f?rxry?4xy,g?ry?1?

l?rxxn?

，m?rxyn?0，n?

ryyn?

i?(1?4x2

)dx2?8xydxdy?(1?4y2)dy2

ii?

ln?m24lg?2mf?ne2?4x2?4y2

，h? k???

eg?f2(1?4x2?4y2)22(eg?f2)(1?4x2?4y2)3/2

在脐点有ii??i，由此得x?y?0，即唯一的脐点是原点。 3．计算正螺面r?(ucosv,usinv,av)的高斯曲率、平均曲率。

解 ru?(cosv,sinv,0)，rv?(?usinv,ucosv,a)，

ruu?(0,0,0)，ruv?(?sinv,cosv,0)，rvv?(?ucosv,?usinv,0)，

ru?rv?cosv

0?(asinv,?acosv,u)，

?usin

vucosva

ru?rv?

|ru?rv|

e?ru?ru?1，f?ru?rv?0，g?rv?rv?a2?u2， l?ruu?n ?0，m?ruv?n?ln?m2a2

，

k???2

eg?f2(a?u2)2

，n?rvv?n?0，

1en?2fm?gl1

h???2

2eg?f2acostha,3．求曲线r(t)?(

et?e?t

stinaht曲率和挠率，其中cosht?的，

et?e?t

sinht?。

解由一般参数的曲率公式?(t)?

r??r??(r?,r??,r???)

和挠率公式以及 ?(t)?32

r?r??r??

r?(t)?(asinht,acosht,a)

r??(t)?(acosht,asinht,0) r???(t)?(asinht,acosht,0) 1

2acosht2

有|r

?|?cosht，|r??r??|2cosh2t，(r?,r??,r???)?a，

?(t)?.

2acosh2t

4．计算抛物面z?x?y的高斯曲率和平均曲率．

解设抛物面的参数表示为r(x,y)?(x,y,x2?y2)，则rx?(1,0,2x)，

ry?(0,1,2y)，

rxx?(0,0,2)，rxy?ryx?(0,0,0)，ryy?(0，0，2)，

rx?ry|rx?ry|

rx?r

y?102x?(?2x,?2y,1)，n?

012y

，

e?rx?rx?1?4x2， f?rx?ry?4xy， g?ry?ry?1?4y2，

l?rxx?n?

m?rxy?n?0，

n?ryy?n?

，

ln?m244x2?4y2?1k???， 2222222

eg?f(1?4x)(1?4y)?(4xy)(4x?4y?1)

1gl?2fm?en4x2?4y2?2

． h???3

2eg?f2

(4x2?4y2?1)2

三、证明题

1.若曲面的两族渐近线交于一定角，则主曲率之比为常数。

证明：取渐进网为曲纹坐标网，则v曲线与u曲线的夹角为常数?，且v曲线方向的法

k1sin2?

曲率为零。根据欧拉公式有k1cos??k2sin??0??? 2

k2cos?

2．圆柱螺线的参数表示为r?(acost,asint,bt)。计算它的曲率和挠率。

解 r??(?asint,acost,b)，r???(?acost,?asint,0)，

????(asint,?acost,0)，|r?|?

r?r

??(absint,?abcost,a2)，|r?r?|?

所以有??

a?b2

，??

ba?b2

．

3．求证直纹面的高斯曲率k?0，等号成立的充要条件是直纹面可展。证明直纹面的参数表示为r?a(u)?vb(u)。由此得

ru?a?(u)?vb?(u)，rv?b(u)，ruu?a???vb??，ruv?b?，rvv?0，

??，l?

???2?????????，

??ln?m2(b?,a?,b)2

n?0。所以k????0， 222eg?f(eg?f)等式成立的充要条件是

(b?,a?,b)?0，即曲面是可展曲面。

4．设有曲面r?r(u,v)，其单位法向量是n，高斯曲率是k。证明

nu?nv?kru?rv。

证明因nu,nv是切向量，所以nu?nv//ru?rv。设nu?nv??ru?rv。两边与ru?rv作内积得(nu?nv)?(ru?rv)??(ru?rv)?(ru?rv)。由拉格

朗日公式得??k。

【篇二：微分几何试题库 (选择题)】

p(t0)是曲线r=r(t)上一点，p1是曲线上p点附近的一点，

?s为弧pp1

的长，??为曲线在p点和p1点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在p

点的曲率。则下面不等于??

?lims?0|

|。① k(t0) ② |r(t0)| ③ |?(t0)|④ ?(t0) 2．曲线r=r(s)在p点的基本向量为?，?，?。在p点的

曲率k(s)，挠率为?(s)，则?= 。

① k(s)? ② -k(s)?+?(s)?

③ -?(s)?④ k(s)?-?(s)? 3．曲线r=r(s)在p（s）点的基本向量为?，?，?。在p点的曲率k(s)，挠率为?(s)，则?=.

① k(s)? ② ?(s)? ③-k(s)?+?(s)?④ -?(s)?

4. 曲线r=r(s)在p（s）点的基本向量为?，?，?。在p点的曲率k(s)，挠率为?(s)，则下式不正确。

①?=- k(s) ? ②?= -k(s)?+?(s)? ③?= k(s)?④?=-?(s)?

5．曲线r=r(s)在p（s）点的基本向量为?，?，?。

在p点的曲率k(s)，挠率为?(s)，则。

① ??② ??

③ ??④ ??

6．曲线r=r(s)在p（s）点的基本向量为?，?，?。

则下式不正确。

① ?=2?② ?= 3?-2? ③?= -3?+2? ④? =2?

7．曲线r=r(s)在p（s）点的基本向量为?，?，?。在p点的曲率k(s)，挠率为?(s)，则?(s)= 。

① ?? ② ?? ③ ?? ④ -??

③ (c)的曲率k=0；④ (c)的挠率?=0。 11．已知曲线r=r(t)在r(t0)点的挠率为?，则?是

时，曲线在r(t0)点附近是右旋的。

8．曲线r=r(t)在p点的曲率k，挠率为?，则下式不正确。

①k?|r?r||r|2②k?|r?r|

|r|3

③k?|r| ④??

(r,r,r)

(r?r)

① ??

(r,r,r)(r,r,r

② ??r)

k2 ③??

(r,r,r)(r,r(r?r)2

④??,r)

|r?r|

10．设曲线 (c)：r=r(t)，以下不是(c)为平面曲线的充要条件。

① (c)的密切平面固定；② (c)的副法向量?=常矢

①—2

②

③—

④ 12．若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是

。

①直线；②平面曲线；

③球面曲线；④圆柱螺线。

13．若曲线?的曲率、挠率都为非零常数，则曲线?是。

①平面曲线；②球面曲线；③圆柱螺线；④直线。

14．平面曲线 (c)的法线和它的渐缩线(c?)在对应点处。

①相交；②相离；

③相切；④关系不确定。

15．平面曲线 (c)上两点的曲率半径之差渐缩线上对应点之间的弧长。

①等于；②大于；

③小于；④不等于。

16．曲线 (c)是一般螺线，则以下命题不正确。① (c)的切线与一固定方向成固定角；② (c)的副法线与一固定方向成固定角；③ (c)的

主法线与一固定方向垂直；④ (c)的副法线与一固定方向垂直。

17．曲线 (c)在条件下不一定是一般螺线。①其切向量与一固定方

向成固定角；②其主法向量与一固定方向成固定角；③其副法向

量与一固定方向成固定角；④其曲率与挠率之比为常数。 18．若曲线的切向与一固定方向成固定角，则以下命题正确。

①曲线的主法线与固定方向垂直；②曲线的副法线与固定方向成

定角；③曲线的副法线与固定方向垂直；④曲线的曲率与挠率之

比为常数。 19．下述命题不正确的是。

①若曲线 (c)的密切平面固定，则(c)是平面曲线；②若曲线 (c)的

密切平面垂直于某条固定直线，则(c)是平面曲线；

③若曲线 (c)的挠率?(s)=0，则(c)是平面曲线；

④若曲线 (c)的从切平面平行于固定直线，则(c)是平面曲线。

20．对曲面的第一基本形式??edu2?2fdudv?gdv2，

eg?f2

① 0；② 0 ；③ ≥0 ；④ ≤ 0 。 21．球面

r?{rcos?cos?,rcos?sin?,rsin?}的第一基本形式i= 。

① r2d?2?r2cos2?d?2；②r2cos2?d?2?r2d?2；③

r2d?2?r2sin2?d?2；④r2sin2?d?2?r2d?2。

22 . 正螺面r?{ucosv,usinv,bv}的第一基本形式是。

① du2?(u2?b2)dv2② (u2?b2)du2?dv2 ③ u2du2?dv2④

du2?u2dv2

23．正螺面r?{ucosv,usinv,bv}的第二基本形式是。

①

?②

③ (u2?b2)du2?dv2④ du2?(u2?b2)dv2

24．对于圆柱面r?{rcos?,rsin?,z}，以下结论不正

确。

①坐标网是正交网；②沿同一直母线的切平面是同一个；③其上高斯曲率为零；④其上没有抛物点。 25．以下量中，不是曲面的内蕴量。①曲面上两曲线的夹角；②曲面上曲线的弧长；③曲面上曲面域的面积；④曲面上一点沿一方向的法曲率。 26．曲面r?r(u,v),n 是其单位法向量。下列第二类基本量的计算中是不正确的。

①l?ru?ru ；②l?ruu?n ；③l??ru?nu ；④l??nu?ru 。

27．曲面r?r(u,v),n是其单位法向量。下列第二基本量的计

算中是不正确的。

①m?ruv?n ；②m??ruv?n ；③m??ru?nv ；④m??rv?nu。

28．曲面r?r(s,t),n是其单位法向量。下列第二基本量的计

算中是不正确的。

①n?rtt?n ；②n??rt?nt ；③n?rt?nt ；④n?n?rtt 。

29．以下说法正确的是。

①法曲率是法截线的曲率；②法曲率大于等于零；③法曲率是曲率向量r在主法向量?上的投影；④法曲率的绝对值是法截线的曲率。 30．曲面r?r(u,v)在p点的第一第二基本形式分别为?,??。

过p点的曲线(c) 在p点的曲率为k，曲面在p点沿(c)的方向(d)的法曲率为kn，(c)在p点的主法线与曲面的法向n的夹角为?，则下式正确。

①k??? ；②k ；③|k??

n??n?kcos?n|??

；④kn?ksin?。

31．在曲面的椭圆点处，。

① ln?m2

0；② ln?m2

0 ；

③ ln?m2?0 ；④ l=m=n=0 .

32. 如果曲面上一点p处有ln?m2?0,则点p是。①椭圆点；②双曲点；③平点；④抛物点。

33．圆环面上的点是。

①椭圆点；②双曲点；③抛物点；④或①或②或③。 34．一条有拐点的曲线绕一条直线旋转所得旋转曲面上的点是。

①椭圆点；②双曲点；③抛物点；④或①或②或③。 35．(c)是曲面s上的曲线, (c)上的点满足时，不一定是渐近线。（其中?n是沿(c)的法曲率，??是第二基本形式，?g是测地曲率）

① kn?0 ; ② ???0 ;③ k=0 ; ④ kg=0 . 36.椭圆抛物面上的点是。

①椭圆点；②双曲点；③平点；④抛物点。 37．曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是① e=g=0;② l=n=0 ;③ f=0 ;④

m=0 .

38. 曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是。① f=0 ;②

m=0 ;③ l=n=0 ;④ f=m=0 .

39. 曲面上的曲纹坐标网是正交网的充要条件是。① f=0 ;②

m=0 ;③e=g=0 ;④ l=n=0 .

40. 曲面上的曲纹坐标网是曲率网的充要条件是。① f=0 ;②

m=0 ;③ f=m=0 ;④ l=n=0 .

41．设l、n是曲面的第二类基本量，l=n=0是曲面的曲纹坐标网为网的充要条件。

①正交网; ②渐近网; ③曲率线网; ④半测地坐标网 . 42．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是。(其中?r是另一方向)

① dn?d?r

0 ；② ??r使?n?dr?0 ；③ ? ?r使dn??r?0; ④ ??r使?n?dr?0且dr??r?0. 43．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是。(其中?r是另一方向)

① dn?d?r

0 ；② ??r使?n?dr?0 ；③ ? ?r使dn??r?0; ④??r使dn??r?0且dr??r?0。 44．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是。(其中?r是另一方向)

① dn?d?r

0 ；② ??r使?n?dr?0 ；③ ? ?r使dn??r?0; ④ dn??dr 。

45．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向dr是主方向的充要条件是。(其中?r是另一方向)

① dn?d?r

0 ；② ??r使?n?dr?0 ；③ ? ?r使dn??r?0; ④ dn‖dr 。

46．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向是dr，则dn??dr的充要条件是。(其中?r是另一方向)

① dn??r?0 ；② ??r使dr??r?0 ；

③沿dr有?n?0；④ ??r使dn??r?0且dr??r?0。

47．下列不是dr?du:dv与?r??u:?v共轭的充要条件。

① dn??r?0 ；②?n?dr?0 ；

③ dn?dr?0 ; ④ldu?u?m(du?v?dv?u)?ndv?v?0。

48．f = m = 0是曲纹坐标网为网的充要条件。

①正交网；②共轭网；③曲率网；④渐进网。 49.以下说法不正确的是。

①球面上的每个点都是圆点; ②平面上的每个点都是平点;③双曲抛物面上的点都是双曲点;④球面上也可以有双曲点。 50.以下结论不正确的是。①球面上的每一条曲线是曲率线; ②平面上的每一条曲线是曲率线; ③圆柱面上的圆柱螺线是曲率线; ④旋转曲面上的纬圆是曲率线。 51．以下结论不正确的是其中n是曲面的单位法向量）。

①在等距变换下，曲面的第一、第二基本量是不变的；②如果dn??dr，则(d)是主方向；

③曲面上的直线既是渐近线又是测地线；

【篇三：微分几何测试题集锦(含答案)】

t>一．填空题：（每小题2分，共20分）

⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。

????r,r?,r????0?r(t) ⒉非零向量满足的充要条件是以该向量为切?方向的曲线为平面曲线

⒊设曲线在p点的切向量为?，主法向量为?，则过p由?,?

确定的平面

是曲线在p点的___密切平面__________。

????? ⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是??(t0)点，则曲线在r????????

的法平面方

程是__________________________。

?? ⒌曲线r?r(t)在t = 1???点处有??2?，则曲线在 t = 1对

应的点处其挠率

?(1)。

⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _

⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲

率与挠率的比是___常数_________________。

⒐曲面z?(z,x在点)y(x0,y0,z0的)法线方程是

_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）

11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是

___c___。

a、直线

b、平面曲线

c、球面曲线

d、圆柱螺

线

?? 12、曲线r, 挠率为?，则下列式?r(t)在p(t)点的曲率为k

子___a___不正确。

??r??r??a、k?2r???r??r?? b、k?3r?? c、k???r

d、???r?r??r????

2 ?r??r??????

13、对

2于曲2面的2第一基__d___。本形式i?edu?2fdudv?gdv,eg?f

a、?0

b、?0

c、?0

d、?0

三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）

21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求

⑴在点??0,1,

?????的切线和法平面。 2?

⑵曲率和挠率。

22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求

⑴ ?的第一、第二基本形式；

⑵ ?在任意点处沿任意方向的法曲率；

⑶ ?在任意点的高斯曲率和平均曲率；

⑷试证?的坐标曲线是曲率线。

《微分几何》测试题（二）

1．若向量函数r

() ?r(t)的终点在通过原点的一条直线上，则

a． r?(t)是定长的； b. r?(t)是定向的；

c． r?(t)?1； d. r(t)?2.

?r?(t)2．对于向量函数r(t)，若r(t)，则()

a．r(t)是定长向量；b.r?(t)定长向量；

c．r(t)是定向向量；d.r?(t)是定向向量.

3．设a,b均为非零向量，且ab?0，则（）

Ａ.a,b线性相关；Ｂ.a,b线性无关；

Ｃ.a可以由b线性表示； d.b可以a由线性表

示.

4．挠率??0,曲率k?2的曲线是()

4a．半径为4的圆； b.半径为的圆；

c．半径为2的圆； d.半径为的圆. 21

5．空间曲线的形状由()决定

a．由曲率和挠率；b. 仅由曲率；

c．仅由挠率； d. 由参数的选取.

6．曲率是常数的曲线()

a．一定是直线； b. 一定是圆；

c．一定是球面上的曲线；.答案a,b,c都不

对.

7．设s 是球面，则()

a． s上每一点是双曲点；b. s上每一点是抛物点；

c． s上的圆的?指向球心； d. s上的测地线的?指

向球心.

8．若曲面s在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为( ) 41的球面贴合

a．； b. 2； c. ；d. 4. 2411

9．圆柱螺线r?{acost,

?asint,bt} 在任一点的切线与z轴的夹角()

a．为；90? b. 0?； c. 与t有关；d. 与b

有关.

10．设非直线的曲线c是曲面s: r?r(u,v)上的测地线，则有

()

a. c在每一点?∥n;

b. c在每一点??n;

c. c在每一点?∥n;

d. c在每一点???n.

1．向量函数r?r?t?满足??r?t?dt,r?t?,r??t???0，则必有一常向量a，

满足a⊥r?t?.

2．如果曲线 c: r?r?t?的所有向径共面，则r??t?必与某一固

定向量垂直.

3．曲线的形状只由曲率和挠率决定.

()

4．直纹面上的直母线一定是曲率线. （）

5．若曲面s与一个半径为r的球面沿一个半径为r?0?r?r?的

圆c相切，则c是s上的测地线.

6．如果两个曲面s1与s2之间的一个对应关系，使得它们在

对应点有相同的高斯曲率，则s1与s2 等距等价.

7．设曲面s：r=r?u,v?, 如果l:e

?m:f,则v—线是曲率线.